S˝ ur˝ us´egfluktu´aci´ok ´es sz´or´ask´ıs´erletek

A korrel´aci´os f¨uggv´enyek sz´or´asi k´ıs´erletek seg´ıts´eg´evel k¨ozvetlen¨ul is kim´erhet˝ok. P´elda-k´ent tekints¨uk a s˝ur˝us´egfluktu´aci´okat egy nagykanonikus sokas´ag seg´ıts´eg´evel le´ırt rend-szerben! A r´eszecsk´ek egy adott konfigur´aci´oj´aban a r´eszecskes˝ur˝us´eg Dirac-delt´ak ¨ossze-ge:

ρ(r) =

N

X

i=1

δ(Ri−r),

ahol R_i a i. r´eszecske hely´et jel¨oli. Azn(r) ´atlagos r´eszecskesz´am ennek ´atlaga, n(r) =

* _N X

i=1

δ(Ri−r) +

,

ahol most h · i a sokas´ag´atlagot jel¨oli. Ennek seg´ıts´eg´evel kifejezhetj¨uk az egy adott V t´erfogatban l´ev˝o ´atlagos r´eszecskesz´amot:

N = Z

V

n(r) d³r.

A s˝ur˝us´eg korrel´aci´os f¨uggv´enye defin´ıci´o szerint

Cn(r,r⁰) = hρ(r)ρ(r⁰)i − hρ(r)i hρ(r⁰)i .

Behelyettes´ıtve ide ρ(r) fenti alakj´at, ezt a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhatjuk fel:

Cn(r,r⁰) =n⁽²⁾(r,r⁰)−n(r) n(r⁰) +δ(r−r⁰)n(r),

ahol az utols´o tagban lev´alasztottuk az azonos r´eszecsk´ek j´arul´ek´at, ´es bevezett¨uk a k¨ul¨onb¨oz˝o r´eszecsk´ek s˝ur˝us´eg–s˝ur˝us´eg korrel´aci´os f¨uggv´eny´et,

n⁽²⁾(r,r⁰)≡

* X

i6=j

δ(Ri−r)δ(Rj −r⁰) +

≡n(r) n(r⁰)g(r,r⁰).

A jobb oldal utols´o egyenlete defini´alja a g(r,r⁰)p´arkorrel´aci´os f¨uggv´enyt. Ez a f¨uggv´eny egyszer˝u jelent´essel b´ır: g(r,r⁰)n(r⁰)d³r⁰annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy a d³r⁰infinitezim´alis t´erfogatban egy r´eszecske legyen, felt´eve, hogy az r pontban m´ar van egy r´eszecske.

Homog´en rendszerben n(r) = n f¨uggetlen a helykoordin´at´at´ol, ´es Cn, n⁽²⁾, illetve g csak a koordin´at´ak k¨ul¨onbs´eg´enek f¨uggv´enyei. Ekkor

Cn(r−r⁰) =n² g(r−r⁰)−1

+δ(r−r⁰)n .

Felhaszn´alva a

∆N² = Z Z

V

Cn(r,r⁰) d³rd³r⁰

azonoss´agot, valamint, hogy ∆N² =V n²kBT κT, a k¨ovetkez˝o azonoss´agot kapjuk:

kBT κT = Z

g(r)−1

d³r+ 1

n. (1.52)

Ez az ´un. kompresszibilit´asi egyenlet, mely szoros kapcsolatot teremt a p´arkorrel´aci´os f¨uggv´eny ´es a kompresszibilit´as k¨oz¨ott. Bevezetve azF(k) ´ugynevezettstatikus szerkezeti faktort,

F(k)≡ 1

nCen(k) = n Z

e^−ikr[g(r)−1] d³r+ 1, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy

k→0limF(k) =nkBT κT.

forr´as

i

j

detektor R_i

R_j k1

k₂

ϑ

1.23. ´abra. Sz´or´ask´ıs´erlet sematikus elrendez´ese.

A statikus szerkezeti faktor k¨ozvetlen kapcsolatban van a sz´or´asi k´ıs´erletek sor´an m´ert sz´or´asi hat´askeresztmetszettel. Ennek bel´at´as´ahoz haszn´aljunk az egyszer˝us´eg kedv´e´ert kanonikus sokas´agot, ´es Cn transzl´aci´oinvarianci´aj´at kihaszn´alva fejezz¨uk ki a szerkezeti

faktort a k¨ovetkez˝ok´eppen: Amint most megmutatjuk, az utols´o egyenletben szerepl˝o

