Mérték konstrukció
3.1. A Caratheodory-féle kiterjesztési eljárás
Az egész fejezetben legyenHolyanX-beli halmazrendszer, amelyre∅∈ H.
A külső mérték fogalmának megértéséhez nézzük aσ-additivitás következő karakterizációját.
3.1.1. állítás. Legyen µ : P → R+ félgyűrűn értelmezett halmazfüggvény.
Ekkor a
i. µnem a konstans +∞ halmazfüggvény ; ii. µ σ-additív P félgyűrűn
feltételek együtt ekvivalensek az
a. µ(∅) = 0;
b. A, B∈ P, A⊆B eseténµ(A)≤µ(B);
c. µ σ-szubadditív, azazA, An∈ P,A=∪∞n=1An eseténµ(A)≤P∞
n=1µ(An);
d. µ-végesen additív, azazA1, A2∈ Polyan diszjunkt halmazok esetén, mely-reA1∪A2∈ Pis fennáll teljesül aµ(A1∪A2) =µ(A1)+µ(A2)egyenlőség feltételekkel.
Bizonyítás. A generált gyűrűre terjesszük ki µ-t (1.2.9). Láttuk, hogy egy gyűrűn értelmezett halmazfüggvény, amely az i. és a ii. feltételeket kielégíti, teljesíti a második feltételcsoport előírásait még a generált gyűrűn is (1.2.7), ezért a szűkebbP félgyűrűn is.
LegyenA, An∈ P, melyekreA=∪∞n=1An diszjunkt előállítás. Jelöljeµˆaz r (P)generált gyűrűre való végesen additív kiterjesztést (1.2.10). Ekkor
µ(A) = ˆµ(A)≥µˆ ∪Nn=1An
=
N
X
n=1
ˆ
µ(An) =
N
X
n=1
µ(An)
Ez mindenN mellett fennáll, ami aσ-szubadditivitással együtt a σ-additivi-tást jelenti.
Persze a második feltételcsoport 4 állítása nem független egymástól. A legjobb, ha a monotonitásra úgy tekintünk, mint a végesen additivitás egy gyengítésére. Ez a gyengítés vezet a külső mérték fogalmához.
3.1.2. definíció(külső mérték). Egyµ:H →R+függvénytkülső mértéknek nevezünk aHhalmazrendszeren, ha
1. µ(∅) = 0,
2. monoton, azazH1, H2∈ HésH1⊆H2⇒µ(H1)≤µ(H2),
3. σ-szubadditív, azaz H = ∪∞n=1Hn, H, Hn ∈ H ∀n ∈ N ⇒ µ(H) ≤
≤P∞
n=1µ(Hn).
A fejezetben nagyon fontos aσ-additív halmazfüggvények értelmezési tar-tománya. A kényelmes szóhasználat okán továbbra ismértékneknevezünk egy nem konstansσ-additív halmazfüggvényt, még akkor is ha nem egyσ-algebra annak értelmezési tartománya. Ebben az esetben az értelmezési tartományt mindig külön megjelöljük.
A külső mérték tehát a mértéknél gyengébb fogalom. A következő egy nagyon fontos példa külső mértékre. Még a definíció előtt emlékeztetünk arra, hogy az üreshalmaz infumumát+∞-nek definiáltuk.
3.1.3. állítás (generált külső mérték). LegyenHegy tetszőleges X-beli hal-mazrendszer, amelyre∅∈ H, µ:H →R+ halmazfüggvény, amelyre µ(∅) =
= 0.Definiálja tetszőleges M ⊆X mellett µ∗(M) = inf
Ekkorµ∗:P(X)→R+ az egész hatványhalmazon értelmezett külső mérték, amelyre mindenH∈ H eseténµ∗(H)≤µ(H).
Haν :P(X)→R+ egy másik olyan külső mérték, amelyreν(H)≤µ(H) fennáll minden H ∈ H mellett, akkor ν ≤µ∗, azaz µ∗ a fenti típusú külső mértékek közül a maximális.
Bizonyítás. Aµ∗(H)≤µ(H), H∈ Hegyenlőtlenség következik abból, hogy {H} is egyH-beli legfeljebb megszámlálható lefedéseH-nak, amiből persze µ∗(∅) ≤µ(∅) = 0 is látszik. A monotonitás is nyilvánvaló, hiszen bővebb
Mivel ez minden ε > 0 mellett is fennáll, a fenti egyenlőtlenség a µ∗ hal-mazfüggvényσ-szubadditivitását jelenti. Igazoltuk tehát, hogyµ∗valóban az egész hatványhalmazon értelmezett külső mérték.
