Fononok

p=pF

!−1

.

Teh´at a Fermi-folyad´ek alacsony energi´as gerjeszt´esei olyanok, mint renorm´alt t¨omeg˝u nemk¨olcs¨onhat´o elektronok. Az alacsony h˝om´ers´ekleti termodinamika ´ıgy megkaphat´o az ide´alis Fermi-g´azra kapott eredm´enyekb˝ol, csak a szabad elektron t¨omege helyett az effekt´ıv t¨omeggel kell sz´amolnunk. A h˝okapacit´as p´eld´aul line´arisan tart null´ahoz, ´es

CV =N kB

π² 2

kBT εF

=V k²_BTm^∗pF

3~³ ,

teh´at aCV =γT h˝okapacit´as meredeks´egeγ ∝m^∗. Az effekt´ıv t¨omeg ´ıgy m´erhet˝o a faj-h˝on kereszt¨ul. Ilyen m´er´esekb˝ol tudjuk, hogy az effekt´ıv t¨omeg a legt¨obb f´emben nagy-s´agrendileg egyezik a szabad elektron t¨omeg´evel, de egyes, ´ugynevezett neh´ezfermion-rendszerekben ak´ar 2-4 nagys´agrenddel nagyobb is lehet ann´al. Ilyen p´eld´aul t¨obbf´ele c´erium- ´es ur´analap´u vegy¨ulet, amelyekben az elektronok k¨oz¨otti er˝os korrel´aci´os effektu-sok vezetnek az effekt´ıv t¨omeg ilyen m´ert´ek˝u n¨oveked´es´ehez. Szint´en Fermi-folyad´ekk´ent

´ertelmezhet˝o a neutroncsillagokbeli er˝osen k¨olcs¨onhat´o, nagy s˝ur˝us´eg˝u nukleonfolyad´ek is.

3.2. Fononok

3.2.1. R´ acsrezg´ esek

A szil´ard testekben terjed˝o kvant´alt r´acsrezg´esek, a fononok kollekt´ıv gerjeszt´esek. Eb-ben a fejezetEb-ben r¨oviden ´atism´etelj¨uk a szil´ardtest-fizik´aban a fononokr´ol tanultakat, ´es megvizsg´aljuk termodinamik´ajukat.

A szil´ard testek r´acsrezg´eseinek le´ır´asa a r´acsot alkot´o atomok ´altal ´erzett U(r1(t),r₂(t), . . . ,r_N(t))

potenci´allal kezd˝odik, ahol r_i(t) az i., Mi t¨omeg˝u atom helye. Klasszikusan arra gondol-hatunk, hogy z´erus h˝om´ers´ekleten minden atom nyugalomban van, kijel¨olve a krist´alypo-tenci´al minimum´at. V´eges h˝om´ers´ekleten az egyes atomok valamilyen rezg´est v´egeznek saj´at egyens´ulyi helyzet¨uk k¨or¨ul. Adiabatikus k¨ozel´ıt´est alkalmazunk, vagyis csak a r´acsatomok helykoordin´at´ainak f¨uggv´eny´eben ´ırjuk fel a r´acspotenci´alt, mivel feltessz¨uk, hogy az elektronrendszer pillanatszer˝uen k¨oveti a r´acsatomok konfigur´aci´oj´anak v´altoz´a-s´at, ´es a r´acsatomok az elektronrendszer ´atlagos hat´as´at ´erzik csak.

