Mérték konstrukció
4.1. A Fubini-tétel
Először is tisztázzuk, hogy a fenti ismertetett iterált integráloknak milyen fel-tevések mellet van értelme, majd két tételben adunk elegendő feltételt (4.1.14 és 4.1.15) arra, hogy a különböző sorrendű iterált integrálok értéke a sor-rendtől független legyen. Az egyszerűség kedvéért a kétváltozós függvények esetére szorítkozunk. Az általános eset a kétváltozós függvényekre vonatkozó eredmény többszöri alkalmazásával könnyen következik.
4.1.1. definíció(szorzat-mérhetőség). Legyen(X,M)és(Y,N)mérhető tér és(X×Y,Σ)ezek szorzata, aholΣ =σ(M × N)a mérhető téglák generálta σ-algebra. Ha adott egy az X ×Y szorzaton értelmezett függvény, akkor ennek mérhetősége, vagy kicsit pontosabban szorzat-mérhetősége a fenti Σ σ-algebrára vonatkozó mérhetőséget jelenti.
Tudjuk, hogy az M és N σ-algebráknak mint félgyűrűknek az M × N szorzata a mérhető téglák félgyűrűje (1.1.3), ígyΣegy félgyűrű által generált σ-algebraként van definiálva.
4.1.2. definíció (szorzattérbeli halmaz szelete). AzE ⊆X×Y halmaz és x∈X esetén legyen Ex ={y∈Y : (x, y)∈E}, valamint hasonlóan y ∈Y mellettEy ={x∈X: (x, y)∈E}. AzEx⊆Y ésEy ⊆X halmazokat azE halmazx-metszetének vagyx-szeletének nevezzük.
Az itt bevezetett halmaz-operáció nagyon kényelmesen viselkedik a szoká-sos halmazelméleti műveletekkel kapcsolatosan.
4.1.3.
A definíció egyszerű alkalmazásával kapjuk, hogy
(∪∞n=1An)x=∪∞n=1(An)x; (∩∞n=1An)x=∩∞n=1(An)x; (Ec)x= (Ex)c. Az is világos, hogy
(A×B)x=
(B, hax∈A
∅, hax /∈A.
4.1.4. állítás(mérhető halmaz metszete mérhető). Szorzat-mérhető halmaz minden metszete mérhető, azaz minden F ∈ Σesetén Fx ∈ N és Fy ∈ M mindenx∈X ésy∈Y mellett.
Bizonyítás. Nézzük például azx-szeletekre vonatkozó állítást. Azy-szeletek mérhetősége ezzel analóg módon adódik. Az 1.1.22.-ben ismertetettσ-indukció elvét követjük. JelöljeH ⊆ P(X)azt halmazrendszert, amelynek elemeire az állítás igaz, azaz
H={E⊆X×Y :Ex∈ N ∀x∈X}. Azt kell belátnunk, hogy
1. M × N ⊆ H;
2. mindenE∈ HeseténEc∈ H;
3. haEn ∈ H egy megszámlálható halmazsorozat, akkor∪∞n=1En ∈ His teljesül.
Az igazolásokhoz 4.1.3. tulajdonságokat használjuk.
1. Ha A×B ∈ M × N, akkor (A×B)x vagy ∅ ∈ N, vagy B ∈ N, ezért A×B∈ H.
2. Ha E ∈ H, akkor Ex ∈ N, ezért (Ec)x = (Ex)c ∈ N, az N σ-algebra tulajdonsága szerint.
3. Ha azEn,n∈Nhalmazokra(En)x∈ N, akkor(∪∞n=1En)x=∪∞n=1(En)x. AzN halmazrendszer egyσ-algebraként zárt a megszámlálható egyesítés-re, így∪∞n=1En∈ Hvalóban fennáll.
Azért, hogy szóhasználatbeli analógiát kapjunk, most függvényekre is be-vezetjük a szelet fogalmát. Azf függvényx-szelete voltaképpen a rögzítettx pont melletti a második változó szerinti parciális függvény, azazfx=f(x,·).
4.1.5. definíció(függvény szelete). Legyenf azX×Y-on értelmezett függ-vény. Tetszőlegesen rögzítettx∈X mellettfxlegyen az azY-on értelmezett függvény, melyre mindeny∈Y mellettfx(y) =f(x, y).Azfxfüggvényt az ffüggvényx-szeleténeknevezzük. Hasonlóan, rögzítetty∈Y mellett minden x∈X-refy(x) =f(x, y)azf függvényy-szelete.
