Kalbfleisch, J.G.: Valószínűségelmélet és statisztikai következtetés

_? 040

szórást. A minta elemzése után a vizsgálato—

kat becslési eljárásokkal, hipotézissel stb.

folytatják. A bayesi szemléletű statisztikus minden rendelkezésre álló információt fel- használ, legyenek azok szubjektívek vagy ob—

jektívek. A döntési probléma bayesi szemlé- lete nem tesz különbséget a klasszikus érte- lemben vett valószínűség és a szubjektív va- lószínűség között. A Bayes—féle probléma elő- ször egyszerű alternatívaként jelentkezett.

Bayes vizsgálatait Laplace is folytatta, és megadta a ma ismert Bayes-tételt. A szerző ezt az elvet részletesen ismerteti. Kifejti, hogy ha a valószínűségeloszlások ismeretlen pa- ramétereinek egy valószinűségeloszlást tulaj—

donítunk (az ún. a priori eloszlást). akkor a kísérleti eredmények. illetve a Bayes—formula alapján következtethetünk az ismeretlen pa—

raméter elhelyezkedésére. Megemlíti H. Raif- fat és R. Sch/aifert, akik munkájukban —— bár nem kimondottan bayesi szemléletűek -— aza priori eloszlást súlyfüggvény gyanánt alkal- mazzák, elsősorban az eredmény nagyobb információtartalma miatt. Angol nyelvterüle—

ten sok híve van a Bayes-módszemek, erre további megfontolásokat alapoznakl például összekapcsolják a Bernoulli-elvvel, amennyi- ben a nyert feltételes eloszlással veszik egy

büntető függvény várható értékét.

A könyv szinvonalasan ismerteti a játékel- mélet matematikai megfontolásait. A játékel- mélet megalapítója E. Borel francia mate—

matikus volt 1921—ben, az elmélet jelenlegi formája elsősorban Neumann János 1928-ból származó munkája és 1944-ben Morgenstern- nel közösen írt könyve révén alakult ki. En—

nek nagy értéke a minimax elv kidolgozása mint a sztochasztikus rendszerekre vonatko- zó döntési elv eloszlásmentessége. mely nem tételezi fel a rendszerrel kapcsolatos valószí- nűségeloszlás ismeretét. Ez az elmélet olyan rendszerekre vonatkoztatható, amelyeket sztochasztikus körülmények között vizsgálnak.

Ha ismeretlenek a rendszert befolyásoló vé—

letlen tényezők valószínűségeloszlásai, a jó—

tékelméleti modellek akkor is gyakran jó eredményt adnak.

Egyszerű nullhipotézisek vizsgálata kapcsán a szerző bevezeti a statisztikai próbák teszt függvényét, amelyek lényegében egy x minta (P(x) függvénye, amely adott feltétel esetén minden x megfigyelésre megadja a nullhipo—

tézis elvetésének a valószínűségét. A helytál- ló hipotézis elvetése az elsőfajú hiba. (P(x).

tehát az elsőfajú hiba valószinűsége. Ennek adott 8 paraméter esetén x szerint vett át—

laga már csak Gfüggvénye. ami a próba erő—

függvénye, Ptp(9)-val jelölve. Ennek őszerint alkalmas súlyokkal vett súlyozott átlaga az ún. kockázati függvény, amit minimalizálunk olyan feltétel mellett, hogy Ptp(0)minden 6- ra egy adott )) valószínűségnél kisebb vagy azzal egyenlő legyen. A híres Neyman-Pear-

son lemma ezt a gondolatot fejti ki kissé elvontabb fogalmazásban. A minták terében van egy G' algebrán értelmezett ,a mérték és megfelelő f, g függvények esetén keresünk olyan ?)(x) függvényt, amely maximalizál egy integrált egy adott feltétel mellett. Ekkor egy hipotézist kell ellenőrizni, ahol egy ellenhi- potézis van. E lemma szerint legerősebb pró- ba létezik. és ez explicite megadható.

Valószínűségi feltétel melletti optimalizálás előfordul többek között még a konfidencia- halmaz és a toleranciahalmaz-konstrukcióval

kapcsolatban is.

