Az L p terek duálisa

A fejezetben adott1< p <∞mellett jelölje minden esetben1< q <∞azt a számot, amelyre ¹_p+¹_q = 1. Hap= 1, akkor legyen q=∞és hasonlóan, hap=∞, akkor legyenq= 1.

Az alábbi kis lemmácskát sokat fogjuk használni.

6.1.1. lemma. Legyen 1≤p <∞, f ∈Lp(X,M, µ), továbbá A=∪^∞_n=1An, aholAn∈ M, An⊆An+1monoton bővülő halmaz-sorozat. Ekkorf χA_n→f χA

azLp(X,M, µ)metrikája szerint.

Bizonyítás. Definiálja hn =f χA_n. AzAn halmaz-sorozat monoton növeke-dése miatt hn → f χA µ-m.m. Az f^p ∈ L1 miatt f µ-m.m. véges. Ezért

|hn−f χA|^p → 0 µ-m.m. pontonként. No de |hn−f χA| ≤ |hn|+|f| =

= 2|f|,ezért|hn−f χA|^p≤2^p|f|^p. Eszerint találtunk2^p|f|^p∈L1majoráns függvényt. Alkalmazva a majorált konvergenciatételt, azt kapjuk, hogy

kh_n−f χ_Ak^p_p= Z

X

|h_n−f χ_A|^pdµ→0, azazhn →f χA azLp tér metrikája szerint.

Vegyük észre, hogy a fenti állítás hamisp=∞esetben. Ha példáulf = 1 ésA_n= [−n, n],akkorχ_An nem tart egyenletesen a konstans1függvényhez.

6.1.2. állítás. Legyen 1≤p≤ ∞. A korlátos függvények L_p egy sűrű rész-halmazát alkotják.

169

Bizonyítás. Az állítás a p = ∞ esetben semmitmondó. Ha p < ∞, akkor legyenAn = X(f ≤n). Világos, hogy An ⊆ An+1 ésf^p ∈ L1 miatt f µ-m.m. véges, ezért null-mértékű halmaztó eltekintve ∪An = X. Alkalmazva az előző állítást azt kapjuk, hogy

f χA_n →f χ(^∪∞n=1An) =f

módon definiált függvény egy folytonos lineáris funkcionálja Lp(X,M, µ)-nek. Ha p > 1; vagy a p = 1 esetben ha az (X,M, µ) mértéktér σ-véges, akkor a

kΦgk_L∗

p =kgk_q. egyenlőség is fennáll.

Bizonyítás. Nyilván feltehető, hogykgk_L

q 6= 0.A Hölder-egyenlőtlenség sze-rint mindenf ∈L_p (1≤p≤ ∞)függvény esetén tehátΦfolytonos lineáris funkcionál, éskΦgk_L∗

p ≤ kgk_q.

Most tekintsük ap= 1esetet, amikorµmérték σ-véges, azazX =∪Xn,

ami nyilván ellentmondás, tehátµ(A_n) = 0valóban fennáll. Világos, hogy X lineáris funkcionál, valamint µ(X) < ∞ véges nem negatív mérték. Ekkor létezik egyetleng∈Lq(X,M, µ)függvény, amelyre mindenf ∈Lp(X,M, µ)

Bizonyítás. Az állítás unicitási része egyszerű, hiszen ha g₁ ésg₂ két ilyen függvény, akkorµ(X)végessége miatt mindenE∈ MmellettχE ∈Lp(X), végesen additivitása a Φlinearitásának következménye. Megmutatjuk, hogy λmérték. HaA=∪^∞_n=1A_n diszjunkt egyesítés, akkorN → ∞mellett

a µ σ-additivitása miatt. Tehát a χ_∪^∞

n=NA_n

N∈N függvénysorozat Lp-ben konvergál0∈Lp-hez. AΦfolytonossága szerint :

λ(∪^∞_n=NAn) = Φ χ∪^∞_n=NAn

→0.

Így kihasználvaλvégesen additivitását azt kapjuk, hogy λ(∪^∞_n=1An) =λ ∪^N−1_n=1An

Tehátλvalóban egy végesR-értékű mérték.

HaE∈ Mmellettµ(E) = 0, akkorχE a zérus elemeLq-nak, ezért λµ.

