2. Ide´ alis g´ azok 81
2.3. Ide´alis Bose-g´az, Bose–Einstein-kondenz´aci´o
Ide´alis, szabad bozong´az eset´en az energiaf¨ugg˝o bet¨olt´esi sz´amot a 2.1. ´abr´an v´azolt n(ε) Bose-f¨uggv´eny hat´arozza meg. Ennek megfelel˝oen a r´eszecskesz´amot illetve a g´az energi´aj´at a (2.9) kifejez´esek adj´ak meg. H´aromdimenzi´os kvadratikus diszperzi´oj´u g´azt felt´etelezve, az ´allapots˝ur˝us´eget megint csak ρ(ε) = A ε1/2 alakban ´ırhatjuk fel. Ekkor, bevezetve az x=ε/kBT dimenzi´otlan v´altoz´ot, (2.9) a k¨ovetkez˝ok´epp ´ırhat´o:
N =A
∞
Z
0
√ε 1
eβ(ε−µ)−1dε=A(kBT)32
∞
Z
0
√x 1
ex+α−1dx, (2.16) ahol A = V2πg(2m)3/2/h3 ´es α = −µ/kBT. R¨ogz´ıtett s˝ur˝us´eg ´es h˝om´ers´eklet mellett a (2.16) kifejez´es egy implicit egyenletet jelent aµ(T) k´emiai potenci´al h˝om´ers´ekletf¨ugg´e-s´ere. A (2.16) egyenlet mindk´et oldal´at elosztva V-vel valamint felhaszn´alva a termikus de Broglie-hull´amhossz λT = h/√
2πmkBT defin´ıci´oj´at, kifejezhetj¨uk a g´az s˝ur˝us´eg´et µ illetve T f¨uggv´eny´eben,
n= g λ3T
√2 π
∞
Z
0
√x
ex+α−1dx. (2.17)
A fenti integr´al µ-nek monoton n¨ovekv˝o f¨uggv´enye, azonban csak akkor j´ol defini´alt, ha a k´emiai potenci´al nem pozit´ıv, µ≤0 (α≥0). Ebb˝ol azonnal k¨ovetkezik, hogy negat´ıv k´emiai potenci´alokra a g´azt alkot´o r´eszecsk´ek sz´ama nem lehet nagyobb, mint a µ= 0 k´emiai potenci´al ´altal meghat´arozott nc(T) s˝ur˝us´eg,
nc(T)≡ g λ3T
√2 π
∞
Z
0
√x 1
ex−1dx. (2.18)
Az nc kritikus s˝ur˝us´egben szerepl˝o integr´al kifejezhet˝o gamma- ´es zeta-f¨uggv´enyek seg´ıt-s´eg´evel,
∞
Z
0
xs−1
ex−1dx= Γ(s)ζ(s).
Speci´alisan a sz´amunkra fontos s = 3/2 illetve s = 5/2 ´ert´ekekre ζ(3/2)≈ 2,612 illetve ζ(5/2)≈1,341, ´es ´ıgy
nc(T) = 2,612 g
λ3T . (2.19)
Amennyiben n < nc(T), akkor (2.17)-nek vanα >0 megold´asa. A Bose-g´azt izotermiku-san ¨osszenyomva (azazT = const. mellett azns˝ur˝us´eg´et n¨ovelve) azonbanµfokozatosan n¨ovekszik, am´ıg csak el nem ´eri a kritikus µ= 0 ´ert´eket, amikor isn´eppennc(T). Ekkor
´erv´eny´et veszti a (2.17) formula.
α n(α)
nc
n
α(n)
(a)
T n(T)
nc(T)∼T32
n < nc
n > nc
(b)
2.4. ´abra. (a) A k´emiai potenci´al f¨ugg´ese a r´eszecskes˝ur˝us´egt˝ol adott T h˝om´ers´ekleten.
n > nc-re nincs α, ami kiel´eg´ıten´e a (2.17) egyenletet. (b) A kritikus s˝ur˝us´eg h˝om´ers´ek-letf¨ugg´ese.