Világos, hogy a fenti definíció nem új, pusztán egy jelölés bevezetéséről van szó. Bizonyos helyzetben kellemetlen ugyanis azfx=f(x,·), illetvefy =
=f(·, y) pont-jelölés. Szép analógiát kapunk halmazokra és a függvényekre bevezetett szelet-fogalomra, mivel halmaz-szelet és függvény-szelet kommutál az őskép-művelettel.
4.1.6.
Vegyük észre, hogy tetszőlegesV ⊆Rhalmazra f−1(V)
x=fx−1(V),
haf azX×Y szorzaton értelmezett. Ugyanisy∈f−1(V)xpontosan akkor, haf(x, y)∈V, ami pontosan akkor teljesül, hay∈f−1(x,·) (V) =fx−1(V). Az is nyilvánvaló, hogy a függvényszelet-operátor is szépen viselkedik az algebrai műveletekkel szemben. Haf, gazX×Y szorzaton értelmezett függ-vények, akkor
(αf+βg)x=αfx+βgx
mindenx∈X mellett.
Speciálisan, egy szorzattérbeli halmaz karakterisztikus függvényének sze-lete éppen a szorzathalmaz szeletének karakterisztikus függvénye. Tehát, ha Q⊆X×Y ésx∈X, akkor
(χQ)x=χ(Qx).
4.1.7. állítás(mérhető függvény szelete mérhető). Legyenek(X,M)és(Y,N) mérhető terek, valamint (X×Y,Σ)ezek szorzata. Tegyük fel, hogy f :X ×
×Y →Regy mérhető függvény. Ekkor mindenx∈X rögzített érték mellett azfx:Y →Rfüggvény is mérhető.
Bizonyítás. LegyenV ⊆Regy nyílt halmaz. Láttuk az imént, hogyfx−1(V) =
=f−1(V)x. No de azf függvény mérhetősége szerintf−1(V)∈Σ, és a mér-hető halmaz szeletének mérmér-hetőségét biztosító 4.1.4. szerintf−1(V)x∈ N.
Most bevezetjük a mértékterek szorzatának fogalmát. Emlékezzünk arra, hogy a monoton konvergenciatétel egy fontos következményeként (2.2.16) lát-tuk, hogy mértékek szorzata egy aσ-algebrák szorzatán mint félgyűrűn értel-mezettσ-additív halmazfüggvény. Tudjuk, hogy a kiterjesztési eljárás szerint félgyűrűn értelmezett megszámlálhatóan additív halmazfüggvény egyértelmű-en terjeszthető ki mértékként a gegyértelmű-eneráltσ-algebrára (3.1.15), feltéve, hogy a teljes alaptér előáll mint megszámlálhatóan sok félgyűrűbeli, véges mértékű halmaz egyesítése.
4.1.8. definíció (mértékterek szorzata). Legyenek (X,M, µ) és (Y,N, λ) σ-véges mértékterek. DefiniáljaA×B∈ M × N mérhető téglára
(µ×λ)(A×B) =µ(A)λ(B)
azM × N félgyűrűn értelmezett megszámlálhatóan additív halmazfüggvényt (2.2.16). Tekintsük a generált Σ = σ(M × N) σ-algebrára való egyértelmű mérték-kiterjesztését. Jelölje eztµ⊗λ. Az így kapott(X×Y,Σ, µ⊗λ) mér-tékteret akét mértéktér szorzatának mondjuk.
4.1.9. definíció (Fubini-tulajdonság). Legyenek (X,M, µ) és(Y,N, λ) σ-véges mértékterek, valamint(X×Y,Σ, µ⊗λ)e két mértéktér szorzata. Legyen f :X×Y →R+ egy nem negatívΣ-mérhető függvény. Azt mondjuk, hogy ez a függvény első változójában Fubini-tulajdonságú, ha az alább definiált ϕ:X →R+
A célunk az, hogy megmutassuk minden nem negatív függvény rendelkezik az itt definiált Fubini-tulajdonsággal.
