Kanonikus sokas´ag

A mikrokanonikus sokas´ag eset´eben a z´art rendszer E energi´aja ´alland´o. A legt¨obb ter-modinamikai rendszer azonban nem z´art, ´es b´ar esetleg t´erfogata ´es r´eszecskesz´ama meg-marad, energi´aja m´egsem ´alland´o. Az ilyen, a k¨ornyezet´evel termikus k¨olcs¨onhat´asban l´ev˝o rendszernek csak az ´atlagenergi´aj´at tudjuk kontroll´alni a h˝om´ers´eklet´en kereszt¨ul.

Az ilyen rendszereket ´ırja le a kanonikus sokas´ag.

S

T H =H0 H= 0

T₀

T₁ T2

1.15. ´abra. H˝ut´es adiabatikus lem´agnesez´essel. Az ´abr´an vastaggal jel¨olt l´ep´est a gyakor-latban nagyon sokszor meg kell ism´eteln¨unk ahhoz, hogy a h˝ut´esi elj´ar´assal l´etrehozzunk egy T1 h˝om´ers´eklet˝u h˝otart´alyt, ami a k¨ovetkez˝o (szaggatott vonalakkal jel¨olt) h˝ut´esi l´ep´es kiindul´opontja lehet. A III. f˝ot´etel ´ertelm´eben a folyamatot burkol´o k´et T-S g¨orbe

¨osszesimul T = 0-n, ´ıgy m´eg ezzel a m´odszerrel sem ´erhet˝o el v´eges l´ep´esben az abszol´ut z´erus h˝om´ers´eklet.

Tekints¨unk egy R z´art rendszert, amelynek alrendszere az ´altalunk vizsg´alt A rend-szer, ´es az ut´obbi termikus k¨olcs¨onhat´asban ´all a K =R\A k¨ornyezettel (ld. 1.1. ´abra).

Felt´etelezz¨uk, hogyRilletveK sokkal nagyobb, mintA. A teljes rendszer z´art, ´ıgy annak E energi´aja ´alland´o. Elhanyagolva a k´et rendszer k¨oz¨otti k¨olcs¨onhat´as Ekh energi´aj´at

E =EK+EA.

Ez az elhanyagol´as megengedhet˝o p´eld´aul, ha a r´eszecsk´ek k¨oz¨ott r¨ovid hat´ot´avols´ag´u er˝ok hatnak, ´esAmakroszkopikus. IlyenkorEkha fel¨ulettel, m´ıgEAa t´erfogattal ar´anyos.

Sz´amos olyan esettel is tal´alkozhatunk, amikor a k¨olcs¨onhat´asi energia fizikai okokb´ol elhanyagolhat´o. ´Igy p´eld´aul az anyagban l´ev˝o nukle´aris spinek csak gyeng´en csatol´odnak az ˝oket k¨or¨ulvev˝o anyaghoz. Az ide´alis g´az eset´eben eleve feltessz¨uk, hogy a k¨olcs¨onhat´asi energia elhanyagolhat´o. Ilyen esetekben nem kell megk¨ovetelni, hogy A makroszkopikus legyen, A ak´ar egyetlen atom vagy magspin is lehet. Azt viszont feltessz¨uk, hogy a K k¨ornyezet nagyon nagyA-hoz k´epest, ´es ´ıgy h˝otart´alynak tekinthet˝o,EAE(EK ≈E).

Ha az A alrendszer a µindex˝u mikro´allapot´aban van, akkor EK =E−Eµ,

´ıgy a k¨ornyezet lehets´eges mikro´allapotainak sz´ama ΩK(E−Eµ) (δE jel¨ol´es´et a tov´ab-biakban elhagyjuk). Mivel az alrendszer mikro´allapota meghat´arozott, ´ıgy ez egyben a

teljes z´art rendszer el´erhet˝o ´allapotainak a sz´am´at is megadja. Z´art rendszerre viszont

´erv´enyes az egyenl˝o val´osz´ın˝us´egek elve, ´ıgy annak val´osz´ın˝us´ege, hogy az alrendszer aµ mikro´allapotban van,

a k¨ornyezet inverz h˝om´ers´eklete. ´Igy annak val´osz´ın˝us´ege, hogy az A rendszer a µ mik-ro´allapotban van

pµ= e^−βKEµ

Z(βK); Z(β) =X

µ

e^−βEµ.

Ez az eloszl´as a kanonikus eloszl´as, aZ(β) norm´al´asi t´enyez˝o pedig akanonikus ´

allapot-¨

osszeg vagy m´as n´evenpart´ıci´os f¨uggv´eny. Az eloszl´asban teh´at a k¨ornyezet h˝om´ers´eklete szerepel, ami az alrendszert˝ol f¨uggetlennek tekinthet˝o, ¨osszhangban a h˝otart´aly-k´eppel.

A tov´abbiakban elhagyjuk a h˝otart´aly h˝om´ers´eklet´enek K index´et. Egy klasszikus me-chanikai rendszerben Eµ ↔ E(q, p), ´es az ´allapotokra vett szumma ´atmegy a megfelel˝o f´azist´erbeli integr´alba, ´ıgy

Kvantumrendszerekre a kanonikus eloszl´ast megfogalmazhatjuk b´azisf¨uggetlen alakban is az alrendszer s˝ur˝us´egm´atrixa seg´ıts´eg´evel:

ρbA=X

ahol Hb azA alrendszer Hamilton-oper´atora.