Mi t¨ort´enhetn > nc(T) eset´en? A fenti sz´am´ıt´as azt sugallja, hogyn > nc(T) eset´en a termodinamikai limeszben a k´emiai potenci´al 0-v´a v´alik, µ → 0. Ekkor viszont az
ε = 0 energi´aj´u m´odussal illetve az ´allapotokra val´o ¨osszegz´essel ´ovatosan kell b´annunk, hiszen ekkor az ε= 0 ´allapotban makroszkopikusan sok r´eszecske lehet. Val´oban, a (2.2) k´eplet ´ertelm´eben az ε= 0 n´ıv´o ´atlagos bet¨olt´ese
N0 =gn0 = g eα−1
−−→α→0 g
α, (2.20)
ami az α→0 hat´aresetben diverg´al. Ennek a n´ıv´onak a j´arul´eka az energiaintegr´alokra val´o ´att´er´eskor elv´esz, (2.9) csak az ε6= 0 ´allapotban tart´ozkod´o r´eszecsk´ek sz´am´at adja vissza helyesen. A kritikus s˝ur˝us´egn´el nagyobb s˝ur˝us´egekre teh´atN0 ∼V, azaz a r´eszecs-k´ek makroszkopikus h´anyada az ε = 0 ´allapotba
”kondenz´al´odik”. Ennek megfelel˝oen a r´eszecsk´ek sz´ama k´et r´eszre bonthat´o,
N =N0+Nε>0,
ahol a m´asodik tagot a (2.9) ¨osszef¨ugg´es seg´ıts´eg´evel fejezhetj¨uk ki. Ehhez hasonl´oan a s˝ur˝us´eg is k´et r´eszre bonthat´o:
n=n0+nε>0,
ahol n0 = N0/V a kondenz´atum s˝ur˝us´ege, nε>0 pedig a termikus r´eszecsk´ek s˝ur˝us´ege, melyet a (2.17) kifejez´es ad meg. Ha teh´atn < nc(T), akkor l´etezikα >0, melyrenε>0 = n teljes¨ul, ´es ilyenkor a termodinamikai limeszben n0 → 0 elhanyagolhat´o. Ha viszont n > nc(T), akkor α = 0, ´es ennek megfelel˝oennε>0 =nc(T), a kritikus r´eszecskesz´amon fel¨uli r´esz pedig azε = 0 ´allapotba
”kondenz´al´odik” az impulzust´erben,n0 =n−nc(T)>
0.8 Ezt a jelens´eget Bose–Einstein-kondenz´aci´onak nevezz¨uk.
Tegy¨uk most fel, hogy a Bose-g´azn=N /V s˝ur˝us´ege r¨ogz´ıtett, ´es vizsg´aljuk a h˝om´er-s´eklet f¨uggv´eny´eben a jelens´eget! A h˝om´erh˝om´er-s´ekletet cs¨okkentve azon a Tc h˝om´ers´ekleten kezd makroszkopikuss´a v´alni az alap´allapot bet¨olt¨otts´ege, ami teljes´ıti az
n =nc(Tc)
implicit egyenletet. A kritikus Tc h˝om´ers´eklet felett n < nc(T), ´es ennek megfelel˝oen a k´emiai potenci´al v´eges negat´ıv ´ert´eket vesz fel. Ekkor teh´at nε>0 =n a termodinamikai limeszben ´es n0 →0. Ha viszont T < Tc, akkor a (2.19) ¨osszef¨ugg´esb˝ol
nε>0 =nc(T) = n T
Tc
32
, (T < Tc),
8Kondenz´aci´o alatt ´altal´aban azt ´ertj¨uk, amikor egy l´egnem˝u anyag lecsap´odik ´es folyad´ek vagy szil´ard f´azisba rendez˝odik. A Bose-kondenz´aci´o eset´eben a kondenz´atumot alkot´o g´azatomok nem val´os t´erben, hanem az impulzust´erben csoportosulnak.
´ıgy a kondenz´atum s˝ur˝us´ege
A k´emiai potenci´al (pontosabban −α = βµ) lefut´as´at szeml´elteti a 2.5(a). ´abra, a kon-denz´alt atomok n0/n h´anyad´anak h˝om´ers´ekletf¨ugg´ese pedig a 2.5(b). ´abr´an l´athat´o.
