Lebesgue-mérték

µ(E∩An) =ν(E∩An).Kihasználvaµ˜ ésν σ -additivitását kapjuk, hogy

˜ µ(E) =

∞

X

n=1

˜

µ(E∩A_n) =

∞

X

n=1

ν(E∩A_n) =ν(E).

3.2. Lebesgue-mérték

Alkalmazzuk a kiterjesztési eljárást, a korábbi 1.2.11. definíció esetében :X =

=R,P a balról zárt jobbról nyílt korlátos intervallumok félgyűrűje,µ=λf, ahol λ_f([a, b)) = f(b)−f(a) az f : R → R monoton növekedő, balról folytonos függvény megváltozása az [a, b) intervallum felett. Meggondoltuk (1.2.13), hogy ezzel a definícióvalλ_f valóban egyσ-additív halmazfüggvény a P félgyűrűn, amely még σ-véges is. Az f = id függvény speciális esete különösen fontos. Ekkorλ_id[a, b)az intervallum hossza.

3.2.1. definíció(Lebesgue–Stieltjes-mérhető halmazok, Lebesgue–Stieltjes–

mérték). LegyenP balról zárt jobbról nyílt, korlátos intervallumok félgyűrű-je,f :R→Regy monoton növekedő, balról folytonos függvény,λf :P →R+

azf megváltozása az 1.2.11. definíciónak megfelelően. Láttuk, hogy λf egy σ-additív halmazfüggvény a P félgyűrűn (1.2.13). Jelölje λ^∗_f a λf generálta külső mértéket, amely az R egész hatványhalmazán van értelmezve, jelölje Λf a Caratheodory-értelemben λ^∗_f mérhető halmazok σ-algebráját és ˜λf a λ^∗_f külső mértéknek aΛf σ-algebrára való megszorítását.

A kiterjesztési tétel szerintP ⊆Λ_f,ésλ˜_f(E) =λ_f(E)mindenE∈ P-re, tehát a balról zárt jobbról nyílt intervallumok félgyűrűjén értelmezett függ-vényt kiterjesztettük egy, az ezt a félgyűrűt tartalmazó, teljesσ-algebrára.

Aλ^∗_f külső mértéketLebesgue–Stieltjes-külső mértéknek, aΛf σ-algebrát azf-re nézveLebesgue–Stieltjes-mérhetőhalmazokσ-algebrájának nevezzük.

Amikor az nem okoz félreértést az egyszerűség kedvéért továbbra is λf-fel jelöljük a kiterjesztett halmazfüggvényt és ezt nevezzük Lebesgue–Stieltjes-mértéknek.

3.2.2. definíció(Lebesgue-mérhető halmazok, Lebesgue-mérték). Azf = id függvényre nézve Lebesgue–Stieltjes-mérhető halmazokat Lebesgue-mérhető halmazoknak nevezzük és Λid helyett Λ-val jelöljük. Hasonlóan, a λ^∗_id Le-besgue–Stieltjes-külső mértéketLebesgue-külső mértékneknevezzük ésλ^∗ mó-don jelöljük. Ugyanígy az identitás függvénnyel konstruált ˜λid mértéket Le-besgue-mértéknekmondjuk, és amennyiben az nem okoz félreértést a nehézkes

˜λid helyett λ jelöli a mérhető halmazokon értelmezett Lebesgue-mértéket.

3.2.3.

A kiterjesztési eljárás szerint P ⊆ A_µ^∗. Tudjuk, hogy a számegyenes Borel-halmazait generálják a balról zárt jobbról nyílt intervallumok, azaz B =

= σ(P) ⊆ Λf. Így λf : Λf → R¯+ Lebesgue–Stieltjes-mérték értelmezett a Borel-halmazokon ésλf([a, b)) =f(b)−f(a). Hogyan alakul a többi kor-látos intervallum Lebesgue–Stieltjes-mértéke ? Az (a, b) = S∞

n=1

a+_n¹, b azonosságra alkalmazva a mérték monoton folytonossági tételét, azt kapjuk, hogy

λf((a, b)) = lim

n→∞

f(b)−f

a+ 1 n

=f(b)−f(a+),

ahol f(a+) jelöli azf függvény apontbeli jobb oldali határértékét. Hason-lóan, az[a, b] =T∞

n=1

a, b+_n¹

azonosság vezet az λf([a, b]) =f(b+)−f(a)

értékhez, melynek speciális eseteként minden egyelemű{a}halmazra, λ_f({a}) =f(a+)−f(a).

Ezekből már a végesen additivitás segítségével is adódik a λf((a, b]) =f(b+)−f(a+)

formula. Azid függvény speciális esetében látjuk, hogy a valós egyenes vala-mennyi intervallumának Lebesgue-mértéke a szóban forgó intervallum hosszá-val egyezik meg.

3.2.4.

Mivel a balról zárt jobbról nyílt korlátos intervallumok generálják a valós egyenesB_RBorel-halmazait, ezért

B_R⊆Λ_R. (3.1)

3.2.5. definíció (Lebesgue-mérhető függvény). Az f : R → R¯ függvényt, Lebesgue-mérhetőnek nevezünk, ha f⁻¹(A) ∈ Λ_R teljesül minden A ⊆ R nyílt halmaz esetén. Az f függvény Lebesgue-mérhetősége azt jelenti, hogy f mérhető leképezés az (R,Λ_R)és az (R,B_R) mérhető terek közt a korábbi 1.3.1. definíció értelmében.

