2. Ide´ alis g´ azok 81
2.4. Fotong´az, h˝om´ers´ekleti sug´arz´as
Sug´arz´asi t¨orv´eny
A feketetest h˝om´ers´ekleti sug´arz´as´anak tulajdons´agait meg´erthetj¨uk, ha a fotong´azt mint egy ¨uregbe z´art ide´alis bozonrendszert ´ırjuk le. Max Planck el˝osz¨or 1900-ban vezette le a r´ola elnevezett sug´arz´asi t¨orv´enyt Boltzmann eredm´enyeit felhaszn´alva, illetve abb´ol a posztul´atumb´ol kiindulva, hogy a ν frekvenci´aj´u elektrom´agneses sug´arz´as energi´aja E = hν egys´egekben kvant´alt. Planck a kvantumok bevezet´es´et form´alisnak tekintet-te, ´es nem tulajdon´ıtott neki komolyabb fizikai jelent˝os´eget. A fotonkvantumok igazi jelent˝os´eg´et Albert Einstein ismerte fel 1905-ben. A fotoeffektus interpret´al´asakor Eins-tein felt´etelezte, hogy a f´eny kvant´alt energi´aval (´es impulzussal) rendelkez˝o csomagok form´aj´aban terjed, ´es ezzel megalapozta az elemi f´enykvantum, azaz foton r´eszecske in-terpret´aci´oj´at.
A sug´arz´asi t¨orv´eny levezet´es´ehez induljunk ki abb´ol a t´enyb˝ol, hogy egyV t´erfogat´u uregben az elektrom´agneses sug´arz´asi t´er el˝o´all´ıthat´o oszcill´al´o harmonikus elektrom´ag-¨ neses m´odusok ¨osszess´egek´ent! Ezeket a m´odusokat kvant´alva kapjuk a fotonm´odusokat:
egy ω k¨orfrekvenci´aj´u oszcill´ator n-edik gerjesztett ´allapota felfoghat´o ´ugy is, mintha n darab, egyenk´ent ~ω energi´aj´u r´eszecske tart´ozkodna egy az oszcill´atornak megfele-l˝o kvantum´allapotban. Ezeket a gerjeszt´eseket nevezz¨uk fotonoknak. A fotonok spinje S = 1, ´ıgy Bose-statisztik´at k¨ovetnek. A (2S+ 1) = 3 spin´allapot k¨oz¨ul azonban egy nem megengedett, ´ıgy szabad t´erben egy hull´amsz´amhoz k´etf´ele lehets´eges polariz´aci´o tartozik, ´es minden frekvencia degener´aci´oja g = 2. A foton nyugalmi t¨omege z´erus, ´ıgy energi´aja
ε(p) = |p|c= h
λc=hν(p) =~ω(p),
aholνa foton frekvenci´aja,ωa k¨orfrekvenci´aja,λa hull´amhossza,cpedig a f´enysebess´eg.
A feketetest-sug´arz´ast kibocs´at´o ¨ureg fala egyens´ulyban is elnyel ´es kibocs´at fotonokat, ez´ert az N fotonsz´am nem ´alland´o, ´atlagos ´ert´ek´et T ´es V hat´arozz´ak meg. Abb´ol, hogy
a fotonok sz´ama nem megmarad´o mennyis´eg k¨ovetkezik az is, hogy a k´emiai
potenci-´al azonosan elt˝unik, µ = 0. Ekkor ugyanis a legnagyobb val´osz´ın˝us´eg˝u fotonsz´am az
´alland´o fotonsz´am mellett sz´am´ıtott F(T, V, N) felt´eteles szabadenergia sz´els˝o´ert´ek´eb˝ol hat´arozhat´o meg. Ez azonnal a
∂F
∂N
T,V
=µ= 0
felt´etelre vezet.9 Egy ν frekvenci´aj´u ´allapot ´atlagos bet¨olt´esi sz´ama ´ıgy n(ν) = 1
eβhν−1. A dp impulzush´ejba es˝o ´allapotok sz´ama
gV
h34πp2dp= 8πV c3 ν2dν,
amib˝ol r¨ogt¨on ad´odik a (t´erfogategys´egre jut´o) energia u(ν) spektr´alis s˝ur˝us´ege, ugyanis a dν frekvencias´avba ´es egy t´erfogategys´egbe es˝o energiaj´arul´ek
1
VdE(ν) =u(ν) dν= 8π c3
hν3 eβhν−1dν,
⇒u(ν) = 8π c3
hν3 eβhν−1.
Ez a Planck-f´ele sug´arz´asi t¨orv´eny (2.7. ´abra). Bevezetve az η = βhν dimenzi´otlan v´altoz´ot,
u(ν) dν = 8π c3
(kBT)4 h3
η3 eη−1dη ,
a spektr´alis eloszl´as alakj´at teh´at egy univerz´alis f¨uggv´eny hat´arozza meg. Nyilv´anval´o, hogy az ut´obbi eloszl´as η∗ = khν∗
BT∗ maximumhelye h˝om´ers´ekletf¨uggetlen, amib˝ol r¨ogt¨on ad´odik a Wien-f´ele eltol´od´asi t¨orv´eny az energiaspektrum maximum´ara,λmaxT = const.
