Bevezetés a számításelméletbe II. Wiener Gábor wiener@cs.bme.hu
3. gyakorlat
Perfekt gráfok, élszínezés, PERT-módszer
1. Döntsük el az alábbi gráfokról, hogy perfektek-e.
a) b) c) d)
2. Határozzuk meg a fenti gráfok élkromatikus számát.
3. LegyenG1az a gráf, amit egy szabályos 2009-szögb ˝ol úgy nyerünk, hogy behúzzuk egy adott csúcsból induló összes átlóját. LegyenG2az a gráf, amit egy szabályos 2009-szögb ˝ol úgy nyerünk, hogy hozzáveszünk egy új csúcsot, melyet minden eredeti csúccsal összekötünk. Döntsük el, hogy intervallumgráf-eG1illetveG2. 4. AGgráf csúcshalmaza legyenV(G) ={1,2, . . . ,100}. Azx, y ∈V(G)csúcsok akkor legyenek szomszé-
dosakG-ben, ha|x−y|= 1vagy|x−y|= 50. Határozzuk megχe(G)-t.
5. Határozzuk meg az alábbi gráfra a kritikus részfeladatokat PERT-módszerrel.
B C D
E F G H
A
5
5 3 5
2
3 1
8
10 10
6 8 5 6
6. Legyenek aGgráf csúcsai az 1 ésnközötti egész számok, és két különböz ˝o csúcs akkor legyen összekötve, ha az egyik osztója a másiknak. Bizonyítsuk be, hogyGmindenn-re perfekt.
7. AGgráf csúcsai legyenek a100-nál nem nagyobb pozitív egészek. Két csúcs pontosan akkor szomszédos G-ben, ha a megfelel ˝o egészek relatív prímek (vagyis legnagyobb közös osztójuk 1). Perfekt-eG?
8. AGegyszer˝u gráfban a maximális fokszám legyen∆. Készítsük el aG0 gráfot a következ ˝oképpen:G0-be vegyük felGminden csúcsát és élét, továbbáGmindenvcsúcsához vegyünk fel egy újv0csúcsot, amelyet kössünk összev-vel. VégülGmindenuvélére kössük összeu0-tv0-vel. Mutassuk meg, hogyχe(G0) = ∆+1.
9. Határozzuk meg azncsúcsú teljes gráf élkromatikus számát.
10. AGgráf csúcsai legyenek egy sakktábla mez ˝oi. Két csúcs akkor szomszédosG-ben, hogyha a megfelel ˝o mez˝ok egy lépésben elérhet ˝ok egymásból egy futóval. Perfekt-eG?
11. AGgráf csúcsai legyenek a síknak azon pontjai, melyeknek mindkét koordinátája 1 és 100 közötti egész szám, valamint a második koordinátájuk nagyobb az els ˝onél. Az(x1, y1)csúcsot akkor kössük össze a t ˝ole különböz ˝o(x2, y2)csúccsal, hogyhay1≥x2ésy2≥x1. Mutassuk meg, hogyGperfekt.
12. Mennyi a Petersen-gráf élkromatikus száma?