3.2.6.

Érdemes összevetnünk a mérhetőség (1.3.1), a Borel-mérhetőség (1.3.4), és a Lebesgue-mérhetőség (3.2.5) fogalmakat valós függvények esetében. A Borel-mérhetőség az

(R,B_R)→(R,B_R)

mérhető terek közti mérhetőséget jelenti, míg Lebesgue-mérhetőségen a mér-hető terek közti

(R,Λ_R)→(R,B_R)

mérhetőséget értjük. A (3.1) tartalmazás szerint minden Borel-mérhető valós függvény egyben Lebesgue-mérhető is.

Amíg nyilvánvaló módon teljesül, hogyf, gBorel-mérhető függvények ese-tén af◦gkompozíció is Borel-mérhető, ugyanezt két Lebesgue-mérhető függ-vényre nem várhatjuk el, hiszeng⁻¹ f⁻¹(F)

∈Λ_R-t nem indokolja semmi abban az esetben, mikorf⁻¹(F)∈Λ_RrB_R. Látni fogjuk (3.2.12), hogy még gfolytonossága mellett is előfordulhat, hogyf◦gegy nem Lebesgue-mérhető függvény. Ha viszont azt tesszük fel, hogy f Borel-mérhető és g Lebesgue-mérhető, akkorf◦g Lebesgue-mérhetősége magától értetődik.

A (3.1) tartalmazás valódi is, ezt egy konkrét Lebesgue- de nem Borel-mérhető halmaz megadásával látjuk a 3.2.12. pont alatt, de ennél sokkal több is igaz. Korábban szó volt arról (24. oldal), hogy mélyebb halmazelméleti ismeretek híján nem használjuk a generáltσ-algebra belső reprezentációját.

A Borel-halmazok számosságának kérdése olyan pont, ahol érdemes kivételt tenni.

3.2.7. (A Borel-halmazok számossága kontinuum)

Egyσ-algebra belső reprezentációjának leírásából az látszik, hogy egy meg-számlálhatóan végtelen generátor rendszerrel rendelkezőσ-algebra legfeljebb kontinuum számosságú. Fogadjuk el ezt egy másik diszciplína ismert állítá-saként. Mivel a racionális végpontú, balról zárt jobbról nyílt intervallumok halmaza egy legfeljebb megszámlálható számosságú generátor rendszere a B_R σ-algebrának, ezért a Borel-halmazok halmazának számossága kontinu-um számosságnál nem nagyobb. Viszont a valós egyenes előáll mint meg-számlálhatóan végtelen sok balról zárt, jobbról nyílt intervallum, mint Borel-halmaz R = ∪^∞_n=1P_n diszjunkt egyesítése, ezért N hatványhalmaza és B_R Borel-halmazok között a

M ⊆N M 7→ ∪n∈MPn

leképezés injekció. No deNhatványhalmaza kontinuum számosságú, ergoB_R is éppen kontinuum számosságú halmazrendszer.

3.2.8. (a Lebesgue-mérhető halmazok számossága nagyobb, mint kontinu-um)

A bevezető ismeretek közt definiáltuk a Cantor-halmazt (0.1.10). Mivel zárt halmazról van szó, ezért a Cantor-halmaz egy Borel-halmaz, ergo van Le-besgue-mértéke. A Cantor-halmaz definíciója szerint a [0,1] intervallumból megszámlálhatóan sok nyílt intervallum elhagyásával keletkezik, amelyeknek összhossza1. Eszerint Cantor-halmaz Lebesgue-mértéke zérus. A külső mér-ték monotonitása szerint minden részhalmazának is zérus a Lebesgue-külső mértéke, tehát minden részhalmaza is Lebesgue-mérhető. Találtunk tehát egy kontinuum számosságú halmazt, amelynek minden részhalmaza is Lebesgue-mérhető. Mivel a hatványhalmaz számossága az eredeti halmaz számossá-gánál nagyobb, ezért a Lebesgue-mérhető halmazok számossága is nagyobb, mint kontinuum. A Lebesgue-mérhető halmazok halmaza R hatványhalma-zának részhalmaza, ezért a Bernstein-tétel szerint a Lebesgue-mérhető hal-mazok számossága éppen azonosRhatványhalmazának számosságával.

Összefoglalva :BRhalmazrendszer kontinuum (κ) számosságú, mígΛ_R hal-mazrendszer kontinuumnál nagyobb számosságú (2^κ) !

3.2.9.

Az R hatványhalmaza tehát a Λ_R Lebesgue-mérhető halmazok halmazával ekvipotens, azonos számosságú. Látni fogjuk, hogy a Lebesgue-mérték eltolás-invariáns (3.2.16). Ezt elfogadva és visszatérve a fejezetet bevezető példára, lásd a a 98. oldalt, ha az ottani E halmaz Lebesgue-mérhető volna, akkor mindenr∈[0,1) mellettEr∈Λis teljesülne és λ(Er) =λ(E)is fennállna, ami az1 = 0vagy az1 = +∞egyenlőségekre vezetne.

