3. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE

(1)

(2)

3.1. A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete

(3)

+

A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje

- +

(4)

+

Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.

- +

(5)

A kvantummechanika Schrödinger-egyenlete

általános formában

  ^ ^ ^   ^



 ) E (

Hˆ

(6)

A hidrogénatom

Schrödinger-egyenlete

 

^ ^ ^

 

^















 







 E

r 4

e m

2 m

2 _o

2 2

p p

2 2

e e

2 



Megj.: alsó indexben e és p elektronra és protonra utal, e az elektron töltése (-1,602x10^-19 C),

r az elektron protontól való távolsága,

o vákuum permittivitás (8,854x10^-12 Fm^-1).

(7)

A hidrogénatom Schrödinger- egyenlete megoldható!

A megoldás trükkje: polárkoordináta rendszert alkalmazunk.

(8)

r : vezérsugár

: hajlásszög

: azimut





(9)

Polárkoordináták transzformációja Descartes-koordinátákba



























cos sin

r z

sin sin

r y

cos r

z

(10)

A Schrödinger-egyenlet megoldása

Sajátérték

2 p

e

p e

2 o 2

4

n

1 m

m

m m

ε 8h

E e 



 





n: főkvantumszám 1, 2, 3...

(11)

A hidrogénatom energiaszintjei

(12)

Sajátfüggvények

n : főkvantumszám

: mellékkvantumszám 0,1,2 (n-1)

m : mágneses kvantumszám 0, 1, 2 … 

 

Három egész számot tartalmaznak

(13)

Degenerált állapotok

Azonos az energia (sajátérték), de különféle függvények

tartoznak hozzá.

(14)

Degenerált állapotok

Azonos az energia (sajátérték), de különféle függvények

tartoznak hozzá.

Ha n megegyezik, de  és/vagy m nem, azok a H-atom degenerált állapotai

(15)

A sajátfüggvények alakja

) ,

( (r)Ψ

R

Ψ

_n,__,_m



_n,_ __,_m

 

radiális rész anguláris (szögtől függő) rész

(16)

A hidrogénatom komplex hullámfüggvényei





e^i

 



cos sin

e ρ π a

81 Ψ 1

e cos sin

e ρ π a

81 Ψ 1

a ρ r

e m a h

3 ρ 2 2

3 o 1

- 32

3 i ρ 2 2

3 o 321

o

2 e

2 o

(17)

Lineár-kombinációk

(ábrázolhatóság miatt)

 



_n, _,_m _n, _, _m



m , n, m

, n,

Ψ 2 Ψ

i

Ψ 2 Ψ

1



 





Ha = 0, akkor s = 1, akkor p

= 2, akkor d indexeket használnak!

Mágneses spinkvantumszám helyett x, y, z-t írnak.





(18)

A hidrogénatom valós hullámfüggvényei









sin cos

sin e

ρ π a

81 2 2

Ψ - i Ψ

Ψ

cos cos

sin e

ρ π a

81 2 2

Ψ Ψ Ψ

3 ρ 2 2

3 o 1

32 321

3d

3 ρ 2 2

3 o 1

32 321

3d

yz xz

 



 









 



(19)

A hidrogénatom R_n,_ radiális hullámfüggvényei

(20)

1s 2p_x 2p_y 2p_z

3dX²- y² 3dz²

3dyz 3dxz 3dxy

z

y x

A hidrogénatom hullámfüggvényei

(90%-os tartózkodási valószínűség burkológörbéje)

(21)

3.2 A hidrogénatom színképe

(22)

Kiválasztási szabályok

A 4. axiómából kiindulva lehet hozzájuk jutni.

(23)

1. szabály

Energiamegmaradás







 E h

(24)

Átmeneti momentum



















 ( ) ˆ ( )d

P ₂ ₁

1 _és ₂ állapotfüggvény

1-es index: kiindulási állapotban 2-es index: végállapotban

ˆ dipólus-momentum operátor

(25)

Dipólus momentum

+ -

d 1 pozitív és 1 negatív töltés

q : a töltés

d: a távolság; a pozitív töltéstől a negatív töltés irányába mutat

d q 

  



(26)

Több töltés esetén

q : a töltés







i

i i

y q y







i

i i

x q x ^ ^ 

i

i i

z q z

(27)

Hidrogénatomra vonatkozó kiválasztási szabályok

 n

 

 m

^bármennyi

bármennyi

1

(28)

A hidrogénatom színképe







 

 

 

 ) h

n 1 n

( 1 m

m

m m

h 8

E e ₂

2 2

1 p

e

p e

2 0 2

4

diszkrét vonalak!

(29)

Az atomos hidrogén spektruma

(30)

A hidrogénatom energiaszintjei

(31)

A hidrogénatom megengedett

átmenetei

(32)

A hidrogénatom vonalszériái

Lymann- széria

n₁ = 1 n₂ = 2, 3, 4… UV

tartomány Balmer-

széria

n₁ = 2 n₂ = 3, 4… VIS

tartomány Paschen-

széria

n₁ = 3 n₂ = 4… IR

tartomány

(33)

3.3 A hidrogénatom elektronjának pálya- impulzusmomentuma

(34)

(35)

A klasszikus mechanikában

p r

L  





(36)

L

három komponensének sajátértéke egyidejűleg nem „mérhető”.