Most legyenν egy másik külső mérték, amelyre H ∈ H esetén ν(H) ≤
Ez mindenH-beli lefedésre, ezért ezek infimumára is fennáll, azaz ν(M) ≤
≤µ∗(M).
3.1.4. állítás(1. lépés). Legyen Hmetszet zárt és ∅∈ H. Haµ:H →R+ külső mérték, akkor a fent definiált µ∗ kiterjesztése is µ-nek, azaz minden H∈ H mellettµ(H) =µ∗(H).
Bizonyítás. Az előző állítás szerint (3.1.3) csak a µ(H)≤µ∗(H) egyenlőt-lenség szorul indoklásra. Amennyibenµ∗(H) = +∞, úgy készen is vagyunk.
Ellenkező esetben van megszámlálható H-beli lefedését H-nak, azaz H ⊆ ∪∞n=1Hn, Hn ∈ H. De H = ∪∞n=1(H∩Hn) és H ∩Hn ∈ H. Ezért a külső mértékσ-szubadditivitása és monotonitása szerint
µ(H)≤
∞
X
n=1
µ(H∩Hn)≤
∞
X
n=1
µ(Hn).
De ez minden befedésre, így ezek infumumára is fennáll, azazµ(H)≤µ∗(H).
3.1.5. definíció (Caratheodory-értelemben mérhető halmaz). Legyen µ: P(X)→ Rolyan halmazfüggvény, melynek értékkészlete a +∞és −∞
közül csak az egyiket tartalmazza, azazµ(A) +µ(B)mindenA, Bhalmazra értelmezett. Definiálja
Aµ={A⊆X:∀M ⊆X-re µ(M) =µ(M ∩A) +µ(M∩Ac)}. AzAµhalmazrendszer elemeit aµ-re nézveCaratheodory-értelemben mérhető halmazoknak nevezzük.
3.1.6.
Érdemes úgy tekintenünk a Caratheodory-értelemben mérhető halmazok rend-szerére, mint arra a halmazrendszerre, amelyen az egész hatványhalmazon értelmezett halmazfüggvény legalább végesen additív.
Világos ugyanis, hogy ha A1 és A2 diszjunkt halmazok, amelyek közül legalább az egyik – mondjukA1– Caratheodory-értelemben mérhető, akkor
µ(A1∪A2) =µ(A1) +µ(A2), hiszenM =A1∪A2 jelöléssel
µ(M) =µ(M∩A1) +µ(M∩Ac1) =µ(A1) +µ(A2).
3.1.7. állítás (2. lépés). Legyen µ:P(X)→R+,melyre µ(∅) = 0. Ekkor azAµ halmazrendszer egy algebra ; és a µ halmazfüggvénynek az Aµ-re való megszorítása egy végesen additív halmazfüggvény.
Definiálja tetszőlegesen rögzítettM ⊆X mellett µM(A) =µ(M∩A)az egész hatványhalmazon értelmezettµM halmazfüggvényt. EkkorµM-nek Aµ -re való megszorítása is végesen additív.
Bizonyítás. Először azt mutatjuk meg, hogy azAµhalmazrendszerre : 1)X ∈
∈ Aµ; 2)A∈ Aµ⇒Ac ∈ Aµ; 3)A1, A2∈ Aµ ⇒A1∩A2∈ Aµ. Ez első két állítás azAµ halmazrendszer definíciójának azonnali következménye.
A metszet-zártsághoz azt kell megmutatnunk, hogy tetszőleges M ⊆ X halmazra
µ(M) =µ(M∩A1∩A2) +µ(M ∩(A1∩A2)c). (†) Induljunk ki a jobb oldali második halmazból. AzA1 Caratheodory-mérhető-ségét erre a halmazra felírva
µ(M∩(A1∩A2)c) =µ(M∩(A1∩A2)c∩A1) +µ(M ∩(A1∩A2)c∩Ac1). A jobb oldalon megjelenő halmazokra
M ∩(A1∩A2)c∩A1= (M∩A1)∩(Ac1∪Ac2) =M∩A1∩Ac2, M ∩(A1∩A2)c∩Ac1=M∩((A1∩A2)∪A1)c=M∩Ac1. Így az igazolandó (†) jobb oldalán végül is a
µ(M ∩A1∩A2) +µ(M∩A1∩Ac2) +µ(M ∩Ac1)
összeg szerepel. De vegyük észre, hogyA2mérhetőségét azM∩A1halmazra felírva az első két tag összege éppenµ(M∩A1), tehát (†) jobb oldal már
µ(M ∩A1) +µ(M ∩Ac1) =µ(M)
alakú az A1 halmaz Caratheodory-mérhetősége szerint, ami éppen a kívánt (†).
