A Fisher-féle ideális indexek mint természetes Divisia-indexek

MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK

A FlSHER—FÉLE lDEÁLlS INDEXEK MINT TERMÉSZETES DlVlSlA—INDEXEK

J. VAN YZEREN

A Divisia-féle integrálok oly módon jönnek létre. hogy az árok és a mennyi—

ségek helyébe megfelelő időfüggvényeket helyettesítünk be. Ennek során célsze- rű líneóris függvényekkel próbálkozni, mert matematikailag ezek a legegyszerűbb függvények. Közgazdaságilag azonban bizonyos, egymással szoros kapcsolatban álló függvényeket ajánlatos előnyben részesíteni. mert azok képesek egyesíteni ma- gukban az egyes termékekre vonatkozó egyedi és a termékek összességére vonat-

kozó általános fejlődési tendenciákat A Divisia-féle gondolatmenetben e függ—

vények éppolyan egyszerűnek bizonyulnak. mint a líneóris függvények. Erről az egyszerű apparátusról — elég meglepő módon — kimutatható a Fisher—féle index- számokkal való szoros kapcsolat. így az elméleti Divisia—elv természetes módon vezet el a gyakorlat jól ismert eszközeihez.

Az elméleti ár— és volumenindexek területén F. Divisia infinitezimális (diffe- renciál- és integrálszámítási) gondolatmenetet alkalmazott (1). Divisia Po árin-

dexe a termékeknek egy i(1,. . . . n) holmazára és a G(tí1 időintervallumra néz- ve a pi(t) árak és a gilt) mennyiségek (az i szerint történő összegzés külön jelölé-

sét mellőzve)

1

Zpumwdz

")ng "___—[ Spawn) "'

határozott integráljával egyenlő. A Go volumenindex ehhez teljesen hasonlóan írható fel. A Divisia-féle ár- és volumenindexekre nézve log PD Go : log Zpi cn—

—log Epo 00 áll fenn (a p(1) jelölés helyett p1-et stb. használva).

A PDOD szorzat ily módon kizárólag a pi és a; mennyiségek 0 és 1 időpontra vonatkozó értékeitől függ. Az integrálok meghatározásához azonban természete- sen szükség van a közbeeső értékekre is. Ezért pro és aio pm -re, illetve cm -re való változásának módja természetesen befolyással van magára PD-re és OD-re. lgen

szemléletes az, ha megvizsgáljuk a PD index egy tulajdonságát.

Tekintsük az áraknak egy c %1-szeres arányos változását. Ekkor p; (0) :: cpi(1) áll fenn i minden értékére. Tegyük fel. hogy ez a változás olyan, hogy pilt) foko- zatosan c'pi(t)-be megy át. Mivel

(C'!) M' : C' log C ' P (0 4— C* ' P'(t): /2/

a c[ szorzó kiesik, ha a megváltoztatott függvényeket helyettesitjük be az integ-

118 J. VAN YZEREN

rálba. Ekkor nyilvánvaló, hogy az alábbi két egyszerű kifejezést kapjuk:

log c —l— log PD :: log (c - PD).

A c szorzótényező tehát megjelenik az árindexben. Ugyanez érvényes Go-re nézve is. Ez egy igen természetes tulajdonság. ami később még lényeges lesz.

Annak érdekében, hogy közelebb kerüljünk a gyakorlathoz, a p;(t) és a ej,-(t) _ függvényeket természetesen specifikálni kell. Első látásra a

P; (f) :Pio *l— (Pn — Pio) t, 9; (t) : (ho * (a,-1 *- (iio) t 0 § ! § 1 /3/

linearizálós tűnik a legtermészetesebbnek. E formulák használata vezet az A. Vogt

által kapott eredményekhez (2). Az eredmények elég bonyolult képletekkel adha—

tók meg. A függvények azonban egy speciális értelemben egyszerűek. minthogy a Eno Po. 213101. EPM). Epocn összegekből tevődnek össze valamilyen módon. Ez

könnyen látható, ha az /1/ szómlálójába és nevezőjébe behelyettesítjük [SI-at.

Ekkor az egyedi pi-k és ai—k eltűnnek. és a négy összeg az integrandusz paramé-

tereként jelenik meg. Vogtnak természetesen igaza van abban, hogy az egyene-

seket tekinti a legegyszerűbb hipotézisnek. A línearitást azonban lehetetlen ,.ter- mészetesként" elfogadni, ha a p;/p; relativ változásokat tekintjük. Valóban: e re—

latív változások a t : 0 esetben (Pi1—Pí0)/Pío alakúak a t : 1 esetre érvényes

(Pi1—-Pio)/Pi1—gyel szemben. Jelentős infláció esetében az utóbbi értékek általá-

ban lényegesen kisebbek az előbbieknél. A faj/pi arány ilyen változását azonban

semmi sem indokolja. A lineáris modell tehát lényegesen torzít.

