A bázismegoldás javítása a hálózati szimplex módszerrel

A bázismegoldást úgy javítjuk, hogy a 0-ról növekvő nem-bázisváltozók közül kiválasztunk egy olyat, amelynek bevonása javítja a célfüggvényt. Most nézzük meg, hogyan valósítható ez meg a szimplex tábla nélkül. A bemutatáshoz tekintsük a 8.13/a ábrát, amelyen az x12 nem-bázisváltozó, és az 12 él nem-bázisél. Növeljük az x12 értékét 0-ról -ra, ami azt jelenti, hogy az 12 élen  nagyságú folyamot generálunk.

z=2+34=.

a) b)

c) d)

8.13. ábra. A nem-bázisélek bevonásának hatása a célfüggvényre

Ha egy feszítőfához egy nem-bázisélet adunk, akkor egy irányítatlan körutat kapunk. A 8.13/a ábrán a körút 1231. Az  folyam hatására a körút azon élein, amelyek iránya megegyezik az 12 irányával, a folyam -val nő, az ellentétes irányú éleken pedig -val csökken. A körúton kívüli éleken nincs változás.

Most nézzük miként hat az  folyam a célfüggvényre. Ehhez rajzoljuk fel a hálózatot a fajlagos költségekkel és a megváltozott folyamokkal (8.13/b ábra). A célfüggvény változása az ábrából leolvasható:

8.7. táblázat

Nem-bázisél Körút z

12 1231 2+34=1

45 454 3+2=5

53 53145 14+92=2

8.14. ábra. A mintapélda optimális megoldása

Mivel z>0, és a z célfüggvény minimalizálása a feladat, az 12 él bevonása a bázismegoldásba nem kívánatos. Az x12 növelése ugyanis a célfüggvény növekedését eredményezné. Hasonlóan

megvizsgáljuk a többi nem-bázisél bevonásának hatását is (8.13/c és d ábrák). Az optimalitás vizsgálatot a 8.7. táblázatban foglaltuk össze, amelynek eredménye azt mutatja, hogy egyik nem-bázisél bevonása sem csökkenti a célfüggvényt, vagyis a lehetséges bázismegoldás optimá-lis megoldás is (8.14. ábra).

A teljesség kedvéért ismertetjük azt is, mi a teendő akkor, ha valamely él bevonása a bázisba kívánatos, vagyis hogyan hajtható végre a bázisvektor-csere, miként határozható meg a ki- és a belépő bázisváltozó nagysága. Tudjuk, hogy az  folyam hatására a körút azon élein, amelyek iránya megegyezik a bevonandó él irányával a folyam -val nő, az ellentétes irányú éleken -val csökken. A körúton kívüli éleken pedig nincs változás. A belépő bázisváltozó értékének () meghatározásához az élek kapacitáskorlátait kell megvizsgálni. Ahol az áram növekszik, ott a felső határt

ij ij

ij x k

x :  , ahol csökken, ott az alsó határt

0 : _ij

ij x

x

kell figyelembe venni. Az így kiszámított  értékek közül a legkisebb fogja meghatározni a be-lépő bázisváltozó nagyságát, és az xij=0 vagy az xij=kij értékkel kilépő bázisváltozót is. Az utób-bi esetben, amint azt korábban leírtuk, az xij elhagyott bázisváltozó lesz, aminek a konzekvenciái az ij élen, valamint a i és j csomópontokon ugyancsak ismertek.

8.15. ábra. Mintapélda a hálózati szimplex módszerhez

Az elmondottak bemutatására tekintsük a 8.15. ábrán látható hálózatot. A szokásos módon a b_i értékek szögletes zárójelben a csomópontok mellett szerepelnek. A c_ij fajlagos költségeket az élek mellett ábrázoltuk. A példában két él kapacitását korlátoztuk, k₁₄=80 és k₂₅=80 (ezeket ke-rek zárójelbe írtuk), a többi élen a k_ij=M=.

A feladat egy lehetséges bázismegoldását a 8.16. ábra szemlélteti, ahol az áram a 2-5 élen elérte a felső határt, és a bázisélek száma (5) több, mint a feszítőfa éleinek a száma (4). A megoldás-hoz tartozó célfüggvény érték z=3040.