Az olvad´aspontn´al j´oval alacsonyabb h˝om´ers´ekleten feltehet˝o, hogy az atomok az egyens´ulyi helyzet¨ukt˝ol csak kicsit mozdulnak el, ´es ´ıgy a potenci´al parabolikus jelleg´et

´erz´ekelik a minimum k¨ozel´eben. A mechanik´aban a kis rezg´esek elm´elete keret´eben kezelhet˝o ez a probl´ema: meg kell keresni a norm´alm´odusokat, amelyek m´ar f¨uggetlen oszcill´atorokk´ent kezelhet˝ok. A harmonikus k¨ozel´ıt´es³ ´ertelm´eben a krist´alypotenci´alt m´asodrendig sorba fejtj¨uk az atomok egyens´ulyt´ol val´o u(t) kit´er´ese szerint,

U(r1(t),r₂(t), . . . ,r_N(t))≈U0+ 1 2

X

i,j

u_i(t) Φ_iju_j(t),

ahol az els˝o rend a lok´alis minimum jelenl´ete miatt nem jelenik meg, ´es Φ_ij a krist´alypo-tenci´al m´asodikderiv´alt-tenzora az i.´es j.atom egyens´ulyi kit´er´ese szerint, az egyens´ulyi helyzetben ki´ert´ekelve. Az atomok egyens´ulyi helyzetekt˝ol val´o kit´er´eseire vonatkoz´o mozg´asegyenlet

Miu¨_i(t) = −X

j

Φ_iju_j(t). (i= 1,2, . . . , N)

A harmonikus k¨ozel´ıt´es miatt minden atomra hat´o er˝o az ¨osszes kit´er´essel line´aris kap-csolatban van. Ez mechanikailag annak felel meg, mintha az ¨osszes atom rug´okkal lenne

¨osszekapcsolva, amelyek rug´o´alland´oit a Φ tenzorok adj´ak meg. A periodikus r´acs mi-att a differenci´alegyenlet megold´asa kereshet˝o Fourier-sor form´aj´aban; term´eszetesen az id˝of¨ugg´est harmonikusnak lehet venni.

Az egyszer˝us´eg kedv´e´ert azt az esetet tekintj¨uk, amikor egy elemi cell´aban egyetlen atom van. Ilyenkor, felt´etelezve, hogy a q hull´amsz´amvektorhoz ω(q) saj´atfrekvencia tartozik, a k¨ovetkez˝o homog´en, line´aris egyenletet kapjuk:

ω²(q)uα(q) =X

β

Dαβ(q)uβ(q), ahol α, β = 1,2,3 Descartes-koordin´at´akat jel¨olnek, ´es

Dαβ(q) = 1 M

X

m

hΦ_m0i

αβe^−iqRm pedig a dinamikai m´atrix. A saj´atfrekvenci´ak n´egyzeteit teh´at a

det

Dαβ(q)−ω²(q)δαβ

= 0

karakterisztikus egyenlet megold´asai adj´ak, amelyek minden egyes q´ert´ekhez a 3×3-as dinamikai m´atrix saj´at´ert´ekei. Minden q-hoz h´arom pozit´ıv ω_λ²(q) saj´at´ert´ek, valamint ezeknek megfelel˝o e^λ_β(q) norm´alt saj´atvektor, ´ugynevezett polariz´aci´os vektor tartozik:

X

β

Dαβ(q)e^λ_β(q) = ω_λ²(q)e^λ_α(q). (λ= 1,2,3)

3A harmonikus k¨ozel´ıt´es term´eszetesen nem ad sz´amot az olyan anharmonikus effektusokr´ol, mint a h˝ot´agul´as.

A dinamikai m´atrix hermitikus tulajdons´aga miatt a polariz´aci´os vektorok 3-dimenzi´os teljes ortonorm´alt rendszert alkotnak. Seg´ıts´eg¨ukkel minden elmozdul´as a Qλ(q, t) nor-m´alkoordin´at´ak szerint fel´ırhat´o

u_i(t) = 1

√N M X

q,λ

e^λ(q)Qλ(q, t) e^iqRi

alakban, ´es a rendszer dinamik´aja f¨uggetlen harmonikus oszcill´atorok seg´ıts´eg´evel ´ertel-mezhet˝o:

Q¨λ(q, t) =ω_λ²(q)Qλ(q, t).