Ha például az árakat vizsgáljuk, a feladat abban áll, hogy valamilyen P def—

látor árindexhez jussunk. Ha volna ilyen indexünk, pi1 -et pn /P—re tudnánk változ- tatni, s ekkor a pm —— pia/P változások már mentesek az infláció hatásától. Épp

ilyen átalakításra alkalmasak a lineáris függvények.

íMegfordítva ezt a gondolatmenetet. ,,inflóló" lineáris függvényeket keresünk.

Ezek egyelőre olyan, közelebbről meg nem határozott P és G tényezőket tartal-

maznak, amelyekre nézve PG : Zpi aj/Zpo go, s melyek az általános ár-, illetve vo-

lumentendenciákat mutatják.

Pi(t) : l" ' [PID 4- (Eg —Pio)t], 9i(t) 20" [% t(%1— Clio)t]- 141 Nyilvánvaló, hogy e függvények szintén Pio, grg-ról pm, cin-re változnak. De vajon hogyan alakulnak most pii'lp relatív változási ráták?

A szigorú linearizálással való legjobb összehasonlításhoz akkor jutunk. ha olyan termékeket tekintünk, melyek jól követik az ártrenclet, azaz melyekre nézve pj/po gyakorlatilag P-vel egyenlő. Ekkor, mint már megjegyeztük. a szokásos linea—

ritásból p'lp : (pj—po)/p(t) következik. ami (P—1)-ről (1—P_1)—re változik a teljes P

tényezővel. lnflóló línearitás esetében azonban látható, hogy p(t)%P'po. E függ- vényre nézve a p'lp hányados log P-vel, azaz egy konstanssal (!) egyenlő. Ez pe—

dig nyilvánvalóan egy igen kézenfekvő eredmény (3). Behelyettesítve most a [4/

függvényeket az /1/ Divisia-féle integrálba. azonnal észrevehetők az alábbi sze—

rencsés egyszerűsödések:

1. P'és O' kiesnek;

2. a log P tényező ugyanúgy két részre bomlik. mint a lo c a l2/-ben:

3. újra megjelenik a négy összeg, de ezúttal a pogo, Z pi (Ji/PO : Spo go, Z.? (Jo/P : PL IP - Z po 010, Spo (.th : ej,/O — Epo go, módon deflólva. s így leo a(, is ki—

85! .

ramus !NDEXEK ; 1 19

Bevezetve a PL/P : a és GL/G : b jelöléseket azt kapjuk. hogy [a—1—l—(2—a—bmdt

1

log PD:logP—l-fi—l—(a—l—b—ZH—l-(Z—O—bw

[5/

0

A t :1/2(x—H) helyettesítés hatására az integrál szimmetrikusabbó válik (meg-

jegyezzük, a páratlan függvény [—1; 1] feletti integrálja O):

1

__ (a—jbldx

logPo—logP—l—fa_4_b_*_2_(a_í_b_2)x2'

ló/

-1

Az a és a b szerepét felcserélve Oo—re és O-ra. analóg eredmény adódik. lgy látható, hogy log Po/P —l— log OD/G : 0. Ez természetesen a Po Oo : Em 41 /Z'po go

összefüggésből is következik.

Nyilvánvaló, hogy olyan eszközhöz jutottunk, amely jól felhasználható iterá- ciós célokra. Kezdjük az iterációt a P, O kezdőértékekkel. Az integrálok ezeket PD, Oo —vé korrigálják. Ezek a Po, CD értékek -— ha P és O szerepét játsszák a /4/—

ben — kiigazított pi(t), (J,-(t) függvényekhez vezetnek. Ezekből újabb korrekciós in-

tegrálok nyerhetők, melyek újabb Po, Oo értékeket szolgáltatnak és így tovább.

Annak érdekében, hogy lássuk azt, hogy ez hogyan történik. tekintsünk egy egy- szerű példát.

Legyenek adva az alábbi adatok öt termékre nézve:

* Pi P2 Pa P4 P5 (11 02 43 (74 05

0 71 73 60 85 51 67 74 87 96 53

1 177 164 138 140 77 47 48 77 140 79

Zpo Go : 26 242, Epi ch : 52 500: Épi (11/2530 % : 2.000 61

Zp1 ao : 53 522, Zpggi : 27 390; PL : 2.039 55, GL : 1.043 75.

