A MATEMATIKAI VÉGTELEN

Utolsóként azt kell áttekintenünk, miként zajlott a nyugati kultúrában a végtelen fogalmi megragadásának folyamata a matematika területén.

A matematikatörténészek ezt a folyamatot három szakaszra osztják. Az első periódust az antikvitás és a középkor jelenti, ahol nem létezik a végtelen matematikai fogalma; a másodikat a kora újkor, ahol már több végtelenfogalom is létezik (teológiai, kozmológiai), és ahol fokozato-san kidolgozzák azokat a módszereket, amelyek infinitezimális meny-nyiségekkel operálnak, miközben a matematikai végtelenfogalom nincsen pontosan meghatározva; és végül a 19. század végétől

kezdő-66 Lásd Flocon–Taton 1963, 42 és Panofsky 1975, 37.

67 A perspektívának a 17. századi gondolkodásban elfoglalt szerepéről lásd Schmal Dániel és Pavlovits Tamás írását: A perspektíva filozófiai értelmezései a 17. században (in Schmal–Pavlovits 2015, 11–39).

dő időszak, amikor a végtelen fogalma a halmazelmélet segítségével a matematika területén jól meghatározottá válik.⁶⁸ Ez a hosszú folyamat a görög matematikával indul el, amely láthatóan idegenkedett attól, hogy beengedje a végtelent a matematikai racionalitás területére, és a transzfinit számok Cantor általi meghatározásával ér véget, amely le-hetővé teszi különböző végtelenek számszerűsítését és nagyságrendi viszonyba rendezését. Az értelmezők hangsúlyozzák, hogy a végtelen matematizálásának egyik alapvető feltétele volt, hogy a végtelen ma-tematikai fogalma leváljon más végtelenfogalmakról, nevezetesen az ontológiai és a teológiai végtelenről, és hogy meghatározása szigorúan a tiszta matematika területén történjen.⁶⁹

Mit jelent matematikailag szólva az, hogy teljesen kidolgozott foga-lommal rendelkezünk a végtelenről? Ha a görög matematikusoknak nem is volt ilyen fogalmuk, ez nem jelenti azt, hogy nem ütköztek bele a végtelen problémájába a különböző számolási műveletek során.

Az ilyen jellegű problémákban a végtelen elsősorban úgy jelent meg, mint „egy műveleti folyamat továbbfolytatásának egyszerű lehetősége anélkül, hogy e folyamat bárhol határoló elvbe ütközne” (Desanti 1990, 283). Ilyen helyzet leginkább a folytonos (kontinuus) mennyiségekkel folytatott műveletek esetén állt elő. Az értelmezők megegyeznek ab-ban, hogy a matematika területén a végtelen fogalmi megragadásának és racionalizálásának nehézségét a görög számfogalom okozta.⁷⁰ Mi-ként azt Eukleidész Elemei 7. könyvének második definíciója nyilván-valóvá teszi, a görögök a számot az egység megsokszorozásaként hatá-rozták meg: „Szám az egységekből összetevődő sokaság” (Eukleidész 1983, 206). Ez a definíció, amely a püthagoreus hagyományból szárma-zik, csak a természetes pozitív egészszámokat tekinti számnak. A pü-thagoreusoknál a számok a rend és a mérték alapelvei, és ezek biztosít-ják a kozmosz racionális felfoghatóságát. Mivel azonban a természetes számok diszkrét jellegűek, ezért nem képesek kifejezni a kontinuus mennyiségek természetét, amelyek pedig mindenhol jelen vannak a geometriában. A természetes számok és a kontinuus mennyiségek

68 Ez a periodizáció, amely többnyire elfogadott a történészek körében, Jean-Toussaint Desanti „Matematikai végtelen” című tanulmányából származik (Desanti 1990, 283–284). Ez a tanulmány, amelyre itt nagymértékben támaszkodom, nemcsak a matematikai végtelen fogalmának kialakulását követi végig, hanem alapos elemzé-seket tartalmaz a különböző végtelenfogalmak egymáshoz való viszonyaira vonatko-zóan is.