A hull´amsz´amt´erben csak az els˝o Brillouin-z´ona N pontja felel meg k¨ul¨onb¨oz˝o norm´al-m´odusoknak (ahol N a cell´ak sz´ama a szil´ard testben), ´ıgy egy elemi cell´ank´ent egy atomot tartalmaz´o rendszerben a 3 k¨ul¨onb¨oz˝o λ indexszel egy¨utt ¨osszesen 3N f¨uggetlen norm´alm´odus van: a Brillouin-z´ona minden q hull´amsz´am´ahoz 3 m´odus tartozik. Ha cell´ank´ent nem 1, hanem p atom van, akkor egy qvektorhoz 3pf¨uggetlen norm´alm´odus tartozik, vagyis 3pdiszperzi´os ´ag alakul ki. Ezek k¨oz¨ul 3 mindig teljes´ıti azω(q= 0) = 0 felt´etelt, ezek az akusztikus m´odusok.⁴ A marad´ek 3(p−1) m´odus ´ugynevezett optikai m´odus, az ezeknek megfelel˝o gerjeszt´esi ´agak q = 0-n´al nem 0-b´ol indulnak. Az akusz-tikus elnevez´es arra utal, hogy a gerjeszt´esek a kis q hat´areset´eben a hanghull´amoknak felelnek meg, az optikai pedig arra, hogy ionr´acsokban a megfelel˝o m´odusokat optikailag lehet gerjeszteni. A h´arom akusztikus ´ag izotrop anyagban 2 transzverz´alis ´es 1 lon-gitudin´alis ´agra oszthat´o, de ´altal´anos esetben minden saj´atm´odusnak van a terjed´esi ir´annyal p´arhuzamos ´es arra mer˝oleges komponense is.

A (3.2.1) klasszikus egyenlettel a r´acsrezg´esek probl´em´aj´at harmonikus k¨ozel´ıt´esben visszavezett¨uk 3N (´altal´anos esetben 3N p) f¨uggetlen oszcill´atorra. Ezeket kvant´alva a r´acsrezg´esek Hamilton-oper´atora 3N darab f¨uggetlen harmonikus oszcill´atort ´ır le, az egyes oszcill´atorok lehets´eges energiaszintjei (¹₂ +mλ(q))~ωλ(q), ahol az mλ(q) eg´esz sz´amok gerjeszt´esi szinteket jel¨olnek. A fotonokhoz hasonl´oan az energiaszinteket illetve a hozz´ajuk tartoz´o kvantum´allapotot ´ertelmezhetj¨uk ´ugy is, hogy a rendszerben ekkor mλ(q) darab ~ωλ(q) energi´aj´u

”r´eszecske” tart´ozkodik. Ezeket a kv´azir´eszecsk´eket ne-vezz¨uk fononoknak, mλ(q) pedig a (λ,q) m´odus bet¨olt´esi sz´ama. A fononok teh´at a krist´alyr´acs rezg´eseinek kollekt´ıv gerjeszt´esei, hiszen egy norm´alkoordin´ata valamennyi atom j´arul´ek´at hordozza. Egy fonon energi´aj´atελ(q) = ~ωλ(q), kv´aziimpulzus´atp=~q adja (ez ut´obbi hat´arozatlan ~Gerej´eig, ahol G tetsz˝oleges reciprok r´acsvektor).

4Az akusztikus m´odusok a q → 0 limeszben a krist´alyr´acs transzl´aci´oinak felelnek meg, ez´ert az ezekhez a rezg´esekhez tartoz´o k¨orfrekvencia z´erus. Ez azzal ´all ¨osszef¨ugg´esben, hogy a krist´alyr´acsban spont´an s´er¨ul a t´er folytonos eltol´asi invarianci´aja, ´es az ilyen szimmetrias´ert´eshez az ´un. Goldstone-t´etel szerint mindig tartoznak olyan gerjeszt´esek, amelyekre lim

q→0ω(q) = 0.