Ezt kellett tehát belátni ahhoz, hogy igazoljuk azAµ halmazrendszer al-gebra mivoltát.
Legyen most M ⊆ X rögzítve, továbbá A ∈ Aµ és B ⊆ X diszjunkt halmazok. Ekkor alkalmazva azAhalmaz Caratheodory-mérhetőségének de-finícióját azt kapjuk, hogy
µM(A∪B) =µ(M ∩(A∪B)) =
µ((M∩(A∪B))∩A) +µ((M∩(A∪B))∩Ac) =
=µ(M∩A∩(A∪B)) +µ(M ∩Ac∩(A∪B)) =µ(M ∩A) +µ(M∩B) =
=µM(A) +µM(B). Ebből következik aµM halmazfüggvény végesen additivitása azAµ halmaz-algebra fölött.
3.1.8. állítás(3. lépés). Legyenµ:P(X)→R+ külső mérték. Ekkor azAµ
halmazrendszer egyσ-algebra ;µ(A) = 0 esetén azA∈ Aµ is fennáll ;µ-nek azAµ-re valóµ˜ megszorítása egyσ-additív halmazfüggvény ; és az(X,Aµ,µ)˜ mértéktér teljes.
Bizonyítás. Láttuk, hogy Aµ algebra elegendő tehát belátni, hogyAµ zárt a diszjunkt megszámlálható egyesítésre. LegyenekAn ∈ Aµ egymástól disz-junkt halmazok és legyen A=∪An ezek egyesítése. LegyenBN =∪Nn=1An
∀N ∈Nmellett. MivelAµ algebra, ezértBN ∈ Aµ.Triviális, hogyBN ⊆A.
ABN halmaz Caratheodory-mérhetősége miatt
µ(M) =µ(M ∩BN) +µ(M∩BNc) =µM(BN) +µ(M∩BNc) =
=
N
X
n=1
µM(An) +µ(M ∩BNc ) =
N
X
n=1
µ(M∩An) +µ(M ∩BNc )≥
≥
N
X
n=1
µ(M∩An) +µ(M∩Ac). Egyrészt ez mindenN ∈Nesetén fennáll, másrészt az
M = (∪∞n=1(M ∩An))∪(M ∩Ac) egyenlőség szerint
µ(M)≥
∞
X
n=1
µ(M ∩An) +µ(M∩Ac)≥µ(M∩A) +µ(M ∩Ac)≥µ(M). Persze ekkor fent mindenütt egyenlőség van, így A ∈ Aµ, ergoAµ valóban σ-algebra.
Az iménti egyenlőség tetszőlegesM ⊆X halmazra teljesül, így speciálisan M =A-ra is. Ekkor
µ(∪∞k=1Ak) =µ(M) =
∞
X
n=1
µ(M∩An) +µ(M ∩Ac) =
=
∞
X
n=1
µ(An) +µ(∅) =
∞
X
n=1
µ(An), amivel igazoltukµ σ-additivitását azAµ σ-algebrán.
Ha valamely A⊆X mellettµ(A) = 0, akkor mindenM ∈ P(X)esetén µ(M) ≤ µ(M∩A) +µ(M ∩Ac) ≤ µ(M), tehát µ(M) = µ(M ∩A) + +µ(M∩Ac)is teljesül. Legyen mostB ⊆A∈Aµésµ˜(A) = 0.Ekkor a külső mérték monotonitása szerintµ(B) = 0is fennáll, tehát a már bizonyítottak szerintB ∈ Aµ is teljesül. Ez éppen azt jelenti, hogy µ˜ teljes mérték azAµ σ-algebrán.
3.1.9. tétel (4. lépés, kiterjesztési tétel). Legyen P egy félgyűrű és µ:P →R+ külső mérték. Jelöljeµ∗ aµ generálta külső mértéket, amely az egész hatványhalmazon értelmezett kiterjesztése µ-nek. Jelölje Aµ∗ a Cara-theodory-értelemben µ∗ mérhető halmazok σ-algebráját. Ekkor a P ⊆ Aµ∗
tartalmazás teljesülése ekvivalens a µ halmazfüggvény végesen additivitásá-val.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogyP ⊆ Aµ∗. Tudjuk, hogyAµ∗ halmazrendszeren µ∗végesen additív (3.1.7), és mivelµkülső mértékPfélgyűrűn, úgyµ=µ∗|P (3.1.4), tehátµis végesen additív.