69 „E folyamat során a matematikai végtelen fogalma autonómiára tett szert: teljes mértékben levált az ontológiai fogalomról” (Desanti 1990, 283).

70 Erre vonatkozóan lásd Desanti és Gardies elemzéseit (Desanti 1990, 283–284;

Gardies 1989).

összemérhetetlensége először annak felfedezése nyomán vált nyilván-valóvá, hogy a négyzet átlójának és oldalának nincsen közös mértéke, azaz az egyik matematikailag visszavezethetetlen a másikra. Ugyanez a fajta összemérhetetlenség szolgál alapul a Zénón-paradoxonoknak.

A görög matematikusok számtalan nehézségbe ütköztek amiatt, hogy nem tudták a folytonos nagyságokat visszavezetni a természetes szá-mokra.⁷¹ Ez magyarázza a pozitív matematikai végtelenfogalom hiá-nyát is a görögöknél. Arisztotelész volt az első, aki összekapcsolta a kontinuumot a potenciális végtelen fogalmával, amikor egzakt meg-határozását adta az előbbinek és végtelen oszthatóságát hangsúlyozta.

A két fogalom kapcsolatának meghatározása önmagában azonban nem tette lehetővé egy matematikai végtelenfogalom kidolgozását, mert a kontinuum ellenállt a számolási műveleteknek és a racionalizációnak.

A folytonos mennyiségekkel kapcsolatos számítások azonban, mint például görbe oldalú vagy felszínű geometriai alakzatok területének, illetve térfogatának meghatározása, megkerülhetetlennek tűntek a ge-ometriában. Arkhimédész volt az első, aki elsőként próbálkozott siker-rel a kör területének, valamint a parabola kvadratúrájának meghatá-rozásával. Arkhimédész egy olyan módszert használt, amelyet később

„kimerítéses módszernek” neveztek, és amelynek feltalálása Eudo-xosz nevéhez köthető. A görbe oldalú alakzatok területének kiszámí-tásához egyenes oldalú alakzatokra osztotta a területet. Természete-sen nem lehet tökéleteTermészete-sen lefedni egy görbe oldalú alakzatot egyenes oldalúakkal, de minél inkább megsokszorozzuk ez utóbbiak számát és minél inkább csökkentjük ezek területét, a különbség annál ki-sebb lesz. Arkhimédész a kört végtelen oldalú szabályos sokszögként értelmezte, majd két szabályos hatszöget írt a körbe és köréje. A két hatszög oldalainak növelésével területük különbsége egyre csökken,

71 Jean-Louis Gardies hangsúlyozza, hogy a diszkrét egészszámok és a kontinuum összemérhetetlensége jelentősen befolyásolja a görög arányelméletet. Olyannyira, hogy a görögök kénytelenek voltak két különböző arányelméletet kidolgozni: „Kép-telenek lévén arra, hogy egyetlen elméletben egyesítsék a számok és a nagyságok közötti arányokat, arra kényszerültek, hogy megkettőzzék az arányok elméletét, egy-részt a számok közötti arányokéra, amely Eukleidész 7. könyvében található, és a nagyságok közötti arányokéra, amelyet az 5. könyv tartalmaz, és amelyet a hagyomány Eudoxosznak tulajdonít” (Gardies 1989, 550). Hozzá kell tenni, hogy még ha létezett is a folytonos nagyságokra vonatkozó arányelmélet a korban, komoly korlátokkal bírt.

„Az 5. könyv szerzője, anélkül, hogy összefüggést tudott volna létesíteni az egész-számokkal, a nagyságokat egyenlőség és egyenlőtlenségi viszonyok szerint teljesen rendezni tudta” (uo.), ám anélkül, hogy le tudta volna pontosan írni két nagyság vi-szonyát akkor, amikor ezek kifejezhetetlennek bizonyultak a racionális számokkal.

Másként fogalmazva, ez az elmélet nem volt képes racionalizálni a négyzet oldala és átlója közötti viszonyt.

