A hálózatok terminológiája

A különböző hálózatok és komponenseik leírására alkalmazott terminológia nem egységes. Ez szükségessé teszi, hogy mielőtt a részletekbe belemennénk, definiáljuk azokat a fogalmakat, amelyeket a továbbiakban használni fogunk. A fogalmak memorizálása nem könnyű, ezért a hálózati technikákban járatlan olvasónak javasoljuk, olvassa el és próbálja megérteni a definíci-ókat, majd később, memóriájának felfrissítése érdekében a kifejezések előfordulásakor térjen

vissza azokhoz. Az új fogalmak vastag betűvel szedettek azon a helyen, ahol a definícióját meg-adtuk.

A G(P,E) háló pontok és vonalak halmazából áll. Az E vonalak meghatározott pontpárokat kap-csolnak egymáshoz. A P pontokat csomópontoknak vagy csúcsoknak nevezzük, pl. a 8.1. áb-rán a körrel jelölt csomópontok száma 7. A vonalakat éleknek vagy íveknek nevezzük, pl. a 8.1. ábra a hálózatának 12 éle van. Az élek mindkét végükön csomópontokban végződnek, pl.

az ab egy él az a és b csomópont között.

A hálózat élein különböző áramok folyhatnak, a 8.1. táblázat néhány tipikus példát ismertet. Ha az élen az áramlás csak egy irányban megengedett (pl. egyirányú utca), akkor azt irányított élnek nevezzük. Az irányt az élet jelképező vonal végén egy nyíllal jelöljük. Ha irányított élet két csomópontjának felsorolásával címkézzük, akkor a honnan csomópont mindig megelőzi a hova csomópontot. Például egy élet, amelyik az a csomópontból mutat b-be, ab-ként kell cím-kézni, de választhatjuk az a-b vagy az (a,b) jelölési formákat is. Ha egy élen az áramlás mindkét irányba megengedett, az élet irányítatlan élnek nevezzük. Az irányítatlan éleket gyakran kap-csolat néven is említik, pl. a kapkap-csolata b-vel az ab irányítatlan él.

8.1. ábra. Útrendszer a mintapéldához 8.1. táblázat

Tipikus hálózatok és összetevőik

Csomópontok Élek Áram

Kereszteződések Utak járművek

Repülőterek Légifolyosók repülőgépek

Telefonközpontok kábelek, csatornák üzenetek

Szivattyúállomások Csövek folyadék

A csak irányított élekből álló hálózatot irányított hálózatnak nevezik. Hasonlóan, ha egy háló-zat minden éle irányítatlan, akkor a hálóháló-zat irányítatlan hálóháló-zat. A vegyes (irányított és irányí-tatlan éleket tartalmazó) hálózatok, de akár az irányíirányí-tatlan hálózatok, ha az kívánatos, átkonver-tálhatók irányítottá úgy, hogy minden egyes irányítatlan élet kicserélünk egy pár irányított élre, melyek ellentétes irányba mutatnak.

Ezek után foglaljuk össze definíciószerűen az eddigieket. A G(P,E) hálózat két véges halmazból áll, a P csomópontok és az E élek halmazából. Ha az élek a csomópontok rendezett párjai, a hálózat irányított, az (a,b) élben a az él feje, b az él vége. Ha az élek a különböző csomópontok rendezetlen párjai, akkor a hálózat irányítatlannak mondjuk.

Ha az irányított G(P,E) hálózatban az E egyik eleme (a,b), akkor azt mondjuk az a csomópont össze van kötve a b csomóponttal. Ha a G(P,E) irányítatlan hálózatban (a,b) az E egyik eleme, akkor feltesszük, hogy (a,b)=(b,a), vagyis (a,b) és (b,a) ugyanaz az él.

Ha két csomópont nem kapcsolódik közvetlen éllel egymáshoz, kérdés lehet, hogy létezik-e az éleknek olyan sorozata, amely összeköti őket. Az irányított vagy irányítatlan hálózat

(p₁,p₂),(p₂,p₃),...,(p_n-1,p_n) alakban adott élsorozatát, amely p₁-ből p_n-be vezet, útnak nevezzük.

Az út hossza n-1. Speciális esetként egyetlen csomópont is egy 0 hosszúságú út önmagából ön-magába. Az utat egyszerű útnak nevezzük, ha minden éle és csomópontja különböző, kivéve esetleg az első és utolsó csomópontot. Ha az egyszerű út ugyanazzal a ponttal kezdődik és vég-ződik, akkor körútnak mondjuk. A körút hossza az irányítatlan hálózaton legalább 3.

Például az o és t csomópontokat összekötő egyik út az (o,b),(b,d),(d,t) vagy obdt külön-böző élek sorozata az o-ból t-be és megfordítva (8.1. ábra). Ha a hálózat néhány vagy mind-egyik éle irányított él, akkor megkülönböztetünk irányított és irányítatlan utat. Az irányított út pi

csomópontból pj-be olyan kapcsolódó élek sorozatát jelenti, melyek iránya pj felé mutat. Ilyen-kor az út mentén az áramlás csak az pi csomópontból pj-be lehetséges. Az irányítatlan út eseté-ben pi csomópontból pj-be vezető élsorozat kétirányú lehet.

Egy irányított hálózatban a kör lehet irányított és irányítatlan körút, attól függően, hogy a bele-foglalt utak irányítottak vagy irányítatlanok. A 8.2. ábrán a de-ed egy irányított körút. Ellentét-ben az ab-bc-ac-vel, amely nem irányított körút, egyrészt azért, mert az ac él iránya ellentétes ab és bc irányával, másrészt az abca egy irányítatlan út. Irányítatlan hálózatokban (8.1.

