Bevezetés a Számításelméletbe II.— EMELT SZINTU´´kurzus Második gyakorlat, 2022. február 22.
1. Egy G gráf pontjai legyenek egy kocka csúcsai; két csúcs ak- kor legyen szomszédos, ha a kockában él mentén szomszédosak. A jobbra látható két gráf közül melyik (melyek) izomorf(ak) G-vel?
a) b)
2.LegyenGegyncsúcsú, egyszerű gráf. Mid-nek az a legkisebb értéke, amire teljesül, hogy haG-ben minden csúcs foka legalábbd, akkorGösszefüggő?
3.Van-e olyan egyszerű gráf, amiben a pontok foka rendre
a) 1,2,2,3,3,3; b) 1,1,2,2,3,4,4; c) 2,3,3,4,5,6,7; d) 1,3,3,4,5,6,6.
4.Melyek izomorfak az alábbi gráfok közül?
a) b) c)
5.Egy 23 csúcsú egyszerű gráfban minden csúcs foka legalább 7. Mutassuk meg, hogy bárhogy választunk ki a gráf csúcsai közül hármat, lesz köztük két olyan, melyek között van a gráfban út. (ZH, 2017. május 8.) 6. a) Minimálisan hány éle kell legyen egyncsúcsú összefüggő gráfnak?
b) Maximum hány éle lehet egyn csúcsú gráfnak, ha nem tartalmaz kört? (Egy gráfbankörnek nevezünk egy olyan sétát, aminek az első és utolsó csúcsa azonos, de ettől az ismétlődéstől eltekintve semelyik két csúcsa nem azonos)
7. Egy egyszerű gráfban minden pont foka legalább k, ahol k ≥ 2 egész. Bizonyítsuk be, hogy a gráfban található legalább k+ 1 pontú kör.
8.Létezik-e olyan (legalább két csúcsú) összefüggő gráf, aminek tetszőleges csúcsát törölve (annak összes élével együtt) a kapott gráf már nem összefüggő?
9.Milyennpozitív egészekre létezik olyanncsúcsú egyszerű gráf, amiben bármely két csúcs foka különböző?
10. Egy szabályos kilencszögnek húzzuk be az összes legrövidebb (vagyis a kilencszögben másodszomszédos csúcsokat összekötő) átlóját. Igaz-e, hogy az így kapott (9 csúcsú és 18 élű) gráf izomorf a saját komplemen- terével?
11.AGegyszerű gráfban minden pont foka legalább 3. Mutassuk meg, hogyG-ben van páros hosszúságú kör.
12. Bizonyítsuk be, hogy egy egyszerű gráf és a komplementere közül legalább az egyik mindig összefüggő.
13. Egy n csúcsú teljes gráf éleit valaki megszínezten különböző színnel (ahol n≥3 egész). Mutassuk meg, hogy a csúcsok közül kiválasztható 3 úgy, hogy az általuk meghatározott 3 él közül bármely kettő különböző színű.
14. Egy kisváros utcáinak hálózata összefüggő, egyszerű gráfot alkot. Mivel az utcák nagyon keskenyek, a polgármester szeretné a város összes utcáját egyirányúsítani.
a) Ráadásul a polgármester ezt úgy szeretné megtenni, hogy a gráf minden csúcsából páratlan sok utcán lehessen elindulni (a KRESZ szabályok betartásával). Bizonyítsuk be, hogy ilyen irányítás akkor és csak akkor készíthető, ha a csúcsok száma és az élek száma azonos paritású.
b*) Valaki felhívja a polgármester figyelmét arra, hogy a fenti feltételnél sokkal lényegesebb volna, hogy az egyirányúsítás után is mindenhonnan mindenhová el lehessen jutni. Bizonyítsuk be, hogy ilyen irányítás akkor és csak akkor készíthető, ha a gráf tetszőleges élének elhagyása után is összefüggő marad. (Itt már nem feltétel, hogy minden csúcsból páratlan sok utcán lehessen elindulni.)
15*. Milyenn-ekre létezik ncsúcsú, a komplementerével izomorf egyszerű gráf?
16*. Bizonyítsuk be, hogy minden társaság szétosztható két csoportra úgy, hogy mindenkinek a saját csoport- ján belül páros sok ismerőse legyen. (A társaságban az ismeretségek kölcsönösek.)