és a kör területe felé konvergál. Ezzel az eljárással Arkhimédésznek sikerült meghatároznia a kör átmérője és kerülete közötti viszonyt (π), ami irracionális szám. A parabola alatti terület (parabolaszelet) határozásához Arkhimédész háromszögeket használt, és sikerült meg-mutatnia, hogy egy adott parabola alatti terület egyenlő ama három-szög területének négyharmadával, amelynek csúcsa az a pont, ahol a parabola érintője párhuzamos azzal a parabolaszelővel, amely a para-bolaszelet alapját képezi.⁷² Arkhimédész olyan matematikai módszert dolgozott ki tehát, amely a végtelenül osztható nagyságok területének kiszámítására szolgált. A történészek azonban hangsúlyozzák, hogy Arkhimédész ezt a módszert csak a műveleti eljárásokban használta anélkül, hogy felvette volna a véglegesen kidolgozott módszerei kö-zé.⁷³ A görög matematikát összességében jól jellemzi tehát az a már idézett arisztotelészi meglátás (A természet 207b29–31), amely szerint a matematikusoknak nincsen szükségük a végtelenre. Eltekintve né-hány arra irányuló próbálkozástól, hogy bizonyos kontinuus mennyisé-geket kalkulálhatóvá tegyenek, a matematikai végtelen fogalma nem jelenik meg.⁷⁴

A középkorban, az arab kultúrát leszámítva, a matematika nem mu-tatott látványos fejlődést. Arkhimédész írásait, amelyek befolyásolhat-ták volna a folytonos nagyságok természetére irányuló kutatásokat, ebben a korban nem ismerték. Ennek ellenére a középkorban is foly-tak olyan, a végtelennel kapcsolatos kutatások, amelyek hatást gyako-roltak a matematikára. Ezeket egyrészt az isteni végtelenség fogalmá-nak 13. századi kidolgozása, másrészt a peripatetikus tézisek 1277-es elítélése motiválta. Pierre Sergescu azt hangsúlyozza, hogy e körülmé-nyek következtében a 14. században egyes teológusok modernnek

ne-72 Sergescu 1949, 5; Desanti 1990, 285; Cléro – Le Rest 1980, 23–32; Boyer 1949, 48–60; Sain 1986, 181–189. Az értelmezők hozzáfűzik, hogy Arkhimédész kimerítéses módszere alkalmatlan arra, hogy új ismereteket tárjunk fel általa: „…ha adottak bizo-nyos posztulátumok, akkor kifogástalan bizonyítási módszerként működik, ám nem alkalmas új felfedezésekre. Alkalmazása szükségszerűen a bizonyítandó eredmények előzetes ismeretét feltételezi.” (Bourbaki 1960, 179.)

73 „Ha heurisztikus célból használt is »infinitista« módszereket, teoretikus szem-pontból (azaz minden alkalommal, amikor egy problémának kanonikus bizonyítását akart adni), igyekezett kikerülni azokat” (Desanti 1990, 285).

74 Desanti hangsúlyozza, hogy „a végtelen, amellyel [a görögök] csak műveleti szin-ten találkoztak, soha nem tesz szert olyan fogalmi státuszra, amelynek köszönhetően az elfogadott matematikai tárgyak körébe tartozhatott volna” (Desanti 1990, 285).

Gardies ugyanezt állítja: „szimptomatikus, hogy Arkhimédész egész életművében, amely oly jelentős mértékben járult hozzá ahhoz, amit hajlamosak vagyunk a végtelen kalkulációjának nevezni, maga a végtelen szó mindössze kétszer fordul elő […] annak a tézisnek a megfogalmazásában, amelyet a szürakuszai megcáfol, és amely szerint a világmindenségben lévő homokszemek száma végtelen” (Gardies 1989, 552).

vezhető elméleteket dolgoztak ki a végtelenre vonatkozóan, amelyek azonban később feledésbe merültek.⁷⁵

A 13. századi skolasztikus gondolkodók két új fogalmat vezettek be a végtelennel kapcsolatban: a kategorematikus és a szünkatego-rematikus végtelen fogalmát. E fogalmak a középkori grammatikából és logikából származnak. A „szünkategorematikus” terminussal azon kifejezéseket jelölték, amelyek más kifejezések jelentésének megha-tározására szolgálnak, önmagukban azonban nincsen saját jelentésük.

