Mértékfelbontási tételek
5.4. Jordan és Hahn felbontási tételei
LegyenλvalamelyMσ-algebrán értelmezett komplex mérték, azazλ:M → C, melyre
λ(∪∞n=En) =
∞
X
n=1
λ(En) minden megszámlálható diszjunkt (En)n∈
N halmaz-sorozat esetén. Világos, hogy a fenti definíció egyrészt általánosabb mint a szokásos nem negatív ér-téket felvevő mérték definíciója, másrészt pedig megszorítása annak, hiszen aλ(E) = +∞esetet ez nem tartalmazza. Azt is látni kell, hogy a fenti defi-níció szerint aP∞
n=1λ(En)sor minden átrendezésének is konvergensnek kell lennie, ami valós vagy komplex számok lévén éppen az abszolút konvergenci-ával ekvivalens, tehát mindenEn diszjunkt halmaz-sorozatra P∞
n=1|µ(En)|
is konvergens.
Az alábbiakban azt a technikát ismertetjük, hogy hogyan lehet egy ilyen komplex-speciális esetben valós, de véges-mérték szerinti integrál-elméletet visszavezetni nem negatív véges mérték szerinti integrál-elméletre. Az vilá-gos, hogyλkomplex mérték előállλ=λ1+iλ2 alakban, aholλ1ésλ2valós mértékek. Természetes gondolat lenne, hogy állítsuk elő aλ1 valós mértéket a pozitív és negatív része különbségeként, ugyanúgy ahogyan ezt függvények esetén is tettük. Könnyen látható viszont, hogy egy mérték pozitív része nem
feltétlenσ-additív, ezért ez a gondolat egyelőre zsákutcának bizonyul. Beveze-tünk majd tetszőleges valós mértékhez két nem negatív mértéket, amelyeknek különbsége az adott előjeles mérték. Ez a Jordan-felbontási tétel.
5.4.1. definíció(mérték teljes változása). Haλegy komplex mérték, akkor az
halmazfüggvény aλmértékteljes változása.
A fenti definíció az alábbi feladattal motiválható. Adottλkomplex mér-tékhez keressük meg azt a minimálisµnem negatív valós mértéket, amelyre
|λ(E)| ≤µ(E). (5.3)
Azt mondjuk, hogyµˆ nem negatív mérték megoldása ennek a feladatnak, ha
|λ(E)| ≤µˆ(E)teljesül mindenE∈ Mmellett és ha valamelyµnem negatív valós mértékre (5.3) fennáll, akkorµˆ≤µ.
Meg fogjuk mutatni, hogy a|λ| teljes változás a fenti feladat megoldása.
5.4.2. állítás. Komplex mérték teljes változása nem negatív mérték.
Bizonyítás. Triviális, hogy|µ|(∅) = 0. LegyenE =∪∞i=1Ei, diszjunkt De|µ|(E)épp a fenti egyenlőtlenség bal oldalán lévő halmazok szuprémuma, ezért a|µ|(E)≤P
i|µ|(Ei)egyenlőtlenség valóban fennáll.
P
i|µ|(Ei)≤ |µ|(E).Ugyanis legyenek ati∈Rszámokrati<|µ|(Ei).A szuprémum definíciója szerint léteznekAi,j(j= 1,2, . . .)egymástól diszjunkt halmazok, melyekre P
j|µ(Ai,j)| > ti. De az Ei halmazok diszjunktsága miatt az összesAi,j halmaz is diszjunkt, ilyen módon egy partícióját kapjuk E-nek. Erre persze
Világos, hogy ha adott egy nem negatív véges mérték, akkor ennek érték-készlete benne van egy korlátos és zárt intervallumban. Ehhez hasonlóan az
is igaz, hogy amennyiben adott egy komplex mérték, úgy a mérték értékkész-lete része egy zárt körnek. Ez talán meglepő, hiszenA⊆B nem implikálja
|µ(A)| ≤ |µ(B)| -t, ezért µ(X) ∈ C feltétel nem tűnik elegendőnek. Azt fogjuk majd megmutatni, hogy mindenE∈ Mesetén|µ(E)| ≤ |µ|(X)∈R. Ebből az állításból mindenesetre a|µ(E)| ≤ |µ|(E)egyenlőtlenség triviális, és mivel|µ|mérték így elegendő belátni, hogy|µ|(X)∈R.