Mivel az x25=80, azaz az élen az áram elérte a felső határt, ezért a felsőkorlát technikának meg-felelően az x25-öt, y25=k25x25=0-val helyettesítjük, megváltoztatjuk az 25 él irányítását, x25

elhagyott bázisváltozó, az y25=0 pedig nem-bázisváltozó lesz. A b2 k25-tel csökken, a b5 k25-tel nő, a c25 pedig előjelet vált. Az így kapott feszítőfa-megoldás a 8.17. ábrán látható.

Tekintettel arra, hogy a feladat degenerált, a következők szerint járunk el. A bázisélek halmazán kijelöljük a feszítőfát, ezt a 1-3, 2-3, 3-4, 3-5 élek alkotják (folytonos vonallal rajzolva a 8.17.

ábrán), így az 1-4 élet nem-bázisélként kezeljük.

8.16. ábra. A mintapélda bázismegoldá-sa

8.17. ábra. Mintapéldához tartozó feszí-tőfa-megoldás

Ezután az előzőekben leírt módon vizsgáljuk meg a nem-bázisélek bevonásának hatását a cél-függvényre. Az eredmény a 8.8. táblázatban látható, és megállapítható, hogy az 14 él bevonása kívánatos, mivel a célfüggvény csökkenését eredményezi. A kérdés még az, hogy az 14 élre mekkora áram adható. Az 14 élen az áram növekszik, ezért a korlát a felső határ, azaz

20 60 80 80

60 ₁₄

14 



k  



  

x 8.8. táblázat

Nem-bázisél Körút z

14 1431 1288=4

21 2132 2+82=8

52 5235 10+2+10=2

Az 13 és a 34 éleken az áram csökken, ezért a korlát az alsó határ, azaz 40

0

1340



 





x

80 0

3480



 





x

8.18. ábra. Az első iteráció után kapott feszítőfa-megoldás

8.19. ábra. A mintapélda megoldása A min{}= 20, ezért az áram a bevont élen és a vele megegyező irányú éleken 20-al nő, az el-lentétes irányítású éleken pedig 20-al csökken. Mivel az x14=80, azaz az áram most ezen az élen is elérte a felső határt, és a felsőkorlát technikának megfelelően az x14-et, y14=k14x14=0-val he-lyettesítjük, megváltoztatjuk az 14 él irányítását, x14 elhagyott bázisváltozó, az y14=0 pedig nem-bázisváltozó lesz. A b1 k14-gyel csökken, a b4 k14-gyel nő, a c14 pedig előjelet vált. Az így kapott feszítőfa-megoldás a 8.18. ábrán látható.

8.5. példa: Oldjuk meg a következő minimális költségű folyam problémát hálózati szimplex módszerrel:

8.6. példa: Egy vállalat a közeljövőben új termék gyártását kezdi meg két üzemében (Ü1, Ü2).

Az üzemek hetente 80, illetve 70 terméket állítanak elő, amit az R1=60, illetve R2=90 termék tárolására alkalmas nagykereskedelmi raktárak készleteznek. Az Ü1 üzemből az R1 raktárba, az Ü2 üzemből az R2 raktárba vasúton korlátlan mennyiségben lehet szállítani. A terméket azonban korlátozott számban egy elosztó központon (C) keresztül közúton is el lehet juttatni a két raktár-ba. A szállítható mennyiség felső határa az Ü1 üzem és a központ, valamint az Ü2 üzem és a központ között egyaránt 50 termék. Hasonlóan korlátozott a C központ és az R1 és R2 raktárak között hetente szállítható mennyiség, ami ugyancsak 50 termék. A fajlagos szállítási költségek az üzemek, a centrum és a raktárak között az alábbi táblázatban adottak:

C R1 R2 Kapacitás

Ü1 3 7  80

Ü2 4  9 70

C  2 4

Kapacitás 60 90

Kérdés a termékeket melyik útvonalakon és milyen mennyiségben szállítsuk ahhoz, hogy az összes szállítási költség minimális legyen.

In document LOGISZTIKAI TERVEZÉS (Pldal 162-166)