Bebizonyítottuk tehát a következő állítást :

3.2.10. állítás(Példa nem Lebesgue-mérhető halmazra). Definiáljuk az aláb-bi ekvivalenciarelációt a[0,1)intervallum felett. Az(x, y)pár pontosan akkor legyen a relációban, ha a különbségük racionális szám, azazx−y ∈Q. Te-kintsük az intervallum egy olyan részhalmazát, amely az ekvivalenciareláció minden ekvivalenciaosztályából pontosan egy elemet tartalmaz. Ez a halmaz nem Lebesgue-mérhető.

Az itt bevezetett nem Lebesgue-mérhető halmaznak van még egy ext-rém tulajdonsága, nevezetesen, hogy annyira sok nem mérhető részhalmaza van, amennyire az csak lehetséges. Egy zérus Lebesgue-külső mértékű halmaz ugyanis egyben Lebesgue-mérhető is, amit úgy is interpretálhatunk, hogy az ilyen halmazok a kicsiségük okán mérhetők. Most meggondoljuk, hogy a fen-ti nem mérhető halmaznak nincs is más mérhető részhalmaza, csak olyan, amely a kicsisége okán mérhető.

3.2.11. állítás. Jelölje E a 3.2.10. állítás nem Lebesgue-mérhető halmazát.

1. Egy A ⊆ E halmaz pontosan akkor Lebesgue-mérhető, ha annak Le-besgue-külsőmértéke zérus.

2. A számegyenes minden pozitív Lebesgue-mértékű halmaza tartalmaz nem Lebesgue-mérhető részhalmazt.

Bizonyítás. JelöljeArazAhalmaz[0,1−r)és[1−r,1)intervallumokba eső részeinek felcserélésével kapott halmazt ugyanúgy, mint az a nem mérhető halmaz definíciójában már szerepelt. Tehát

Ar= (A∩[0,1−r) +r)∪(A∩[1−r,1) +r−1).

Világos, hogyAr⊆Ermindenr∈[0,1)mellett, így azAr∩As=∅minden r 6=s esetén. Ha tehát A egy Lebesgue-mérhető halmaz, akkor mindenAr

is az, a Lebesgue-mérték eltolás-invarianciája szerint. Ugyan e miatt minden szóba jövő r mellettλ(Ar) = λ(A) is fennáll. Tehát aσ-additivitás követ-keztében :

(+∞)·λ(A) = X

r∈Q∩[0,1)

λ(Ar) =λ



 [

r∈Q∩[0,1)

Ar



≤λ([0,1)) = 1.

Ez csak úgy lehetséges, ha λ(A) = 0. Megmutattuk tehát, hogy E nem mérhető halmaznak pusztán a nulla mértékű részhalmazai lehetnek mérhetők.

Most legyen B ∈ Λ, λ(B) > 0. A B ∩ [k, k+ 1) halmazok legalább egyike valamelyk ∈ Z egész mellett pozitív Lebesgue-mértékű. Az eltolás-invariancia miatt feltehető, hogyk = 0, vagy ami ugyanaz, feltehető, hogy

B⊆[0,1). Mivel azErhalmazok diszjunkt módon lefedik a teljes[0,1) inter-vallumot, ezért

B= [

r∈Q∩[0,1)

Er∩B.

Ha a jobb oldali E_r∩B halmazok mindegyike mérhető lenne, akkor a bal oldal pozitív mértékűsége szerint, legalább az egyikr mellettλ(E_r∩B)>0 is teljesülne. Visszacserélés után kapnánk azEnem mérhető halmaznak mér-hető és pozitív Lebesgue-mértékű részhalmazát, ami a már igazolt első állítás miatt képtelenség. Megmutattuk tehát, hogy legalább egyr∈Q∩[0,1)esetén azEr∩B halmaz nem Lebesgue-mérhető.

3.2.12. (Lebesgue-mérhető, de nem Borel-halmaz)

Legyen f : [0,1] → [0,1] a Cantor-függvény. Tekintsük a g(x) = f(x) +x függvényt. Egy monoton növekedő és egy szigorúan monoton növő függvény összege is szigorúan monoton nő, ezértg: [0,1]→[0,2]injekció. Mivelg(0) =

= 0, g(1) = 2 és g folytonos, így Bolzano-tétele szerint g minden értéket felvesz a[0,2]intervallumból, ergogfolytonos bijekció. Ígyg⁻¹: [0,2]→[0,1]

inverz is folytonos. LegyenC a Cantor-halmaz és tekintsük ag(C) direktké-pet. Ag⁻¹inverz folytonossága szerint eg(C)direktkép Borel-halmaz. Mivel a Cantor-halmaz definíciójában a kimaradó nyílt intervallumok összhossza1, és egy ilyen kimaradó intervallumnak ag képe, egy a kimaradó intervallum-mal azonos hosszú intervallum, λ(g(C^c)) = 1. Ebből az következik, hogy λ(g(C)) = 1is teljesül. Mivel minden pozitív mértékű halmaznak van nem Lebesgue-mérhető részhalmaza, létezik E ⊆ g(C), E /∈ Λ_R. Tekintsük az F =g⁻¹(E)ősképet. Egyrészt világos, hogyF ∈Λ_Regy Lebesgue-mérhető halmaz, hiszenF =g⁻¹(E)⊆g⁻¹(g(C)) =C, de a Cantor-halmaz minden részhalmaza is Lebesgue-mérhető. Másrészt, ha F egy Borel-halmaz lenne, akkor ag⁻¹függvény folytonossága szerint g⁻¹−1

(F) =g(F) =E halmaz is Borel-mérhető lenne, ami ellentmondanaE /∈Λ_R választásnak.