Ilyenek például az „egy”, a „minden”, az „és” stb. A szünkategore-matikus terminusokat mindig más kifejezésekhez kell társítani ahhoz, hogy egy meghatározott jelentéssel bírjanak.⁷⁶ A kategorematikus ki-fejezések ezzel szemben a szubsztanciák vagy attribútumok nevei, amelyek saját jelentéssel rendelkeznek. A skolasztikus gondolkodók ezeket a grammatikai kategóriákat a végtelen fogalmára is kiterjesztet-ték, ami azt jelentette, hogy a „végtelen” kifejezést lehetett szünka-tegorematikus és kaszünka-tegorematikus értelemben is érteni. A szünkate-gorematikus és a kateszünkate-gorematikus végtelen megegyezik a potenciális és aktuális végtelen arisztotelészi fogalmaival.⁷⁷ Grammatikai

kontex-75 Sergescu 1949, 8. Lásd szintén Sergescunak a 14. századi matematikai végtelenre vonatkozó előadását: Le développement de l’idée de l’infini mathématique au XIV^e siècle (Sergescu 1947).

76 Roger Ariew, aki pontos összefoglalást ad a szünkategorematikus és a katego re-matikus végtelenre vonatkozó skolasztikus nézetekről, megadja a szünkategore re-matikus terminusok teljes listáját (Ariew 2011, 260, 82. jegyzet). A szünkategorematikus és kategorematikus végtelen jelentéséről lásd még Schmal 2013, 83–84, 2. jegyzet.

77 Jean-Louis Gardies ezzel szemben megjegyzi, hogy a szünkategorematikus és a kategorematikus végtelent tévesen azonosították a potenciális és aktuális végtelen-nel. Szerinte egyes szerzőknél, főként a késői skolasztikában, a szünkategorematikus és kategorematikus végtelen valójában az aktuális végtelen két fajtáját jelentette: a szigorú értelemben vett (proprie dictum) aktuális végtelent és a megengedő értelem-ben vett (improprie dictum) aktuális végtelent. Gardies szerint ez a megkülönbözte-tés oly mértékben előremutató, hogy már a Dedekind és Cantor által bevezetett, a megszámlálható és megszámlálhatatlan végtelen közötti különbséget előlegezi meg:

„a megszámlálható és a megszámlálhatatlan végtelen vázlatos megkülönböztetése, amellyel a késői skolasztikában találkozunk, következmények nélkül maradt. Már a szóhasználatban is megfigyelhető lett volna azok számára, akik tudják, hogy a konti-nuum számossága meghaladja a megszámlálható végtelen számosságát, hogy tudniillik azok a skolasztikusok, akik ezt a megkülönböztetést felvázolták, a mi megszámlálható végtelenünket, azaz az ő kategorematikus végtelenüket minősítették egyedül szigorú értelemben aktuális végtelennek, míg az egyenes pontjainak halmaza volt a példa számukra a megengedő értelemben aktuális végtelenre” (Gardies 1989, 556). Gardies a Coimbrai Jezsuita Kollégium tagjaira utal név említése nélkül. Roger Ariew, aki a szünkategorematikus és kategorematikus végtelen megkülönböztetésének teljes kö-zépkori történetét feltérképezi, ezt a tanítást egyedül Eustachius a Sancto Paulo

cisz-tusban például egy olyan kifejezés jelentése, mint hogy „végtelenül nagy”, attól függ, vajon kategorematikus vagy szünkategorematikus értelemben értjük-e: az első értelemben olyan dolgot jelöl, ami ak-tuálisan végtelenül nagy, a másodikban pedig olyat, ami végtelenül megnövelhető, azaz valami olyat, ami csak lehetőség szerint végtelen.