P

ie^−ikRi

2 mennyis´eg vi-szont k¨ozvetlen¨ul m´erhet˝o elasztikus sz´or´ask´ıs´erletekben, rugalmas r¨ontgen- illetve ne-utrondiffrakci´o seg´ıts´eg´evel. Egy ilyen sz´or´ask´ıs´erlet sematikus elrendez´es´et szeml´elteti az 1.23. ´abra. Egy t´avoli, r poz´ıci´oban l´ev˝o forr´asb´ol koherens, k₁ hull´amsz´am´u r´e-szecsk´ek (fotonok, neutronok, vagy elektronok) sz´or´odnak az {R_i}poz´ıci´okban l´ev˝o ato-mokon (r´eszecsk´eken), majd a sz´ort r´eszecsk´eket egy szint´en t´avoli, r⁰ poz´ıci´oban l´ev˝o detektorral detekt´aljuk. A detektor elhelyez´es´evel szab´alyozhat´o, hogy milyenk₂ ir´anyba sz´ort sug´arz´ast m´er¨unk, rugalmas sz´or´as eset´en pedig a hull´amsz´am hossza nem v´alto-zik, |k₂| =|k₁|. A k´et hull´amsz´amvektor ´altal bez´art sz¨og (azaz a sz´ort nyal´ab elt´er´ese a direkt nyal´ab ir´any´at´ol) a ϑ sz´or´asi sz¨og.

Ekkor egy a forr´asb´ol ´erkez˝o, a j-edik atomon sz´or´od´o r´eszecske val´osz´ın˝us´egi amp-lit´ud´oja a detektorn´al ar´anyos e^ik1(Rj−r)f(θ) e^ik2(r0−Rj)-vel, ahol f(θ) az atomon val´o sz´or´as sz´or´asi amplit´ud´oja. Koherens sz´or´as eset´en azonban az egyes atomokon val´o sz´o-r´asi folyamatok interfer´alnak egym´assal, ´es ´ıgy a detektorba ´erkez´es teljes val´osz´ın˝us´egi amplit´ud´oja

ahol bevezett¨uk a k≡k₂−k₁ sz´or´asi vektort. A detekt´al´as val´osz´ın˝us´ege ennek megfe-lel˝oen P(θ)∝ |Ak|², a sz´or´asi hat´askeresztmetszet pedig

dσ

ahol felhaszn´altuk, hogy az egyetlen atomon val´o sz´or´as differenci´alis hat´askeresztmet-szete ^dσ_dΩ⁰(ϑ) =|f0(ϑ)|². ´Igy az (1.53) egyenlet szerint – a direkt nyal´ab j´arul´ek´at´ol, azaz k = 0-t´ol eltekintve – a sz´or´asi hat´askeresztmetszet k¨ozvetlen¨ul a statikus szerkezeti faktorral ar´anyos,

dσ

dΩ(ϑ) = dσ0

dΩ(ϑ)N F(k).

Sz´or´ask´ıs´erletekkel ´ıgy a statikus szerkezeti faktor, azaz a p´arkorrel´aci´os f¨uggv´eny Fourier-transzform´altja k¨ozvetlen¨ul m´erhet˝o.

2. fejezet

Ide´ alis g´ azok

2.1. Kvantumstatisztik´ ak ´ es a klasszikus ´ atmenet

2.1.1. Bozonok ´ es fermionok

Ide´alis g´aznak nevez¨unk egy rendszert, ha benne a r´eszecsk´ek k¨oz¨otti k¨olcs¨onhat´as elha-nyagolhat´o. Ilyenkor a rendszert le´ır´o Hamilton-oper´ator fel´ırhat´o

Hb^(N) =

N

X

i=1

Hb⁽¹⁾(i) alakban egyr´eszecske-oper´atorok ¨osszegek´ent, ahol pl.

Hb⁽¹⁾(1) = bp²₁ 2m.

Spint is figyelembe v´eve, ha ϕν(x, σ) a Hb⁽¹⁾ saj´atf¨uggv´enye (ν pedig ¨osszetett kvantum-sz´am, pl. ν={kx, ky, kz, σz}),

Hb⁽¹⁾|ϕνi=εν|ϕνi,

akkor a Hamilton-oper´ator szepar´alts´aga r´ev´enHb^(N)saj´atf¨uggv´enye el˝o´all az egyr´eszecske-saj´atf¨uggv´enyek szorzatak´ent,

Hb^(N)|ψ(r1, . . . ,r_N;σ1, . . . , σN)i=

N

X

i=1

ενi

!

|ϕν1(r1, σ1)· · ·ϕνN(rN, σN)i. (2.1) Ez a szorzat hull´amf¨uggv´eny teh´at saj´atf¨uggv´enye Hb^(N)-nek, viszont megk¨ul¨onb¨oztet-het˝o r´eszecsk´eket ´ır le. A kvantummechanika egyik alapelve azonban, hogy az azo-nos fizikai r´eszecsk´ek megk¨ul¨onb¨oztethetetlenek. Ennek megfelel˝oen a (2.1) egyenletben

szerepl˝o szorzat hull´amf¨uggv´enyt szimmetriz´alni vagy antiszimmetriz´alni kell att´ol f¨ug-g˝oen, hogy bozonokat vagy fermionokat akarunk le´ırni.¹ Az ´ıgy kapott sokr´eszecske-hull´amf¨uggv´eny j´oval t¨obb inform´aci´ot hordoz, mint amennyire ´altal´aban sz¨uks´eg¨unk van: egy f´azist´ol eltekintve egy´ertelm˝uen meghat´arozott, amennyiben megadjuk, hogy az egyes ν egyr´eszecske-´allapotokban h´any r´eszecske tart´ozkodik, azaz megadjuk az nν

bet¨olt´esi sz´amokat). A Pauli-elv ´ertelm´eben b´armely ν fermion egyr´eszecske-´allapot be-t¨olt´ese legfeljebb nν = 1 lehet, bozonokra viszont nincs ilyen megk¨ot´es.

