3. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE

3. A HIDROGÉNATOM

SZERKEZETE

3.1. A hidrogénatom

Schrödinger-egyenlete

A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje

Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske mozog („kering”).

-

+

A kvantummechanika Schrödinger-egyenlete

általános formában

  ^{  }   ^



 ) E (

Hˆ

A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete

  ^{  }   ^

 







 





 







 E

r 4

e m

2 m

2

2 2 p p

2 2 e e

2





Megj.: alsó indexben e és p elektronra, ill. protonra utal, e elemi töltés (1,602x10^-19 C), elektron töltése -e

r az elektron protontól való távolsága,



 ^T ˆ

^{ T} ˆ

^{ V} ˆ

 ^{     E    }

A hidrogénatom Schrödinger- egyenlete megoldható!

A megoldás trükkje: polár-koordináta

rendszert alkalmazunk.

r : vezérsugár

: hajlásszög

: azimut





Polár-koordináták transzformációja Descartes-koordinátákba











cos sin

sin sin

cos















 r x

r y

r

z

 ^{T ˆ}

 ^{T ˆ}

 ^{V ˆ}

  ^{ r ,  ,  }  ^E  ^{ r ,  ,  }

 ^{ }  ^{ }







 

 

 sin 4 ^{, , , ,}

sin 1 sin sin

1 1

1

2 ₀

2 2

2 2

2 2

2

r E r r

e r r

r r r r

m

m_{e p}   











 



 







 



 











 



 



 











 











 

 

A Schrödinger-egyenlet megoldása

Sajátérték

2 p

e

p e

2 o 2

4

n n

1 m

m

m m

ε 8h

E e 



 





A hidrogénatom energiaszintjei

A Schrödinger-egyenlet megoldása

Sajátfüggvények („atompályák”)

n : főkvantumszám

: mellékkvantumszám 0,1,2 (n-1)

m : mágneses kvantumszám 0, 1, 2 … 

 

Három egész számot tartalmaznak

A Schrödinger-egyenlet megoldása

Degenerált állapotok

Ha n megegyezik, de  és/vagy m nem, azok a H-atom degenerált állapotai

Azonos az energia (sajátérték), de különféle sajátfüggvények

tartoznak hozzá.

A hidrogénatom energiaszintjei, az  szerinti

degeneráció feltüntetésével

A sajátfüggvények alakja

    ^ _,m ^

,m n,

,m

n, R (r)P F

Ψ _  _{  }

radiális rész anguláris (szögtől függő) rész

A hidrogénatom hullámfüggvényei

A hidrogénatom komplex hullámfüggvényei













e

 

 









cos sin

e ρ π a

81 Ψ 1

e cos sin

e ρ π a

81 Ψ 1

a ρ r

e m a h

3 ρ 2 2

3 o 1

- 32

3 i ρ 2 2

3 o 321

o

2 e

2 o

Lineár-kombinációk

(ábrázolhatóság miatt)

 





m , n, m

, n,

Ψ 2 Ψ

i

Ψ 2 Ψ

1





 













A hidrogénatom valós hullámfüggvényei













sin cos

sin e

ρ π a

81 2 2

Ψ - i Ψ

Ψ

cos cos

sin e

ρ π a

81 2 2

Ψ Ψ Ψ

3 ρ 2 2

3 o 1

32 321

3d

3 ρ 2 2

3 o 1

32 321

3d

yz xz

 



 









 



A hidrogénatom R

radiális

hullámfüggvényei

1s 2p_x 2p_y 2p_z

3dX²- y² 3dz²

3dyz 3dxz 3dxy

z

y x

A hidrogénatom hullámfüggvényei

(90%-os tartózkodási valószínűség burkológörbéje)

3.2 A hidrogénatom színképe

Kiválasztási szabályok:

az elektromágneses sugárzás elnyelésének/kibocsátásának

feltételei

(Levezethető kvantummechanika axiómából)

1. szabály

Energia-megmaradás







 E h

Átmeneti momentum

 

















 ( ) ˆ ( ) d

P _{2 1}

1 _és ₂ állapotfüggvény

1-es index: kiindulási állapotban 2-es index: végállapotban

 ˆ

P² , az átmeneti momentum négyzete arányos az átmenet valószínűségével – azaz a spektrumvonal intenzitásával

Dipólus momentum

-

d egy pozitív és egy negatív töltés

d q 

  



Több töltés esetén

q : a töltés







i

i i

y

q y







i

i i

x

q x ^{ } 

i

i i

z

q z

Hidrogénatomra vonatkozó kiválasztási szabályok

 n

 

 m

bármennyi

 1

A hidrogénatom színképe







 

 

 

 ) h

n 1 n

( 1 m

m

m m

h 8

E e

2 2

1 p

e

p e

2 0 2

4

diszkrét vonalak!

Az atomos hidrogén spektruma

Az atomos hidrogén spektruma

látható tartomány: Balmer-széria

A hidrogénatom energiaszintjei

A hidrogénatom megengedett

átmenetei

A hidrogénatom vonalszériái

Lymann- széria

n

= 1 n

= 2, 3, 4… UV

tartomány Balmer-

széria

n

= 2 n

= 3, 4… VIS

tartomány

Paschen- n

= 3 n

= 4… IR

3.3-3.4

A hidrogénatom elektronjának impulzusmomentuma és

mágneses momentuma

(Előadás alapján)

Mikrorendszerek kvantált fizikai mennyiségei

• E energia

• L impulzusmomentum absz. értéke (vektorhossz)

• L

impulzus-momentum z-irányú vetülete

• M mágneses momentum abszolút értéke

• M

mágneses momentum z-irányú vetülete

m: tömeg

A klasszikus mechanikában körmozgást végző testre

tor irányú vek sugár

:

r

impulzus :

p

sebesség :

v

 ^{r v} 

m p

r

L     











 r

v

I : a köráram erőssége A : a körbejárt felület

: a felületre merőleges egységvektor

n 

n A

I

M  







A klasszikus mechanikában

körmozgást végző töltésre

Próbáljuk meg összefüggésbe hozni

az impulzus-momentummal!