A 14. századi teológusok azon gondolkodtak, vajon Isten képes-e a szó kategorematikus értelmében végtelenül nagyot vagy végtelenül kicsit teremteni. A kozmológiai végtelen kapcsán már láttuk, hogy a 14. szá-zadi gondolkodók (néhány ritka kivételtől eltekintve) tagadták a ka-tegorematikus végtelen létét a természetben.⁷⁸ Ennek ellenére ez a kérdés jelentős mértékben motiválta például a folytonos nagyságokra vonatkozó kutatásokat a korban, még ha a matematikai apparátus nem is volt alkalmas az ezzel kapcsolatos problémák elemzésére.⁷⁹

A kora újkor kezdetén már háromféle végtelenfogalmat különböz-tettek meg: a teológiai végtelent, amely Istenre, a kozmológiai végte-lent, amely a világra és a privatív végtevégte-lent, amely a folytonos mennyi-ségekre vonatkozik. Ebben a korban látványos fejlődésnek lehetünk tanúi a matematika legkülönbözőbb területein: ekkor találják fel a projektív geometriát, az analitikus geometriát, a valószínűség-számí-tást és az infinitezimális kalkulust, és majdnem mindegyik területen

terci szerzetesnek (Eustache Asseline, 1575–1640) tulajdonítja: „Eustachius a Sancto Paulo tanítása jelentős eltérést mutat az általánosan elfogadott nézettől […]. Úgy tű-nik, mintha Eustachius szerint a szünktegorematikus végtelen az aktuális végtelen egy fajtája lenne.” (Ariew 2011, 262.) Azonban Ariew hozzáteszi: „Eustachius az »ak-tuális végtelen« és a »szünkategorematikus végtelen« kifejezéseket használva játszik a szavakkal. Lényegében nem állítja azt, hogy a szünkategorematikus végtelen szigo-rú értelemben aktuális végtelen lenne […], és visszatér az általánosan elfogadott meg-ítéléshez.” (Ariew 2011, 263.) Ariew szerint tehát nem tévedés a szünkategorematikus végtelent a potenciális végtelennel, a kategorematikus végtelent pedig az aktuális végtelennel azonosítani.

78 Ariew a következőképpen foglalja össze a kor ezzel kapcsolatos álláspontját:

„Az általános tanítás (pontosabban Arisztotelész kiigazítása) az volt, hogy tagad-ták a kategorematikus végtelent (számosság és nagyság szerint), és elfogadtagad-ták a szünkategorematikus végtelent (számosság és nagyság szerint). Ez egyet jelentett az aktuális végtelen elutasításával és a potenciális végtelen elfogadásával. Természete-sen voltak olyan gondolkodók, mint Gregorius de Rimini és Albertus de Saxonia akik amellett érveltek, hogy Isten tud kategorematikus végtelent teremteni a természet-ben.” (Ariew 2011, 260–261.)

79 A 14. századi eredményekkel kapcsolatban Sergescu megjegyzi, hogy a kor vég-telennel foglalkozó gondolkodói „rendkívüli felfedezéseket tettek pusztán elméjük erejére támaszkodva, ám nem ismerték azokat a matematikai tényeket, amelyek alkal-masak lettek volna levezetéseik alátámasztására” (Sergescu 1949, 8). Az infinitezimá-lis kalkulus középkori előzményeiről részletes elemzéseket találunk Boyer The History of Calculus and its Conceptual Development című könyvének „Medieval Contributions”

című fejezetében (Boyer 1949, 61–95).

fontos szerepet játszik a végtelen. A projektív geometriában megha-tározzák a végtelenben lévő ún. ideális pontot, amelyben a párhuza-mosok metszik egymást, továbbá szigorú megfeleltetést hoznak létre véges és végtelen alakzatok között. Ezek a végtelennel kapcsolatos matematikai problémák többnyire visszavezethetőek az analízisre, avagy az infinitezimális kalkulusra, amelynek fő rendeltetése, hogy a folytonos mennyiségeket matematikailag kalkulálhatóvá tegye. A kora újkor komoly erőfeszítéseket tesz tehát a kontinuum matematizálása érdekében. Ennek ellenére a matematikai végtelen fogalma csak két évszázaddal később válik jól meghatározottá.