A könyv foglalkozik a matematikai szem- pontból nem éppen egyszerű szekvenciális módszerekkel is. Részletesen ismerteti A. Wald ,

1947-ben. illetve 1950—ben megjelent "Segu- ential Analysis" (Wiley. New York), illetve

..Statistical Decision Functions" (Wiley. New York) című könweit. Az előbbi könyvében Wald kifejti, hogy adott sokaságra vonat- kozó hipotézis ellenőrzését több lépésben célszerű végrehajtani. Minden egyes lépés- ben ugyonis három lehetőség van, elfogad—

ni a hipotézist, elvetni a hipotézist, illetve úgy dönteni, hogy a vizsgálatot tovább kell foly—

tatni. Az utóbb említett könyvében Wald ezt az elméletet tovább fejlesztette, és ennek kö- szönhető a statisztika tudományában a vé- letlen körülmények közötti döntés elméleté—

nek a kialakulása.

A szerző a statisztikai döntéselmélet alap—

jait matematikai igényességgel irja le, és megismerteti a matematika közgazdasági és műszaki alkalmazóit ennek az elméletnek legújabb elveivel, valamint hasznos informá- ciókat nyújt a különböző alkalmazási lehe—

tőségekhez. Valamennyi fejezet végén gya- korlati feladat is ismertetésre kerül, ami a matematikai elveket az olvasó számára ért- hetőbbé teszi. Mivel a hazai szakirodalom- ban bayesi döntéselmélettel foglalkozó mű eddig alig jelent meg, így ez a könyv a ma- gyar szakemberek számára hasznos ismere- teket nyújthat.

(Ism.: Móritz Pálné)

KALBFLEISCH. !. G.:

VALÓSZINÚSÉGELMELET ÉS STAH SZTlKAl KÖVETKEZTETÉS

(Probability and Statistical lnference. Vol. l., ll.) Springer—Verlag. New York -— Heidelberg -- Berlin.

1979. 342, 316 p.

A kétkötetes mű másod- vagy harmadéves egyetemisták számára írott bevezető jellegű tananyag. Ebből adódóan a matematikai el- mélet és részletek helyett elsősorban a való- szinűségelmélet és a matematikai statisztika logikai alapelveinek bemutatására és a gya—

korlati alkalmazásokra helyezi a hangsúlyt.

STATISZTIKAI IRODALMI FIGYELÖ

1041

Meg kell azonban jegyeznünk, hogy e cél- kitűzések ellenére nem egy témában jóval mélyebb áttekintést ad a hasonló jellegű tan—

anyagoknál. A könyv tárgyalásmódja igen világos, szabatos, s a megértést nagymérték- ben segíti a több mint kétszáz részletesen megoldott feladat is. A mű tanulmányozásá- hoz a matematikai analízis legfőbb elemei—

nek ismeretére van szükség.

Az első kötet a valószinűségelmélet téma- köreit tárgyalja nyolc fejezetben, a második kötet nyolc fejezete pedig a matematikai sta- tisztikába nyújt bevezetést. A legtöbb alfe—

jezet gyakorló feladatokkal s az első kötet néhány fejezete ismétlődő feladatokkal fe—

jeződik be. melyek mintegy harmadának megoldása a függelékben megtalálható. A gyakorló és ismétlő feladatok együttes száma

meghaladja a 600-at, ami azt jelenti, hogy a könyv akár önálló példatórként is megáll- ná a helyét. A példák változatosak, jól át—

fogjók a két kötetben tárgyalt egész anya—

got.

Az első kötet első három fejezete a való- szinűségelmélet alapfogalmait és elemi esz- köztárát mutatja be. Az első fejezetben min- denekelőtt a gyakorisági sorokkal és az azok grafikus ábrázolására szolgáló módszerekkel ismerkedhetünk meg. Ezután kerül sor a va- lószínűségelmélet olyan legalapvetőbb fo—

galmainak, mint a kísérlet. a mintatér (szoká—

sos magyar szóhasználattal eseménytér). a valószínűség és a valószinűségeloszlás fogal—

mának definiálására, illetve körülírására. Vé- gül az első fejezetben kerül bevezetésre és illusztrálásra a várt gyakoriság fogalma is. A tárgyalásnak ez a menete igen szerencsés- nek mondható, mert ily módon lehetővé vá- lik a valószinűségelméletnek és a statiszti- kának a szokásosnál szorosabb összekapcso- lása és a matematikai statisztika néhány fon- tos eljárásának előzetes bemutatása, érzé- keltetése. E fejezet egyetlen hiányossága az, hogy nem kap elég hangsúlyt a tárgyalás során a valószinűségelmélet axiomatikus megalapozása. A második fejezet az egyen- lő valószínűségű kimenetelekből álló, ún.