Legyenek p : 2.000 61 és O : 1 a kezdőértékek. Ekkor a : PL/P : 1.019 47,

b : GL IO : 1.043 75, és így a —l— b—2)0. Ebből adódóan ló/ a

0—9— 409 JÉIJLÉITÉ 9:a-l—b—2 [7/

logszlogP—i— VE]; 1—l/g/h hza—l—b—le2

alakba megy át.

A konvergencia nagyon gyors:

P 2.00061 197672 197721 1,97720::PF ? Fisher-féle

Gi 1.01209 1,01183 1.01184297 indexek /8/

a 1.01947 1.03179 1,03153 1.03154 l—P/P —G/(2 __R b 1.04375 1.03128 1,03154 1.03154 _ L F— L F"-

Az eljárás akkor ér véget. ha a és b egyenlővé válik. A

A fenti példa azt a szokásos esetet példázza, amikor PL ) Pp, GL ) ap, azaz amikor p és a között negatív a korreláció. Abban a kivételes eset—

ben, amikor e korreláció pozitív, a [8/ jobb oldalán szereplő log (1 —H/g71) /(1 — Vé/í)

kifejezés a 2 arctg Vlgl/h kifejezéssel helyettesítendő. Ezt az esetet szemléltető pél—

dához jutunk akkor. ha a fenti példában a(O)-t és a(1)-et felcseréljük. Ekkor PL és

120 ). VAN YZEREN

Pp is felcserélődik, Pr nem változik. GL, GF és Op pedig reciproka lesz a korábbi

GL. OP és GF-nek.

A szükséges adatok most a következők:

Spo (70 : 27 390, 2 pi (71 : 53 522: 2531 (71/2510 00 31.954 07

291 (70 : 52 500, Zpo 011 : 26 242; PL : 1.91676, GL : 0.958 09.

Ekkor az iteróció monotonnak tűnik:

P 1.954 07 1.976 72 197719 1.977 20:P; ) Fisher-féle o 1 0988 54 0.988 31 0.988 30:o; indexek a 0.980 91 0969 66 0.969 43 0.969 43 % P ,P -—0 ,a _ R

b 095809 096919 0.96942 0.96943 ** L F'* L F—

Ha az iteróciót nagyon ügyetlenül — például O-hoz közeli P-értékkel — kezd- jük. úgy, hogy a -l— b — 2)O. akkor az első ciklus /8/ szerint történik. a továbbiak-

ban azonban már 2 arctg l/lgl/h használandó. Ha véletlenül a -l— b—2 : 0, akkor az integról triviólis módon 1/2 (a—b)—be megy út. A szokásos PL )Pp esetben azon—

' ban ez sohasem következik be, hiszen ilyenkor

a—lw b : PL/PJr GL/Gwp/P—t— ollo :: Pp/P—l— P/Pp ge

amelyek reciprok értékek.

Eddig a példák. Most nézzük az általános esetet. (A matematikai részleteket

0 Függelék tartalmazza.)

Tegyük fel azt, hogy P és O (: P'1 - Em cn/Zpo ao) véletlenül olyanok, hogy

azokat szerepeltetve az inflóló líneóris függvényekben a Divisia—integrólok értéke

pontosan log P és log G. Ekkor P és G éppen a Fisher-féle indexek! Valóban,

mert a

1

—

(a—b)dx

logP—lOgP'l—fm

——1

összefüggésből az következik, hogy a : b, és így

PL/P : GL/O : P/Pp, P ::pr Pp apr, 020;-

Ebben a Divisia—féle gondolatmentben tehát a Fisher-féle index az egyedüli

megoldás.

Az egyértelmű megoldások azonban néha kivételesek olyan értelemben, hogy például nem stabilak, könnyen divergólnak. Ebben az esetben azonban semmi ilyesmiről nincs szó. A Divisia—indexeket az inflóló lineáris függvényből származ—

tató iteráció mindig stabil. A jó konvergencia az

. Pn-l-1—PF N 2

(R 1—hez közeli érték) összefüggésből látható. (Lásd a Függeléket.) Ez az összefüg-

gés könnyen illusztrálható is.