A kora újkor legfőbb hozzájárulása a matematikai végtelenfogalom fejlődéséhez kétségkívül az infinitezimális kalkulus (vagy röviden csak kalkulus) kidolgozása volt. Ennek folyamata végigköveti az egész 17. századot, attól kezdve, hogy Galilei meghatározza az első mozgás-törvényeket egészen Leibniz Nova methodus pro maximis et minimis című tanulmányának 1684-es, valamint Newton Philosophiae naturalis principia mathematica című művének 1687-es megjelenéséig. A foly-tonos mennyiségek pontos matematikai meghatározásának kényszere számos területen jelentkezett: a mechanikában éppúgy, mint a mate-matikában. A természetfilozófiában Galilei és Descartes meghirdették a fizika matematizálásának programját, ami szükségessé tette a fizikai jelenségek, elsősorban a természetes mozgások visszavezetését a geo-metriai racionalitás területére úgy, hogy matematikailag megfogalma-zott általános törvényszerűségeket mutatnak ki bennük.⁸⁰ Márpedig a mechanikai mozgástörvények matematizálása éppúgy, mint a pillanat-nyi sebesség meghatározása egy gyorsuló vagy lassuló mozgás során csak úgy volt lehetséges, hogy a kontinuumot matematikai eszközök-kel kalkulálhatóvá teszik. Mivel a természetes mozgás kontinuum, a mozgás kezdete és vége (amikor egy test elhagyja vagy eléri a nyu-galmi állapotot), valamint egy gyorsuló vagy lassuló test mozgása azt feltételezi, hogy a mozgó test végtelen pillanat alatt végtelen sebes-ségfokon halad keresztül, aminek pontos matematikai elemzése felté-telezte az infinitezimális kalkulus ismeretét. A matematikában a vég-telen kiszámításának igénye az integrál- és a differenciálszámításban jelentkezett. Az integrálszámítás a görbe oldalú síkidomok felszíné-nek, görbék alatti területekfelszíné-nek, a görbe felszínű testek térfogatának, valamint súlypontoknak a meghatározását jelentette, a

differenciálszá-80 A tudománytörténészek különbséget tesznek a fizika geometrizálása és matematizálása között (Blay 1993, 21; Blay 1998). Galilei és Descartes programjában még a fizika geometrizálásáról van szó, ám később, éppen az infinitezimális kalkulus fejlődése révén, a geometrizálás programját felváltotta a fizika matematizálása.

mítás pedig görbékhez húzott érintők meghatározásakor használatos.

Az infinitezimális kalkulus végső kidolgozása akkor történt, amikor Leibniznek és Newtonnak sikerült ezt a két problémakört, azaz az integrál- és a differenciálszámítást egyesítenie úgy, hogy egyetlen al-goritmusra vezették vissza a kettőt.

Arkhimédész írásai, amelyeket a 16. században fedeztek fel újra, ko-moly lökést adtak az integrálszámítás fejlődésének a 17. század elején.

