Ami kimaradt...

Ami kimaradt...

4. axiómából levezethető

Stacionárius rendszer esetén:

) (

)

(    



állapotfüggvény Hamilton-operátor sajátfüggvénye

A Schrödinger-egyenlet megoldásaként kapott

sajátfüggvények jellemzik a részecskék tartózkodási

Kinetikus energia operátorának levezetése

Klasszikus fizika:

Kvantummechanika:

m p T mv

2 2

2 2





m z p m

y p m

x p m

T p

2 ˆ 2

ˆ 2

ˆ 2

ˆ  ˆ







i x p_x



 

 

ˆ 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 2

; ˆ 2

2

; ˆ 2

2 ˆ

z m m

p y

m m

p x

m m

px y _z



 

 

 

 

 

   

2 2 2

2 2

2 2

2 2

) 2 2 (

ˆ   



 



 



 

 m x y z m

T  

A hidrogén-atom

sajátfüggvényének alakja

Schrödinger-egyenlet megoldásai

Dirac-egyenlet megoldásai

) ,

( )

( _,

, ,

, _{l m n l l m}  

n  R r Y



) (

)

, (

, _m s

n _  



3. A TÖBBELEKTRONOS ATOMOK

ELEKTRONSZERKEZETE

3.1 A többelektronos atomok

Schrödinger-egyenlete

Klasszikus mechanikai modell

Pozitív töltésű részecske (atommag), amely körül több negatív töltésű részecske (elektronok)

kering.

A Schrödinger-egyenlet általános formában







 V E T ˆ ˆ )

(

Többelektronos atomok Schrödinger-egyenlete

T ˆ

T ˆ

V ˆ

V ˆ

Z : az atom töltése

 



 ^{       }



i o i i ji o ij

i

i i p

i e

r E e r

Ze m

m )

4 4

2 ( 2

2 2 2

2 2 2



 



Ez a Schrödinger-egyenlet nem oldható meg analitikusan!

Közelítő megoldás a variációs elven alapul.

A variációs elv.

' '

ˆ  '  E 

H























 ' H ˆ ' d  E ' ' ' d 































 d

d H

E

' '

ˆ ' '

'  '

'

E

: kiindulási hullámfüggvény Iterációs eljárás.



 '

o

 '

•Ha egybeesik a keresett -lal E’=E_o.

•Az összes többi -vel kapott E’>E_o-nál.

: a hullámfüggvény alapállapotban E_o : alapállapotú energia.

o

A -t szisztematikusan változtatva próbáljuk E’-t minimalizálni, így közelítjük E_o-t és -t.

 '

Hogyan válasszuk ki a hullámfüggvényeket?

 '

3.2. A többelektronos atomok

hullámfüggvénye

 '

Egy-elektron hullámfüggvények:

) (

) ,

( )

(

, ,

,

, _{m s}

R

r Y

s

n

  





ezt változtatják u.o. marad, mint a H-atomnál variációs

számításnál

Legegyszerűbb eljárás:

„szorzat-hullámfüggvény”

A többelektronos atom hullámfüggvényét egy-elektron hullámfüggvényeknek szorzataként írjuk fel.

Ellentmond a 6. axiómának!!!

)  3

( )

2 ( )

1

(

, 0 , 0 ,

1 







   

• Az egy-atomhoz tartozó elektronok egyenértékűek.

• Ha két elektront felcserélünk,

integrálja (tartózkodási valószínűség) nem változik.

• előjele viszont változhat.









6. axióma

Felcserélés.

6. axióma

Egy kvantummechanikai rendszer hullámfüggvénye

• előjelet vált ha két nem egész spinű részecskét felcserélünk;

• nem vált előjelet, ha a két egész spinű részecskét cserélünk fel.

A szorzat-hullámfüggvény a 6. axiómának

nem felel meg, mivel két tényezőt (elektront)

felcserélve az előjele nem változik meg.

Slater javaslata: determináns hullámfüggvény

Egy sor: egy elektron

Egy oszlop: egyféle hullámfüggvény





 ) (

) (

) (

) 1 ( )

1 ( )

1 (

, 0 , 0 , 2 ,

0 , 0 , 1 ,

0 , 0 , 1

, 0 , 0 , 2 ,

0 , 0 , 1 ,

0 , 0 , 1

N N

N

























Determináns kifejtése

c b d

d a c

b

a    

a d

b b c

a

d

c    

Két sort felcserélve megváltozik az előjel.

A variációs számításban -t „Slater- determináns” formájában írják föl, a -ek radiális részét variálják.

