A játék alapfogalma és felírása

Egy játék leírásához, elemzéséhez négy dolgot kell ismerni: a játékosokat, a stratégiákat, a helyzeteket és a felek értékelését (kifi zetését). Ezek egyszerű megértése érdekében vezessük be az ún. fogolydilemma-játékot.

A fogolydilemmát egy olyan történettel szoktuk illusztrálni, mely szerint két rabot vádolnak egy közösen elkövetett bűncselekménnyel, de nincs ellenük kellő bizonyíték. Az ügyésznek vallomásra kell bírni őket. Meg is keresi mind-két rabot, és külön-külön megteszi nekik ugyanazt az ajánlatot:

– ha az adott rab vall és a társa nem, akkor őt elengedik, – ha a másik tesz vallomást és ő nem, akkor tíz évet kap, – ha mindketten vallanak, akkor öt-öt évet kapnak,

– ha pedig egyikük sem vall, akkor egy másik (könnyen rájuk bizonyít-ható) ügy miatt kapnak egy-egy évet.

Lássuk akkor a fogalmakat – alkalmazva erre a példára.

A játékosok azok, akik döntéseket hoznak. Például amikor az ügyész már megtette az ajánlatot a feleknek, akkor ő már nem játékos: döntést a továbbiak-ban a két rab hoz. Ekkor, az ajánlat után, a fogolydilemma játék egy egyszerű kétszereplős játék. (Ebben a fejezetben csak ilyenek szerepelnek majd – de léteznek három-, négy-, sőt nagyon-nagyon sok szereplős játékok is.)

A stratégiák az egyes játékosok számára elérhető alternatívák, amelyek közül választhatnak. A fogolydilemma esetén a tiszta stratégiák:

– az adott rab vallomást tesz, vagy – nem tesz vallomást.

Az előző példában stratégia az, hogy Károly rendbe teszi-e Lajos kertjét vagy sem; vagy az, hogy Lajos ajánl-e szerződést vagy sem; valamint, hogy Lajos betartja-e az ígéretét vagy sem.

Természetesen elképzelhető, hogy nem csak két stratégia (alternatíva) van. A sakkban annyi, ahány lépést adott helyzetben megtehetünk.

Ezek a tiszta stratégiák „kombinálhatók”, és akkor végtelen sok további stratégia lehetséges. Például megtehetjük, hogy bevonjuk a döntésbe a véletlent

– és akkor ún. kevert stratégiákat kapunk. A fogolydilemma esetén például egy lehetséges kevert stratégia az, hogy a rab feldob egy pénzérmét, és akkor tesz vallomást, ha fej. De dobhat kockával is, pörgethet ruletten is stb. Nem kell, hogy a két tiszta stratégia (a vallomástétel és a hallgatás) esélye ugyanakkora legyen. (A stratégiák további jelentésével az ismétlődéses játékok elemzésekor találkozunk majd.)

A helyzetek, kimenetek azok a szituációk, amik a különböző játékosok dön-téseinek kombinációjaként előállhatnak. Egy olyan játékban, amikor mindkét játékos kétféle döntést hozhat, akkor a két-két tiszta stratégia alapján négyféle helyzet állhat elő. A fogolydilemma esetén ezek: (i) csak A rab vall, (ii) csak B rab vall, (iii) egyikük sem vall, (iv) mindketten vallanak. A fogolydilemma esetén ezeket a helyzeteket könnyedén felírhatjuk a 5.3. ábrán látható 2×2-es mátrixban.

Ha a stratégiák száma magas, akkor ilyen mátrixot sem tudjuk felírni – vagy legalábbis nagyon áttekinthetetlen lenne. Ilyenkor is függvények segítségével írjuk le a kimeneteket.

A kifi zetések azok, amiket az egyes helyzetekben az egyes felek kapnak – pontosabban az, hogy mennyire értékelik azokat. Időnként az is elég, ha csak azt tudjuk, hogy melyik jobb, melyik rosszabb. Az 5.3. ábrán a fogolydilemma esetében azt szerepeltetjük, hogy melyik fél hány év börtönt kap abban az esetben.

5.3. ábra Fogolydilemma: a börtönben töltendő évek

Álljon itt egy másik példa is: az ún. kis értékű közös per elindításának prob-lémája. Egy viszonylag kis értékű kártérítési ügyben, amelyben két károsult van, kell dönteni arról, hogy ki indítson pert.

