A 2018. évi Kőnig Dénes
Diszkrét Matematika Verseny feladatai
1. Határozzuk meg, legfeljebb hány éle lehet egy olyan Ggráfnak, amely páros, egyszerű, csúcsainak száma 222, független éleinek maximális száma pedig ν(G) = 42.
2. Melyek azok az n ≥ 1 egészek, amelyekre a Kn teljes gráf élei kiszínezhetők néhány színnel úgy, hogy minden felhasznált színre az adott színre színezett élek a Kn egy feszítőfáját alkossák?
3. Tegyük fel, hogy a Kn teljes gráf élei úgy vannak a piros, fehér és zöld színekkel kiszínezve, hogy az azonos színre színezett élek mindhárom szín esetén egy-egy n- csúcsú összefüggő gráfot alkotnak. Igazoljuk, hogyKn-ben található olyan háromszög, melynek éleit háromféle színnel színeztük.
4. Legyen P a sík pontjainak n elemű halmaza, és tegyük fel, hogy P semelyik három pontja sem esik egy egyenesre. Jelölje H a P-beli pontpárok meghatározta egyene- sek metszéspontjainak halmazát, azaz mindazon pontokat, amelyek legalább két ilyen egyenesre illeszkednek. Igazoljuk, hogy a P által meghatározott nyílt szakaszok között a H-tól diszjunktak száma legfeljebb n.
5. Tegyük fel, hogy a G egyszerű páros gráf, színosztályaira |A| = |B| = n teljesül, és bármely u ∈ A, v ∈ B, uv 6∈ E esetén d(u) +d(v) ≥ n+ 1 áll fenn. Bizonyítsuk be, hogy G-nek van Hamilton-köre.
Tudnivalók a hátoldalon.
Versenyfeltételek és tudnivalók
A Kőnig Dénes Diszkrét Matematika Versenyen a BME VIK BSc és MSc tanulmányokat folytató hallgatói vehetnek részt.
A feladatok kidolgozására 150 perc fordítható. Ezalatt tilos a versenyzők együttműkö- dése, és a részvevők nem használhatnak sem írott, sem elektronikus segédeszközt. Minden versenyző helyesen és jól olvashatóan tüntesse fel a nevét, neptun kódját, szakját és évfo- lyamát a beadott dolgozat minden lapjának első oldalán, lehetőleg a jobb felső sarokban.
Kérjük a versenyzőket, hogy minden beadott lapon csak egy feladattal foglalkozzanak és egyértelmű áthúzással jelezzék dolgozatukban a hibásnak ítélt részeket. A versenydolgozat beadása nem kötelező.
A verseny díjazottjait a regisztráció során megadott e-mail címen értesíti a dékáni hivatal.
A verseny eredményhirdetését 2018. május 15-én 1815 órai kezdettel, a QB402-es teremben tartjuk.
Jó munkát kíván a versenybizottság