Sz´amos fizikai mennyis´eg kifejezhet˝o k¨ozvetlen¨ul a bet¨olt´esi sz´amok seg´ıts´eg´evel. Az {nν}={n1, n2, . . .} bet¨olt´esi sz´amok ´altal meghat´arozott mikro´allapotban a r´eszecsk´ek sz´ama p´eld´aul

X

ν

nν =N,

az ´allapot energi´aja pedig a (2.1) Schr¨odinger-egyenlet ´ertelm´eben E =X

ν

ενnν,

ahol a ν-re vett ¨osszegz´es v´egigfut az egyr´eszecske Hamilton-oper´ator saj´at´allapotain.

A statisztikus le´ır´as alapja az ´atlagos bet¨olt´esi sz´amok eloszl´as´anak meghat´aroz´asa adott k¨or¨ulm´enyek k¨oz¨ott. Nagykanonikus sokas´ag eset´en az ´allapot¨osszeg

Z =X ahol felhaszn´altuk a P

α,βa(α)b(β) = (P

αa(α))(P

βb(β)) azonoss´agot. Az

´allapot-¨osszeg teh´at szorzat alakban ´ırhat´o fel, Z =Y

ahol Z^ν a ν egyr´eszecske-´allapotban l´ev˝o r´eszecsk´ek ´allapot¨osszege. A k¨ul¨onb¨oz˝o egyr´e-szecske-´allapotok teh´at egym´ast´ol f¨uggetlen r´eszrendszerk´ent viselkednek. Az ¨osszegz´e-sek fels˝o hat´ar´at megad´o nmax ´ert´ek a r´eszecsk´ek fajt´aj´at´ol f¨ugg: fermionokra nmax = 1, bozonok eset´en viszont v´egtelen szumm´akr´ol van sz´o. Ennek megfelel˝oen

Zν^F = 1 + e^{−β(εν−µ)},

1A fermion hull´amf¨uggv´eny antiszimmetri´aj´anak k¨ovetkezm´enye aPauli-f´ele kiz´ar´asi elv.

Bozonok eset´en a megjelen˝o m´ertani sor csak akkor lesz konvergens, ha µ < εν, ami ε0 = 0 alap´allapoti energi´at felt´etelezve a µ < 0 megk¨ot´est r´oja ki. A nagykanonikus potenci´al

Φ(T, V, µ) = −kBT lnZ =∓kBT X

ν

ln 1±e^{−β(εν−µ)} ,

ahol a tov´abbiak jel¨ol´es´evel ¨osszhangban a fels˝o el˝ojelek a fermionokra, az als´ok a bo-zonokra vonatkoznak. Felhaszn´alva az nν = ∂βµlnZ^ν azonoss´agot, az ´atlagos bet¨olt´esi sz´amokra a k¨ovetkez˝oket kapjuk:

n^F_ν = 1

e^{β(εν−µ)}+1 ≡f(εν) ; n^B_ν = 1

e^{β(εν−µ)}−1 ≡n(εν), (2.2) ahol f(ε) a Fermi-f¨uggv´enyt, n(ε) pedig a Bose-f¨uggv´enyt jel¨oli. Az egyes (f¨ugget-len) egyr´eszecske-´allapotok egyens´ulyi bet¨olt´ese teh´at a Fermi–Dirac-statisztik´at illetve aBose–Einstein-statisztik´at k¨oveti. Azn(ε) illetvef(ε) bet¨olt´esi sz´amok lefut´as´at szem-l´elteti a 2.1. ´abra. L´atjuk, hogy a szabad bozonokra n(ε → µ) diverg´al, teh´at ε > µ minden energi´ara teljes¨ul.²

ε−µ kBT

n(ε)

-2 -1 0 1 2

1 2 3 4 5

BE

FD

2.1. ´abra. A Fermi–Dirac- (FD) ´es a Bose–Einstein-statisztika (BE) bet¨olt´esi sz´amai.

Az ´atlagos bet¨olt´esekkel k¨ozvetlen¨ul is kifejezhet˝o a nagykanonikus potenci´al, Φ = ±kBTX

ν

ln

e^{β(εν−µ)} e^{β(εν−µ)}±1

=±kBTX

ν

ln (1∓nν). (2.3)

2K¨olcs¨onhat´o esetben a k´emiai potenci´al lehet 0-n´al nagyobb.