klasszikus valószínűségi mezőt és az ennek kezeléséhez szükséges matematikai eszközö- ket mutatja be. E fejezetben kerül ismerte- tésre a visszatevés nélküli és visszatevéses mintavétel, és az ezek elméletében alapvető szerepet játszó hipergeometrikus és binomiá- lis eloszlás is. Mindkét fajta mintavétel ese- tében részletes utalás van azok gyakorlati al- kolmazásaira is. Végül e fejezetbe került az ún. sorozatok és szimmetrikus véletlen sémák elméletének bemutatása is néhány érdekes gyakorlati alkalmazással együtt. A harmadik fejezet a valászinűségszámitás azon elemi eszközeinek összefoglalása. amelyek nem egyenlő valószínűségű eseményekből álló va- lószínűségi mezők esetében alkalmazhatók.

7 Statisztikai Szemle

Ennek érdekében legelőször az eseményal—

gebra legfontosabb elemei kerülnek bemuta- tásra, majd a független kísérletek esetében alkalmazható szorzatmodellek és ezek speci- ális eseteként az ún. Bernoulli-féle kisérletek tárgyalása következik. Ezt követi a független események, a feltételes valószínűség és Bayes tételének ismertetése. E fejezet utolsó alte- jezete egy, az események összege valószi- nűségének meghatározását lehetővé tevő ál- talános tételt és e tétel néhány érdekes gya- korlati alkalmazását szemléltető példát tar- talmaz.

A következő két fejezet a diszkrét valószi—

nűségi változók fogalmát vezeti be. majd a legfontosabb diszkrét eloszlásokat és ezek néhány jellemzőjét tárgyalja. A negyedik fe- jezet a legfontosabb alapfogalmakat és diszkrét eloszlásokat mutatja be, s itt kerül sor a sok gyakorlati probléma megoldására sikerrel használható Poisson-folyamat defi- niálására és néhány gyakorlati alkalmazásá- nak szemléltetésére is. Végül e fejezet tartal- mazza a kétdimenziós diszkrét eloszlásokkal kapcsolatos legfontosabb tudnivalókat és a továbbiakban még fontos szerepet játszó mul- tinominális vagy ismertebb nevén polinomi- nális eloszlás definícióját és néhány tulaj- donságát is. Az ötödik fejezet a diszkrét vál- tozók várható értékének és szórásának defi- nícióját, az ezekre vonatkozó legfőbb tétele—

ket és néhány más jellemző definícióját (a csúcsosság és az aszimmetria mérőszámai, a faktoriális momentumok) tartalmazza. A ko- variancia- és korrelációs együttható beveze—

tésére a valószínűségi változók összege, il- letve tetszőleges lineáris kombinációja szó—

rásnégyzetének meghatározása kapcsán ke—

rül sor, és e mérőszámoknak a sztochaszti- kus kapcsolat szorosságának mérésére való alkalmasságáról csak indirekt módon törté—

nik említés. Külön alfejezet foglalkozik az ún.

indikátor—változókkal, melyek gyakran fel- használhatók egyéb módon igen bonyolult valószinűségszámitási gondolatmenetek lé- nyeges leegyszerűsítésére. Erre az alkalma—

zásukra több konkrét példát is bemutat. A fejezet a feltételes várható érték és varian- cia tárgyalásával zárul. ,

Az első kötet legterjedelmesebb fejezetét képező hatodik fejezet a folytonos valószinű—

ségi változók definícióját. a legfontosabb va—

Iószínűségeloszlásokat, valamint ezek néhány érdekes gyakorlati alkalmazását mutatja be.

