Házi feladatok megoldása
1. feladat. Van-e olyan egyszer ˝u legalább kétpontú gráf, amelyben minden pont foka különböz˝o?
Megoldás: Nincs, mert minden pont foka legalább 0 és legfeljebb n−1, ez összesen n lehet˝oség, de a 0 és az n−1 nem fordulhat el˝o egyszerre a fokszámok között, mert az n−1- fokú csúcs minden csúccsal össze kell, hogy legyen kötve.
2. feladat. Hány egymással nem izomorf 60 csúcsú és 1768 él ˝u egyszer ˝u gráf létezik?
Megoldás: Egy 60 csúcsú teljes gráfnak 602·59 =1770 éle van. Tehát az a kérdés, hogy hányféleképp lehet két élet elhagyni a teljes gráfból. Kétféleképp: vagy van közös csúcsuk, vagy nincs.
3. feladat. Hány olyan egyszer ˝u gráf van, melynek fokszámai: 1,1,1,2,3,4,5,6?
Megoldás: Egy sincs, mert a páratlan fokú csúcsok száma nem lehet páratlan, itt pedig 5 darab páratlan fokú csúcs van.
4. feladat. Van-e olyan egyszer ˝u gráf van, melynek fokszámai: 2,3,3,4,6,6,6?
Megoldás: Nincs, hiszen egy 7 pontú gráfban a 6-fokú pontokból mindegyik pontba vezet él, és mivel 3 6-fokú pontunk van, ezért a többi pont fokszáma legalább 3 kell, hogy legyen.
5. feladat. Bizonyítsuk be, hogy egy n pontú fában a másodfokú pontok száma nem lehet pontosan n−3.
Megoldás: Indirekt: Tegyük fel, hogy van ilyen fa. Ennek nyilván legalább 3 pontja van.
Tudjuk, hogy minden legalább 2 pontú fában van legalább 2 els˝ofokú pont (levél). Tehát 2 pont foka 1, n−3 pont foka a feladat szerint 2, így csak egy pont marad, aminek nem tudjuk a fokszámát. Nézzük mennyi lehet ez a fokszám, jelöljük x-szel. Tudjuk, hogy a fokszámok összege az élszám kétszeresét adja. Fában n−1 él van, tehát 2(n−1) =2·1+ (n−3)·2+x, amib˝ol x=2. De nem lehet mégegy másodfokú pont, mert abból pontosan n−3 van a feladat szövege szerint. Ellentmondásra jutottunk, tehát nincs ilyen fa.
6. feladat. Egy 9 tagú társaságban mindenki átad öt általa választott embernek 100−
−100 forintot. Bizonyítsuk be, hogy a végén van két ember, akinek ugyanannyival vál- tozott a pénze!
Megoldás: Készítsünk egy gráfot, amelynek a pontjai a társaság tagjai és irányított él vezet x-b˝ol y-ba, ha az x-nek megfelel˝o tag adott pénzt y-nak. Ekkor minden pont kifoka 5.
Pénzváltozás=befok-kifok. Akkor lehetne minden változás különböz˝o, ha minden csúcsnak más lenne a befoka, azaz 0,1,2,3,4,5,6,7,8 mind egyszer fordulna el˝o. Tudjuk, hogy kifokok összege=élszám=befokok összege. Kifokok összege itt 9·5=45, befokok összege 0+1+ 2+3+4+5+6+7+8=36, ami nem lenne egyenl˝o, tehát nem lehet különböz˝o a változás minden tag esetében.