Az ´atlagos energi´at ´es r´eszecskesz´amot a h˝om´ers´eklet ´es a k´emiai potenci´al r¨ogz´ıtik,³ N =N(T, µ) =−

∂Φ

∂µ

T ,V

=X

ν

nν, (2.4)

E =−

∂lnZ

∂β

α,V

=X

ν

ενnν. (2.5)

2.1.2. Kapcsolat a r´ eszletes egyens´ uly elv´ evel

Az egyens´ulyi kvantumstatisztik´ak a r´eszletes egyens´uly elv´eb˝ol is sz´armaztathat´oak gyenge k¨olcs¨onhat´ast felt´etelezve. Ennek szeml´eltet´es´ehez tekints¨unk egy k´etr´eszecsk´es sz´or´asi folyamatot egy ide´alis fermionikus rendszerben! Az i kezdeti (initial) ´allapotban az egyr´eszecske-energi´ak ε1 ´es ε2, az f v´eg´allapotban (final) pedigε1⁰ ´es ε2⁰. A r´eszletes egyens´uly ´ertelm´eben a k´et ´allapot k¨oz¨otti ´atmenetek r´at´aira teljes¨ul

Pi→f =Pf→i,

vagyis a direkt ´es inverz elemi folyamatok egyens´ulyt tartanak egym´assal (2.2. ´abra).

Legyen fe(i) annak a val´osz´ın˝us´ege, hogy az i-edik ´allapot bet¨olt¨ott! Ekkor annak val´osz´ın˝us´ege, hogy mind az ε1, mind pedig az ε2 ´allapotban van r´eszecske, fe(1)fe(2).

Az ´atmenet azonban csak abban az esetben t¨ort´enhet meg, ha a v´eg´allapot az ¨utk¨oz´es el˝ott bet¨oltetlen (Pauli-elv). Ez ut´obbi val´osz´ın˝us´ege (1 −fe(1⁰))(1−fe(2⁰)). A teljes

´atmeneti r´ata ´ıgy

Pi→f ∝W12→1⁰2⁰fe(1)fe(2)

1−f(1e ⁰) 1−fe(2⁰) ,

ahol W12→1⁰2⁰ a kvantummechanikai ´atmenetet jellemz˝o, id˝oegys´egre jut´o ´atmeneti val´o-sz´ın˝us´eg. Az inverz reakci´ora hasonl´oan kapjuk, hogy

Pf→i ∝W1⁰2⁰→12fe(1⁰)f(2e ⁰)

1−fe(1) 1−fe(2) .

Ugyanakkor a mikroszkopikus reverzibilit´as (id˝ot¨ukr¨oz´esi invariancia) k¨ovetkezm´enye-k´epp W12→1⁰2⁰ =W1⁰2⁰→12. Egyens´ulyban teh´at a k´et ´atmeneti r´ata egyenl˝os´eg´eb˝ol

1−f(1)e fe(1)

1−fe(2)

f(2)e = 1−f(1e ⁰) fe(1⁰)

1−fe(2⁰) fe(2⁰)

k¨ovetkezik minden olyan ´allapotp´arosra, ahol ε1+ε2 =ε1⁰ +ε2⁰ =Ei =Ef. Bevezetve teh´at a g ≡(1−fe)(f) jel¨ol´est,e

g(ε1)g(Ei−ε1) = const.

3Ezeket az egyenleteket term´eszetesen ´ugy is lehet ´ertelmezni, hogy az ´atlagos energia ´es r´ eszecske-sz´am hat´arozza meg β-t ´esµ-t.

minden ε1 energi´ara. Ennek a f¨uggv´enyegyenletnek megold´asai g(ε) = Ce^βe = e^{βε−e eγ} alak´uak. Kifejezve ebb˝ol az febet¨olt´esi sz´amot kapjuk, hogy

fe= 1

g(ε) + 1 = 1 exph

βe(ε−µ)e i + 1,

teh´at fea Fermi-f¨uggv´eny. Bozonok eset´eben a kvantumkorrel´aci´ok elt´er˝o term´eszete miatt

Pi→f ∝n(1)e n(2) (1 +e n(1e ⁰)) (1 +en(2⁰)),

amib˝ol az el˝obbiekhez hasonl´oan az en bet¨olt´esi sz´amra a Bose-f¨uggv´eny ad´odik.

i

j Pi→j

Pj→i

2.2. ´abra. Egyens´ulyban a direkt ´es az inverz folyamatok egym´assal is egyens´ulyban vannak (r´eszletes egyens´uly).

2.1.3. Szabad kvantumg´ az, ´ allapots˝ ur˝ us´ eg

Alkalmazzuk most a 2.1.1. fejezetben tanultakat szabad, ide´alis kvantumg´azokra! Ekkor az egyr´eszecske Hamilton-oper´ator

Hb⁽¹⁾ = pb² 2m,

az egyr´eszecske-´allapotok hull´amf¨uggv´enye pedigϕp(x)∼e^ipx/~. R´eszecsk´ekS spinj´et is figyelembe v´eve a saj´at´allapotokat a ν = (p, s) mennyis´eg indexeli, ahol az s spinkvan-tumsz´am g = 2S+ 1 k¨ul¨onb¨oz˝o ´ert´eket vehet fel.