Most tegyük fel, hogy µ végesen additív külső mérték. Legyen A ∈ P.
Megmutatjuk, hogy A Caratheodory-mérhető (3.1.5). Világos, hogy tetsző-legesM mellettµ∗(M)≤µ∗(M ∩A) +µ∗(M∩Ac)hiszenµ∗ szubadditív.
Haµ∗(M) = +∞ lenne, akkor készen is volnánk a fordított irányú egyen-lőtlenséggel. Haµ∗(M)<∞,akkor azt kell megmutatnunk a generált külső mérték definíciója szerint (3.1.3), hogy tetszőlegesen rögzítettM ⊆ ∪∞n=1An, An∈ P,P∞
n=1µ(An)<∞tulajdonságú halmazokra µ∗(M ∩A) +µ∗(M∩Ac)≤
∞
X
n=1
µ(An).
Legyenek a továbbiakban a fentiAn halmazok rögzülve. Ekkor M ∩A⊆ ∪∞n=1(An∩A)
egyP-beli halmazokból álló lefedés, ezértµ∗ definíciója miatt
µ∗(M∩A)≤
∞
X
n=1
µ(An∩A). (†)
HasonlóanM∩Ac ⊆ ∪n(AnrA).AzAnrAalakú halmazok előállnak mint diszjunktP-beli halmazok egyesítései, ezért∪∞n=1(AnrA)előáll mintP-beli megszámlálható lefedés. Formálisabban : mindenn∈N-hez létezik véges sok diszjunktHi(n)∈ P, i= 1, . . . , kn, hogy AnrA=∪ki=1n Hi(n). Így
M∩Ac⊆ ∪∞n=1(AnrA) =∪∞n=1∪ki=1n Hi(n).
Emlékezzünk vissza, hogy félgyűrűn értelmezett mérték, egyértelműen terjed ki a generált gyűrűre (1.2.9). Jelölje azr (P) generált gyűrűre kiterjesztett
mértéketµ. Aˆ µ∗ generált külső mérték definíciója miatt (3.1.3)
Itt kihasználtuk a gyűrűn értelmezett mérték szubtraktivitását, amiµˆ(An) =
= µ(An) < ∞ szerint teljesül. Összevetve a (†) és a (‡) becsléseket majd
Ne feledjük, hogy egy külső mértékre, ha az még végesen additív is, akkor a σ-additivitás is teljesül (3.1.1), ergo egy félgyűrűn értelmezett mértéket végül is kiterjesztettünk egyσ-algebrára. Az eddigi négy lépésünk – 3.1.4., 3.1.7., 3.1.8., 3.1.9. – összefoglalását mondjuk Caratheodory-féle kiterjesztési eljárásnak.
3.1.10. (Caratheodory-kiterjesztés (3.1. ábra))
ACaratheodory-féle kiterjesztési eljáráson az alábbi eljárást értjük. Tekint-sünk egyP ⊆ P(X)félgyűrűn értelmezett µ mértéket. Láttuk, hogy ez ki-terjeszthető egy az egész hatványhalmazon értelmezett µ∗ külső mértékké.
Jelölje Aµ∗ az ezen µ∗ külső mérték szerint Caratheodory-értelemben mér-hető halmazok rendszerét. Tudjuk, hogyAµ∗ egy a P félgyűrűt tartalmazó σ-algebra. Jelöljeµ˜aµ∗-nak erre azAµ∗σ-algebrára való megszorítását. Lát-tuk, hogyµ˜egyσ-additív halmazfüggvény és az(X,Aµ∗,µ)˜ teljes mértéktér, ésµ˜ a µkiterjesztése.
3.1.11. (félgyűrűn értelmezett mérték kiterjesztése a generáltσ-algebrára) Tartsuk meg a fenti jelöléseket. Mivel P ⊆ Aµ∗ és az Aµ∗ Caratheodory-mérhető halmazok σ-algebrát alkotnak, ezért σ(P) ⊆ Aµ∗. Ez azt jelenti,
P r(P) σ(P) Aµ∗
P(X)
3.1. ábra. A Caratheodory-kiterjesztés bővülő halmazrendszerei hogy egy félgyűrűn értelmezett mérték kiterjeszthető a félgyűrű által ge-nerált σ-algebrára. Pusztán µ˜ mértéket kell a generált σ-algebrára tovább szorítanunk. Ilyenkor persze a teljességet semmi nem garantálja !