így — többek között — e fejezetben kapott helyet a normális eloszlás. az annak igen gyakori alkalmazhatóságát indokló centrális határeloszlás—tételekkel együtt. továbbá a normális eloszlásból származtatott, elsősor- ban a matematikai statisztikában használa- tos valószinűségeloszlások tárgyalása is. Kü—

lön emlitést érdemel e fejezetből az ún. va—

lószínűségi integráltranszformáció. ami köl-

1 042 STATISZTIKAl lRODALMl FIGYELÖ

csönös és egyértelmű megfeleltetést létesít egy tetszőleges F(x) eloszlás és a (0, 1) in- tervallumon definiált egyenletes eloszlás kö- zött, ami aztán különféle, szimulációs prob- lémák megoldására is felhasználható. Ki—

emelést érdemel az élettartamok és a vára—

kozási idők eloszlásának általános és lényeg—

retörő tárgyalása is.

A hetedik fejezet a kétdimenziós folytonos valászínűségeloszlások és az azokkal kapcso- latos legfontosabb alapfogalmak (együttes eloszlás, peremeloszlás, feltételes eloszlás) is- mertetése után a valószínűségi vektorválto- zók transzformációinak általános, majd n da- rab páronként független standard (0 várható értékű és l szórású) normális eloszlású va- lószínűségi változó speciális transzformáció- jának tárgyalását tartalmazza. Külön alfeje- zetben található meg a kétdimenziós normá- lis eloszlás definíciója és néhány tulajdon- sága, s az utolsó alfejezet a feltételes el—

oszlásokkal és a regresszió—függvényekkel fog- lalkozik. Ez utóbbihoz kapcsolódva kerül sor Galton idevágó munkásságának vázlatos is- mertetésére. ami — legalábbis részleteiben — nem közismert, és így mindenképpen érde—

kes adalék.

Az első kötetet záró. nyolcadik fejezet a különféle generátorfüggvényeket mutatja be, és azok néhány jellegzetes gyakorlati alkal-

mazását villantja fel.

Az első kötetről összefoglalóan annyit mondhatunk. hogy igen színvonalasan tár—

gyalja a valószínűségelmélet egyes fejezete- it, és ezzel kellő alapot nyújt a második kö- tetben tárgyalandó témák tanulmányozásá- hoz. A tárgyalásmód világos és lényegretörő (: bemutatott gyakorlati alkalmazási lehetősé—

gek is igen változatosak és gondolatébresz- tők.

A matematikai statisztika egyes fejezeteit tárgyaló második kötet nyolc fejezete közül a kilencedik és a tizedik fejezet külön ki—

emelést érdemel, mert e két fejezet — még nem bevezető jellegű művekben is — szokat- lan részletességgel tárgyalja az egyik legis—

mertebb és leginkább használt becslési eljá- rást, a maximum likelihood-módszert. A ki- lencedik fejezet első alfejezete (: módszer alapelvét fejti ki, és egyúttal illusztrálja is a módszer alkalmazását. Ezután az alkalma- zások során használt néhány számítástechni- kai megoldás kerül bemutatásra. A következő két alfejezet az egymástól független kísér—

letekre definiált likelihood—függvények egye- sítésekor követendő eljárást, valamint a rela—

tív likelihood-fűggvényt mutatja be. Ez utób- bihoz kapcsolódva kerül sor a likelihood in- tervallumok és tartományok definiálására és szemléltetésére. Ezután a maximum likeli- hood-módszer folytonos valószínűségi model—

lek esetén történő alkalmazását és a mód—

szer általános tulajdonságait mutatja be s

végül az elégséges statisztikák áttekinthető kifejtésével zárul a fejezet. A tizedik fejezet a kilencedik fejezetben bemutatott módszert és fogalmakat általánosítja két vagy több ismeretlen paraméter esetére, s a tárgyalt módszerek néhány érdekes gyakorlati alkal—

mazósát ismerteti.