Az E ´atlagenergia illetve a Φ nagykanonikus potenci´al ´es a r´eszecskesz´am megha-t´aroz´as´ahoz a (2.3), (2.4) ´es (2.5) egyenletekben ¨osszegezn¨unk kell az egyr´eszecske-saj´at´allapotokra. Az impulzusokra val´o ¨osszegz´est a V → ∞ limeszben ´at´ırhatjuk impulzus- illetve energiat´erbeli integr´alokk´a. Az egyszer˝us´eg kedv´e´ert vizsg´aljunk t´eg-latest alak´u dobozba z´art r´eszecsk´eket! Periodikus hat´arfelt´etel mellett az x ir´any´u impulzus lehets´eges ´ert´ekei

px = 2π

Lx~nx= h Lx

nx,

ahol Lx a rendszer x ir´any´u kiterjed´ese, nx pedig pozit´ıv eg´esz sz´am. Az impulzus-saj´at´ert´ekek t´avols´aga ´ıgy ∆px =h/Lx. A V → ∞ hat´aresetben teh´at k¨ozel´ıthetj¨uk az impulzus¨osszegeket a k¨ovetkez˝ok´eppen:

Amennyiben a Hamilton-oper´ator spinf¨uggetlen, azs-re t¨ort´en˝o ¨osszegz´es csak egy g faktort (spindegener´aci´ot) eredm´enyez. Tov´abb´a, ha az integrandus csak azε egyr´eszecske-energi´at´ol f¨ugg, akkor v´altoz´ocser´evel ´att´erhet¨unk energia szerinti integr´alra. Ehhez be-vezetj¨uk a ρ(ε) egyr´eszecske-´allapots˝ur˝us´eget,

ρ(ε) dε ≡gV

h³4πp²dp ⇒ ρ(ε) = gV

h³4πp²dp dε. Felhaszn´alva a szabad r´eszecsk´ek ε= _2m^p2 diszperzi´oj´at, ´ıgy

ρ(ε) = gV h³4π√

2m³²√ ε∝√

ε (2.6)

ad´odik.⁴ ´Igy teh´at szabad g´az eset´en az egyr´eszecske-´allapotokra val´o ¨osszegz´est ener-giaintegr´alokkal is helyettes´ıthetj¨uk: m´ıg bozonokra a Fermi-f¨uggv´enyt a Bose-f¨uggv´ennyel kell helyettes´ıten¨unk,

N =

2.1.4. ´ Allapotegyenlet

Az 1.6.2. fejezetben l´attuk, hogy makrorendszerben a Φ nagykanonikus potenci´al k¨oz-vetlen¨ul a nyom´assal van kapcsolatban,

pV =−Φ =±kBT X

A (2.6) egyenlet ´ertelm´eben szabad ide´alis g´azra ρ(ε) =c√

ε, ´ıgy parci´alisan integr´alva pV =±

A jobb oldalon szerepl˝o integr´al egyszer˝uen az energia v´arhat´o ´ert´ek´evel ar´anyos, teh´at mind fermionok, mind bozonok eset´en

pV = 2

A klasszikus ide´alis g´azra kor´abban kapott ´allapotegyenletnek ez a form´aja ´erv´enyes teh´at kvantumosan is, de hangs´ulyozzuk, hogy kvantumg´azra

Ekv 6= 3

2N kBT ⇔ (pV)kv 6=N kBT,

ugyanis ez ut´obbi ¨osszef¨ugg´esek a klasszikusan ´erv´enyes ekvipart´ıci´o t¨orv´eny´enek k¨ovet-kezm´enyei voltak.

A fenti levezet´es l´enyegi l´ep´ese volt aρ(ε)∝√

εar´anyoss´ag felhaszn´al´asa. Ez egyfel˝ol az ε(p) ∝ p² parabolikus diszperzi´o, m´asfel˝ol pedig a d = 3 t´erbeli dimenzi´o k¨ovetkez-m´enye. ´Altal´anosan, ε(p) =a|p|^γ eset´en az ´allapotegyenlet d= 3 dimenzi´oban

pV = γ

3E (2.11)

alak´u lesz. Speci´alisan ultrarelativisztikus⁵ ide´alis g´az eset´en ε(p) = c|p|, ´es ´ıgy pV = 1

3E.

5Ultrarelativisztikusnak mondunk egy r´eszecsk´et, ha annak nyugalmi energi´aja elhanyagolhat´o tel-jes energi´aj´ahoz k´epest, mert nyugalmi t¨omege nincs, vagy eleny´esz˝o a mozg´asi energi´ab´ol sz´ arma-z´o t¨omeghez k´epest (p´eld´aul fotonok, relativisztikus elektronok, m¨uonok eset´en). Ilyenkor ε(p) = pm²c⁴+p²c² ≈ pc. Line´aris diszperzi´o ad´odik a k¨olcs¨onhat´as k¨ovetkezt´eben sz´amos bozongerjesz-t´es eset´eben is (pl. antiferrom´agneses spinhull´amok, fononok stb.).

