A klasszikus megoldás

A számításokat a szemléletesség és az érthetőség megkönnyítése érdekében két táblázat-ban végezzük. Az első tábla a megtakarítási mátrixot és a megrendelt mennyiségeket, a második t₁, t₂,...t_l terhelhetőség szerint csökkenő sorba rendezett a J₁, J₂,...,J_l járműveket és m_k terhelésüket tartalmazza. Az induló táblák a 6.6/a és a 6.6/b táblázatok.

1. lépés

Megkeressük az s_ij mátrix (6.6/a táblázat) legnagyobb elemét, ezt jelöljük s_xy-nal, azaz }

,..., 2 , 1

; ,..., 2 , 1

max{s i nj n

s_xy _ij   .

6.6/a táblázat

P₁ P₂ P₃ P₄ P₅ P₆ r_i

P₁ 0 450 157 38 450 450 4

P₂ 450 0 157 38 696 626 3

P₃ 157 157 0 62 157 157 4

P₄ 38 38 62 0 38 38 2

P₅ 450 696 157 38 0 835 3

P₆ 450 626 157 38 835 0 2

A második táblából (6.6/b táblázat) pedig kiválasztjuk az első járművet, ennek

teherbírá-sa t_k, majd megvizsgáljuk, hogy a jármű kapacitása lehetővé teszi-e a két út összevonását, akkor az utak összevonhatók.

6.6/b táblázat út-megtakarítás 835 km. A P₅ és P₆ fogyasztók igényeit ezzel kielégítettnek tekinthetjük. Az s₅₆ elem ismételt kiválasztását és a járat záródását úgy akadályozzuk meg, hogy az első táblában lefedjük az 5-dik sort és a 6-dik oszlopot, valamint az s₆₅ elem helyére 0-t írunk.

Ezzel egyidejűleg a r₅ és r₆ értékét csökkentsük 0-ra, a második táblában pedig a J₁

Mivel s₂₅>s₆₂, továbbá az

10 8

2 3

3 ₁

6 5

2rr     t 

r ,

ezért a P₅-P₆ járatot elölről bővítjük. Az összevonás után az első járat állomásai P₀-P₂ -P₅-P₆-P₀ lesznek. Az így elért összes megtakarítás:

s25+s56 = 696 + 835 = 1531 km.

Ezt követően az első táblában fedjük le a 2-dik sort és az 5-dik oszlopot, valamint az s₆₂ elem helyére írjunk 0-t. Ezzel egyidejűleg a r₂ értékét csökkentsük 0-ra, a második táblá-ban pedig a J₁ jármű terhelését növeljük r₂=3-mal. A változtatások eredményeként a 6.8/a és a 6.8/b táblázatokat kapjuk.

6.8/a táblázat

P₁ P₂ P₃ P₄ P₅ P₆ r_i

P₁ 0 450 157 38 450 450 4

P₂ 450 0 157 38 696 626 0

P₃ 157 157 0 62 157 157 4

P₄ 38 38 62 0 38 38 2

P₅ 450 696 157 38 0 835 0

P₆ 450 0 157 38 0 0 0

6.8/b táblázat

Jármű J₁ J₂ J₃ J₄ J₅ J₆ J₇

t_k [t] 10 10 6 6 6 6 6

m_k [t] 8 0 0 0 0 0 0

3. lépés

A következő lépésben kíséreljük meg a P₂-P₅-P₆ járatot P₂-be menő vagy P₆-ból induló úttal bővíteni. Most maximális s_ij elemet a 6.8/a táblázat 6-dik sorában és a 2-dik oszlo-pában keresünk:

450 }

,..., 2 , 1

max{s_6j j n s₆₁ , 450 }

,..., 2 , 1

max{s_i2i n s₁₂ . 6.9/a táblázat

P₁ P₂ P₃ P₄ P₅ P₆ r_i

P₁ 0 450 157 38 450 450 4

P₂ 450 0 157 38 696 626 0

P₃ 157 157 0 62 157 157 4

P₄ 38 38 62 0 38 38 2

P₅ 450 696 157 38 0 835 0

P₆ 450 0 157 38 0 0 0

Az P₁ állomás egyaránt kapcsolható lenne P₂ elé vagy P₆ mögé, ha ezt a J₁ jármű teher-bírása lehetővé tenné. Mivel azonban az

10 6-dik sor és a 2-dik oszlop, a második táblában pedig az első oszlop lefedésével jelzünk (6.9/a és 6.9/b táblázatok).