Konkrét példát mutattunk tehát

1. Lebesgue-mérhető halmazra, amely nem Borel-mérhető, hiszenF ∈Λ_R, deF /∈ B_R;

2. h=g⁻¹folytonos függvényre, amelyre ah⁻¹(F)inverzkép annak elle-nére nem Lebesgue-mérhető, hogy azF halmaz Lebesgue-mérhető ; 3. Lebesgue-mérhető és folytonos valós függvényekre, amelyek

kompozíció-ja nem Lebesgue-mérhető, hiszenF∈Λ_Rszerintχ_F Lebesgue-mérhető és ah=g⁻¹folytonos függvényre, aχ_F◦hkompozíciója nem Lebesgue-mérhető, a (χ_F◦h)⁻¹({1}) = h⁻¹ χ⁻¹_F {1}

= h⁻¹(F) = E /∈ Λ_R tartalmazás szerint.

Azn-dimenziós Lebesgue-mérték

3.2.13. definíció (Lebesgue-mérhető halmaz és Lebesgue-mérték). Jelöl-je P az Rⁿ balról zárt jobbról nyílt intervallumainak halmazát. Világos P az n-szeres szorzata az R balról zárt jobbról nyílt intervallumait tartalma-zó félgyűrűnek, ezért maga is félgyűrű. A monoton konvergenciatétel egyik következményeképpen láttuk, hogy σ-additív halmazfüggvények szorzata is σ-additív, ezért a

λ⁽ⁿ⁾

n

Y

i=1

[ai, bi)

!

=×ⁿ_i=1λ([ai, bi)) =×ⁿ_i=1(bi−ai) (3.2) módon definiált halmazfüggvény mértékP félgyűrűn (2.2.16). Alkalmazhat-juk tehát a kiterjesztési eljárást az Rⁿ,P, λ⁽ⁿ⁾

félgyűrűn értelmezett mér-tékre. Így azt kapjuk, hogy létezik olyanΛ⁽ⁿ⁾ σ-algebra melyreP ⊆Λ⁽ⁿ⁾ és létezik olyan továbbra is λ⁽ⁿ⁾-nel jelölt mérték kiterjesztése az eredeti mér-téknek aΛ⁽ⁿ⁾σ-algebrára, amely teljes is. AΛ⁽ⁿ⁾ σ-algebrát nevezzük az n-dimenziós Lebesgue-mérhető halmazok σ-algebrájának és a kiterjesztettλ⁽ⁿ⁾ mértéket pedign-dimenziós Lebesgue-mértéknek.

Mikor az kényelmesebb az n-dimenziós Lebesgue-mérhető halmazok hal-mazátΛ_Rn módon is jelöljük, és ha az a szövegkörnyezetből nyilvánvaló az n-dimenziós Lebesgue-mértéket isλjelöli.

3.2.14.

Mivel azn-dimenziós félig zárt, félig nyílt kockák generáltaσ-algebra az n-dimenziós Borel-halmazokσ-algebrája, ezért a

B_Rⁿ⊆Λ_Rⁿ (3.3)

tartalmazás (3.1)-hez hasonlóan most is nyilvánvaló. A kiterjesztési eljárás unicitása (3.1.15) miatt,λ⁽ⁿ⁾|B_Rⁿ mérték az egyetlen σ-additív kiterjesztése (3.2)-nek azn-dimenziós Borel-halmazok σ-algebrájára.

3.2.15.

Érdemes látnunk, hogy mi a Borel-tégláknak mint a lehető legegyszerűbb Borel-halmazoknak a Lebesgue-mértéke. HaB1 ∈ B_R^s és B2 ∈ B_Rt egy-egy s- ést-dimenziós Borel-halmaz, akkor az ezekből alkotottB1×B2 tégla egy n=s+t-dimenziós Borel-halmaz. Ezekn-dimenziós Lebesgue-mértékére

λ⁽ⁿ⁾(B1×B2) =λ^(s)(B1)λ^(t)(B2). (3.4) Ugyanis 2.2.16. szerint a fenti definíció jobb oldala egyσ-additív halmazfügg-vényt definiál a Borel-téglákB_Rs× B_Rt félgyűrűjén. Márpedig a definícióbeli kiterjesztési eljárás azn-dimenziós balról zárt jobbról nyílt kockák generálta

σ-algebráig, tehátB_Rn-ig, egyetlen egy mértéket ír elő. Így pusztán azt hasz-nálva, hogyB_R^s× B_Rt ⊆ B_Rⁿ aσ-additívλ⁽ⁿ⁾halmazfüggvénynek egybe kell esnie a Borel-téglákon a (3.4) jobb oldalával.