2.1.5. A klasszikus hat´ areset

A (2.7), (2.8) ´es (2.9) egyenletek teljes le´ır´as´at adj´ak tetsz˝oleges nemk¨olcs¨onhat´o bozon-vagy fermiong´aznak. Azt v´arjuk azonban, hogy ha k´et r´eszecske kis val´osz´ın˝us´eggel tar-t´ozkodik ugyanabban a ν kvantum´allapotban, akkor a r´eszecsk´ek megk¨ul¨onb¨oztethetet-lens´eg´eb˝ol sz´armaz´o kvantumkorrekci´ok nem jelent˝osek, ´es a bozonok illetve fermionok statisztikus tulajdons´agai k¨oz¨otti elt´er´es elhanyagolhat´ov´a v´alik. Ez defini´alja az ´un.

klasszikus hat´aresetet, amikor is a bet¨olt´esi sz´amokra teljes¨ul az nν 1 felt´etel. Ilyen-kor az ´atlagos bet¨olt´esi sz´am formul´aj´aban az exponenci´alis tag domin´al, ez´ert mind fermionokra, mind bozonokra

nν ≈e^{−β(εν−µ)}1,

azaz β(εν −µ) 1. A klasszikus hat´areset teh´at akkor val´osul meg minden egyes n´ıv´ora, amennyiben βµ egy nagy negat´ıv sz´am.⁶ A nagykanonikus potenci´al ebben a hat´aresetben a k¨ovetkez˝ok´epp k¨ozel´ıthet˝o:

Φ =±kBT X

ν

ln (1∓nν)≈ −kBTX

ν

e^−βεν

| {z }

Z1

e^βµ,

amib˝ol az ´atlagos r´eszecskesz´am N =−

∂Φ

∂µ

T ,V

=Z1e^βµ =− Φ kBT,

´es ´ıgy a szabadenergia

F = Φ +µN =N(−kBT +µ) =N kBT (µβ−1) =N kBT

ln N Z1 −1

. A Stirling-formul´at most a szok´asossal ellent´etes ir´anyban haszn´alva ad´odik, hogy

F ≈ −kBT lnZ₁^N

N! =−kBT lnZ, Z = Z₁^N N!,

teh´at a kvantummechanikai le´ır´asb´ol kiindulva a klasszikus hat´aresetben automatiku-san megjelent az ´allapot¨osszegben a r´eszecsk´ek megk¨ul¨onb¨oztethetetlens´eg´et kifejez˝o N! h´anyados. A Z1 egyr´eszecske-´allapot¨osszeget a klasszikus, spin n´elk¨uli esetben meghat´a-roztuk ((1.44) ¨osszef¨ugg´es). Most aP

νe^−βεν ¨osszegz´est (2.6) felhaszn´al´as´aval energiain-tegr´all´a ´at´ırva kapjuk, hogy

Z1 = Z

ρ(ε)e^−βεdε=gV

h³(2πmkBT)³² ,

6Feltessz¨uk, hogy az egyr´eszecskespektrumε= 0 energi´an´al kezd˝odik.

ami a spindegener´aci´ot´ol eltekintve egyezik a kor´abbi eredm´ennyel. A klasszikus hat´ar-eset felt´etele

1e^βµ = N Z1

= N

gV

h² 2πmkBT

³₂

= 1

gn λ³_T , (2.12)

ahol n =N /V az ´atlagos r´eszecskes˝ur˝us´eget jel¨oli, ´es bevezett¨uk a λT = h

√2πmkBT

termikus de Broglie-hull´amhosszot. Ez ut´obbi a r´eszecsk´ek kvantummechanikai kiterjed´e-s´et jellemzi, klasszikus hat´aresetben ugyanis a r´eszecsk´ek tipikus impulzusap∼√

mkBT, teh´at a r´eszecsk´ek tipikus de Broglie-hull´amhossza λ = h/p ∼ h/√

mkBT. Figyelembe v´eve, hogy a r´eszecsk´ek k¨oz¨otti ´atlagos t´avols´ag kapcsolatban van a s˝ur˝us´eggel,d∼n^−1/3, a (2.12) egyenl˝otlens´eg szerint a klasszikus hat´areset akkor ´all fenn, ha a g´azt alkot´o r´eszecsk´ek ´atlagosan sokkal messzebb vannak egym´ast´ol, mint az ˝oket jellemz˝o kvantum-mechanikai hull´amhossz,

dλT, azaz a g´az ritka ´es/vagy forr´o.

2.1.6. Kvantumkorrekci´ ok, magas h˝ om´ ers´ ekleti sorfejt´ es

L´attuk, hogy a klasszikus viselked´es felt´etele nλ³_T ∼e^βµ 1, ´ıgy a klasszikus hat´areset-hez j´arul´o kvantumkorrekci´okat megkaphatjuk e^βµ-ben szisztematikus sorfejt´est v´egezve.