3.2.2. Fononok termodinamik´ aja

A nemk¨olcs¨onhat´o fononok, vagyis a kvant´alt r´acsrezg´esek harmonikus k¨ozel´ıt´esben sok szempontb´ol hasonl´oak a fotonokhoz. Mivel gerjeszt´esek, sz´amuk nem ´alland´o, ´ıgy a k´emiai potenci´al ´ert´eke itt is 0 lesz. Egy ´allapotban sok fonon lehet, ez´ert statisztik´ajukat a Bose–Einstein-eloszl´as ´ırja le. Az akusztikus fononok diszperzi´os rel´aci´oja kis q-ra szint´en line´aris, ahol a f´enysebess´eg szerep´et a hangsebess´eg veszi ´at. Fontos k¨ul¨onbs´eg, hogy a m´odusok sz´ama a fotonokn´al v´egtelen, m´ıg a fononokn´al 3N p (ebb˝ol 3N m´odus akusztikus), ´es hogy a fononok eset´eben a hangsebess´eg ´altal´aban nem izotrop.

T h˝om´ers´ekleten a fononok ´atlagos energiaj´arul´ek´at Eph=X

adja meg, ahol az ´atlagos bet¨olt´esi sz´amot az

nλ(q) = hmλ(q)i= 1 e^β~ωλ(q)−1 Bose–Einstein-statisztika szolg´altatja.

Az alacsony h˝om´ers´ekleti viselked´esben az akusztikus fononok meghat´aroz´oak, hiszen az optikai ´agak energi´aja ´altal´aban az eg´esz Brillouin-z´on´aban nagy. Alacsony energi´an a 3 akusztikus ´ag diszperzi´os rel´aci´oja line´aris,

εi(p) = ci(p)b p, (i= 1,2,3)

ahol ci(bp)-k a megfelel˝o hangsebess´egek, amelyek f¨uggnek a fonon kv´aziimpulzus´anak bp ir´any´at´ol.

Egyetlen ´ag j´arul´eka alacsony⁵ h˝om´ers´ekleten, a z´erusponti energi´at´ol eltekintve E_phⁱ =X amib˝ol k¨orfrekvencia szerinti integr´al´asra ´att´erve

E_phⁱ = A h´arom akusztikus ´ag egy¨uttes j´arul´eka ´ıgy

Eph

5El´eg alacsony h˝om´ers´ekleten ahhoz, hogy a diszperzi´os rel´aci´onak az ε_i =c_ipline´aris kapcsolatt´ol elt´er˝o r´esz´en l´ev˝o ´allapotok bet¨olt´ese elhanyagolhat´o legyen.

teh´at T = 0 k¨ozel´eben a fotonokhoz hasonl´oan a fonong´az h˝okapacit´asa isCV ∝T³, ami nem meglep˝o, hiszen ugyan´ugy line´aris diszperzi´os rel´aci´oj´u bozonokkal van dolgunk.⁶

Val´odi anyagok alacsony h˝om´ers´ekleti h˝okapacit´as´at m´erve sz´amos szigetel˝oben ez a k¨ob¨os h˝om´ers´ekletf¨ugg´es jelentkezik. F´emes rendszerekben azonban jelen van a vezet´esi elektronok h˝om´ers´eklettel line´arisan sk´al´az´o fajh˝oj´arul´eka (l´asd a Fermi-folyad´ek elm´ele-tet a 3.1. fejezetben), ami alacsony h˝om´ers´ekleten meghat´arozza a h˝okapacit´as lefut´as´at.

Altal´aban az alacsony h˝om´ers´ekleti h˝okapacit´as h˝om´ers´ekletf¨ugg´ese fontos inform´aci´ot´ ny´ujt a kis energi´aj´u gerjeszt´esek term´eszet´er˝ol.