Ennek igazolásához egy elemi lemma következik, melyhez csak a komplex számok fogalma szükséges :
5.4.3. lemma. Legyenek az1, . . . , znkomplex számok rögzítve. Ekkor ezeknek Bizonyítás. AzR2sík|y| ≥xtérnegyedébe esőzkomplex számokra√
2<z≥
≥ |z|. Feltehető, hogy ebbe térnegyedbe esik az az S részhalmaz, melyre P
5.4.4. állítás. Haµ egy komplex mérték, akkor |µ|(X)<∞, azaz komplex mérték teljes változása nem negatív véges mérték.
Bizonyítás. Először azt mutatjuk meg, hogy amennyibenY ∈ M, |µ|(Y) =
=∞,úgyY felbontható diszjunktY =A∪Bmérhető halmazok egyesítésére, hogy|µ(A)|>1 és|µ|(B) =∞. Mivel|µ|teljes változás egy mérték, ezért Van tehát olyanSrészhalmaz, hogy
B1-re kapjuk, hogyB1=A2∪B2 diszjunkt egyesítés alakban és |µ(A2)| >
> 1, de |µ|(B2) = ∞ is fennáll. Az eljárást folytatva olyan diszjunkt An
halmaz-sorozatot kapunk, hogy minden elemre|µ(An)|>1,ami ellentmond aP
µ(An)sor konvergenciájának.
Bebizonyítottuk tehát az alábbi állítást.
5.4.5. állítás. Legyen µegy komplex mérték. Ekkorµ értékkészlete része az origó középpontú|µ|(X)sugarú zárt körlemeznek.
5.4.6. definíció(mérték pozitív és negatív változása). Legyenλegy előjeles mérték. Jelölje
λ+=1
2(|λ|+λ) valamint λ− =1
2(|λ| −λ) aλmértékpozitív illetvenegatív változását.
5.4.7.
Mivel előjeles mértékek összege is előjeles mérték, ezért λ+ és λ− valóban előjeles mértékek. No de minden E ∈ M mellett |λ(E)| ≤ |λ|(E), ezért
−λ(E)≤ |λ|(E)ésλ(E)≤ |λ|(E)is fennáll. Eszerint|λ|+λ,ezértλ+; és
|λ| −λ,ezértλ− is nem negatív mértékek. Amennyibenλ véges, úgy λ+ és λ− is az.
5.4.8. állítás(Jordan-féle felbontási tétel). Legyenλegy véges előjeles mér-ték. Ekkor a λ+ pozitív változás és a λ− negatív változás halmazfüggvények véges nem negatív mértékek, továbbá
λ=λ+−λ− valamint |λ|=λ++λ−.
Bizonyítás. Az előzőek szerint csak a kiemelt egyenleteket kell indokolnunk.
Nyilvánvalóanλ++λ−=12(|λ|+λ+|λ| −λ) =|λ|és hasonlóanλ+−λ− =
=12(|λ|+λ−(|λ| −λ)) =λ.Ezt kellett belátni.
Most a Hahn-felbontási tételre térünk rá. Ehhez először általánosítanunk kell a Radon–Nikodym-tételt arra az esetre, mikorλelőjeles mérték : 5.4.9.
Tegyük fel, hogyλµ. Ekkor|λ| µfennáll hiszen, ha µ(B) = 0, akkor annak mindenA∈ M, A⊆Brészhalmazára isµ(B) = 0,amiből az abszolút folytonosság miatt már λ(A) = 0 is fennáll. Ebből persze |λ|(B) = 0már következik. Ekkor viszont a pozitív változás és negatív változás definíciójára gondolvaλ+ µésλ−µ.Alkalmazható tehát a Radon–Nikodym-tételnek a nem negatív mértékekre vonatkozó alakja. Kapunk teháth+, h− ∈L1(µ) függvényeket, melyekre λ+(E) = R
Eh+dµ és λ−(E) = R
Eh−dµ. Ebből perszeλ(E) =R
h+−h−dµ.