Alkalmazható tehát az 5.3.5. Radon–Nikodym-tétel, amely szerint létezik egyetlen olyang∈L¹(X,M, µ)függvény, amelyre

Most megmutatjuk, hogy az így kapottg jó is lesz az állítás bizonyításához.

A fenti sor szerint ezzel készen is vagyunk abban az esetben, ha azf ∈Lp

függvény valamely mérhető halmaz indikátor függvénye. Az egyszerű függvé-nyek indikátor függvéfüggvé-nyek véges együtthatókkal képzett lineáris kombinációi, ezért haf =PN

Egyrészt, haf korlátos függvény, akkorf előáll mints_n egyszerű függvények egyenletes határértéke. Deµ(X)<∞,így

kf −snk^p_p=

Másrészt,sng→f g µ-m.m. pontonként, sőt elég nagyn-re

|sng| ≤2kfk_∞|g|

az sn egyenletes konvergenciája miatt. A µ mérték végességét újra kihasz-nálva azt látjuk, hogy a 2kfk_∞|g| függvény egy L1-beli majoránsa az sng függvénysorozatnak. Alkalmazva a majorált konvergenciatételt

Φ (sn) =

Összevetve : (†)és (‡) szerint tetszőleges f korlátos, ezért L_p-beli függvény mellett

Φ (f) = Z

X

f gdµ.

Tudjuk viszont, hogy a korlátos függvényekL_p-ben sűrű részhalmazt alkot-nak, amelyen a Φ és a Φg folytonos függvények a fent bizonyítottak miatt egybeesnek. Ekkor

Φ (f) = Φg(f) = Z

X

f gdµ mindenf ∈Lp mellett is fennáll.

Már csak azt kell igazolnunk, hogyg∈Lq.Ehhez szét kell választanunk a p= 1 és a1< pesetet.

p= 1esetben, meg kell mutatnunk, hogyg µ-m.m. korlátos. Ehhez tekint-sük a integrál közepeket. No deµ(E)>0 mellett p >1 esetben, meg kell mutatnunk, hogy R

X|g|^qdµ <∞. Legyen En =

amiből azt kapjuk, hogy R

En|g|^qdµ^1−1/p

= R

En|g|^qdµ^1/q

≤ kΦk. No deχE_n|g|^q → |g|^q monoton növekedőlegµ-m.m. pontonként a g∈L1miatt, ezért a monoton konvergenciatétel szerint

Z

X

χE_n|g|^qdµ→ Z

X

|g|^qdµ.

Azt kaptuk tehát, hogykgk_q ≤ kΦk is fennáll, azazg ∈L_q valóban teljesül.

6.1.5. állítás. Tekintsük az (X,M, µ) mértékteret, és az ehhez tartozó L_p(X,M, µ)Banach-teret. Legyen Φ∈L^∗_p folytonos lineáris funkcionál rög-zítve.

·Ha p= 1,és µ σ-véges mérték, akkor létezik egyetleng ∈L_∞ függvény, amelyre

Φ = Φ_g, valamint kΦk=kgk_∞.

·Ha1< p <∞,akkor létezik egyetlen g∈Lq függvény, amelyre Φ = Φg, valamint kΦk=kgk_q.

Bizonyítás. Mindkét állítást igazoltuk aµ(X)<∞speciális esetben. Legyen mostA ∈ M egy µ(A) <∞ véges mértékű mérhető halmaz. Tekintsük az ehhez tartozó(A,MA, µA)véges mértékteret, ahol

M_A={M ∩A:M ∈ M}; µ_A=µ_|MA.

Jelölje egyszerűen Lp(A) az Lp(A,MA, µA) mértékteret és L^∗_p(A) ennek duális terét. Tekinthetjük az L_p(A) Banach-teret mint az L_p(X) alterét, hiszen egyf ∈L_p(A)függvényt A^c-re kiterjeszthetjük f˜_|Ac = 0 ésf˜_|A=f módon. Ígykf˜kL_p=kfk_L

p(A). HaΦ∈L^∗_p(X)folytonos lineáris funkcionál, akkor az folytonos lineáris funkcionálLp(A)altéren is, hiszen

f ∈L_p(A) mellett Φ

f˜

≤ kΦk_L∗

p(X)kf˜k_Lp(X)=kΦk_L∗

p(X)kfk_L

p(A). ÍgyΦvalóban folytonos, sőtkΦk_L

p(A)≤ kΦk_L∗

p(X).A továbbiakban az egy-szerűség kedvéért nem teszünk jelölésbeli különbségetf ésf˜között.