Speciálisan, haB1, . . . , Bn∈ B egydimenziós Borel-halmazok, akkor ezek szorzatának mértékére

λ⁽ⁿ⁾

n

Y

i=1

Bi

!

=×ⁿ_i=1λ(Bi).

Speciális esetként az is adódik, hogy (3.2) nem csak balról zárt jobbról nyílt, hanem akármilyen intervallumok szorzatára is fennáll, azaz intervallumok szorzatának Lebesgue-mértéke éppen az alkotó intervallumok hosszainak szor-zata.

3.2.16. állítás(Lebesgue-mérték eltolás-invariáns). AzRⁿhatványhalmazán értelmezett Lebesgue-külső mérték eltolás-invariáns, azaz minden M ⊆ Rⁿ halmazra és mindenx∈Rⁿ vektorraλ^∗(E) =λ^∗(x+E).

A Lebesgue-mérték is eltolás-invariáns, azaz E ∈ Λ⁽ⁿ⁾ és x∈ Rⁿ esetén (x+E)∈Λ⁽ⁿ⁾, ésλ(x+E) =λ(E).

Bizonyítás. Először gondoljuk meg, hogy aλ^∗Lebesgue-külső mérték eltolás-invariáns. HaE⊆Rⁿ tetszőleges halmaz,M_n ∈ P, n∈Nbalról zárt jobbról nyílt intervallumok és x ∈ Rⁿ vektor, akkor x+E ⊆ ∪^∞_n=1M_n pontosan akkor áll fenn, haE⊆ ∪^∞_n=1(Mn−x).Az is nyilvánvaló, hogyλ(Mn−x) =

=λ(Mn)ami igazolja, hogy a Lebesgue-külső mértékreλ^∗(x+E) =λ^∗(E) tetszőlegesE⊆Rⁿ mellett.

TetszőlegesM, E⊆Rⁿ mellett

M ∩(E+x) =x+ ((M−x)∩E),

M ∩(E+x)^c =M ∩(E^c+x) =x+ ((M−x)∩E^c).

Ez azt jelenti, hogy az λ^∗(M) = λ^∗(M∩(E+x)) +λ^∗(M ∩(E+x)^c) és aλ^∗(M −x) =λ^∗((M −x)∩E) +λ^∗((M −x)∩E^c)azonosságok egyszer-re teljesülnek. Emiatt az E halmaz Lebesgue-mérhetősége mellett E+xis Lebesgue-mérhető.

3.2.17. állítás(Lebesgue-féle külső mérték kívülről nyílt-reguláris). Legyen µ^∗ az Rⁿ tér Lebesgue-külső mértéke tetszőleges n ∈ N mellett, vagy külön az n = 1 esetben valamely monoton növő balról folytonos függvénnyel kép-zett Lebesgue–Stieltjes-külső mérték. Hasonlóan µ az n-dimenziós Lebesgue-mérték, vagyn= 1esetben a megfelelő Lebesgue–Stieltjes-mérték. Ekkor min-denM ⊆Rⁿ esetén

µ^∗(M) = inf{µ(G) :M ⊆G, Gnyílt}. (3.5)

Bizonyítás. Rögzített M ⊆ Rⁿ részhalmaz mellett jelölje a ∈ R⁺ a fent szereplő infimumot. Ha M ⊆ G, akkor a külső mérték monotonitása miatt µ^∗(M)≤µ^∗(G) =µ(G)fennáll mindenGnyílt halmazra, így azok infimu-mára is, tehátµ^∗(M)≤a.

A fordított irányú egyenlőtlenség nyilván fennáll µ^∗(M) = ∞ esetben.

Egyébként nézzük először az M ∈ P speciális esetet, ahol P a balról zárt jobbról nyílt (esetlegn-dimenziós) intervallumok félgyűrűje.

Ha a µ^∗ = λ^∗f Lebesgue–Stieltjes-külső mértékről van szó az f függ-vénnyel, akkor λf : P → R+ függvény regularitási tulajdonsága szerint (1.2.12),ε >0-hoz létezikM ⊆(a, b)nyílt intervallum, hogy

λ^∗_f(M) +ε=λf(M) +ε > f(b)−f(a)≥f(b)−f(a+) =λf((a, b)), ami igazolja a Lebesgue–Stieltjes-mérték esetét.

Ha µ = λ az n-dimenziós Lebesgue-mérték, akkor az M = Qn

i=1[a_i, b_i) balról zárt jobbról nyílt kockához ésε >0-hoz, a szorzás művelet folytonos-sága szerint, létezik δ >0, hogyΠⁿ_i=1(b_i−a_i+δ)<Πⁿ_i=1(b_i−a_i) +ε.Így találtunkM ⊆Qn

i=1(a_i−δ, b_i)nyílt kockát, amelyre λ^∗(M) +ε=λ(M) +ε= Πⁿ_i=1(bi−ai) +ε >

>Πⁿ_i=1(b_i−a_i+δ) =λ

n

Y

i=1

(a_i−δ, b_i)

! ,

ami azn-dimenziós Lebesgue-mérték esetében is igazolja a kívánt (3.5) egyen-lőséget azM ∈ P speciális esetben.