A fenti adatok alapján:

1.976 72 —- 1 917 20 2.000 61 —— 1.977 20

2

: -40.0207. —3— (1 —- 1.031 54) : —-0,0210.

ramus lNDEXEK 121

Mivel R minden gyakorlati esetben elég közel van 1-hez. a konvergencia olyan

jó, hogy egy lépés is elég lehet. A lényeg tehát az, hogy bármely P a PF -et adja

meg például három tizedesjegy pontossággal. Az első példa esetében azt talál—

juk, hogy minden 1.964 és 2.011 közötti P érték (egy lépésben) 1.977 : PF—et ad.

Valóban. 1.9765 (1.977-re felkerekítve) olyan P kezdőértékből kiindulva kapható meg, amelyre nézve

1.9765 — 1.9772 2 ,

P—EW N ? (1— R) —— 0.0210 (lasd /9/—et). /10/

Ebből P : 2.011. Ehhez teljesen hasonlóan 19775 a P : 1.964-ből adódik. A má—

sodik példában minden P 6 (1.944 ; 1.991) (egyből) PF : 1.977-et ad. Mindkét eset- ben az infláló lineáris függvények széles skálája —— melyeket a PG : Zpí CH/ ZpO Clo összefüggés párosit össze — gyakorlatilag azonos eredményt. nevezetesen Pr, Gr—

et ad. így a Divisia-gondolatmenet (: Fisher—féle indexekhez konvergál.

A /10/-et megtekintve még egy megállapítást tehetünk. Olyan esetekben, ami—

kor R igen közel van 1—hez, P távol esik PF-től. lgy érthetővé válik, mi történik ob-

ban a kivételes esetben. amikorR : 1. azaz PF : PL : Pp és (21. : OP : OF.

Ekkor -— mint az a függelékben bizonyításra kerül majd — minden p;(t), a;(t) infláló lineáris függvény bármely P, illetve O-val egy lépésben olyan PD , OD-t ad. ami PF . Or-fel esik egybe. Látható. hogy az infláló lineáris függvények jól beleillenek a Divisia—féle gondolatmenetbe. Ez erősen alátámasztja azt, hogy értelme van az általános exponenciális tendencia egyedi lineáris eltérésekkel való összekapcso—

lásának.

FUGGELÉK

A konvergenciához az szükséges, hogy log P eltérése, azaz log P — log PF ,,korrigálásra" kerüljön egy. a (0 :2 log PF/P) intervallum belsejébe eső számmal.

Más szavakkal, ennek az intervallumnak kell tartalmaznia az integrál értékét.

A PF/P : : 5 esetben ez a 1

] (R(s —1/s)/log s)dx ( 2 1/11/

R(s —l—1/s)—l— 2- (R(s —j—1/s)—— 2)x2

—1

alakra egyszerűsödik. A konvergencia azt jelenti, hogy s_,1_ lgy R-nek ki kell elé- gítenie az

1

Rdx R

[HA—(R—mz :V(R2—1) log(R4rifR2—1)(2

egyenlőtlenséget. így, jó közelítéssel R(l/12, azaz PL( 12 Pp kell, hogy fennáll—

jon. Természetesen e feltétel közgazdaságilag nem jelent semmiféle megkötést.

Annak érdekében, hogy a konvergenciát egy kissé reálisabban vizsgáljuk, tekintsük

az R§2 esetet. A számlálót és nevezőt R-rel osztva azt kapjuk, hogy /11/ bal ol-

dala monoton nő R—rel. Legyen most R : 2. Ekkor /11/ az

f(s)..__ s—1/s _ log(s—j—1/s-—j—((s_j_1/s)2_1)1/2)(2

' *— ((s 4— 1/s)2- 1)1/z log ;

122 !. VAN YZEREN

alakra redukálódik. Mivel s és 1/s felcserélésének nincs hatása, az 531 esetre kon- centrólhatunk:

f(1) : Z/Ví— lOg (za—VE) : 1521; limf(s) : 1;

82790

a monotonitóst jól illusztráljók az s : 2, 3, 4, 5, 10 helyeken rendre adódó LABO:

1.430; 1.392: 1.362; 1.285 értékek. Világos, hogy minél nagyobb s. annál gyorsabb

(: konvergencia.