A part´ıci´os f¨uggv´eny a statisztikus fizik´aban kiemelt szerepet j´atszik. Mint l´atni fogjuk,Z tartalmazza az alrendszer termodinamikai le´ır´as´ahoz sz¨uks´eges ¨osszes inform´a-ci´ot. Az ´allapots˝ur˝us´eg seg´ıts´eg´evelZ kifejez´es´eben az ´allapotokra vett ¨osszegz´es helyett

´att´erhet¨unk energia szerinti integr´alra, Z(β) =X

µ

e^−βEµ = Z

e^−βEωA(E) dE.

Az ´allapot¨osszeg teh´at az ´allapots˝ur˝us´eg Laplace-transzform´altja. Mivel ω∼E^N, a Laplace-transzform´alt l´etezik minden β > 0-ra ´es egy´ertelm˝u. Ez egyben azt is je-lenti, hogy a Z(β) ´allapot¨osszeg ugyanazt az inform´aci´ot hordozza a rendszerr˝ol, amit az ωA(E) ´allapots˝ur˝us´eg.

A part´ıci´os f¨uggv´enyb˝ol egyszer˝uen meghat´arozhat´o az alrendszer energi´aj´anak v´ar-hat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa, valamint az alrendszer h˝okapacit´asa is. Az E ´atlagenergia defin´ı-ci´ob´ol

´ıgy az energia sz´or´asn´egyzete

∆E² =E²−E² = ∂²lnZ

ahol CV az ´alland´o r´eszecskesz´am ´es t´erfogat mellett sz´am´ıtott h˝okapacit´as. A kapott

´altal´anos ´erv´eny˝u ¨osszef¨ugg´es szerint

∆E² =kBT²CV. (1.37)

A baloldal nemnegativit´as´ab´ol azonnal k¨ovetkezik a termodinamik´ab´ol ismert stabilit´a-si krit´erium: CV ≥ 0. A h˝okapacit´as extenzivit´asa miatt makroszkopikus alrendszerre

∆E ∼ √

NA, ^∆E_E ∼ ^√_N¹_A, ´ıgy makroszkopikus rendszer energiaeloszl´asa ´eles. Mikroszko-pikus alrendszerekre ez term´eszetesen m´ar nem igaz, akkor ∆Emikro/Emikro∼ O(1).

A kanonikus eloszl´asb´ol term´eszetesen meghat´arozhat´o az alrendszer energiaeloszl´asa is. Annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy az alrendszer energi´aja az (E, E+ dE) intervallumba esik

f(E) dE = e^−βE

Z ωA(E) dE.

Makroszkopikus alrendszer eset´en az alrendszer spektruma rendk´ıv¨ul s˝ur˝u, ´es ωA(E) rendk´ıv¨ul gyorsan n¨ovekszik. Ugyanakkor e^−βE exponenci´alisan tart 0-hoz, ´es ennek megfelel˝oen az f(E) eloszl´as ´eles cs´uccsal rendelkezik. Az eloszl´as maximum´at a kor´ab-biakhoz hasonl´oan

Makroszkopikus alrendszer legnagyobb val´osz´ın˝us´eg˝u energia´allapot´aban az alrendszer

´es a k¨ornyezet h˝om´ers´eklete megegyezik, βA =β. Az Ee energia k¨or¨ul sorfejt´est v´egezve f-et Gauss-k¨ozel´ıt´essel ´ırhatjuk le,

lnf = const−βEe+ lnω

nagy rendszerre ugyanis a magasabb rend˝u tagok elhanyagolhat´oak. Az energia sz´or´asa

∆E² =kBT²CV, ¨osszhangban az ´altal´anosan is ´erv´enyes (1.37) ¨osszef¨ugg´essel. A Gauss-cs´ucs relat´ıv sz´eless´ege teh´at makroszkopikus rendszerre kicsi, hiszen ∆E ≡√

kBT²CV ∼

√NA. Az ilyen rendszer egyens´ulyban j´o k¨ozel´ıt´essel z´artnak tekinthet˝o, az 1.16. ´abra mutatja a megfelel´est a kanonikus ´es a mikrokanonikus sokas´ag egyens´ulyi energiaelosz-l´asa k¨oz¨ott. Nagy alrendszer eset´en az energia ∆E sz´or´asa azonos´ıthat´o a megfelel˝o z´art rendszer δE energiabizonytalans´ag´aval. Ez a sokas´agok ekvivalenci´aj´anak elve, ami lehet˝ov´e teszi, hogy sz´am´ıt´asainkat tetsz˝oleges sokas´agban v´egezz¨uk.

E f(E)

∆E

Ee≈E (a)

E f(E)

δE

E

(b)

1.16. ´abra. (a) makroszkopikus alrendszer energia szerinti eloszl´asa (kanonikus sokas´ag), (b) z´art rendszer energia szerinti eloszl´asa (mikrokanonikus sokas´ag)