4.1.10. állítás. Legyenek (X,M, µ)és (Y,N, λ)σ-véges mértékterek, vala-mint (X ×Y,Σ, µ⊗λ) e két mértéktér szorzata. Jelölje Φ a nem negatív mérhető Fubini-tulajdonságú függvények halmazát. E halmazrendszer rendel-kezik az alábbi tulajdonságokkal :
1.Mindenf, g∈Φésα, β≥0 mellettαf+βg∈Φ.
2. Minden fn ∈ Φ, fn ≤ fn+1, n ∈ N monoton növő függvénysorozat pontonkénti határértékérelimn→∞fn∈Φ.
3.Minden olyanfn ∈Φ,fn ≥fn+1,n∈N monoton fogyó függvénysoro-zatra, amelyreR
X×Y f1d(µ⊗λ)<∞a pontonkénti határértékre lim
n→∞fn ∈Φ.
4.MindenQ∈ M × N esetén χQ∈Φ.
Bizonyítás. Az alábbiakat kell meggondolnunk : 1. Világos, hogy ϕ(x) = R
Y(αf +βg)xd λ = αR
Y fxdλ+βR
Y gxdλ =
=αϕf(x) +βϕg(x), aholϕf ésϕg azf, g∈Φ-hez tartozó függvények(†)-nek megfelelően. Persze nem negatív mérhető függvények kúp kombinációja is ilyen, sőt mérhető, másrészt a monoton konvergenciatételt kétszer alkalmazva
Z
Ezzel a 2. állítást be is láttuk, hiszen a fenti konvergens sorozatok azfn∈Φ feltétel szerint azonosak, így a határértékük is azonos.
3. A fenti jelöléseket megtartva R
X×Y f1d(µ×λ) = R
Xϕ1dµ < ∞. Ez azt jelenti, hogy az(fn)függvénysorozatnak vanf1∈L1(X×Y,Σ, µ⊗λ) ma-joránsa, és a (ϕn) függvénysorozatnak van ϕ1 ∈ L1(X,M, µ) majoránsa.
Ezért kétszer alkalmazva a majorált konvergenciatételt kapjuk, hogy limn→∞fn∈Φis fennáll.
4. Világos, hogyϕ(x) =R
Y(χQ)xdλ =R
Y χQxdλ =λ(Qx) =λ(B)χA(x), ahol Q = A×B ∈ M × N alakú. Így ϕ egy mérhető függvény konstans szorosaként maga is mérhető, továbbá
Z
X
ϕ dµ= Z
X
λ(B)χAdµ=λ(B)µ(A) = (µ×λ)(A×B) =
= (µ⊗λ)(A×B) = Z
X×Y
χQd(µ⊗λ).
4.1.11.
A fenti állítás első két pontjának azonnali következménye, hogy nem csak a véges összeg, hanem a végtelen sorösszeg művelet sem vezet ki a Fubini-tulajdonságú függvények köréből. Hafn ∈Φmindenn∈Nmellett, akkor az első tulajdonság szerint
sn=
n
X
k=1
fk ∈Φ.
Az itt szereplő függvények nem negatívitása miatt sn ≤ sn+1 minden n ∈
∈Nmellett, tehát a második pontban meggondoltak szerint a részletösszeg-sorozat pontonkénti határértékeként adódó végtelen összegre is
∞
X
n=1
fn= lim
n→∞sn ∈Φ.
A fenti négy tulajdonságból és a Dynkin-tételből a Fubini-tétel halmazokra vonatkozó alakja már könnyen látszik.
4.1.12. állítás (nem negatív szorzat-mérhető függvény Fubini-tulaj-donságú). Legyenek (X,M, µ) és (Y,N, λ) σ-véges mértékterek, valamint (X×Y,Σ, µ×λ) e két mértéktér szorzata. Ekkor minden Q ∈ Σ szorzat-mérhető halmazχQ karakterisztikus függvénye Fubini-tulajdonságú.
