Algoritmuselmélet
Papp László <www.cs.bme.hu/ ∼ lazsa>
2015. tavasz 10. gyakorlat
1. Végezzük el a mélységi bejárást, adjunk meg egy topológikus sorrendjét a csúcsok- nak, majd oldjuk meg a PERT feladatot a alábbi gráfon! Mekkora a leghoszabb út a gráfban?
3 4
5
5 1
1
7 7 3
1 7
3 7
7 5
5 7
s 7
t a
b c
d
e
f
g
h
2. Összefügg® irányított gráf bejárásánál maximálisan hány olyan csúcs lehet amelyre a mélységi és a befejezési szám megegyezik?
*-os feladat otthonra: Irányítatlan esetben?
3. A 6 pontú G gráf csúcsait jelölje x, y, z, u, v, w. A gráf egy mélységi bejárásánál a mélységi, ill. a befejezési számok a következ®k: x: 1,6; y: 2,4;z: 6,5; u: 3,3;v: 4,1; w: 5,2. Adjuk meg a bejáráshoz tartozó mélységi feszít®fa éleit. Rekonstruálható-e G az el®z® számok ismeretében?
4. Adj O(ne) futásidej¶ algoritmust ami egy G irányított gráfról eldönti, hogy G-ben van-e olyan u, v pontpár, hogy u-bólv-be két különböz® irányított út is vezet.
5. Bizonyítsuk be, hogy minden G = (V, E) irányított gráf felbontható két DAG-ra.
Pontosabban az élhalmaznak van egy olyanE =E1∪E2 partíciója, hogy aG1 = (V, E1) és G2 = (V, E2) gráfok DAG-ok. Segítség: O(e) id®ben elkészíthet® a felbontás ha a csúcsok címkéi egy rendezett univerzumból valóak.
6. Egyn ≥4csúcsú irányított gráf mélységi bejárása során azt tapasztaltuk, hogy minden csúcsra a befejezési és a mélységi szám különbsége kisebb mint n/4. Igazoljuk, hogy a gráf er®sen összefügg® komponenseinek száma legalább 4.
7. AG(V, E) összefügg®, irányított gráf minden éle az 1,2, . . . , k számok valamelyikével van súlyozva. Egy út értéke legyen az úton található élek súlyainak maximuma. Hatá- rozza meg, hogy ha adott két csúcs x, y ∈ V, akkor mennyi a lehet® legkisebb érték¶
x-b®ly-ba vezet® út értéke. HaGéllistával adott éseéle van, akkor a lépésszám legyen O(elogk).