A kora újkori matematikusok egy új módszert fejlesztettek ki, amely görbe oldalú síkidomok felszínének kiszámítására szolgált, és ame-lyet „az oszthatatlanok módszerének” neveztek. Ez a módszer első-ként Bonaventura Cavalieri Geometria indivisibilibus continuorom nova quadam ratione promota (1635) című művében jelent meg. E módszer lényege Cavalieri meghatározása szerint az, hogy egy görbe oldalú sík-idomot végtelen számú oszthatatlan részre osztunk annak érdekében, hogy meg tudjuk határozni területének viszonyát más, már ismert te-rületekhez. Egy egyenes szakasz oszthatatlanjai a pontok, egy sík oszt-hatatlanjai az egyenesek, egy test osztoszt-hatatlanjai pedig a síkok. A mód-szer a síkidomokat vagy a testeket úgy tekinti, mint oszthatatlanjaik végtelen összegét vagy integrálját, és ez az átalakítás teszi lehetővé a felszín vagy a térfogat kiszámítását.⁸¹ Az oszthatatlanok Cavalieri által kidolgozott módszerét Torricelli, Fermat, Roberval és Pascal fejlesz-tette tovább. Fermat, Roberval és Pascal, Cavalierivel ellentétben, az oszthatatlanokat nem tekintették más természetű alakzatoknak ahhoz az alakzathoz képest, amelynek az oszthatatlanjai, azaz nem tulajdo-nítottak nekik eggyel kevesebb dimenziót. Az oszthatatlanokat ettől kezdve nem valódi oszthatatlanoknak, hanem végtelenül kis nagysá-goknak tekintették: végtelenül kis szakaszoknak, síkoknak vagy tes-teknek. Egy testet például végtelenül kis átmérőjű hengerekre, egy síkidomot végtelenül kis alapú téglalapokra, egy egyenest végtelenül kis szakaszokra osztottak, és e részek összege vagy integrálja adta ki az eredeti alakzat hosszát, felszínét vagy térfogatát. E módszer már nemcsak egy görbe oldalú síkidom vagy test felszínének vagy térfoga-tának összehasonlítását tette lehetővé egy másik, már ismert nagysá-gú felszínnel vagy térfogattal, hanem azt is, hogy kiszámítsák az adott alakzat felszínét, térfogatát vagy súlypontját. Ez az eljárás azt tette szükségessé, hogy egy véges nagyságot végtelen részre osszanak fel, és utána ezek összegéből alkossák meg az adott nagyságot.⁸² Míg az oszthatatlanok módszere igen gyümölcsözőnek és hatékonynak

bizo-81 Lásd Koyré: Bonaventura Cavalieri et la géométrie des continus (in Koyré 1973, 334–361).

82 Sergescu 1949, 11–23; Cléro – Le Rest 1980, 39–48; Boyer 1949, 111–137.

nyult, a végtelenül sok, végtelenül kis rész összegzése vagy integrálása több olyan problémát is felvetett, amit a 17. század első felében még nem tudtak megnyugtatóan kezelni. Ilyen volt a határérték problémá-ja, valamint az egyenlőség problémája az eredeti alakzat és végtelenül kis részeinek összege között.

Az érintők meghatározása adott görbéhez, azaz a differenciálszámítás párhuzamosan fejlődött az integrálszámítással. E téren Fermat, Rober-val és Descartes alkotott maradandót. Fermat és Descartes körülbelül egy időben dolgozták ki az analitikus geometriát, amely megnyitot-ta az umegnyitot-tat olyan módszerek előtt, amelyek görbékhez megnyitot-tartozó érintők meghatározását tette lehetővé. Az érintőt olyan szelőként határozták meg, amely egyetlen pontban metszi a görbét, és a szelő határának te-kintették olyan értelemben, hogy a két metszéspont különbsége vég-telenül kicsi, azaz nulla (Cléro – Le Rest 1980, 86). A Geometriá ban Descartes kétfajta görbét különböztet meg egymástól: azokat, ame-lyek leírhatóak algebrai egyenlettel és azokat, ameame-lyek nem. Az első fajtába tartozókat „geometriai” görbéknek, a másodikba tartozókat

„mechanikus” vagy „transzcendens” görbéknek nevezi. Descartes (a ciklois kivételével)⁸³ csak a geometriai görbékkel foglalkozott, a me-chanikus görbéket kizárta a geometria területéről. A matematikatörté-nészek szerint ez a megkülönböztetés akadályozta az infinitezimális kalkulus kidolgozását, amely egyrészt feltételezte a differenciál- és integrálszámítás egyesítését, másrészt minden fajta görbére alkalmaz-ható a descartes-i felosztástól függetlenül.⁸⁴

„mechanikus” vagy „transzcendens” görbéknek nevezi. Descartes (a ciklois kivételével)⁸³ csak a geometriai görbékkel foglalkozott, a me-chanikus görbéket kizárta a geometria területéről. A matematikatörté-nészek szerint ez a megkülönböztetés akadályozta az infinitezimális kalkulus kidolgozását, amely egyrészt feltételezte a differenciál- és integrálszámítás egyesítését, másrészt minden fajta görbére alkalmaz-ható a descartes-i felosztástól függetlenül.⁸⁴