Az általános esetben egy rögzített ε >0 szám mellett, vegyünk Hk ∈ P balról zárt jobbról nyílt, esetlegn-dimenziós intervallumokat, amelyekre

M ⊆ ∪^∞_k=1H_k és

∞

X

k=1

µ(H_k)< µ^∗(M) +ε 2.

Most minden egyesH_k ∈ Phalmazra alkalmazzuk a már igazolt állítást, azaz válasszunk olyanGk ⊆Rⁿ nyílt halmazokat, hogy

Hk⊆Gk és µ(Gk)< µ(Hk) + ε 2^k+1.

JelöljeG=∪^∞_k=1G_k ezen nyílt halmazok egyesítését. Világos, hogy G⊆Rⁿ nyílt halmaz ésM ⊆G. No de

µ(G)≤

∞

X

k=1

µ(Gk)<

∞

X

k=1

µ(Hk) +ε

2 < µ^∗(M) +ε.

Így a ≤ µ^∗(M) +ε minden pozitív ε mellett fennáll, ergo a ≤ µ^∗(M) is teljesül.

3.2.18. definíció (Gδ ésFσ halmazok). Gδ halmaznak nevezünk egy topo-logikus térbeli halmazt, amennyiben az előáll megszámlálhatóan sok nyílt halmaz metszeteként, ésFσ-nak, ha az előáll megszámlálhatóan sok zárt hal-maz egyesítéseként.

3.2.19.

Világos, hogy ha B jelöli valamely topologikus tér Borel-halmazait, akkor Gδ⊆σ(G) =Bés hasonlóanFσ⊆σ(F) =B.

AzFσ és aGδ halmazrendszerek elemeire úgy tekinthetünk mint az egyik legegyszerűbb típusú Borel-halmazokra.

3.2.20. állítás(Lebesgue-mérhető halmaz közelítése). Legyenµaz n-dimen-ziós Lebesgue-mérték tetszőleges n∈ N mellett, vagy n = 1 esetben egy Le-besgue–Stieltjes-mérték. Ekkor minden M ⊆ Rⁿ Lebesgue-mérhető halmaz-hoz, vagy a Lebesgue–Stieltjes-mérték esetén mindenM ⊆R Lebesgue–Stielt-jes-mérhető halmazhoz

1. és minden ε >0 számhoz létezikGnyílt halmaz, amelyre M ⊆G, ésµ(GrM)< ε.

2. és minden ε >0-hoz létezik olyan Gnyílt és F zárt halmaz, hogy F ⊆M ⊆G, valamint µ(GrF)< ε.

3. létezikG∈ G_δ és létezik F ∈ F_σ halmaz, amelyekre F ⊆M ⊆G, valamintµ(GrF) = 0.

Bizonyítás. Sorban igazoljuk az állításokat.

1. Haµ(M)<∞, akkor az előző állítás szerint a tételben rögzítettε >0-hoz létezik olyan nyílt M ⊆ G halmaz, amelyre µ(G) < µ(M) +ε. Az M halmaz Lebesgue-mérhetősége (Lebesgue–Stieltjes-mérhetősége) szerint a GrM is Lebesgue-mérhető (Lebesgue–Stieltjes-mérhető),µ(M)végessége és aµmérték végesen additivitása miatt

µ(GrM) =µ(G)−µ(M)< ε.

Ha µ(M) =∞, akkor a Lebesgue-mérték (Lebesgue–Stieltjes-mérték) σ-végessége szerintM =∪^∞_k=1M_kalakban áll elő, aholM_kLebesgue-mérhető (Lebesgue–Stieltjes-mérhető) minden k ∈ Nmellett és µ(M_k) <∞. Így a már igazolt gondolatot felhasználva kapunkM_k ⊆G_k nyílt halmazokat, amelyekreµ(G_krM_k)<₂^ε_k. Bevezetve aG=∪^∞_k=1G_khalmazt aGolyan nyílt halmaz, amelyreM ⊆GésGrM ⊆ ∪^∞_k=1(GkrMk), ezért

µ(GrM)≤

∞

X

k=1

µ(G_krM_k)< ε.

2. Rögzített ε > 0 mellett alkalmazzuk az eddig igazoltakat, de az M és az M^c halmazokra ! Kapunk tehát M ⊆ G halmazt, amelyre G nyílt és µ(GrM)<^ε₂, valamintM^c⊆F^chalmazt, amelyreF zárt ésµ(F^crM^c)<

< ^ε₂. PerszeF^crM^c=MrF, így azF ⊆M olyan zárt halmaz, amelyre µ(MrF)<^ε₂ is fennáll. Ekkor aGrF ⊆(GrM)∪(M rF) tartalma-zás szerint

µ(GrF)≤µ(GrM) +µ(MrF)< ε.

3. Alkalmazzuk ε = _k¹ mellett az előző állítást. Léteznek tehát F_k ⊆M ⊆

⊆G_k halmazok, amelyekreF_k zárt,G_k nyílt ésµ(G_krF_k)< ¹_k. Jelölje G=∩^∞_k=1G_k ésF =∪^∞_k=1F_k. Világos, hogy G∈ G_δ, F ∈ F_σ,F ⊆M ⊆

⊆G. No deGrF ⊆Gk rFk minden k ∈Nmellett, ezért µ(GrF)≤

≤µ(GkrFk)<_k¹ is fennáll, azaz csakµ(GrF) = 0 lehetséges.