Felmerül a kérdés, hogy a lehet-e esetleg más módszerrel másfajta mérték kiterjesztéseket gyártani. Látni fogjuk a Fubini-tétel bizonyításakor, hogy más módon is kiterjesztethetnénk egy a szorzat félgyűrűn értelmezett szor-zatmértéket a generált szorzat σ-algebrára. A kérdés, hogy mi a kapcsolat a két kiterjesztés között ? Azt fogjuk kapni, hogyσ-véges esetben minden, a generáltσ-algebráig terjedő mértékkiterjesztés ugyanazt az eredményt adja, mint a fent megismert Caratheodory-féle kiterjesztési eljárás.
3.1.12. állítás. A kiterjesztési eljárásban definiált µ˜ a P félgyűrűn értel-mezett mérték maximális kiterjesztése σ(P)-re azaz, ha ν egy másik mérték σ(P)-n, melyre ν =µ aP-beli halmazokon, akkor ν≤µ.˜
Bizonyítás. Legyen tehátE ∈σ(P) rögzítve. Amennyibenµ∗(E) =∞úgy készen is vagyunk. Ha van E-nak E ⊆ ∪nAn befedése melyre An ∈ P és P
nµ(An)<∞teljesül, akkor aν mértékσ-szubadditivitása miattν(E)≤
≤ ν(∪nAn) ≤ P
nν(An) = P
nµ(An). Ez épp azt jelenti, hogy ν(E) ≤
≤µ∗(E) = ˜µ(E).
3.1.13. definíció(σ-véges mérték). LegyenP egy félgyűrű ésµegy mérték P-n. Azt mondjuk, hogy a µ mérték σ-véges mérték, ha léteznek Xn ∈ P halmazok, amelyekreX =∪∞n=1Xn,X ∈ P ésµ(Xn)<∞.
3.1.14. (diszjunktizáció)
HaX =∪∞n=1Xn egy P-beli, véges mértékű halmazokkal való előállítás, ak-kor a diszjunktizációs lemmát használva (1.1.7) kapunk egy X = ∪∞n=1Yn diszjunkt előállítást, melyreYn ⊆Xn, és Yn ∈r (P)minden n∈Nmellett.
De tudjuk, hogy a generált gyűrű elemei előállnak mint véges sok diszjunkt félgyűrűbeli elem összege (1.1.12), így minden egyes Yn halmaz úgy tekint-hető, mint véges sokP-beli halmaz diszjunkt egyesítése. Azt kaptuk tehát, hogy egy félgyűrűn értelmezett σ-véges mérték esetén az alaphalmaz előáll megszámlálhatóan sok, diszjunkt, véges mértékű, félgyűrűbeli halmaz egye-sítéseként.
3.1.15. tétel(kiterjesztés unicitása a generáltσ-algebráig). Legyen aP fél-gyűrűn definiáltµ mérték σ-véges. Ekkor a fent definiált µ˜ a µ-nek egyetlen mérték kiterjesztése azaz, ha ν egy másik mérték σ(P)-n, melyre ν = µ a P-beli halmazokon, akkor ν= ˜µ.
Bizonyítás. Első lépésként tegyük fel, hogyE∈σ(P)olyan halmaz, melyhez létezik egyA∈ P, melyreE⊆A ésµ(A)<∞. EkkorA=E∪(ArE)és ν≤µ∗ miatt
ν(A) =ν(E) +ν(ArE)≤µ∗(E) +µ∗(ArE) =µ∗(A) =µ(A). No de aP-beli halmazokon aµés aν mértékek azonosak, ezért itt középen is egyenlőség van. Kihasználva, hogy a fent kiemelt sorban csupa véges szám szerepel azt kapjuk, hogy
0 = (µ∗(E)−ν(E)) + (µ∗(ArE)−ν(ArE)).
Ez viszont azt jelenti, hogy 0 számot előállítottuk két nem negatív szám összegeként, tehátµ˜(E) =µ∗(E) =ν(E).
Most tegyük fel, hogy E ∈ σ(P) tetszőleges halmaz. Mivel µ σ-véges a P-n, ezért léteznek An ∈ P, n∈Ndiszjunkt halmazok, amelyekreµ(An)<
<∞ ésX =∪nAn.Világos, hogy E =∪∞n=1(E∩An)és az előzőek szerint
˜
µ(E∩An) =ν(E∩An).Kihasználvaµ˜ ésν σ -additivitását kapjuk, hogy
˜ µ(E) =
∞
X
n=1
˜
µ(E∩An) =
∞
X
n=1
ν(E∩An) =ν(E).