T I  e





 r ² A

T n M er

2



    n

A I

M  







Az impulzusmomentum képletének átalakítása hasonló módon

T n r 2rπ m

v r

m

L 

 









T n M er

2



    n

T r 2rπ m

v r

m

L 

 









2m L

M  e 





H-atomra kvantum-mechanikai levezetéssel





 ( 1)

L  



 

 m

L

az operátor sajátérték-egyenletét megoldva

Lˆ

2

2

( 1)

L     

az operátor sajátérték-egyenletét megoldva

Lˆ

B e

μ 1)

2m ( 1) e

(

M         





e

B

2m

μ  e 

1 24

B

9,724 10 JTesla

μ  

H-atomra és összefüggése alapján ^{L  M }

m : mágneses kvantumszám B

e

z

mμ

2m m e

M      

H-atomra és összefüggése alapján ^{L  M }

Mágneses térben levő részecske potenciális energiája

Klasszikus fizika:

Kvantummechanika

B M

B M

V

 













B μ

m

V 







Kísérleti bizonyíték az atomok imp. és mágneses momentumára

Zeeman-effektus: a spektrumvonalak

felhasadása statikus mágneses térben

2p m = +1 m = 0 m = -1

Zeeman-effektus

B μ

m

V









H-atom 2p energiaszintjeinek várt felhasadása

m = -1,0,+1

50

2p

1s

m = 0

m = +1 m = 0 m = -1

Zeeman-effektus

tér kikapcsolva tér bekapcsolva

B μ

m

V









H-atom 2p energiaszintjeinek várt felhasadása

m = -1,0,+1

m = 0

2p m = +1 m = 0 m = -1

Zeeman-effektus

B μ

m

V









Vannak atomok, amelyek spektrumában a Zeeman-effektus miatti felhasadás ilyen egyszerű sémát követ.

A H-atom 1s2p átmenete nem 3, hanem 10 vonalra hasad!

m = -1,0,+1

3.5 Az elektronspin

Stern-Gerlach-kísérlet

Kísérlet ezüst-atom sugárral

(hidrogénatommal a kísérlet

nehezebb, de az eredmény hasonló.) Alapáll.: n =1;

0 m

M

  



Eredmény: két irányba eltérül!!



Értelmezés

Alapállapotban is van impulzusmomentum, amelyből mágneses momentum adódik.

Ez az impulzusmomentum a spin.

Jele:

S 





  

 ( 1)

S

2

 1



: spinre utaló mellék-kvantumszám



Az elektron spinje

 

 s

S

^{s   1} ₂

s spin-kvantumszám (spinre utaló mágneses kvantumszám)

Spinből származó mágneses momentum

B s

s e

S

g ( 1) μ

M      

B e

S

z

g s μ

M   

abszolút érték

z irányú komponens

g_e : Lande-faktor

A spinból származó mágneses momentum magyarázza a Stern-Gerlach kísérletet!

Spin értelmezése: Paul Dirac (1902-1984)

Relativisztikus kvantummechanika

Relativitáselmélet

• Olyan mozgások leírása, ahol a sebesség összemérhető a fénysebességgel.

• Az elektron sebessége is összemérhető a fénysebességgel.

• Dirac-egyenlet: Schrödinger egyenlet módosítva a

relativitáselmélettel

A hidrogénatom Dirac- egyenletének megoldása

 

 0



 1



: az elektronpálya impulzusmomentumát jell. kvantumszám : a spin impulzusmomentumát jell. kvantumszám

ha s pálya

p pálya

2 j1

2

; 3 2 j1

j    

Spin-pálya felhasadás

 2



 1



d pálya

p pálya ^j₂^{1 ;} ₂³

2

; 5 2 j3

Ha 0-től eltér a mellék-kvantumszám, a belső kvantumszám szerint az energiaszintek kétfelé hasadnak.

A Dirac-egyenlet sajátfüggvényei

 ^{r, θ, φ}    ^{σ s}

Ψ _{n,  , m} 

„spin-koordináta”

64

2p

1s m = 0

+1 m = 0 -1

Zeeman-effektus a H-atom színképében

kikapcsolva bekapcsolva

B μ

m

V









m = -1,0,+1

m = 0

1s_1/2 2p_1/2 2p_3/2

m_j = -1/2

+1/2 -1/2 -3/2

kikapcsolva bekapcsolva

Alapkérdések

15. Miből származik a H-atom potenciális energiája? Írja fel a képletét!

16. Rajzolja fel a H-atom energiaszintjeinek sémáját!

17. Mit nevezünk a kvantummechanikában degenerált állapotoknak?

18. Milyen kvantumszámokkal jellemezhető a H-atom állapota? Milyen értékeket vehetnek fel ezek a

kvantumszámok?

Alapkérdések

20. Írja fel az átmeneti momentum képletét!

21. Írja fel a hidrogénatom pályaimpulzusmomentum- vektorának hosszára és z-irányú vetületére vonatkozó sajátértékeket!

22. Írja fel a mágneses momentum képletét!

23. Mit nevezünk Zeeman-effektusnak?

24. Írja fel az elektron spin-impulzusmomentumának hosszára és z-irányú vetületére vonatkozó sajátértékeket!