Bizonyítás. A tegyük fel, hogy X =∪n∈NXn valamint Y = ∪m∈NYm, ahol az egyes Xn ∈ M és Ym ∈ N halmazok diszjunktak, mérhetők, valamint µ(Xn)<∞ésλ(Ym)<∞minden szóba jövő nésmesetén. Legyen
Ω =
Q⊆X×Y :χQ∩(Xn×Ym)∈Φ ∀n, m∈N ,
aholΦa Fubini-tulajdonságú függvények halmaza. Megmutatjuk, hogyΣ⊆
⊆Ω.Ehhez az 1.1.23. m-indukció módszerét használjuk. Azt kell tehát meg-gondolnunk, hogy
1. r (M × N)⊆Ω
2. HaQk ∈Ωmonoton bővülő sorozat, akkor∪∞k=1Qk∈Ω; 3. HaQk ∈Ωmonoton szűkülő sorozat, akkor∩∞n=1Qk∈Ω; Sorjában az indoklások :
1. HaQ∈r (M × N), akkor a gyűrű belső reprezentációja (1.1.12) szerint Q∩(Xn×Ym) =∪Nk=1(Qk∩(Xn×Ym))
alakú, ahol a Qk ∈ M × N halmazok diszjunktak. Láttuk (4.1.10), hogy M × N-beli halmaz karakterisztikus függvénye Fubini-tulajdonságú. No deM × N metszet zárt, hiszen még félgyűrű is, emiattχQk∩(Xn×Ym)∈Φ.
Azt viszont tudjuk (4.1.10), hogyΦzárt a véges összegre, emiatt χQ∩(Xn×Ym)=
N
X
n=1
χQn∩(Xn×Ym)∈Φ is fennáll, ergoQ∈Ω.
2. JelöljeQ=∪∞k=1Qk a bővülőQk∈Ωhalmazok egyesítését.
A(Qk∩(Xn×Ym))k∈Nsorozat is bővülő tetszőlegesen rögzítettn, m∈N mellett, és egyesítésük aQ∩(Xn×Ym)halmaz. Így
χQk∩(Xn×Ym)→χQ∩(Xn×Ym)
monoton növekedőleg pontonként. De Φ zárt monoton növő pontonkénti konvergenciára nézve (4.1.10), ezértχQ∩(Xn×Ym)∈Φ. Mivel ez tetszőleges n, m-re elmondható, ígyQ∈Ωvalóban fennáll.
3. A Qk ∈ Ω szűkülő halmazok esete szinte szó szerint azonos a monoton bővülő esettel. Az egyetlen különbség, hogy ellenőriznünk kell a
Z
X×Y
χQ1∩(Xn×Ym)d(µ⊗λ)<∞
feltétel teljesülését, mikor aΦfüggvényosztály zártságát használjuk a pon-tonkénti monoton fogyó konvergenciára nézve (4.1.10). Ez viszont a µ(Xn)<∞és aν(Ym)<∞feltételek következménye.
Azt kaptuk tehát, hogy minden Q ∈ Σ szorzat-mérhető halmaz esetén χQ∩(Xn×Ym)∈Φtetszőlegesn, m∈Nmellett fennáll. No persze
Q=∪∞n,m(Q∩(Xn×Ym))
diszjunkt egyesítés, ezért
χQ=X
n,m
χQ∩(Xn×Ym).
De a Fubini-tulajdonságú függvények halmaza zárt a végtelen összeg képzé-sére (4.1.11). Igazoltuk tehát, hogyχQ ∈Φ teljesül mindenQ∈Σ szorzat-mérhető halmaz esetén.
4.1.13.
A fentiekhez hasonló módon(X,M, µ)és(Y,N, λ)σ-véges mértékterek mel-lett most legyen rögzítetty∈Y-ra
ψ(y) = Z
X
fydµ.
A 4.1.9 definícióval analóg módon azt mondhatnánk, hogy szorzaton értelme-zett nem negatív mérhető függvény amásodik változójában Fubini-tulajdon-ságú, haψmérhető az N σ-algebrára nézve és
A Fubini-tulajdonságot taglaló 4.1.10. és annak 4.1.11. következménye szó szerint ismételhetőϕhelyettψfüggvényre. Hasonlóan a 4.1.12. állítás is szó szerint ismétlődik az új definíció mellett. Így tehát azt kapjuk, hogy minden Q∈Σmérhető halmazraϕegyM-mérhető,ψ egyN-mérhető függvény és
Most megmutatjuk, hogy minden nem negatív szorzat-mérhető függvény az első és a második változójában is Fubini-tulajdonságú, ezért ezt az ideig-lenesen bevezetett terminológiát a továbbiakban nem használjuk.
