A játék megoldása: Nash-egyensúly

A játékelmélet szerint a játék megoldását a Nash-egyensúly adja meg. Ez az a helyzet, amelytől egyik félnek sem éri meg egyoldalúan eltérni.

Nash-egyensúly például az, ha a menetirány szerinti jobb oldalon köz-lekedünk. Mert senkinek nem éri meg azt mondani, hogy – miközben mindenki más jobb oldalon megy – ő áttér a bal oldalra. Hirtelen nagy lenne a szembeforgalom. (Tegyük hozzá: ugyanígy Nash-egyensúly lenne az is, ha mindenki bal oldalon közlekedne. Ekkor a jobb oldalra nem érné meg egyedül áttérni.)

Nash-egyensúly a fogoly dilemma esetében az, ha mindkét rab vall. (Kis ér-tékű perek esetén senki nem indít pert.) Mert ha a másik vall, de én nem, akkor rosszabbul járok: nem öt, hanem tíz évet kapok. (Ha egyedül perlek, akkor a per akkora terhet ró rám, amiért nem kárpótol a nyerés esetén elérhető kártérítés.)

A gyáva nyúl játék vagy a nagy értékű csoportos per esetén pedig az a Nash-egyensúly, ha az egyik fél kooperál, a másik potyázik. (Mindegy, hogy melyik.) Ugyanis, ha a potyázó is kooperálni kezdene, akkor rosszabbul járna:

nem „nyerne”, hanem döntetlen lenne, illetve neki is részt kellene vállalni a per terhéből. Viszont a kooperálónak sem éri meg „visszatáncolni” – mert az ütközésnél vagy a per elmaradásánál még az is jobb, ha ő lesz a „balek”, aki egyedül viseli a költségeket.

Azt ugyan egy adott helyzetről (talán) nem nehéz eldönteni, hogy Nash-egyensúly-e – de az már egy kicsit bonyolultabb kérdés, hogy hogyan keressük meg a Nash-egyensúlyt a sok-sok kimenet között. Az egyszerűség miatt itt csak a szekvenciális játékok esetét mutatjuk meg. (Az 5.3. szövegdobozban látjuk azt, hogy szimultán játékok esetén hogyan található meg a Nash-egyensúly. Az sem túl bonyolult.)

5.3. szövegdoboz: A megoldás megtalálása

Három esetet érdemes elkülöníteni. (i) Amikor van domináns stratégia, (ii) amikor nincs, és (iii) amikor domináns stratégia ugyan nincs, de van egy vagy több dominált.

Domináns stratégia az, amely mindig jobb eredményt hoz, mint bár-mely másik.

Domináns stratégia létezik a fogolydilemmában: a dezertálás mindkét játékos számára az. Lássuk be ezt az állítást most csak az A játékos esetén.

(És ezen keresztül értsük meg a domináns stratégia fogalmát!) Amikor az A játékos dönt két lehetőséggel kell számolnia: B játékos vagy hallgatni fog, vagy beszélni.

– (L1) Ha a B játékos kooperál (hallgat), akkor A jobban jár, ha de-zertál (vallomást tesz). Mert nem kap egy évet, hanem elengedik.

Az 5.3. ábrán ezért is húztuk alá az ezt a választás jelképező 0 értéket.

– (L2) Ha a B játékos dezertál (vallomást tesz), akkor is jobban jár A, ha dezertál (vallomást tesz). Mert nem tíz év börtönt kap, hanem csak ötöt. Az 5.3. ábrán ezért is húztuk alá az ezt a vá-lasztás jelképező 5-ös értéket.

Három esetet érdemes elkülöníteni. (i) Amikor van domináns stratégia, (ii) amikor nincs, és (iii) amikor domináns stratégia ugyan nincs, de van egy vagy több dominált.

Domináns stratégia az, amely mindig jobb eredményt hoz, mint bár-mely másik.

Domináns stratégia létezik a fogolydilemmában: a dezertálás mindkét játékos számára az. Lássuk be ezt az állítást most csak az A játékos esetén.

(És ezen keresztül értsük meg a domináns stratégia fogalmát!) Amikor az A játékos dönt két lehetőséggel kell számolnia: B játékos vagy hallgatni fog, vagy beszélni.

– (L1) Ha a B játékos kooperál (hallgat), akkor A jobban jár, ha de-zertál (vallomást tesz). Mert nem kap egy évet, hanem elengedik.

Az 5.3. ábrán ezért is húztuk alá az ezt a választás jelképező 0 értéket.

