Bevezetés a számításelméletbe II. Wiener Gábor wiener@cs.bme.hu
6. gyakorlat
Menger-tételek, többszörös összefügg ˝oség
1. Hányszorosan pont- illetve élösszefügg ˝oek az alábbi gráfok?
a) nhosszú kör b) nhosszú út c) Kn
d) Kn,n
e) Km,n
2. LegyenG egy gráf, melyet úgy kaptunk, hogy egy k-szorosan összefügg ˝o gráfhoz hozzávettünk egy új, legalábbkfokú csúcsot. Mutassuk meg, hogy haGegyszer˝u gráf, akkork-szorosan összefügg ˝o.
3. Mutassuk meg, hogy egyk-szorosan összefügg ˝onpontú gráfnak legalábbkn2 éle van.
4. Bizonyítsuk be, hogy ha egy gráf legalábbn2-szeresen összefügg ˝o, akkor van benne Hamilton kör.
5. Legyenk≤n−1. Bizonyítsuk be, hogy ha egynpontú egyszer˝u gráfban minden pont foka legalább n+k2−2, akkor a gráfk-szorosan összefügg ˝o.
6. Tetsz˝oleges k ≤ l egészekre konstruáljunk olyan gráfot, amely k-szorosan pontösszefügg ˝o ésl-szeresen élösszefügg ˝o.
7. Mutassunk olyan gráfot, amely kétszeresen, de nem háromszorosan összefügg ˝o, háromszorosan, de nem négyszeresen élösszefügg ˝o és legalább négy él megy ki minden pontból.
8. LegyenekA, BésCdiszjunkt,relem˝u halmazok. Készítsünk egyGgráfot úgy, hogy a csúcsainak halmaza legyenA∪B∪C, és két csúcsot akkor kössünk össze éllel, ha nem ugyanabba a halmazba esnek. Határozzuk meg azt a maximáliskszámot, melyreG k-szorosan összefügg ˝o.
9. Mutassuk meg, hogy haGegy egyszer˝u síkgráf, akkor nem lehet hatszorosan összefügg ˝o.
10. Legfeljebb hány élet lehet elhagyni a 10 csúcsú teljes gráfból úgy, hogy a maradék gráf négyszeresen élössze- függ˝o legyen?
11. Bizonyítsuk be, hogy 3-reguláris gráfokra az él- és pontösszefügg ˝oségi számok megegyeznek.
12. Adott egyk-szorosan összefügg ˝o gráf, benne két diszjunkt ponthalmazA={a1, . . . , ak}ésB={b1, . . . , bk}.
Bizonyítsuk be, hogy vankpontfüggetlen út, melynek egyik vége azA-beli, másik végeB-beli!
13. Egy térképen A országból B országba el lehet jutni akkor is, ha a kontinens bármely (A-tól és B-t ˝ol különböz ˝o) 10 országa lezárja határait. Bizonyítsuk be, hogy ha minden határ nyitva van akkor 11 vándor eljuthat A-ból B-be úgy, hogy A-n és B-n kívül nincs olyan ország, amelyben egynél több vándor fordult meg.