4.1.14. tétel(Fubini tétele nem negatív mérhető függvényre ). Legyenek az (X,M, µ) és az (Y,N, λ) mértékterek σ-végesek és f : X ×Y → R+ nem negatív, szorzat-mérhető függvény. Jelölje
ϕ(x) = mérhető azN σ-algebrára nézve, továbbá az
Z integrálok egyenlősége is fennáll.
Bizonyítás. A mérhető függvények alaptétele (1.3.18) szerint minden nem negatív szorzat-mérhető függvény előáll
f =
∞
X
n=1
αnχQn
alakban, ahol Qn ∈Σ szorzat-mérhető halmaz, ésαn ≥0 valós. De épp az imént láttuk (4.1.12, 4.1.10 és 4.1.13), hogy minden egyes αnχQn mind az első, mind a második változója szerint Fubini-tulajdonságú, és azt is tud-juk, (4.1.11), hogy Fubini-tulajdonságú függvényekből alkotott függvénysor összegfüggvénye is Fubini-tulajdonságú marad.
Ha tehát egy szorzat-mérhető függvény nem vált előjelet, akkor semmi további feltételt nem kell ellenőriznünk ahhoz, hogy az integrálás sorrendjét szabadon felcserélhessük. Azt kapjuk, hogy bármelyik sorrendű integrálás a szorzat-mérték szerinti integrált adja.
Most nézzük mit mondhatunk előjelváltó függvényekre.
4.1.15. tétel (Fubini tétele L1-beli függvényre ). Legyenek az (X,M, µ) és (Y,N, λ) mértékterek σ-végesek és (X×Y,M ⊗ N, µ⊗λ)ezek szorzata.
Legyen
f ∈L1(X×Y,M ⊗ N, µ⊗λ).
Ekkor µ-m.m. x ∈ X esetén fx ∈ L1(Y,N, λ) és λ-m.m. y ∈ Y mellett fy∈L1(X,M, µ). Bevezetve az
ϕ(x) = Z
Y
fxdλ, ψ(y) = Z
X
fydµ jelöléseketϕ∈L1(X,M, µ)valamintψ∈L1(Y,N, λ); továbbá
Z
X
ϕ dµ= Z
X×Y
f d(µ⊗λ) = Z
Y
ψ dλ.
Bizonyítás. Jelöljeϕ∗(x) =R
Y |fx|dλ. A nem negatív esetre már bizonyított Fubini-tétel szerintϕ∗ mérhető és
Z
X
ϕ∗dλ= Z
X×Y
|f|d(µ⊗λ)<∞.
Ekkor tehát a tétel feltétele szerint ϕ∗ ∈ L1(X,M, µ), ezért µ-m.m. x∈ X mellett
ϕ∗(x)<∞.
Ez éppen azt jelenti, hogy µ-m.m. x ∈ X mellett fx ∈ L1(Y,N, λ), ezért a tétel kimondásában definiáltϕfüggvény majdnem minden x∈X mellett értelmes. A többi pontban az értéke legyen nulla. Definiálja most
ϕ1(x) =
A nem negatív esetre vonatkozó tétel miattϕ1 ésϕ2 mérhető függvények és a szorzatmérték szerintiL1-feltétel szerint
Z
Ez azt jelenti, hogyϕkét mérhető függvény különbségeként valóban mérhető, sőt két L1(X,M, µ)-beli függvény különbségeként valóban azL1(X,M, µ) vektortér egy elemét reprezentálja. Igaz továbbá az is, hogy
Z
Aψ-re vonatkozó állítás igazolása az eddigiekkel analóg módon folyik.
Ahhoz, hogy a fenti tételt alkalmazzuk, azt kell tehát ellenőriznünk, a függ-vény abszolút értékének a szorzatmérték szerinti integrálja véges legyen. Per-sze a szorzatmérték Per-szerint nincs integrálási technikánk, viszont a függvény abszolút értéke nyilvánvalóan nem negatív, így az integrált a nem negatív függvényekre vonatkozó Fubini-tétel (4.1.14) szerint az integrálás tetszőleges sorrendjében becsülhetjük.
Azt mutattuk meg tehát, hogy amennyiben egy kettős integrál kiszámítá-sára van szükségünk, akkor a legegyszerűbb esetben két tételre kell emlékez-nünk.
