2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE
2.1. A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete
A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje
Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.
A kvantummechanika Schrödinger-egyenlete
általános formában
V E T ˆ ˆ )
(
A hidrogénatom
Schrödinger-egyenlete
E
r e
m
me e p p o ) 4
2 ( 2
2 2 2 2
2
Megj.: alsó indexben e és p elektronra és protonra utal, e az elektron töltése (-1,602x10-19 C),
r az elektron protontól való távolsága,
o vákuum permittivitás (8,854x10-12 Fm-1).
A hidrogénatom Schrödinger- egyenlete megoldható!
A megoldás trükkje: polárkoordináta rendszert alkalmazunk.
r : vezérsugár
: hajlásszög
: azimut
Polárkoordináták transzformációja Descartes-koordinátákba
cos sin
sin sin
cos
r z
r y
r z
A Schrödinger-egyenlet megoldása
Sajátérték.
2 2
2
4
1
8 m m n
m m
h E e
p e
p e
o
n
n: főkvantumszám 1, 2, 3...
A Schrödinger-egyenlet megoldása
Sajátfüggvények.
n : főkvantumszám
: mellékkvantumszám 0,1,2 (n-1)
m : mágneses kvantumszám 0, 1, 2 …
A Schrödinger-egyenlet megoldása
Degenerált állapotok.
Azonos az energia (sajátérték), de különféle függvények
tartoznak hozzá.
A sajátfüggvények alakja
) ,
( )
(
,, ,
,l m n l l m
n
R r
radiális rész anguláris (szögtől függő) rész
Lineár-kombinációk
(ábrázolhatóság miatt)
) 2 (
) 2 (
1
, , ,
,
, , ,
,
m l
n m
l n
m l
n m
l n
i
Ha = 0, akkor s = 1, akkor p
= 2, akkor d indexeket használnak!
Mágneses spinkvantumszám helyett x, y, z-t írnak.
A hidrogénatom komplex hullámfüggvényei
i o
i o
o e o
e e
a
e e
a a
r l m a h
cos 81 sin
1
cos 81 sin
1
2 3 2 3 321
2 3 2 3 321
2 2
A hidrogénatom valós hullámfüggvényei
sin cos
81 sin 2 2
cos cos
81 sin 2 2
2 3 2 1 3
32 321
3
2 3 2 1 3
32 321
3
e a
i
e a
o d
o d
yz xz
A hidrogénatom Rn,l radiális hullámfüggvényei
A hidrogénatom anguláris hullámfüggvényei
A hidrogénatom anguláris hullámfüggvényei
2.2 A hidrogénatom színképe
Kiválasztási szabályok
A 4. Axiómából kiindulva lehet hozzájuk jutni.
1. szabály
Energiamegmaradás
E h
Átmeneti momentum
( ) ˆ ( )d
P 2 1
1 és 2 állapotfüggvény
1-es index: kiindulási állapotban 2-es index: végállapotban
ˆ dipólus-momentum operátor
Dipólus momentum
+ -
d 1 pozitív és 1 negatív töltés
q : a töltés
d: a távolság; a pozitív töltéstől a negatív töltés irányába mutat
d q
Több töltés esetén
q : a töltés
i
i i
y q y
i
i i
x q x
i
i i
z q z
Hidrogénatomra vonatkozó kiválasztási szabályok
n
m
bármennyibármennyi
1
A hidrogénatom színképe
) h
n 1 n
( 1 m
m
m m
h 8
E e 2
2 2
1 p
e
p e
2 0 2
4
diszkrét vonalak!
Az atomos hidrogén spektruma
A hidrogénatom energiaszintjei
A hidrogénatom megengedett
átmenetei
A hidrogénatom vonalszériái
Lymann- széria
n1 = 1 n2 = 2, 3, 4… UV
tartomány Balmer-
széria
n1 = 2 n2 = 3, 4… VIS
tartomány Paschen-
széria
n1 = 3 n2 = 4… IR
tartomány
2.3 A hidrogénatom elektronjának pálya- impulzusmomentuma
A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje
Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.
A klasszikus mechanikában
p r
P
P
három komponensének sajátértéke egyidejűleg nem „mérhető”.
Helyette „mérhető” és operátorok sajátértékei.