6.9/b táblázat legnagyobbat (6.9/a táblázat), a második táblából pedig kiválasztjuk a második járművet (6.9/b táblázat):

Elvégezzük a szokásos adminisztrációt: az első táblában lefedjük az első sort és a harma-dik oszlopot, az s₃₁ elem helyére 0-t írunk, a r₁ és r₃ értékét 0-ra csökkentjük (6.10/a táblázat), a második táblában a J₂ jármű terhelését r₁+r₃=8-cal növeljük (6.10/b táblá-zat). A megtakarítás: 157 km.

6.10/a táblázat ma-ximális s_ij elemet keresünk a 6.10/a táblázat harmadik sorában és az első oszlopában:

62

Mivel s₃₄>s₄₁, továbbá az

10 10

2 4

4 ₂

4 3

1rr     t 

r ,

ezért a P₁-P₃ járatot hátulról bővítjük. Az összevonás után a második járat által érintett pontok P₀-P₁-P₃-P₄-P₀ lesznek. Az első táblában lefedjük az 3-dik sort és az 4-dik oszlo-pot, az s₄₁ elem helyére 0-t írunk, valamint a r₄ értékét 0-ra csökkentjük (6.11/a táblá-zat). A második táblában pedig az J₂ jármű terhelését növeljük r₄=2-vel (6.11/b táblá-zat). A második járatnál elért útmegtakarítás:

s13+s34 = 157+62 =219 km.

6.11/a táblázat

P₁ P₂ P₃ P₄ P₅ P₆ r_i

P₁ 0 450 157 38 450 450 0

P₂ 450 0 157 38 696 626 0

P₃ 0 157 0 62 157 157 0

P₄ 0 38 62 0 38 38 0

P₅ 450 696 157 38 0 835 0

P₆ 450 0 157 38 0 0 0

6.11/b táblázat

Jármű J₁ J₂ J₃ J₄ J₅ J₆ J₇

t_k [t] 10 10 6 6 6 6 6

m_k [t] 8 10 0 0 0 0 0

6.3. ábra. A mintapélda megoldása

További összevonásra már nincs lehetőség. A szállítást a leggazdaságosabban a két járat-tal, 10 t teherbírású járművekkel lehet lebonyolítani. A járatok által érintett pontok:

P₀-P₂-P₅-P₆-P₀,

P₀-P₁-P₃-P₄-P₀.

Az összes útmegtakarítás: 1531+219 = 1750 km. A járatok útvonalait grafikusan a 6.3.

ábra szemlélteti. A megtett utak:

s1=348+105+65+447=965 km, s2=225+167+87+50=529 km.

6. lépés

A járatok útvonalai körutakat alkotnak, és a körutak élein szállított mennyiségek külön-bözőek. Egy élhez tartozó szállítási munka az élhosszúság és az élen szállított mennyiség szorzata:

ij ij

ij c q

W   ,

ahol: cij az i-edik és a j-edik pont közötti távolság, qij pedig az ij élen szállított mennyi-ség.

Könnyen belátható, hogy az éleken szállított mennyiségek nagysága, és így a szállítási munka nemcsak az útösszevonások, hanem a körút bejárási sorrendjének is függvénye.

Például, ha a mádodik járatnál az eredményként kapott bejárási sorrendet (P₀-P₁-P₃-P₄ -P₀) követjük, akkor az összes szállítási munka:

















c₀₁ q₀₁ c₁₃ q₁₃ c₃₄ q₃₄ c₄₀ q₄₀

W 225∙10+167∙6+87∙2+50∙0=3426 tkm.

Ha megfordítjuk a bejárási sorrendet, azaz a P₀-P₄-P₃-P₁-P₀ útvonalat követjük, akkor a következő eredményt kapjuk:

















c₀₄ q₀₄ c₄₃ q₄₃ c₃₁ q₃₁ c₁₀ q₁₀

W 50∙10+87∙8+167∙4+225∙0=1864 tkm,

ami lényeges eltérést mutat a második bejárási sorrend javára. Ezért minden esetben meg kell vizsgálni, hogy a szállítási munka szempontjából melyik bejárási sorrend ad kedve-zőbb megoldást.

Az első járat vizsgálata arra az eredményre vezet, hogy az eredeti bejárási sorrendhez (P₀-P₂-P₅-P₆-P₀) tartozó összes szállítási munka 3439 tkm kisebb, mint a fordított sor-rendhez (P₀-P₆-P₅-P₂-P₀) tartozó, ami 4281 tkm. A járatok optimális bejárási sorrendje tehát:

P₀-P₂-P₅-P₆-P₀, P₀-P₄-P₃-P₁-P₀. Az algoritmus leírása

A mintapélda megoldása után fogalmazzuk meg kicsit általánosabban a problémát és foglaljuk össze az algoritmust.