A bet¨olt´esi sz´am sorfejtett alakja n(ε) = exp [−β(ε−µ)]

1±exp [−β(ε−µ)] = e^−βεe^βµ 1∓e^−βεe^βµ±. . . .

Az els˝o tag felel meg a klasszikus limesznek, a sorfejt´es magasabb rend˝u tagjai pedig a kvantumkorrekci´okat szolg´altatj´ak. Az ´atlagos r´eszecskesz´am ´ıgy

N =

∞

Z

0

ρ(ε)n(ε) dε≈2πgV

h³(2m)³²

∞

Z

0

√ε e^−βεe^βµ∓e^−2βεe^2βµ+. . .

dε. (2.13) Felhaszn´alva az

∞

Z

0

εⁿ² e^−aβεdε = (aβ)⁻ⁿ⁺¹² Γ

n+ 1 2

¨osszef¨ugg´est, ´ıgy ami egy implicit egyenletet ad µ-re,

e^βµ = 1 gnλ³_T

1±2⁻³² e^βµ+· · · . Ezt az egyenletet iterat´ıvan megoldva kapjuk, hogy

e^βµ = 1 A k´emiai potenci´al kvantumkorrekci´oit (2.14) logaritmus´at sorfejtve kaphatjuk,

µ≈µkl± kBT g2³² λ³_Tn, ahol µkl =kBT ln nλ³_T/g

a klasszikus limeszben sz´am´ıtott k´emiai potenci´alt jel¨oli. Fer-mionokra teh´at a k´emiai potenci´al emelkedik a kvantum korrekci´ok hat´as´ara (tasz´ıt´as), m´ıg bozonokra cs¨okken (effekt´ıv vonz´as).

A k´emiai potenci´al ismeret´eben most m´ar meghat´arozhatjuk a klasszikus ´allapot-egyenlethez ad´od´o kvantumkorrekci´okat is. A (2.13) k´eplethez hasonl´oan az energia kvantumkorrekci´oj´ara a k¨ovetkez˝ot kapjuk:

E = amelyb˝ol e^βµ-ben els˝o rendig sorba fejtve

E

´Igy az egzakt (2.10) egyenlet alapj´an a nyom´as p= 2E

A kvantumkorrekci´ok teh´at megv´altoztatj´ak a nyom´ast, ´es fermionok eset´eben n¨ovelik azt a klasszikus g´az nyom´as´ahoz k´epest, m´ıg bozonok eset´eben cs¨okkentik,

pBE < pkl < pFD.

A bozonok k¨oz¨ott teh´at effekt´ıv vonz´ast, a fermionok k¨oz¨ott viszont effekt´ıv tasz´ıt´ast eredm´enyeznek a kvantumkorrekci´ok: a bozonok

”szeretnek” azonos ´allapotban lenni (l´asd az induk´alt emisszi´ot), m´ıg fermionokn´al a Pauli-elv effekt´ıv tasz´ıt´ashoz vezet.

2.2. Ide´ alis Fermi-g´ az

Az el˝oz˝o alfejezetben megvizsg´altuk, hogyan m´odos´ıtj´ak a kvantumkorrekci´ok magas h˝o-m´ers´ekleten egy ide´alis g´az ´allapotegyenlet´et, ´es azt tal´altuk, hogy a kvantumkorrekci´ok nλ³_T-nel ar´anyos tagokat eredm´enyeznek. A kvantumkorrekci´ok szerepe teh´at a h˝om´er-s´eklet cs¨okken´es´evel egyre n˝o, ´es domin´anss´a v´alik amint a h˝om´erh˝om´er-s´eklet olyan alacsony (vagy a g´az s˝ur˝us´ege olyan nagy), hogy a r´eszecsk´ek termikus de Broglie-hull´amhossza

¨osszem´erhet˝ov´e v´alik a r´eszecsk´ek k¨oz¨otti t´avols´aggal. Elegend˝oen alacsony h˝om´ers´ek-leten teh´at a kvantummechanika illetve a kvantumstatisztika hat´arozza meg b´armilyen ide´alis g´az viselked´es´et. A fermionok ´es bozonok viselked´ese azonban ezeken az alacsony h˝om´ers´ekleteken gy¨okeresen elt´er egym´ast´ol: fermionok eset´eben a g´az v´eges kompresszi-bilit´assal rendelkezik m´eg T = 0 h˝om´ers´ekleten is ´es Fermi-folyad´ekot k´epez, m´ıg a bo-zong´az egy kritikus h˝om´ers´eklet alatt ¨osszeomlik ´es Bose-kondenz´al´odik. Ebben illetve a k¨ovetkez˝o fejezetben az anyagnak ezzel a k´et alapvet˝o kvantumf´azis´aval foglalkozunk – ide´alis g´azt t´etelezve fel.