Az el˝obbi levezet´esben az integr´al hat´ar´at kiterjesztett¨uk a Brillouin-z´on´ar´ol az ¨osszes momentumra. Ezt az tette lehet˝ov´e, hogy alacsony h˝om´ers´ekletre szor´ıtkoztunk, ´es a ma-gasabban fekv˝o gerjeszt´esi ´allapotokat figyelmen k´ıv¨ul lehetett hagyni. Ezzel

exponenci-´alisan kis hib´at k¨ovett¨unk csak el. Magasabb h˝om´ers´ekleten figyelembe kell venn¨unk a Brillouin-z´ona v´eges m´eret´et, a line´arist´ol elt´er˝o diszperzi´ot, illetve az esetleges optikai m´odusokat is. A fononok ´ugynevezett Debye-modellje az ut´obbiakat tov´abbra is elha-nyagolja, de ´ıgy is j´ol ´ertelmezhet˝o eredm´enyt ad a h˝okapacit´as h˝om´ers´ekletf¨ugg´es´ere.

A modell a Brillouin-z´on´at egy vele azonos t´erfogat´u g¨ombbel helyettes´ıti, melyen bel¨ul izotrop line´aris diszperzi´ot t´etelez fel. A modellben megjelen˝o maxim´alis k¨orfrekvencia az ωD Debye-frekvencia. Ennek megfelel˝oen ´at´ırjuk a fenti integr´alt (itt az egyszer˝us´eg kedv´e´ert elhanyagoljuk a hangsebess´egek k¨oz¨otti k¨ul¨onbs´eget):

Eph = 3

ωD

Z

0

~ω e^~ω/kBT −1

V

(2π)³4πω² c³dω, ahol az ´allapots˝ur˝us´eg integr´alj´anak a m´odusok sz´am´at kell adnia:

3

ωD

Z

0

V

(2π)³4πω²

c³dω= 3N,

ahonnan ω³_D = 6N π²c³/V. A Debye-frekvencia az atomok s˝ur˝us´eg´et˝ol f¨ugg, ´es azt fejezi ki, hogy az atomok t´avols´ag´an´al r¨ovidebb hull´amhossz´u rezg´esek nem tudnak terjedni a szil´ard testben. ´Ert´eke nagys´agrendi becsl´est ad a legmagasabb gerjeszthet˝o frekvenci´ara.

Seg´ıts´eg´evel akBTD =~ωD ¨osszef¨ugg´esen kereszt¨ul bevezethet˝o aTD Debye-h˝om´ers´eklet, amivel

Eph = 9N kBT T

TD

3 TD/T

Z

0

x³

e^x−1dx= 3N kBT D3

TD

T

,

6Az anal´ogia alapja, hogy a fononok sem hatnak k¨olcs¨on egym´assal, ami harmonikus k¨ozel´ıt´esben teljes¨ul. A krist´alypotenci´al anharmonikus komponensei azonban a fononok sz´or´od´as´ahoz ´es boml´as´ahoz vezetnek, ami elengedhetetlen a val´odi szil´ard testekben tapasztalhat´o termaliz´aci´o biztos´ıt´as´ahoz.

ahol

D3(x) = 3 x³

x

Z

0

y³ e^y−1dy

a harmadrend˝u Debye-f¨uggv´eny. Az x → ∞ hat´aresetet vizsg´altuk az alacsony h˝o-m´ers´ekleti viselked´es tanulm´anyoz´as´an´al. Magas h˝om´ers´ekleten a k¨onnyen igazolhat´o

x→0limD3(x) = 1 ¨osszef¨ugg´es miatt visszakapjuk az ekvipart´ıci´o t´etel´enek, illetve ebben a konkr´et esetben a Dulong–Petit-szab´alynak megfelel˝o ¨osszef¨ugg´est: Eph = 3N kBT. En-nek megfelel˝oen a h˝okapacit´as ∼T³ viselked´ese aTD Debye-h˝om´ers´eklet felett tel´ıt˝odik.

In document Statisztikus fizika (Pldal 115-120)