Minden A∈ M, µ(A)<∞ halmazra alkalmazhatjuk a már igazolt állí-tást. Így mindenA∈ M, µ(A)<∞halmazhoz létezik egyetlengA∈Lq(A) függvény, melyre mindenf ∈Lp(A)esetén

Φ (f) = Z

A

f gAdµ, és kgAk_L

q(A)=kΦk_L∗

p(A)≤ kΦk_L∗ p(X).

Az egyértelműség miatt az A, B ∈ Mvéges mértékű halmazokra (gA)_|B =

·Egyrészt feltehető, hogy A_n ⊆A_n+1 mindenn∈Nmellett. Ugyanis ha BN =∪^N_n=1An,akkor(gB_N)_|A

állna fenn elegendő nagynmellett ellentmondvasszuprémum tulajdonságá-nak. (Figyeljük meg, hogyp= 1esetben mi történne !)

A tételben előírtg ∈L_q(X)függvény konstrukciója következik. A g_n(x) sorozat kvázikonstans azA_n halmazok monoton növekedése miatt, tehát lé-tezik a g : X →R mérhető függvény, melyreg_n →g pontonként. Látható, hogyg∈L_q(X),hiszen|g_n| monoton növekedőleg tart|g|-hez, ezértq <∞ esetben a monoton konvergenciatétel miatt R

X|g_n|^qdµ →R

X|g|^qdµ. A bal

oldali határérték minden tagja legfeljebb s^q, ezért kgk_L sze-rint, ezértΦfolytonossága miatt

Φ (f χAn)→Φ (f).

A Hölder-egyenlőtlenség szerint tehát f g ∈ L₁(X). De az (|f g_n|)_n∈

N soro-zatnakf g majoránsa, ami ezek szerintL₁(X)-beli, ezért a majorált konver-genciatétel szerint

A három utoljára kiemelt sort összevetve azt kapjuk, hogy Φ (f) =

Z

X

f gdµ.

fennáll minden olyanf ∈Lp(X)függvény esetén, amelyref_|Ac

∞ = 0.

Tekintsünk most egy olyanf ∈Lp(X)függvényt, amely azA_∞halmazon konstans zéró. Megfogjuk mutatni, hogyΦ (f) = 0.

Hap= 1,akkor µ σ-végessége miatt,A∞=X,ezért ilyen függvény csak Lp zérus eleme lehet, tehát ebben az esetbenΦ (f) = 0teljesül.

Hap > 1, legyen Bn =X(|f| ≥1/n), és B∞ =∪^∞_n=1Bn. Világos, hogy X(f = 0) =B_∞^c ésµ(Bn)<∞az f ∈Lp(X)miatt. A lemmát használva, kapjuk aB_n növő sorozatra, hogyf χ_Bn→f az L_p(X)topológiája szerint, ezértΦfolytonossága szerint

Φ (f χB_n)→Φ (f).

No de a harmadik megjegyzésünk alkalmazhatóp >1miatt, így(gB_n)_|Ac

∞ =

Összegzésként tetszőleges f ∈ Lp(X) mellett f χA_∞ eltűnik A^c_∞-en, és f χA^c_∞ eltűnikA_∞-en. Így az előző két bekezdés szerint

Φ(f) = Φ f χ_A∞+f χ_Ac

∞

= Φ (f χ_A∞) + Φ f χ_Ac

∞

= Z

X

f gdµ+ 0 = Z

f gdµ.

Ezt kellett ag egzisztenciáját követelő állításhoz belátni.

A bizonyításból már csakg unicitásának igazolása maradt hátra. Tegyük fel, hogy létezikg1 ésg2Lq-beli függvény, amelyre mindenf ∈Lp mellett

Z

X

f g1dµ= Z

X

f g2dµ.

LegyenAn=X |g1| ≥ ¹_n

ésBn=X |g2| ≥_n¹

. EkkorAnésBnvéges

In document Mértékelmélet és dinamikus programozás (Pldal 179-187)