Bevezetés a számításelméletbe II. Wiener Gábor wiener@cs.bme.hu
2. gyakorlat Kromatikus szám
1. Határozzuk meg az alábbi gráfok kromatikus számát!
a) b) c)
2. Egy gráf csúcsai legyenek az 1 és 2009 közé es ˝o egészek. Két csúcsot akkor kötünk össze, ha a különbségük legfeljebb 9. Mennyi a gráf kromatikus száma?
3. AGgráf csúcsai legyenek egy sakktábla mez ˝oi. Két csúcs akkor szomszédosG-ben, hogyha a megfelel ˝o mez˝ok egy lépésben elérhet ˝ok egymásból egy huszárral (bástyával). Mutassuk meg, hogyχ(G) =ω(G).
4. Határozzuk meg az összes olyann csúcsú, egyszer˝uGgráfot, melyreχ(G) = 3, de bárhogy hagyunk el bel˝ole egy csúcsot, a kapottG0gráfraχ(G0) = 2.
5. Határozzuk meg az összes olyan 6 csúcsú, egyszer˝uGgráfot, melyreχ(G) = 2, de bárhogy húzunk beG-be egy új élet (két nemszomszédos csúcs közé), a kapottG0gráfraχ(G0)>2.
6. a) Rajzoljunk olyanGgráfot, melyreω(G) = 2ésχ(G) = 4.
b) Rajzoljunk olyan 6 pontúGgráfot, melyreω(G) = 3ésχ(G) = 4.
c) Legyeneka≤btetsz ˝oleges pozitív egészek. Van-e olyanGgráf, melyreω(G) =aésχ(G) =b?
7. EgyGegyszer˝u gráfban 2009 kivételes ponttól eltekintve minden pont foka legfeljebb 2008. Bizonyítsuk be, hogyχ(G)≤2009.
8. AGgráf csúcsai legyenek a100-nál nem nagyobb pozitív egészek, két csúcs pontosan akkor szomszédos G-ben, ha a megfelel ˝o egészek relatív prímek (vagyis legnagyobb közös osztójuk 1). Határozzuk megG kromatikus számát.
9. Legyenk≥2egész szám ésGegy2k+ 1pontú kör komplementere. Határozzuk megχ(G)ésω(G)értékét!
10. Bizonyítsuk be, hogy tetsz ˝olegesnpontú éseél˝u egyszer˝uGgráfra igazak a következ ˝ok:
a) e≥ χ(G)2 . b) χ(G)·χ(G)≥n.
11. EgyGgráf csúcshalmaza legyenV(G) ={1,2, . . . ,100}. Azxésycsúcsok akkor szomszédosak, hax6=y és100≤x·y≤400. Határozzuk megχ(G)értékét!
12. LegyenGésH két különböz ˝o gráf diszjunkt ponthalmazokkal. Készítsünk bel ˝olük egyF gráfot úgy, hogy Gminden pontját összekötjükHminden pontjával. Bizonyítsuk be, hogyχ(F) =χ(G) +χ(H)!
13. Bizonyítsuk be, hogy tetsz ˝olegeseél˝u egyszer˝u gráf élei közül elhagyható legfeljebb e2úgy, hogy a maradék gráf páros gráf legyen.
14. Adott a síkon néhány egyenes úgy, hogy semelyik három nem megy át egy ponton. LegyenGaz ezek által meghatározott gráf:Gcsúcsai az egyenesek metszéspontjai, két csúcs pedig akkor szomszédos, ha az egyik egyenesen szomszédos metszéspontok. Mutassuk meg, hogyχ(G)≤3.