– (L2) Ha a B játékos dezertál (vallomást tesz), akkor is jobban jár A, ha dezertál (vallomást tesz). Mert nem tíz év börtönt kap, hanem csak ötöt. Az 5.3. ábrán ezért is húztuk alá az ezt a vá-lasztás jelképező 5-ös értéket.

Látszik, a vallomástétel mind (L1), mind (L2) esetén jobb választás – vagyis függetlenül attól, hogy mit tesz a B játékos.

Ha pedig az A játékosnak van domináns stratégiája, akkor ennek felismerése B játékos döntését jelentősen leegyszerűsíti. Tudhatja, hogy a partnere a domináns stratégiáját fogja választani, ezért csak azt kell eldöntenie, hogy a partnere ezen választása mellett neki mi éri meg job-ban. Csak ezt az egy sort kell fi gyelnie, ebben kell megkeresni a legjobb értéket. A fogolydilemma esetén a legjobb, ha ő is dezertál. (Ezért húzzuk alá az 5.3. ábrán a jobb alsó cellában szereplő 5-ös értéket, illetve az 5.4.

ábrán ugyanott szereplő -1-et.)

Nincs domináns stratégia a gyáva nyúl játékban Ekkor más módon kell megtalálni a megoldást. De ekkor is maradhatunk az „aláhúzogatós módszernél”.

Ilyen esetben a Nash-egyensúlyt úgy találhatjuk meg, ha a B játékos minden döntése mellett megnézzük mi lenne arra A legjobb válasza.

Például:

– (L1) ha B kooperál, akkor (abban az oszlopban) az A jobban jár, ha dezertál

– (L2) ha B dezertál, akkor (abban az oszlopban) az A jobban jár, ha kooperál,

A játékos ezen kifi zetéseit aláhúzzuk. Majd megfordítjuk a kérdést, és A játékos minden lehetséges döntése mellett megkeressük, hogy mi lenne

arra B legjobb válasza – és ezeket is aláhúzzuk. Ha találunk olyan cellát, amiben mindkét érték alá van húzva, az Nash-egyensúly. Látszik, hogy az 5.5. ábrán két olyan cella is van, ami Nash-egyensúly.

Leegyszerűsíti a Nash-egyensúly megtalálását (és a játék leírását, elem-zését), ha domináns stratégia ugyan nincs, viszont van dominált. Dominált stratégia az, aminél egy másik mindig jobb eredményt hoz – függetlenül attól, hogy mit választ a másik. Vagyis a fogolydilemma esetén dominált stratégia a kooperálás. A dominált stratégia felismerése azért fontos, mert azt biztosan nem választja a másik. Ezért azokat fi gyelmen kívül is lehet hagyni az elemzéskor. Ha nagyon sok stratégia van, de ezek egy része dominált, akkor a megoldás megtalálása érdekében elemzendő stratégiák, választások száma jelentősen lecsökkenhet.

Szekvenciális játékoknál – tipikusan – a visszagöngyölítés technikáját szeret-jük alkalmazni. Először az időben későbbi döntést elemezzük, majd amikor ott láttuk, hogy mi lenne egy racionális játékos választása, akkor ezt az eredmény visszük tovább a korábbi döntésekre.

Nem defi niáltuk ugyan, de már ezt alkalmaztuk Károly és Lajos bizalmi problémájának elemzésekor is. Először azt kérdeztük, hogy Lajos mit választana a döntési fa „alján”: teljesítené-e az ígéretét, ha Károly már rendbe tette a kertjét. Az erre adott válasz tudatában tettük fel a második kérdést: Károly rendbe teszi-e Lajos kertjét? Ennek a kérdésnek a megvá-laszolásakor már tudtuk, hogy mit tenne Lajos később, ha Károly rendbe teszi a kertjét. Ezután harmadjára vizsgáltuk azt a döntést, ami időben az első lenne: ajánljon-e Lajos szerződést vagy sem, vállalja-e fel az abban szereplő szankciókat? Erre a választ annak tudatában adjuk meg, hogy:

• ha vállalja a szerződést (jobb oldali ág), akkor a második kérdésre az a válasz, hogy Károly rendbe teszi a másik kertjét, mert azt várja, hogy a végén Lajos teljesíteni fogja az ígéretét;

• ha nem vállalja a szerződést (bal oldali ág), akkor a második kér-désre (vélhetően) az a válasz, hogy Károly nem teszi rendbe a másik kertet, mert attól tart, hogy Lajos végül majd nem teljesíti az ígéretét.