A szállítási pontokat (a centrumot és a fogyasztókat) szimbolizálja a G=(P,E) irányítatlan gráf, amely a P szállítási pontok és az E élek halmazából áll. A P halmaz elemeit jelölje p_i (i=0,1,2,...,n), az E halmaz elemeit pedig e_ij (i=j=0,1,2,...,n). Ha a p_i össze van kötve p_j-vel, akkor e_ij=1, különben e_ij=0. Az e_ij-hez rendelt távolsági mátrix c_ij elemei jelentsék a szállítási pontok közötti legrövidebb utakat. Ha e_ij=0, akkor c_ij=M, ahol M végtelen nagy szám. A P halmaz p_i elemeihez rendeljük a megrendelésvektor r_i elemeit. Megálla-podás szerint p₀ jelentse a centrumot.

Legyen J a rendelkezésre álló járművek halmaza, amelynek minden j_k (k=1,2,... ,l)

ele-méhez hozzárendeljük a járműveket jellemző t_k teherbírás- és az m_k terhelésvektorokat.

1. Rendezzük a J halmazt a t_k teherbírás szerint csökkenő sorrendbe.

2. A kapacitáskorlát miatt összevonásra alkalmatlan utakat a vizsgálatból kivonjuk. Eh-hez képezzük a r_i^(u)/t_k hányadosokat minden i>0-ra és k-ra. Ha a

és vesszük a következő járművet, vagyis a k index értékét növeljük eggyel. Ha 1 azokat a szállítási pontokat, ahol r_i=0 elhagyjuk, illetve az elhagyott pontoknak megfele-lő sorokat és oszlopokat a c_ij mátrixból töröljük.

3. Az új c_ij távolsági mátrixból az képletekkel kiszámítjuk az s_ij megtakarítási mátrix elemeit.

4. Az s_ij mátrix fedetlen elemei között megkeressük a legnagyobbat:

}

Ha találtunk 0-nál nagyobb elemet, akkor az 5. lépéssel folytatjuk, különben az eljárás befejeződött.

5. A rendezett J halmazból vegyük a következő j_k járművet, amelynél m_k=0, és megvizs-gáljuk a p₀-p_x-p₀ és a p₀-p_y-p₀ utak összevonásának lehetőségét:

Ha a r_x+r_yt_k, akkor az utak összevonhatók. Lefedjük az x-edik sort és az y-adik oszlo-pot, majd végrehajtjuk a következő változtatásokat:

y

és a 6. lépéssel folytatjuk.

Ha a r_x+r_yt_k, akkor nincs lehetőség az utak összevonására. Lefedjük az y-adik oszlopot, majd végrehajtjuk a következő változtatásokat:

y

k r

m : , :0 ry , és visszatérünk a 4. lépéshez.

6. A p_x-p_y járatot megpróbáljuk p_x-be menő vagy p_y-ból induló úttal bővíteni. Ezért meg-keressük az y-adik sor és az x-edik oszlop maximális elemeit, majd ezek közül először a nagyobbat választjuk:

max{s j_yj 1 2, ,..., }n s_yj*^,

x

ixi n si

s 1,2,...,} *

max{   .

Ha az

x i

yj s

s *  * , és a t_km_kr_j*, akkor a járatot hátulról, az y-ból induló és a j*-ba me-nő úttal bővítjük. Lefedjük az y-adik sort és a j*-edik oszlopot, majd

: _{k j}*

k m r

m   ,

* : , 0 : , 0

: _*

* r y j

r_j  _jx   , és megismételjük a 6. lépést.

Ha az

x i

yj s

s * * , és a t_km_kr_i*, akkor a járatot elölről, az i*-ból induló és az x-be menő úttal bővítjük. Lefedjük az i*-edik sort és a x-edik oszlopot, majd

: _{k i}*

k m r

m   ,

* : , 0 : , 0

: _*

* s x i

r_i  _yi   , és megismételjük a 6. lépést.

Különben nincs lehetőség az útösszevonásra, ezért lezárjuk a járatot: lefedjük az y-adik sort és az x-edik oszlopot, majd visszatérünk a 4. lépéshez.

In document LOGISZTIKAI TERVEZÉS (Pldal 100-107)