A tizenegyedik fejezet a valószínűségi mo—

dellek és a valóság egyezésének vizsgálatá—

ra alkalmas ún. illeszkedési próbákkal és én—

nek kapcsán a próbák alapfogalmaival és gondolatmenetével foglalkozik. E fejezetben ' több igen tanulságos példa található az eg—

zakt és a közelítő eljárások párhuzamos al—

kalmazására. ami érdekes összehasonlitások- ra nyújt módot. A fejezet részletesen bemu—

tatja az empirikus eloszlásfüggvényekre ala- pozott gyors grafikus eljárásokat is.

A tizenkettedik és a tizenharmadik fejezet a szignifikancia—prábák elméletének általá—

nos tárgyalását, illetve a szignifikancia—pró—

bák alapján származtatható különféle konfi—

dencia—intervallumokat tartalmazza. A szigni- fikancia-próbák általános megfojmulázását és

interpretációját tárgyaló bevezető rész után kerül sor az összetett hipotézisekkel kapcso—

latban felmerülő problémák érzékeltetésére és bizonyos speciális feltételek melletti ke- zelésének ismertetésére. Ezt a 2X2, majd tetszőleges méretű kontingencia-tóblák ese—

tében alkalmazható egzakt és közelítő füg—

getlenségi próbák bemutatása követi. A ti—

zenkettedik fejezet foglalkozik a likelihood- arányon alapuló egzakt e's közelítő próbák elméletével és gyakorlatával is. ami a pró- bák elméletén belül igen fontos szerepet ját—

szik. Ezt követően még az egy- és kétoldalú próbákról, az ún. segédstatisztikáknak a hi- potézisek vizsgálata során történő alkalmaz- hatóságáról és a próbák erejéről olvasha—

tunk e fejezetben. A konfidencia-intervallu- mokat tárgyaló következő fejezet a szokástól eltérően a szignifikancia—próbákra alapozva definiálja a konfidencia-intervallumokat, majd megmutatja. hogy ez lényegében egyezik a szokásos definícióval. A szignifíkancia—próbá—

kon alapuló definíciónak az az előnye, hogy azt alapul véve, a likelihood-arány módszer közvetlenül felhasználható közelítő konfiden- cia-intervallumok meghatározására is. A li- kelíhood-függvény tulajdonságaira alapozva azt is bemutatja a szerző, hogy nagy minták esetében a maximum likelihood-becslőfügg- vények közelítőleg normális eloszlásúak. ami ugyancsak jól felhasználható konfidencia-in—

tervallumok konstruálására. Ennek gyakorla- ti alkalmazhatósága azonban —— mint a be- mutatott példók is bizonyítják — nagyban függ a becsülendő paraméter megválasztásától. A tizenharmadik fejezet végül a várható infor—

máció Fisher-féle mérőszámának bemutatá—

sával fejeződik be. kitérve annak gyakorlati hasznosíthatóságára ís.

STATISZTIKAI IRODALMl FIGYELÓ

1 043

A tizennegyedik fejezet a normális eloszlás paramétereire vonatkozó statisztikai következ- tetések módszereit tárgyalja igen általános és jól áttekinthető formában, de kitér a nor- mális eloszlástól való eltérésnek e próbákra gyakorolt hatásaira is.

A tizenötödik fejezet tárgya a kétváltozós regressziós modell azon speciális esete, ami- kor a független változó nem valószínűségi változó, hanem az arra vonatkozó megfigye- lések ismert konstans értékek. A fejezet e modell ismeretlen paramétereinek becslésé- vel s az azokra vonatkozó különféle hipoté- zisek ellenőrzési lehetőségeinek ismertetésé—

vel foglalkozik. kitérve a reziduumok grafi- kus ábrázolással történő vizsgálatára is,

Az utolsó, tizenhatodik fejezet végül a ma- tematikai statisztika néhány még ma sem tel- jesen kikristályosodott területéről (fiduciális tárgyalásmód, Bayes-féle módszerek. előre—

jelzési problémák) ad rövid, de tartalmas át- tekintést.

A második kötet legfőbb pozitívuma az, hogy a szokásosnál sokkal inkább rámutat a matematikai statisztika egyes fejezetei közötti kapcsolatra. ami sok esetben nemcsak a megértést könnyíti meg, hanem új, nem egy esetben elsikkadó összefüggésekre is felhiv—

ja a figyelmet. A bemutatott gazdag példa- anyag nemcsak jó illusztrációja a tárgyalt módszereknek, hanem önmagában is igen tanulságos.

