A logismák felosztása tárgy

tár)uk szerint osztályozhassuk, arra a korábbi megállapítá-sunkra (l. 26. §) kell visszatérnünk, mely szerint az igazság ter-mészetéből folyólag háromféle igazságtárgy lehetséges: létező,

Logisma

vonatkozás (respectus) jelentés

(sermo) rendszertani hely

(situs) I. Tárgy

(objectum) II. Tartalom

(substratum) III. Kör

(dimensio) IV. Viszony

(relatio)

relatio és osztály. Ennek megfelelőleg a logismákat is három csoportba oszthatjuk, amennyiben vannak:

1. ontologiai

2. relatiós (s ezek között a mathematikai) 3. principialis logismák.

52. {1. Ontologiai logismák} Ontológiai logismák azok, me-lyeknek tárgya valami létező. Nem a logika, hanem a metaphy-sika feladata a létezés legegyetemesebb ismérvét kifejteni, ezért legyen szabad csak arra mutatni rá, hogy önmagunk létezése tudatának alapja az, hogy hatást fejtünk ki, azaz öntevékeny-ségnek vagyunk forrásai. Mivel pedig létezésen ép azon nemét a subsistentiának értjük, amelynek minmagunk is részesei va-gyunk, elkerülhetetlenül a Leibniz-féle létmeghatározásra kell jutnunk, melynek lényege, hogy a létező „ens vi agendi praedi-tum”. Ily létező az egyes ember, növény, állat, égitest stb.

53. {2. Relatiós logismák} Relációs logismák azok, melyeknek tárgya nem a létező, de a relatio. Ezek közül ezútt al a matikai logismák természetét fogjuk megadni. Minden mathe-matikai tudomány viszonyokkal foglalkozik, tehát nem a létező világgal, nem is csak annak formáival: tér és idővel (mint Kant gondolja). Teszi pedig ezt egy sajátos eljárás, a kalkulus segé-lyével, melynek lényege ép a viszony mibenlétéből fakad. Lás-suk e pontokat egyenként.

A mathematika nem a létező világgal foglalkozik: fogalmai-nak és tételeinek érvénye független att ól, hogy azokfogalmai-nak való-ság felel-e meg vagy sem? Például a geometria azon megállapí-tása, mely valamely sokszög területére vonatkozik, érvényében

[50] független att ól, hogy ily sokszögű tárgy valóban létezik-e vagy sem? Hiszen a geometriai alapfogalomnak megfelelő tár-gyak nem is létezhetnek, mert ez ellentétben van az anyag ter-mészetével: kiterjedésnélküli pont, csak egy dimensiójú vonal, csak két dimensiójú sík a valóságban nem fordulhat elő. De a

geometria nem is létező tárgyakról szól, de oly ideális képletek-ről, melyeket konstructio által ismerünk meg s nem a valóság-ból való elvonás révén. A tapasztalás csak megindítja, mintegy kiváltja, de nem alapozza meg a mathematikai fogalmakat.

Ezért ellentétben a valóságtudományokkal, a mathematika nem kisérletekből s megfiggyelésekből indul ki, hanem definnitiókkal alkotja meg fogalmait s eredményei azért exactak, azaz teljesen szabatosak és világosak, mert azon fogalmakban melyekből fel-épülnek, ép csak annyi van, amennyit beléjök helyeztünk.

E körülmény felismerése vezetett számos gondolkodót – el-sősorban Kantot – arra az álláspontra, hogy a mathematika tár-gya nem a test, hanem a tér, illetőleg az idő: az előbbi törvény-szerűségeit kutatja a geometria, az utóbbiét az arithmetika.

Bármily tetszetős is ez álláspont, a mathematika tárgyának ál-talános jellegét nem adja vissza, mert e tárgykör jellegét túlsá-gosan szűkkörűen állapítja meg. Kialakultak ugyanis már oly mathematikai disciplinák, amelyek tárgyai semmiképen sincse-nek tér és időhöz kötve. Ilyen pl. a halmazelmélet, mely bár-mely természetű tárgyak halmazáról szólhat, pl. érvényességek halmazáról is, melyek semmiképen sincsenek tér és időben. Az újkori mathematika tárgyköre már kinőtt a tér és idő kereteiből s így nem mondható, hogy a mathematika a tér és idő törvény-szerűségeivel foglalkozik, hanem tárgyköre ennél tágabb.

A mathematika e sajátos tárgyát akkor ismerjük fel, ha abból indulunk ki, hogy a mathematika nem a tárgyak tartalmi, ha-nem merőben alaki sajátosságaival foglalkozik. „5 + 7 = 12” egy-aránt igaz, akár 5 emberről, almáról, épületről, égitestről, esz-ményről vagy ellenmondásról is van szó. E körülmény azt mu-tatja, hogy az arithmetika igazságai függetlenek ama tárgyak mibenlététől, amelyekre vonatkoznak. Mit jelent az, hogy a mathematika csak a tárgyak formai sajátosságait tekinti? Nyil-ván azt, hogy csak a tárgyak viszonyai érdeklik – függetlenül

att ól, hogy mely tárgyak állanak egymással relatióban. Azért mindegy a 7 + 5 = 12 igazsága szempontjából, hogy mely tár-gyakról van szó, mert a szám voltaképen csak viszonyt jelent, t.

i. azt, hogy az egymásután szempontjából a tárgyak a kezdő-pontt ól (az egységtől) számítva a hányadik helyet foglalják el.