A Planck-f´ele spektrumb´ol k¨ovetkeznek azok a t¨orv´enyek is, melyek m´ar a sug´ar-z´asi t¨orv´eny megfogalmaz´asa el˝ott is ismertek voltak. Az alacsony frekvenci´as (nagy hull´amhossz´u)hν kBT (η 1) esetben p´eld´aul
u(ν) dν ≈kBT8π c3ν2dν,
9A µ = 0 felt´etel most nem jelent gondot, hiszen ε = 0 energi´aj´u foton´allapot nem l´etezik, ´ıgy ε > µ= 0.
η
η3 eη−1
∼η2 ∼η3e−η η∗ ≈2,821
1,421
2.7. ´abra. A Planck-f´ele sug´arz´asi t¨orv´enyben szerepl˝o univerz´alis f¨uggv´eny (η=βhν).
ami a Rayleigh–Jeans-t¨orv´eny. Ez az eredm´eny klasszikusan hull´amokkal (oszcill´ato-rokkal) is ´ertelmezhet˝o: a dν frekvencias´avba es˝o oszcill´atorok sz´ama 8πc3ν2dν, amelyek az ekvipart´ıci´o-t´etel alapj´an egyenk´ent ´atlagosan kBT energi´aval rendelkeznek. Nagy frekvenci´as hat´aresetben (hν kBT) ad´odik a Wien-f´ele sug´arz´asi t¨orv´eny,
u(ν) dν = e−βhν hν8π c3 ν2dν.
Eszerint a nagy energi´aj´u fotonok klasszikus ide´alis g´azk´ent viselkednek, ´es ahνenergi´aj´u foton´allapot bet¨olt´es´et a klasszikus ∼e−βhν Boltzmann-statisztika hat´arozza meg.
A fotong´az termodinamik´aja
A fotong´az ´atlagos energi´aja E =V
∞
Z
0
u(ν) dν= 8πV c3
(kBT)4 h3
∞
Z
0
η3 eη−1dη
| {z }
Γ(4)ζ(4)=3!π904
,
amib˝ol k¨ovetkezik a Stefan–Boltzmann-t¨orv´eny E
V = 4σ c T4
alakja, ahol a σ egy¨utthat´o az ´un. Stefan–Boltzmann-´alland´o, σ = 2π5kB4
15c2h3 ≈5,67·10−8 W m2 K4.
Az ¨uregben l´ev˝o fotonok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke N = 8πV
c3
∞
Z
0
ν3
eβhν−1dν = 8πV c3
kBT h
3 ∞
Z
0
η2 eη−1dη
| {z }
Γ(3)ζ(3)≈2·1,202
∝T3.
teh´at
E ∼N kBT,
de most N(T) er˝osen f¨ugg a h˝om´ers´eklett˝ol. Az ide´alis fotong´az nyom´as´anak meghat´a-roz´as´ahoz haszn´alhatjuk a (2.11) ¨osszef¨ugg´es ultrarelativisztikus hat´aresetben ´erv´enyes pV =E/3 alakj´at. Ebb˝ol a sug´arz´asi nyom´as
p= 4σ 3cT4.
A fotong´az nyom´asa teh´at nem f¨ugg a t´erfogatt´ol, ´es izotermikus kompresszibilit´asa ennek megfelel˝oen v´egtelen, ¨osszhangban a Bose–Einstein-kondenz´atum eset´eben ´er-v´enyes eredm´ennyel. Mivel a k´emiai potenci´al azonosan elt˝unik, ´ıgy a szabadenergia F =µN−pV =−pV, azaz
F =−4σ 3cV T4.
Ebb˝ol az entr´opia illetve a h˝okapacit´as differenci´al´assal ad´odik, S =−
∂F
∂T
V
= 16σV
3c T3 −−−→T→0 0, CV =
∂E
∂T
V
= 16σV
c T3 ∼N(T)kB. Mindkett˝o z´erushoz tart a III. f˝ot´etellel ¨osszhangban.
A fenti termodinamikai mennyis´egek h˝om´ers´ekletf¨ugg´ese alapvet˝oen az ω(p) ∼ |p| line´aris diszperzi´ob´ol k¨ovetkezik. Szil´ard testekben a hanghull´amok (kvant´alt form´aban fononok) ugyancsak line´aris diszperzi´oval rendelkeznek ´es bozonstatisztik´at k¨ovetnek.
B´ar diszperzi´ojuk anizotrop, ´es a fotonokt´ol elt´er˝oen minden hull´amsz´amhoz h´arom,
´altal´aban k¨ul¨onb¨oz˝o energi´aj´u akusztikus m´odus tartozik, a fononok termodinamikai tu-lajdons´agai rendk´ıv¨ul hasonl´ıtanak a fotong´az termodinamikai tutu-lajdons´agaihoz. P´el-dak´epp a fotonokhoz hasonl´oan a r´acsrezg´esek fajh˝oj´arul´eka is ∼ T3 viselked´est mutat alacsony h˝om´ers´ekleten.10
10AT3-¨os viselked´es a n´eh´any sz´az kelvin alatti h˝om´ers´ekleteken figyelhet˝o meg, eg´eszen alacsony h˝ o-m´ers´ekleten azonban ´altal´aban m´as fajh˝oj´arul´ekok domin´alhatnak (elektronok fajh˝oj´arul´eka, dinamikus r´acshib´ak fajh˝oj´arul´eka, m´agneses szennyez´esek fajh˝oje, stb.).