Az utóbbiakra felírt sajátérték egyenletek megoldhatók.
P 2 z
P
sajátértékek
Pˆ
22
2 ( 1)
P
( 1)
P
mellékkvantumszám P absz. érték, hossza
sajátértéke
Pˆ
z
m
P
z m: mágneses kvantumszámP vetülete a z tengelyen
0 , 1 , 2 , m
Minden P sajátértékhez 2 1 Pz sajátérték tartozik.
Az -hoz tartozó
pályaimpulzusmomentum térbeli kvantáltsága
3
2.4 Az elektron pálya- mágnesesmomentuma
A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje
Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.
A klasszikus fizikában
I : a köráram erőssége A : a körbejárt felület
: a felületre merőleges egységvektor
n
n A
I
M
Próbáljuk meg összefüggésbe hozni az
impulzusmomentummal!
T I e
r
2A
T n M er
2
n
A I
M
Az impulzusmomentum képletének átalakítása hasonló módon
T n r r 2 m v
r m
P e e
T n M er
2
n
T r r 2 m v
r m
P e e
m P 2
M e
e
A mágneses momentum operátora
m P M e
e
2 ˆ
ˆ
és operátorok
sajátértékegyenletei oldhatók meg.
ˆ 2
M Mˆ z
B
me
M e ( 1) ) 2
1
(
M abszolút értéke
e
B em
e
Bohr-magneton
1
10 24
724 ,
9
JTesla
B
A mágneses momentum z irányú vetülete
m : mágneses kvantumszám B
e
z m
m m e
M
2
Mágneses térben levő részecske potenciális energiája
Klasszikus fizika:
Kvantummechanika
: mágneses indukció
B
B M
B M
Vmág z
B m
Vmág B
ˆ
Zeeman-effektus
2.5 Az elektronspin
Stern-Gerlach-kísérlet
Ezüst-atom sugár kísérlet
(hidrogénatommal a kísérlet
nehezebb, de az eredmény ugyanaz.) Alapáll.: n =1;
0
B
z m
M nem térül el
Eredmény: két irányba eltérül!!
és m csak 0 lehet!
Értelmezés
Alapállapotban is van impulzusmomentum, amelyből mágneses momentum adódik.
Ez az impulzusmomentum a spin.
Spin operátor
Jele: Sˆ
Sajátérték egyenletet lehet felírni absz. értékére és z irányú vetületre.
sajátértéke
ˆ 2
S
s ( s 1) Ps
2
1
s
Ps : spinhez tartozó imp. momentum : spinre utaló mellékkvantumszám
s
2 2 s ( s 1) Ps
abszolút érték
sajátértéke
Sˆ z
s Psz
2
1
s
z
Ps : z irányú komponens
Spinből származó mágneses momentum
B s
s e
s g
M ( 1)
B e
z
s g s
M
abszolút érték
z irányú komponens
ge : Lande-faktor
hidrogénatomban ge=2,0023
A spin operátorok sajátfüggvénye
( )
ˆ ˆ2 S s S
z (közös a két operátoré)
A spin létezése nem kvantummechanikai axióma.
Spin értelmezése: Paul Dirac (1902-1984)
Relativitáselmélet
•Olyan mozgások leírása, ahol a sebesség összemérhető a
fénysebességgel.
•Az elektron sebessége is
összemérhető a fénysebességgel.
•Dirac-egyenlet: Schrödinger egyenlet módosítva a
relativitáselmélettel.
A hidrogénatom Dirac- egyenletének megoldása
E függ n-től nagyon és j-től picit
s
0
2
1
: az elektronpálya impulzusmomentuma : a spin impulzusmomentuma
ha s pálya
p pálya
2
1 j
2
; 3 2
1 j
5 3
j s belső kvantumszám
Spin-pálya felhasadás
2
1
d pálya
p pálya j 12; 23
2
; 5 2
3 j
Ha 0-től eltér a mellékkvantumszám, a belső
kvantumszámnál az energiaszintek kétfelé hasasnak
A spin-pálya csatolás miatt felhasadnak az energiaszintek
Kiválasztási szabály
1 ,
0
j
1
A Dirac-egyenlet sajátfüggvényei
) (
)
,
(
, m
s
n
„spin-koordinátor”