 '

s m n,, ,



3.3 A többelektronos atomok

energiaszintjei

Független részecske-modell

• az elektronokat egymástól különválasztja

• minden elektron

gömbszimmetrikus pályán mozog, amely a mag

vonzásából és az

elektronok taszításából tevődik össze (a többi elektron által leárnyékolt mag tere).

A többelektronos atom energiája az egyes atompályák elektronjai energiáinak

összegeként adódik.

Eredmény:

Atompálya

m , ,

n 

Az energia csak n és függvénye.

Atompályák energiájának sorrendje:

E

<E

<E

<E

<E

<E

<E



Felépítési elv

(„Aufbau”-principle)

Az atomok alapállapotban úgy helyezkednek el, hogy a legkisebb energiájú atompályán 2

elektron, a következő atompályán 2 elektron

stb. helyezkedik el.

Elektronkonfiguráció

Az elektronok elhelyezkedése az atompályákon.

Példa: alapállapotú foszfor:

1s

2s

2p

3s

3p

Elektronhéj

Elektronok maximális száma:

Magyarázat:

) 1 2

(

2  



 





 0 , 1 , 2 m

Azonos n és kvantumszámú atompályák.



Zárt és nyílt konfiguráció

Zárt: csak teljesen betöltött és üres héjak vannak az atomban.

Példa: alapállapotú Ca

1s

2s

2p

3s

3p

4s

Nyílt: van részlegesen betöltött héj.

Példa: alapállapotú P

Egy elektron kisebb energiájú pályáról nagyobb energiájú pályára lép.

Kiválasztási szabály:

Ionizáció:

Egy elektron eltávolítása az egyik atompályáról.

 1



 

Elektrongerjesztés:

Vektormodell

Figyelembe veszi a mozgó elektronok kölcsönhatását.

Impulzusmomentum

Elektronok egyedi imp. momentuma nem határozható meg, csak az összes elektron imp. momentumának eredője.

Impulzusmomentum sajátértéke

H-atom Több elektronos atom

Pálya imp. momentum.

Spinmomentum Spin-pálya csatolás





  

 ( 1) P





  

 _s( _s 1) Ps





 j( j 1)

P_j P_j  J(J 1) 





 S(S 1) P_s





 L(L 1) P

L csoport-mellékkvantumszám

Zárt héjakra : L = 0

Nyílt héjakra : 1 db elektron:

2 db elektron:

  L

2 1

2 1

2

1

 ,   1   

    

 L

2-nél több elektron: még bonyolultabb

S csoport-spinkvantumszám

S  

2 1

2

1 _s

,

S  

     

2) (  1

0 vagy 1 Zárt héjakra : S = 0

Nyílt héjakra : 1 db elektron:

2 db elektron:

2-nél több elektron: még bonyolultabb

J csoport-belsőkvantumszám

Könnyű elemeknél: J = L+S, L+S-1 …, |L-S|

Nehéz elemeknél: másképp.

Az atomok energiája

n-től nagyon függ,

L,S-től közepesen függ

J-től kicsit függ.

Az állapotok szimbólumai

J

S

L

n

Példa:

3

S

A színképekre vonatkozó kiválasztási szabályok

 n

 1



L

 0

S

1 ,

0 



J

tetszés szerint

3.4 A héliumatom szerkezete

A héliumatom elektronállapotai

Konfiguráció n_max l₁ l₂

l_s1 l_s2

L S J Állapot

1s² (zárt héj) 1 0 0

+1/2 +1/2

0 0 0 1¹So

2 0

0

+1/2 +1/2

0 0 0 2¹S_o

1s¹2s¹

2 0

0

+1/2 +1/2

0 1 1 2³S₁

2 0

1

+1/2 +1/2

1 0 1 2¹P₁

2 0

1

+1/2 +1/2

1 1 2 2³P₂

2 0

1

+1/2 +1/2

1 1 1 2³P₁

1s¹2p¹

2 0

1

+1/2 +1/2

1 1 0 2³P_o



A héliumatom energiaszint-diagramja

3.5 Az atomi színképek mérése

Atomspektroszkópia

Cél: az elemi összetétel meghatározása.

Mintakészítés: magas hőmérsékletre hevítés.

A nap színképe

Emissziós spektrométer

(elvi ábra)

Emissziós spektrométer

Katódüreglámpa

Katódüreglámpa abszorpciós

méréshez

Neonnal töltött katódüreglámpa

elnyelési színképe

Indukciósan csatolt plazma

égő (ICP-égő)