5.4.10. állítás. Legyen µ egy véges előjeles mérték. Ekkor létezik egyetlen
Bizonyítás. Triviális, hogyµ |µ|, ezért a Radon–Nikodym-tétel miatt lé-tezikhmérhető függvény, melyreµ(E) =R
Eh d|µ|mindenE∈ Mmérhető halmazra. Amennyiben|µ|(E)6= 0, akkor
5.4.11. definíció (előjeles mérték szerinti integrál). Legyenλ egy előjeles mérték az(X,M)mérhető téren, ésf ∈L1(X,M,|λ|)függvény. Azf függ-vényλelőjeles mérték szerinti integrálját, az
Z
formula definiálja, ahol h az egyetlen olyan h ∈ L1(X,M,|λ|), függvény amelyre a |h| = 1 egyenlőség |λ|-majdnem mindenütt teljesül és λ(E) =
=R
Eh d|λ|fennáll mindenE∈ Mmellett.
5.4.12.
A fenti definíció értelmes, hiszen ha f ∈ L1(|λ|) és |h| = 1, akkor f h ∈
∈L1(|λ|).
Speciálisan, ha λ egy véges nem negatív mérték, akkor h = 1 és |λ| =
=λ, így ebben az esetben a fenti definíció egybeesik az azL1-beli függvények integráljának definíciójával.
Az is látható, hogy a véges előjeles mérték szerinti integrál egy lineáris funkcionál azL1(X,M,|λ|)normált téren.
5.4.13. állítás(előjeles integrál-mérték szerinti integrál). Legyen(X,M, µ) egy nem negatív mértéktér, és g ∈ L1(X,M, µ) mérhető függvény. Láttuk,
definícióval λ egy előjeles mérték az M σ-algebrán. Ekkor tetszőleges f ∈
∈L1(X,M,|λ|)függvény esetén negatív véges mértékekre vonatkozó Radon–Nikodym-tételt, azt kapjuk, hogy léteziku∈L1(µ)nem negatív függvény, amelyre
|λ|(E) = Z
E
u dµ.
Az előjeles mérték szerinti integrál definíciója ésf h∈L1(|λ|)szerint Z
Ez tetszőleges f ∈ L1(|λ|) függvényre fennáll, speciálisan tehát f = χE
karakterisztikus függvény mellett is tetszőlegesE∈ Mmérhető halmazra is.
Így µ-majdnem mindenütt fennáll. Ez viszont azt jelenti, hogy
Z
Eg dµ integrál véges előjeles mértéket definiál.
E mérték teljes változására :
|λ|(E) = Z
E
|g|dµ,
továbbá a pozitív és negatív változásokra :
Bizonyítás. Alkalmazzuk az előző állítástλmértékre. Ekkor létezik |h| = 1 függvény, hogy Így mindenE∈ Mmérhető halmazra
|λ|(E) = De|λ| nem negatív mérték, ezérthg≥0 teljesülµ-majdnem mindenütt. Így hg =|hg| =|g| is fennáll, azaz |λ|(E) = R
E|g|dµ valóban teljesül minden E∈ Mmellett.
A pozitív változásra vonatkozó állítás igazolásához λ+(E) =1 és hasonlóan adódik a negatív változásra vonatkozó λ−(E) =R
Eg−dµ for-mula is.
5.4.15. állítás (Hahn felbontási tétele). Legyen az (X,M) mérhető téren µegy véges előjeles mérték. Ekkor X felbontható diszjunktA ésB halmazok egyesítésére úgy, hogy a mértékµ+ pozitív változása aµ-nek azA-ra koncent-rált része, és a µ− negatív változása a µ-nek B-re koncentrált része legyen.
Pontosabban : létezikA, B∈ M,A∩B=∅, A∪B=X amelyekre változásra vonatkozó része szerint
µ+(E) = Ezzel a pozitív részre vonatkozó állítást igazoltuk is. A negatív részre vonat-kozó állítás már következik a fenti formulából hiszen tudjuk, hogy µ(E) =
=µ+(E)−µ−(E)és nyilvánµ(E) =µ(E∩A) +µ(E∩B).