1. Ha a szorzat-mérhető függvényünk nem vált előjelet, akkor tetszőleges sor-rendben iterálhatjuk az integrálást, az eredmény ugyan az lesz, nevezetesen a szorzat-mérték szerinti integrál.
2. Ha a kérdéses függvény nem-negativitását vagy nem-pozitivitását nem le-het garantálni, akkor a másik eszközünk azL1-beli függvényekre vonatkozó Fubini-tétel (4.1.15). Ennek használatához elegendő az egyik sorrendben becsülni az iterált integrálokat. Ha az egyik sorrenddel sikerül a függvény abszolút értéke iterált integráljának végességét biztosítani, akkor nem csak a függvény abszolút értékének, hanem magának az eredeti függvénynek a szorzatmérték szerinti integrálja is azonos akár melyik sorrendű iterált integrál értékével, ergo az iterált integrálok értéke független az iterálás sorrendjétől.
Most nézzünk egy olyan példát, mikor a kettős integrál értéke függ az iterálás sorrendjétől.
4.1.16. (ellenpélda a Fubini-tételre) Legyen(δn)n∈
Nolyan szigorúan monton növő valós sorozat, amelyreδ1= 0és δn →1. Agn : [0,1]→Rfolytonos függvények legyenek úgy megadva, hogy Azt mutatjuk meg, hogy
Z 1
Világos, hogy adottylegfeljebb csak az egyik(δn, δn+1) intervallumocská-ba eshet, ezért az összegnek csak egy tagja nem nulla, így azf folytonos az (1,1)ponttól eltekintve az egész egységnégyzeten.
Bizonyítás. Kezdjük a bal oldallal : Rögzítettx∈[0,1]mellett : Z 1 azi-edik tagja jön szóba :
Z 1
Azt kaptuk tehát, hogy
Most nézzük a jobb oldalt : Rögzítetty ∈[0,1]mellett az első intervallumot különírva : tagjának első fele nem zérus, míg azi-edik intervallumon csak azi−1-edik tag második felét és azi-edik tag első felét kell figyelembe venni. Tehát :
Z δ2
Az előbbiek szerint kiterjesztési eljárás nélkül is definiálható lenne az n-dimenziós (n > 1) Lebesgue-mérték a Fubini-tétel segítségével a következő két lépésben. Az első lépés a halmazokra vonatkozó Fubini-tétel, amivel defi-niáltuk az egydimenziós Lebesgue-mérték szorzatát azRn Borel-halmazaira.
Második lépésként teljessé tesszük az így kapott mértékteret. Így a Borel-hal-mazoknak e mérték szerinti teljessé tétele azn-dimenziós Lebesgue-mérhető halmazok halmaza, és a teljessé tett mérték, azn-dimenziós Lebesgue-mérték.
4.1.17.
Fontos látnunk, hogy mit jelentenek a bizonyított tételek Rn → R Borel-mérhető függvények speciális esetében. Látható, hogy az Rs,BRs, λ(s)
és az Rt,BRt, λ(t)
Borel-mértékterek szorzata éppen az n = s+t-dimenziós Rn,BRn, λ(n)
Borel-mértéktér. Tudjuk ugyanis (1.1.29), hogyBRs⊗ BRt =
=BRn, valamint ha µ=λ(s)⊗λ(t) a szorzatmérték, akkor µ a balról zárt, jobbról nyílt intervallumokon mint egys- és egyt-dimenziós tégla szorzatán azonos azn-dimenziósλ(n)Lebesgue-mértékkel. A kiterjesztési eljárás egyér-telműsége miatt a két mérték a generáltσ-algebrán, azazBRn-en is egybeesik.
Meggondoltuk tehát, hogy a szakasz két fő tétele (4.1.14, 4.1.15) minden további nélkül alkalmazható az
(X,M, µ) =
Rs,BRs, λ(s)|BRs , (X,N, λ) =
Rt,BRt, λ(t)|BRt , (X×Y,M ⊗ N, µ⊗λ) =
Rn,BRn, λ(n)|BRn
speciális esetben. A tételek feltételei mellett tehát Borel-mérhető függvé-nyekből képzett Lebesgue-mérték szerinti iterált integrál függvények is Borel-mérhetők, az iterált integrálok felcserélhetők, az értékük megegyezik az ere-deti Borel-mérhető függvénynek a Lebesgue-mérték szerinti integráljával.