2.2.1. A Fermi-g´ az alap´ allapota

A Fermi-g´az alap´allapot´anak vizsg´alat´ahoz induljunk ki a r´eszecskesz´am N =

∞

Z

0

ρ(ε)f(ε) dε=

∞

Z

0

ρ(ε) 1

e^β(ε−µ)+1dε

kifejez´es´eb˝ol! A T → 0 hat´aresetben f(ε) egy egys´egugr´as-f¨uggv´enny´e v´alik, f(ε) → Θ(εF −ε), ahol εF ≡ µ(T = 0) a T = 0 h˝om´ers´eklethez tartoz´o k´emiai potenci´al, az

´

ugynevezett Fermi-energia (l´asd a 2.3. ´abr´at). A Fermi-energia az ide´alis fermiong´az karakterisztikus energiask´al´aja: alap´allapotban a Fermi-energia alatti ´allapotok mind be vannak t¨oltve, az afelettiek viszont ¨uresek, hiszen a Pauli-f´ele kiz´ar´asi elv figyelembe-v´etel´evel ´ıgy minimaliz´alhat´o a fermionrendszer energi´aja. Ezt az ´allapotot (vagy az εF alatti, bet¨olt¨ott egyr´eszecske-´allapotok ¨osszess´eg´et) Fermi-tengernek is szok´as nevez-ni. Izotrop diszperzi´os rel´aci´o eset´en a bet¨olt¨ott ´allapotok az impulzust´erben egy pF

Fermi-impulzus sugar´u g¨ombben helyezkednek el. Ez az ´un. Fermi-g¨omb, fel¨ulete pe-dig a Fermi-fel¨ulet. L´atni fogjuk, hogy fermionrendszerek viselked´es´eben meghat´aroz´o jelent˝os´eg˝u a Fermi-fel¨ulet ´es annak k¨ornyezete.

Kvadratikus diszperzi´os rel´aci´o eset´en a Fermi-impulzus egyszer˝uen f¨ugg ¨ossze a Fermi-energi´aval, pF = √

2mεF. A Fermi-impulzus illetve a Fermi-energia seg´ıts´eg´evel tov´abbi karakterisztikus hossz- ´es h˝om´ers´ekletsk´al´ak is defini´alhat´oak. ´Igy defini´alhat´o a kF ≡pF/~Fermi-hull´amsz´am ´es az ennek megfelel˝o Fermi-hull´amhossz, λF ≡2π/kF, a fermionok alap´allapotbeli karakterisztikus hull´amhossza, illetve a TF ≡ εF/kB Fermi-h˝om´ers´eklet. Az ¨osszes ´ıgy bevezetett karakterisztikus mennyis´eg val´oj´aban egyetlen

ε f(ε)

εF

1

µ

T = 0

T >0

kBT

2.3. ´abra. A Fermi-f¨uggv´eny z´erus ´es v´eges h˝om´ers´ekleten. Minden energi´ang degener´alt

´allapot tal´alhat´o.

param´eternek, a fermiong´az n=N /V r´eszecskes˝ur˝us´eg´enek f¨uggv´enye, hiszen N =g X

|p|≤p_F

1 =gV h³

4π 3 p³_F, ahonnan ´ıgy

pF =~kF =~ 6π²n/g¹₃ , λF = (3n/4πg)^−1/3 ∼d,

εF = p²_F

2m = ~² 2m

6π² g n

²₃ .

Az ut´obbi eredm´enyt energiaintegr´al seg´ıts´eg´evel is megkaphattuk volna, hiszen N =

∞

Z

0

ρ(ε)f(ε) dε=

εF

Z

0

ρ(ε) dε =gV h³4π√

2m³²2

3ε_F³² =A2 3ε_F³²,

ahol A az ´allapots˝ur˝us´egb˝ol sz´armaz´o prefaktorok ¨osszess´eg´et jel¨oli. Hasonl´oan k¨onny˝u meghat´arozni az ide´alis fermionrendszer alap´allapoti energi´aj´at is,

E =

εF

Z

0

ε ρ(ε) dε=A2

5ε_F⁵² = 3 5εFN .

Az ´allapotegyenletb˝ol ´ıgy azonnal megkaphatjuk a g´az nyom´as´at, p= 2

3V E = 2

5εFn∝n⁵³.

A Fermi-g´aznak teh´at a Pauli-elv k¨ovetkezt´eben T = 0 h˝om´ers´ekleten is nagy nyom´asa

´es v´eges kompresszibilit´asa van!

A kapott eredm´enyek k¨ozel´ıt˝oleg ´erv´enyesek maradnak v´eges h˝om´ers´ekleten is mind-addig, am´ıg a Fermi-g´az

”elfajult” (degener´alt), azazλT n^−1/3 ∼λF. Tekintettel arra, hogyTF ∼~²/mλ²_F, m´ıgT ∼~²/mλ²_T, ez azt jelenti, hogy a Fermi-g´az akkor degener´alt,

”elfajult” (degener´alt), azazλT n^−1/3 ∼λF. Tekintettel arra, hogyTF ∼~²/mλ²_F, m´ıgT ∼~²/mλ²_T, ez azt jelenti, hogy a Fermi-g´az akkor degener´alt,

In document Statisztikus fizika (Pldal 81-0)