ábra) számos körút van, pl. oa-ab-bc-co. Jegyezzük meg azt is, hogy az egyszerű út definíciója (különböző élek sorozata) kizárja körút fogalmából azt az egy lépésben visszatérő élsorozatot, amikor a visszatérés ugyanazon az élen történik, pl. az ob-bo (8.1. ábra) nem körút, mert ob és bo ugyanazt az élet jelentik. Az ob-bo élsorozatot huroknak nevezik. Azonban de-ed egy irányí-tott kör, (8.2. ábra) mert de és ed különböző élek.

8.2. ábra. Példa az irányított hálózatra

Két csomópontra akkor mondjuk, hogy összefüggő, ha létezik legalább egy irányítatlan út kettő-jük között. (Jegyezzük meg: az útnak nem kell feltétlen irányítottnak lennie, ha a hálózat irányí-tott.) A hálózat akkor összefüggő hálózat, ha a hálózatban minden csomópont-pár összefüggő.

A 8.1 és a 8.2. ábrák hálózatai összefüggőek, de az utóbbi hálózat nem lenne összefüggő, ha az ad és ce éleket eltávolítanánk.

Az irányított hálózatok nagyon fontos osztályát képezik a fák. A kört nem tartalmazó irányított hálózatokat körmentes hálózatnak nevezzük. Az irányított körmentes fa, olyan irányított körmentes hálózat, amely a következő tulajdonságokkal bír:

pontosan egy olyan csomópontja van, ahova nem vezet él, ez a fa gyökere, a gyökéren kívül minden más csomópontba egy él vezet,

a gyökérből minden csomópontba egy út vezet.

Ha adott G=(P,E) összefüggő hálózat, akkor a feszítőfa olyan S(P,T) irányítatlan részhálózata G-nek, amely P összes csomópontját összeköti. Ekkor P bármely két csomópontja között ponto-san egy út fut az S hálózaton, és ha S-hez hozzáveszünk egy élet az E\T kiegészítő halmazból, akkor pontosan egy körút keletkezik.

Egy fát lehet „nevelni” élek (ágak) hozzáadásával a következő eljárás szerint. Vegyük n számú

csomópont halmazát (8.2. ábra) élek nélkül. Az első él a gyökérből bárhova irányulhat. Ezután minden egyes új élnek olyan csomópontok közé kell esnie, amelyek közül az egyik már kapcso-lódik más csomóponthoz, a másik pedig még nem. Ilyen módon növelve a fát elkerülhetjük, hogy körutat kapjunk, és biztosíthatjuk, hogy az összefüggő csomópontok száma eggyel na-gyobb legyen, mint az élek száma. Minden egyes él hozzáadása egyre nana-gyobb fát alkot, és olyan összefüggő hálózat, amely nem tartalmaz irányítatlan körutakat. Az (n-1)-edik él hozzá-adása után az eljárás megáll, mert a fa már kapcsolódik minden egyes (n) csomóponthoz. Az így kapott fa feszítőfa lesz.

Minden feszítőfának pontosan (n-1) éle van. Minimálisan ennyi él szükséges ahhoz, hogy össze-függő hálózatot kapjunk, és maximálisan ennyi él biztosítja a körmentességet. A feszítőfa kulcs-szerepet játszik nagyon sok hálózati problémában, ezek között említhető a minimális költségű feszítőfa, vagy a hálózati szimplex eljárás.

Végezetül hálózati áramokkal kapcsolatban további alapfogalmakra lesz szükségünk. Azt a ma-ximális áramot (végtelen is lehet), amelyet egy irányított él képes átereszteni, élkapacitásnak nevezzük. A csomópontok lehetnek feladó vagy forrás, megrendelő vagy nyelő és átrakó vagy közvetítő csomópontok. A feladó csomópont jellemzője, hogy a beáramló mennyiség ki-sebb, mint a csomópontból kiáramló. Ennek ellentéte a megrendelő csomópont, ahol a csomó-pontba nagyobb áram érkezik, mint amennyi távozik. Az átrakó csomóponton be- és kiáramló mennyiségek egyenlők.

8.2. Mintapélda

A 8.1. ábrán vázolt hálózat egy útrendszer, ahol o a belépési pont. A többi ugyancsak betűkkel jelölt csomópont különböző állomásokat jelképez. Az élekre írt számok az élek költségét, jelen esetben azok hosszát jelentik. A hálózattal kapcsolatban három problémát kell megoldani:

1. Határozzuk meg, melyik útvonalon lehet a legkisebb költséggel eljutni az o belépési ponttól a t csomópontig.

2. Telefonhálózatot kell az utak alatt kiépíteni, biztosítva a kommunikációt minden csomó-pont között. A kérdés, milyen nyomvonalon kell a telefonvonalakat lefektetni ahhoz, hogy az összes vezetékhossz minimális legyen?

3. Az o belépési pontból valamilyen terméket kell a t csomópontba szállítani. Mivel a cso-mópontok közötti élek áteresztőképessége korlátozott, kérdés mekkora az a termékmennyi-ség, amelyet az úthálózat képes átbocsátani.

Az első feladat a legrövidebb út meghatározásával oldható meg. A második kérdésre a minimá-lis költségű feszítőfa ad választ. A hálózat maximális áteresztőképessége pedig a maximális fo-lyam problémájával összefüggő kérdés.