A két játékos: a két károsult.

Mindketten két stratégia közül választhatnak: perelnek vagy nem.

A helyzetet tehát itt is egy 2×2-es mátrixban írhatjuk le.

A kifi zetések:

– aki egyedül perel, az a perrel járó kellemetlenségek miatt több költsé-get visel, mint amennyit nyer a peren (ebben mutatkozik meg az, hogy kis értékű a per: nem hozna annyit, hogy megérje egyedül perelni), – ha együtt perelnek, akkor ez a perköltség megoszlik köztük, és ezért

már megéri a per,

– ha egyikük sem perel, akkor nincs kártérítés,

– ha valaki nem perel, de a partnere igen [őt nevezzük potyázónak (free-rider)], az kártérítést fog kapni a károkozótól. (Pl. azért, mert ha a perben kimondják a károkozó felelősségét, akkor ő inkább fi zet, nem akarja majd egy másik – most már szinte biztosan vesztes – perre pazarolni az erőforrásait, az idejét.)

A helyzetet az 5.4. ábrán mutatjuk be. Szemben az 5.3. ábrával, ebben nem a konkrét kifi zetések (nyereségek vagy veszteségek) nagyságai szerepelnek, hanem csak az, hogy az adott fél számára melyik jobb és melyik rosszabb kimenet. A legjobb kapja a legmagasabb értéket (2), a legrosszabb a legalacso-nyabbat (-2).

Tűnődjünk el azon, hogy mennyiben hasonlít ez a fogolydilemma szituációra.

A kérdés természetesen azért releváns, mert a játékelmélet szerint a két helyzet hasonló. A helyzetek hasonlósága jól látható, ha az 5.3. ábrát átírjuk úgy, hogy ne a konkrét értékek (börtönbüntetések) szerepeljenek az egyes cellákban, hanem csak a sorrend, mint az 5.4. ábrán. Az 5.4. ábrát fogjuk visszakapni.

Látni fogjuk, hogy ami a fogolydilemma esetén a tagadás stratégiája az most a perlésé; a vallomástétel pedig a nem perlés. Nem érdemes tehát a konkrét stratégia elnevezéséhez ragaszkodni – általánosíthatjuk azokat. Bevett például, hogy a tagadás és a perlés stratégiáját „kooperációnak” nevezzük, míg a vallo-mástételét, nem perlését „dezertálásnak”.

5.4. ábra Fogolydilemma: közös károkozóval szembeni kis értékű per

A gyakorlás kedvéért – és azért, mert fontos következtetésekre juthatunk az összehasonlítás révén – álljon itt egy másik klasszikus játék is: az ún. gyáva nyúl játék. Ezt mutatja be az 5.5. ábra. (Ezen is csak az szerepel, hogy melyik helyzet, kimenet jobb, melyik rosszabb – nem a hatás pontos nagysága.) A bal

oldali mátrix a játék klasszikus példáját írja le: azt a „bátorságpróbát”, amikor egymással szemben menő autók közül az veszít, aki előbb elrántja a kormányt.

Ebben a szituációban a legrosszabb kimenet mindkét játékos számára az, ha egyikük sem rántja el a kormányt – nevezzük ezt úgy, hogy itt mindketten dezertálnak. A legjobban pedig az jár, aki maga ugyan nem rántja el a kormányt (dezertál), de a partnere igen (kooperál). A második legjobb pedig a „döntetlen”, amikor mindketten elrántják (mindketten kooperálnak).

B játékos B játékos

De ez az alaphelyzet is, a fogolydilemmához hasonlóan, sok más szituáció-ban visszaköszön. A nagy értékű közös perek problémája például ennek a gyáva nyúl játéknak feleltethető meg. A nagy értékű és a kis értékű perek között csak az a különbség, hogy az egyoldalúan pert indító fél nyereménye meghaladja-e a perrel járó kellemetlenséget. A nagy értékű pernél igen. Ezért itt a kifi zetések másként alakulnak.

1. Bár a legjobb a játékosoknak továbbra is az, ha potyázhatnak (és per nélkül megkapják a kártérítést),

2. és a második legjobb az, ha közösen perelnek és megosztoznak a költsé-geken,

3. de itt már jobb, ha valaki egyedül bevállalja a pert (vagyis vállalja, hogy a másik rajta élősködik – ő lesz a „balek”), mint ha

4. elmarad a per (és nincs kártérítés sem).