A „hányadik hely” ugyanis ama relatiót jelenti, melyben a sor-rendben levő tárgyak az összes előző tárgyakhoz állanak: pl. a

„4” jelenti azon viszonyt, melyben a negyedik helyen levő tárgy úgy a 3-ikhoz, mint a 2-ikhoz és [51] az 1-sőhöz áll. 1 A szám tehát viszonyt jelent lényegében. Hasonlóképen relatiót jelent a geometriai idom is: pontok viszonyát a térben. A ma-thematika tehát nem valóságelmélet, hanem a relatióelmélet körébe tartozik.

Ámde ez a meghatározás is még túlságosan tág. Lehet relati-ókkal nem mathematikai módon is foglalkozni. Ezt teszi a phi-losophiai relatioelmélet, midőn pl. a relatio egyetemes sajátos-ságait sorolja fel, s a relatiók különböző fajait állapítja meg s azokat osztályozza stb. ² Mindez nem mathematika, bár a relati-ókra vonatkozó igazságokat fejt ki. Van tehát az általános rela-tioelméleten belül még egy megkülönböztető jegy s ebben kell a mathematika illetőleg a mathematika tárgyának specifigcumát keresnünk.

E keresett jegy abban áll, hogy minden mathematikai relatio oly dolgok között áll fenn, amelyek mérhetők. Az arithmetika épúgy, mint az analysis situs, a stereometria épúgy, mint a hal-mazelmélet oly viszonyokkal foglalkoznak, melyek bizonyos egységekkel jellemezhető objektumok között állanak fenn. Ami e kritériumnak híjával van, nem lehet mathematikai viszonylat tagja; ezért nem állhat fenn ilynemű relatio Pl. Goethe és

Pető-1 Mint ezt már Duns Scotus világosan felismerte. V. ö. M. Heidegger: Die Ka-tegorien- und Bedeutungslehre des Duns Scotus. 1916. 62. l.

2 V. ö. Pauler Ákos: Bevezetés a philosophiába. 2. kiad. 1921. 261. l.

fi költői egyénisége, vagy Richard Wagner Parsifalja s Bellini Normája között .

Ámde e mozzanatból önként folyik a mathematikai tárgyak világának egy jellegzetes formai tulajdonsága is. Ez abban áll, hogy a mathematikai viszonylatok kalkulussal fejthetők ki.

Hogy ezen mit kell értenünk, legcélszerűbben egy igen egysze-rű példán állapíthatjuk meg. Ha ezt a tételt állítom fel: 8 + 7 = 15, ez kalkulus által történik, mely a következőben áll: A 8-hoz 7-et v7-ett em, azaz 8 egység7-et 7 egységgel összeadtam s ennek eredményét foglaltam össze a 15-ben. E synthesist az teszi lehe-tővé, hogy valamennyi e)ség teljesen e)forma s ezért összegök pontosan megállapítható. Minden kalkulus azon alapszik, hogy a felhasznált fogalmak egymásnak bizonyos szempontból substituálhatók: ennyiben a kalkulus nem is e)éb, mint teljesen e)enértékű fogalmak synthesise. Teljesen egyenértékű fogal-mak azonban csak azok, amelyek mérhető tár)akat jelölnek meg, mert csak itt lehet maradék nélkül megállapítani, hogy az egyik tárgy valóban egyenértékű, illetőleg nem-egyenértékű a másikkal. A mathematika tárgykörének azon sajátsága tehát, hogy az mérhető dolgokból áll, lényegileg ugyanazt jelenti, mint hogy e tárgyak viszonylatai kalkulus által ismerhetők meg. Ennek alapján kimondhatjuk, hogy a mathematikai logis-ma tár)a mérhető dolgok relatiója, mely kalkulussal ismerhető meg.

54. {3. Principialis logismák} Principialis logismák azok, me-lyek mindennemű tárgy [52] végső előfeltevéseire vonatkoznak;

ilyenek pl. az „azonosság”, „érték”, „lét” stb. Ezek mind egyete-mességek s fennállásuk érvényességökben van. Mint ilyenek osztályokat képviselnek, azaz oly sajátos mozzanatokat, melyek alá vannak e)es dolgok rendelve. Így pl. az azonosságnak minden dolog alá van rendelve, mert minden dolog azonos ön-magával – másszóval: minden dolog az „önön-magával azonos

dolgok” osztályába tartozik. Épígy minden értékes dolog az „ér-ték”-nek, minden létező dolog a „lét”-nek van alárendelve stb.

A principiális logismák tárgyának realitása tehát nem egyéb, mint az osztály realitása, mely egészen sajátos jellegű fennál-lás: érvényesség szemben a subsistentia egyéb fajaival, pl. a lé-tezéssel. Az „universaliák” körül folytatott hosszas vita voltaké-pen az „osztálytag” és az „osztály” fennállási módjának össze-zavarásán alapszik. A „nominalisták” tagadják az osztály, azaz egyetemesség realitását, mert abban olyanféle subsistentiát ke-resnek, mint aminő valójában csak e)es dolgot, vagyis osztály-tagot illethet meg. A „realisták” viszont ad absurdum vezetik az egyetemesség fennállását azért, mert époly értelemben veszik realisnak az egyetemességet, mint ahogy az egyes dolog subsis-tál. Holott a helyes álláspont csak az, mely úgy az egyes dolog-nak (osztálytagdolog-nak) mint az egyetemességnek (az osztálydolog-nak) realitást tulajdonit, de mindkett őnek a maga módja szerint, mely az osztályra nézve az e)etemesérvényűség, az osztálytag-ra nézve pedig a subsistentia más faja pl. a létezés. Egyetemes és egyes, osztály és osztálytag dualismusa nem szüntethető meg, ezek ősadott ságok: ezt fejezi ép ki a principium classifigca-tionis.

55. {A logismák felosztása tartalom szerint} II. Tartalom