T
2.5. ´abra. (a) A dimenzi´otlan´ıtott k´emiai potenci´al h˝om´ers´ekletf¨ugg´ese (b) Azn0/n
alap-´allapoti h´anyad h˝om´ers´ekletf¨ugg´ese
A Tc kritikus h˝om´ers´eklet alatt az energi´ahoz csak a kondenz´atumon k´ıv¨uli atomok adnak j´arul´ekot,
hiszen a kondenz´atum ε= 0 energi´aj´u r´eszecsk´eket tartalmaz csak, energi´aja teh´at z´erus (itt bevezett¨uk az Nc(T) = nc(T)V jel¨ol´est). Ennek megfelel˝oen a kondenz´atumnak nyom´asa sincs. A g´az nyom´as´at a termikus g´azban l´ev˝o r´eszecsk´ek adj´ak, melyek j´arul´eka a nyom´ashoz az E = 3pV /2 ´allapotegyenlet illetve (2.21) szerint
p=g
A Tc kritikus h˝om´ers´eklet alatt a nyom´as teh´at nem f¨ugg a t´erfogatt´ol, csak a h˝om´ers´ek-lett˝ol. A g´azt ´alland´o T h˝om´ers´ekleten ¨osszenyomva a nyom´as fokozatosan n˝o, majd a
(h˝om´ers´ekletf¨ugg˝o) kritikus s˝ur˝us´eget el´erve megindul a kondenz´aci´o, ´es a nyom´as v´alto-zatlan marad (2.6(a). ´abra). Ez azt jelenti, hogy a Bose-kondenz´alt f´azisban v´egtelenn´e v´alik a g´az kompresszibilit´asa, ak´arcsak egy folyad´ek val´os t´erbeli kondenz´aci´ojakor: egy egyens´ulyi folyad´ek-g˝oz elegyben a t´erfogat izotermikus v´altoztat´asakor a g˝oznyom´as v´altozatlan marad, csak az egyes komponensek ar´anya v´altozik.
V p
T1
T2
(a)
T Tc
CV
N kB
∼T32
3 2
1
(b)
2.6. ´abra. (a) Ide´alis Bose-g´az izoterm´ai (T1 > T2) (b) Ide´alis bozong´az fajh˝oje alacsony h˝om´ers´ekleten ´es a kondenz´aci´os h˝om´ers´eklet felett
A (2.21) ¨osszef¨ugg´esb˝ol r¨ogt¨on ad´odik aTc h˝om´ers´eklet alatti h˝okapacit´as is, CV(T < Tc) = 5
2kBNc(T)3 2
ζ 52 ζ 32 = 5
2kBN3 2
ζ 52 ζ 32
T Tc
32 ,
teh´at teljes¨ul a III. f˝ot´etel. A kritikus h˝om´ers´ekleten a fajh˝o v´eges marad, ´es az egy r´eszecsk´ere jut´o h˝okapacit´as
CV(Tc) kBN = 15
4 ζ 52
ζ 32 ≈1,926, (2.22)
ami nagyobb a klasszikus 1,5 ´ert´ekn´el, azaz az egy r´eszecsk´ere jut´o h˝okapacit´as ma-gas h˝om´ers´ekleti ´ert´ek´en´el. Egy hosszabb sz´am´ıt´as seg´ıts´eg´evel megmutathat´o (l´asd a 2.6. f¨uggel´eket), hogy a fajh˝o Tc-n´el folytonos marad, viszont meredeks´ege el˝ojelet v´alt. A fajh˝oben ennek megfelel˝oen T = Tc-n´el jellegzetes, f´azis´atalakul´asokra jellemz˝o cs´ucs jelenik meg (l´asd a2.6(b). ´abr´at). Egy k¨olcs¨onhat´o Bose-g´azban ez a cs´ucs gyenge szingularit´ass´a alakul, T =Tc-n´el a fajh˝o diverg´al.
Albert Einstein 1925-ben j´osolta meg a Bose–Einstein-kondenz´aci´o jelens´eg´et Sa-tyendra Nath Bose fotonstatisztikai munk´aja alapj´an. A Bose-kondenz´aci´o a konden-z´alt anyagok fizik´aja egyik legizgalmasabb jelens´eg´enek bizonyult, mely a legk¨ul¨onf´el´ebb rendszerekben figyelhet˝o meg – v´altozatos form´aban. Mind a szuperfolyad´ekok, mind pedig a szupravezet˝ok fizik´aj´anak m´ely´en a Bose-kondenz´aci´o jelens´ege rejlik, de sz´amos olyan rendszer is tal´alhat´o a term´eszetben, ahol elemi gerjeszt´esek, pl. magnonok mu-tatnak Bose-kondenz´aci´ot. Legtiszt´abb form´aj´aban azonban ultrahideg atomi g´azokban siker¨ult a Bose-kondenz´aci´ot megfigyelni 1995-ben. Ez´ert a felfedez´es´ert Eric Cornell, Carl Wieman ´es Wolfgang Ketterle 2001-ben elnyerte a fizikai Nobel-d´ıjat (Cornell ´es Wieman csoportja 87Rb-b˝ol, Ketterle csoportja 23Na-b´ol hozott l´etre kondenz´atumot).