Összefoglalva megállapítható, hogy Kalb—

fleisch professzor munkája igen szinvonalas bevezetés a valószinűségelméletbe és a ma- tematikai statisztikába, mert a hagyományo- san kialakult tematikát sok esetben új meg—

világításba helyezi, elősegítve ezzel a már esetleg ismert eljárások és módszerek alkotó újra átgondolását. Külön kiemelést érdemel a mű sokoldalú. igen gazdag és tanulságos

példaanyaga is.

(Ism.: Vita László)

GAZDASÁGSTATISZTIKA

MOLODCOVA. L. l.:

KINA lPARA:

ARÁNYOK ÉS ARANYTALANSÁGOK

(Promüslennoszt' Kitaja: proporcii i diszproporcii.) Nauka. Moszkva. 1980. 206 p.

A monográfia Kina ipari fejlődésének üte- mével és arányaival foglalkozik. sorra véve mindazokat a változásokat, amelyek az ipari szervezet rendszerében. ágazati és regionális szervezetében az elmúlt harminc évben vég—

bementek.

A könyv a bevezetőn kivül a következő négy fejezetből áll:

1. Az iparosítás feladata a Kínai Népköztársaság—

ban és ennek megoldása.

2. Az iparirsányítás ágazati és területi alapelvei- nek összhangjával összefüggő problémák.

3. Az ipar ágazati szerkezete.

4. Az ipar regionális szerkezete.

A szerző ismerteti a Kínai Népköztársaság 1949. évi kikiáltása óta eltelt harminc év fontosabb gazdaságpolitikai célkitűzéseit és a teljesitésüket periódusonként eltérő módon befolyásoló tényezők alakulását. A szocializ- mus mínt vezérelv alapvetően meghatározta az 1957-ig terjedő első ötéves terv sikeres teljesítését. A következő húsz évben azonban lényeges előrehaladást nem értek el. A ,,nagy ugrás" és a ,,kulturális forradalom" időszaka alatt Kina szert tett az atom- és a hidrogén- bombára, a nép élelmiszer-ellátása azonban továbbra sem kielégítő.

Összességében a harminc éves ipari fej- lődésről —- állapitja meg a szerző — nem adható egységes értékelés. Egyrészt ugyanis el kell ismerni az iparosítás terén elért ered-

70

ményeket, azaz azt, hogy egyes fontos ipari termékek (szén, műtrágya, pamutszövet) ter- melését tekintve Kína a világelsők között foglal helyet, valamint azt, hogy gép— és be- rendezésigényeinek java részét saját terme—

lésből képes fedezni, és eredményeket ért el a tudományos technikai forradalmat kép—

viselő egyes ágazatok (mint például a vegy—

ipar és a gépipar) fejlesztésében. A lakos- ság fogyasztásában is megnőtt az ipari ter- mékek részesedése. Másrészt azonban meg kell állapitani, hogy sok fontos gazdasági mutató tekintetében —— így például az egy lakosra jutó ipari termelésben, egyes haladó ipari ágazatok arányában, az ipari termé—

kek választékában, a minőség és a műszaki színvonal terén —— Kína elmarad a fejlett gaz—

dasággal rendelkező országoktól. és a világ- piacon továbbra is elsősorban mint nyers- anyagexportőr és késztermékimportőr jelenik meg. A munkavégzés ipari jellege még nem nyert teret a társadalomban, a lakosság nagy részét a mezőgazdaság foglalkoztatja; az ur- banizációs folyamat lassan halad előre.

Az első fejezetben, a szerző rámutat arra, hogy Kína autarkiáro törekszik. Ez a terme—

lés indokolatlan diverzifikálásában jut kife- jezésre: olyan ágazatokban is növekszik — kis tömegszerűség mellett — a termelés, ame- lyekben nagyértékű, de a világszínvonaltól messze elmaradt műszaki színvonalat képvi-

selő termékeket gyártanak.

A helyzetre a mezőgazdasági termelés alacsony szinvonala is jellemző, amit fokoz az a tény, hogy az agrárterületeket gyengén fejlett közlekedési hálózat köti össze.