3.2.21. állítás. Szorítsuk meg az n-dimenziós Lebesgue-mértéket a Borel-mérhető halmazokra. Az így kapott (Rⁿ,B, λ|_B) mértéktér teljessé tétele a Lebesgue-féle(Rⁿ,Λ, λ)mértéktér.

Hasonlóan, az n = 1-dimenziós esetben, ha megszorítunk egy Lebesgue–

Stieltjes-mértéket a valós egyenes Borel-mérhető halmazaira, és a kapott (R,B, λf|_B) mértékteret teljessé tesszük, akkor a Lebesgue–Stieltjes-féle (R,Λf, λf)mértékteret kapjuk.

Bizonyítás. Jelölje Rⁿ,B,¯ λ¯

azn-dimenziós Lebesgue-mérték Borel-halma-zokra megszorítottjának a teljessé tételét. Visszaemlékezve a mértéktér tel-jessé tételének konstrukciójára (2.2.31) világos, hogy az előző állítás (3.2.20) éppenΛ ⊆ B¯ tartalmazást jelenti. Mivel a teljessé tétel a legszűkebb teljes kiterjesztés, ígyB¯= Λ.

HaM ∈ΛésE, F ∈ Bolyan halmazok, amelyekre E⊆M ⊆F, és λ(FrE) = 0,

akkor a teljessé tett mérték definíciója szerint ¯λ(M) = λ(E). Persze M =

=E∪(MrE)és a Lebesgue-mérték teljessége miattλ(MrE) = 0,így

¯λ(M) =λ(E) =λ(E) +λ(M rE) =λ(M). Ezzel igazoltuk a λ¯ = λ azonosságot is, azaz az Rⁿ,B,¯ λ¯

és a (Rⁿ,Λ, λ) mértékterek egybeesnek. A fenti okoskodáshoz egyedül a Lebesgue-mérhető halmazok Borel-halmazokkal való közelíthetőségét használtuk (3.2.20), ami Lebesgue–Stieltjes-mértékre is igaz. Így a fentiek szó szerinti ismétlésével kap-juk a Lebesgue–Stieltjes-mértékre vonatkozó állítás indoklását.

Természetesen merül fel a kérdés, hogy a Lebesgue-mérhető halmazokból alkotott téglák, Lebesgue-mérhetőek-e ?

3.2.22. állítás. Legyen A1 ∈ Λ_Rs egy s-dimenziós, és A2 ∈ Λ_Rt egy t-dimenziós Lebesgue-mérhető halmaz. Ekkor az ezekből alkotott tégla egyn=

=s+t-dimenziós Lebesgue-mérhető halmaz, azaz A1×A2∈Λ_Rⁿ, továbbá ezek Lebesgue-mértékeire

λ⁽ⁿ⁾(A1×A2) =λ^(s)(A1)λ^(t)(A2).

Bizonyítás. AzA₁ ∈Λ_Rs miatt léteznek E₁, F₁ ∈ B_R^s Borel-halmazok, me-lyekre

E₁⊆A₁⊆F₁ és λ^(s)(F₁rE₁) = 0.

Hasonlóan vannak olyant-dimenziósE2, F2∈ B_RtBorel-halmazok, amelyekre E2⊆A2⊆F2 és λ^(t)(F2rE2) = 0.

Világos, hogy azRⁿ=R^s×R^tszorzaton fennáll az E1×E2⊆A1×A2⊆F1×F2, tartalmazás, és a két Borel-tégla különbségére

(F1×F2)r(E1×E2) = ((F1rE1)×F2)∪(F1×(F2rE2)) teljesül. Tekintetbe véve, hogy Borel-téglák mértéke az alkotó Borel-halmazok mértékeinek szorzata (3.2.15), ezért a bal oldali halmazn-dimenziós Lebesgue-mértéke zérus. Igazoltuk, hogy az A₁×A₂ halmaz az n-dimenziós Borel-halmazok Rⁿ,B_Rⁿ, λ⁽ⁿ⁾|B_Rⁿ

mértéktere teljessé tételének, tehát az n-di-menziós Lebesgue-mérhető halmazok halmazának egy eleme, és e halmaz Le-besgue-mértékére

λ⁽ⁿ⁾(A1×A2) =λ⁽ⁿ⁾(E1×E2) =λ^(s)(E1)λ^(t)(E2) =λ^(s)(A1)λ^(t)(A2). Ezt kellett belátni.

3.2.23.