(37)

Helyette „mérhető” és operátorok sajátértékei.

Az utóbbiakra felírt sajátérték egyenletek megoldhatók.

Lˆ2 Lˆ^z

(38)

sajátértékek

Lˆ

2

2 ( 1)

L     





( 1)

L  

 mellék-kvantumszám L absz. értéke, hossza

(39)

sajátértéke

Lˆ

z

 

 m

L

^z m: mágneses kvantumszám

L vetülete a z tengelyen

(40)



 



 0 , 1 , 2 , m

Minden L sajátértékhez 2 1 ^L^z sajátérték tartozik.

(41)

Az -hoz tartozó

pálya-impulzusmomentum térbeli kvantáltsága

 3



(42)

3.4 Az elektron pálya- mágnesesmomentuma

(43)

(44)

A klasszikus fizikában

I : a köráram erőssége A : a körbejárt felület

: a felületre merőleges egységvektor

n

n A

I

M 





(45)

Próbáljuk meg összefüggésbe hozni az

impulzusmomentummal!

(46)

T I  e





 r

²

A

T n M er

2 

    n

A I

M 





(47)

Az impulzusmomentum képletének átalakítása hasonló módon

T n r 2rπ m

v r

m

L _e  _e 







(48)

T n M er

2 

    n

T r 2rπ m

v r

m

L _e  _e 







2m L M e

e



  

(49)

A mágneses momentum operátora

2m Lˆ Mˆ e

e







(50)

és operátorok sajátérték- egyenletei oldhatók meg.

Mˆ 2 Mˆ ^z

(51)

B e

μ 1)

2m ( 1) e

(

M         



M abszolút értéke

e

B em

μ  e Bohr-magneton

1 24

B 9,724 10 JTesla

μ   ^ ^

(52)

A mágneses momentum z irányú vetülete

m : mágneses kvantumszám B

e

z mμ

2m m e

M      

(53)

Mágneses térben levő részecske potenciális energiája

Klasszikus fizika:

Kvantummechanika

B

B M

V_mág   ^z 











B m

Vˆ_mág _B 









(54)

Zeeman-effektus

(55)

3.5 Az elektronspin

(56)

Stern-Gerlach-kísérlet

(57)

Ezüst-atom sugár kísérlet

(hidrogénatommal a kísérlet

nehezebb, de az eredmény ugyanaz.) Alapáll.: n =1;

0 m

M^z   _B  nem térül el

Eredmény: két irányba eltérül!!

 és m csak 0 lehet!

(58)

Értelmezés

Alapállapotban is van impulzusmomentum, amelyből mágneses momentum adódik.

Ez az impulzusmomentum a spin.

(59)

Spin operátor

Jele: Sˆ

Sajátérték egyenletet lehet felírni absz. értékére és z irányú vetületre.

(60)

sajátértéke

Sˆ2





  

 ( 1) S _s _s

2

 1

s

P_s : spinhez tartozó imp. momentum : spinre utaló mellékkvantumszám

s

2 s

s

2 ( 1)

S     

abszolút érték

(61)

sajátértéke

Sˆz

 

 s S_z

2 s   1

Sz : z irányú komponens

(62)

Spinből származó mágneses momentum

B s

s e

S g ( 1) μ

M      

B e

S

z g s μ

M  

abszolút érték

z irányú komponens

g_e : Lande-faktor

hidrogénatomban g_e=2,0023

(63)

A spin operátorok sajátfüggvénye

 ⁽^s⁾

Sˆ Sˆ

z

2  (közös a két operátoré)

(64)

A spin létezése nem kvantummechanikai axióma.

Spin értelmezése: Paul Dirac (1902-1984)

(65)

Relativitáselmélet

•Olyan mozgások leírása, ahol a sebesség összemérhető a

fénysebességgel.

•Az elektron sebessége is

összemérhető a fénysebességgel.

•Dirac-egyenlet: Schrödinger egyenlet módosítva a

relativitáselmélettel.

(66)

A hidrogénatom Dirac- egyenletének megoldása

E függ n-től nagyon és j-től picit

s

 0



 2



 1



: az elektronpálya impulzusmomentuma : a spin impulzusmomentuma

ha

d pálya s pálya p pálya

2 j1

2

; 3 2 j1

2

; 5 2 j3

j    s belső kvantumszám

(67)

Spin-pálya felhasadás

 2



 1



d pálya

p pálya ^j^₂¹ ^; ₂³

2

; 5 2 j3

Ha 0-től eltér a mellék-kvantumszám, a belső

kvantumszámnál az energiaszintek kétfelé hasasnak

(68)

A spin-pálya csatolás miatt felhasadnak az energiaszintek

(69)

Kiválasztási szabály

1 0,

Δj  

1





(70)

A Dirac-egyenlet sajátfüggvényei

 ^r, ^,    ^α ^s

Ψ

_n,__,_m

  

„spin-koordináta”

(71)

3. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE

       



 ) E (

Hˆ

 

 

n

1 m

m

m m

ε 8h

E e 



 





) ,

( (r)Ψ

R

Ψ



 

 











 E h



d q 

  





 n

 

 m

p r

L  





Lˆ

Lˆ

 

 m

L



 





 0 , 1 , 2 , m

 3





 r

A

2m L M e



  

 r, ,    α s

Ψ

  

  ^ ^ ^   ^

 ^r, ^,    ^α ^s