Vizsgáljuk meg továbbá az /9/ egyenletet a konvergencicróta vagy a logarit- musok ezzel teljesen analóg eltérési törvénye szempontjából:

2

eltérés "T,—(1 — R) % korrigált eltérés

R(s -1/s)dx

R(s —l—1/s)—j— 2 — (R(s 4—1/5)— 2)x2

'!

log (1/s) én — R) : log (1/s) % f

——1

Elhanyagolva (5—1) és (R—l) magasabb hatvónyoit, a

1 1

2 Rdx R R—1

T(1_R)%1—fR—l—l—(R—1)x2%1—R—l—1fU—k 2 x2)dx

—1 ——1

kifejezést kell megvizsgálni. A jobb oldal ekkor az

1 1 2

1—(1 4—R—1) (1 — T(R—m (1 —l— —6—(R—1)): ;— (1—R)

alakra redukálódik. Legyen végül R :: 1, azaz Pp : PL : Pp, a; : GL : Op.

Tekintsük újból a /4/ inflóló lineáris függvényeket, de ezúttal a PG—ra vonat- kozó megkötés nélkül. Behelyettesítve ezeket az /1/ integrólba. most is (: deflólt

összegeket kapjuk. Most azonban ij izu/PG nem Épg cm. Ellenkezőleg, a jelen

esetben

Em (il/PG : PLGP/PG ' ZPoGo : PLOL/PO ' ZPoWo : Ob ' ZPoGo-

így tehát ismét [SI-höz jutunk. de azzal a különbséggel, hogy a két egyes ab- re változik benne:

(0—1 —l—(ab—l—1—a—b)t)dt 1-l—(a—l—b—l—2)t—l-(ab—l—1—a-—b)t2 1

logPD : log P—l—f o

Az 1 —l— (b—1)t szorzó éppen kiesik. lgy végül az eredmény a

'l

— t

logPD :logP—l—f—ífímli—dTít—:logP—l—logaclogPLzlogP;

o

alakra redukálódik. Speciális esetként az egyenesek (P : G : 1) szintén a Po : Pr , (Zo : Or eredményre vezetnek.

iDENLIS INDEXEK 123

iRODALOM

(1) Divisia, F.: L'indice monétaire et la théorie de la monnaie. Revue d'Économie Politigue, 1925, 39. sz. 842—861. old.

(2) Vogt, A.: Das statistische lndexproblem im Zwei—Situationen-Fali. (Kézirat. 1979.)

(3) Köves Pál: Indexelmélet és közgazdasági valóság. Akadémiai Kiadó. Budapest. 1981. 212 old.

TÁRGYSZÓ: lndexszómok

PE3iOME

B cnoeü crarbe aerop uccnenyer TBKYIO cneumpuxaumo unnencoa anausuu KorAa neMeHeHue nem,: " oősema AaHHoro Tosapa onncmaaercn caoeapemeuuo yuurbleammeü umbnsumo nuHei—ínoi'r (pyunuueü, ro ecrb Taxoü BpeMeHHoű (pyHKul—reü, Koropasl nannercn npouzaeAeHMeM oruoczmerocz K AaHHOMY 'roaapy nnneüuoro OAHOHJ'IeHa " akcnoueu- U.Kőhbl'ioü tpymcuuu oömero nunekca u.eH n oő'bema.

Aarop noxaauaae-r, sem a cnyuae ynthHyroü mynnuuu omocmenwoe HSMeHeHHe ueu Ha ranoü roaap, Koma Pi/PO 6nH3KO K BmpamaloureMy oömee nameHeHue u.eH P, nanaercn npakmuecxu KOHCTaHTHblM (log P).

OAHaKo en:.e őonee cymeCTBeHHblM annaercn TOT (pam-, u'ro B cnyuae npnmeneuuz Ta ux (pyHKuuü uHrerpan MHAeKCa Anansun p.aer xopomo uaaecmue HHAeKCbl (bumepa, a HMeHHO őbrcrpoü Konseprenuueü, cneraareano TaKHM oöpaaoM lmero ocnapnaaemme HHAeKCbi CDmuepa nonyuaro-r Hoaoe reope'muecnoe noA'rsepmAer—me.

SUMMARY

Divisia's integrals, defining log P and log Cl (P : price index, O ; auantity index;

PGzZ'p(1)u(1)/p(0)a(0), need. for every item considered ra price function p(t) and a auantity function a(t) over timeinterval (0.1). lf only p(0). a(O), p(i), a(i) are given. then linear interpolation may be considered (A. Vogt). This. however. turns out economically un- realistic. Modified ,.inflating línear functions" provide interpolations that may be called natural. Rather surprisingly, they produce Fisher's ideal index numbers! The mathematics of this direct relation between Divisia and Fisher is presented in detail.

ln wider context Divisia's approach tries to find P and 0 by using functions p(t) and a(t) that include the unknown F. G as parameters. Such .,vicious circles" ore well- known in mathematics. Freauently, their solutions are found by iteration. '