Persze az iménti állítás úgy formalizálható, hogyΛ_Rs×Λ_Rt ⊆Λ_Rn,aholn=

= s+t. Ebből azonnal következik, hogy a generált σ-algebrára is, azaz a szorzatσ-algebrára is, fennáll az

Λ_R^s⊗Λ_R^t =σ(Λ_R^s×Λ_R^t)⊆Λ_Rⁿ (3.6) tartalmazás. Felmerül, hogy esetleg egyenlőséget is írhatnánk itt hasonlóan ahhoz, ahogyan Borel-halmazok szorzata is kiadja a teljes Borel-halmazok

halmazát (1.1.29). HaA⊆R^s egy tetszőleges nem üres halmaz, és B /∈Λ_Rt

egy nem Lebesgue-mérhető halmaz, akkor látni fogjuk a 4.1.4. állítás követ-kezményeként, hogy azA×Btégla nem lehet aΛ_R^s⊗Λ_Rt szorzat-σ-algebrára nézve sem mérhető. Ez azt jelenti, hogy haA ∈Λ_R^s nem üres nullmértékű halmazt választunk, akkor az A×R^t ∈ Λ_R^s ⊗Λ_R^t egy olyan n-dimenziós Lebesgue-nullmértékű halmaz, amelynek azA×B egy nem mérhető részhal-maza. Ez azt jelenti, hogy a (3.6) bal oldali szorzat-σ-algebrája azn-dimenziós Lebesgue-mérték megszorításával egy nem teljes mértéktér, ergo (3.6) bal és jobb oldala nem azonos. Konkrétan A×B a jobb oldalnak eleme, de a bal oldalnak nem.

Érdemes összefoglalnunk a Borel- és Lebesgue-mérhető halmazok, valamint ezek szorzatának kapcsolatát :

B_Rn =B_Rs⊗ B_Rt ⊆Λ_Rs⊗Λ_Rt ⊆Λ_Rn, ahol mindkét tartalmazás szigorú.

3.2.24. állítás. Jelölje n = s+t pozitív egészek mellett Σ = Λ_R^s ⊗Λ_R^t a Lebesgue-mérhető halmazokσ-algebrájának szorzatát. Legyen µ az e szorzat σ-algebrára szűkített n-dimenziós Lebesgue-mérték, azaz µ = λ⁽ⁿ⁾|Λ_Rs⊗Λ_Rt. Ekkor az (Rⁿ,Σ, µ) mértéktér teljessé tétele az n-dimenziós Rⁿ,Λ_Rⁿ, λ⁽ⁿ⁾ Lebesgue-mértéktér.

Bizonyítás. Láttuk, hogy a Rⁿ,B_Rⁿ, λ⁽ⁿ⁾|_BRn

Borel-mértéktér teljessé tétele a tételbeli Lebesgue-mértéktér. Mivel B_Rⁿ ⊆ Σ és mivel µ|_BRn = λ⁽ⁿ⁾|_BRn

ezért(Rⁿ,Σ, µ)teljessé tétele is Rⁿ,Λ_Rⁿ, λ⁽ⁿ⁾ . Kapcsolat a Riemann-integrállal

A Lebesgue-mértékkel kapott absztrakt integrál elmélet egybeesik a klasszi-kus Riemann-féle integrál-elmélettel olyan függvényekre, melyekre ez utóbbi-nak értelme van :

3.2.25. állítás (Riemann-integrálhatóság Lebesgue-kritériuma). Legyen f : [a, b] → R egy korlátos és zárt intervallumon értelmezett korlátos függ-vény.

1. Haf Riemann-integrálható, akkorf mérhető is és a Lebesgue-integrál azonos a Riemann-Lebesgue-integrállal, azaz

Z b a

f(x)dx= Z

[a,b]

f dλ,

2. Az f függvény pontosan akkor Riemann-integrálható, ha szakadási he-lyeinek halmaza Lebesgue null-mértékű.

Bizonyítás. A bizonyítás alapja a Darboux-tétel, mely szerint tetszőleges nul-lához finomodó felosztás-sorozatra az alsó közelítő összegek sorozata az al-só Riemann-integrálhoz tart, míg a felső közelítő összegek sorozata a felső Riemann-integrálhoz.

LegyenFn az[a, b]intervallum olyan egyforma hosszúságú2ⁿdarab inter-vallumából álló partíciója úgy, hogyFn+1 intervallumai azFn intervalluma-inak felezésével keletkezzenek. Definiálja

G_n= X

Mivel az intervallumok Borel-mérhetők, ezértgn, Gn Borel-mérhető függvé-nyek, melyekre Fn partíció volta miatt gn ≤f ≤Gn.Persze R

[a,b]Gndλ az F_nfelosztáshoz tartozó felső közelítő összeg ésR

[a,b]g_ndλaz alsó. A Darboux-tétel szerint az alsó közelítő összegek monoton növő sorozatának és a felső közelítőö sszegek monoton fogyó sorozatának a határértéke az alsó, illetve a felső Riemann-integrál. Most vegyük észre, hogyGn+1 ≤Gn ésgn+1 ≥gn

monotonitások is fennállnak, hiszen úgy particionáltuk az[a, b]intervallumot, hogy Fn+1 minden intervalluma részhalmaza az Fn valamely intervallumá-nak. Jelölje

G= lim

n→∞Gn, g= lim

n→∞gn

Borel-mérhető függvényeket. No persze g ≤f ≤ G az egész intervallumon fennáll. Mivelf korlátos és az értelmezési tartomány Lebesgue-mértéke vé-ges, ezért alkalmazhatjuk a dominált konvergenciatételt (2.3.21). Azt kapjuk tehát, hogy

Hogy a Riemann-integrálhatóság mellett a folytonosságot is megfogjuk,

Hogy a Riemann-integrálhatóság mellett a folytonosságot is megfogjuk,

In document Mértékelmélet és dinamikus programozás (Pldal 119-133)