A statisztikai indexek súlyozási problémái

KÖVES PÁL: i

A STATISZTIKAI IND'EXEK SÚLYOZÁSI PROBLEMÁI

SZERKESZTÓSÉGI MEGJEGYZÉS. Ez a cikk Köves Pál: Statisztikai indexek c. most elkészült és október hó folyamán a Közgazdasági és Jogi Könyv—

kiadó kiadásában megjelenő könyve egyik legfontosabb témakörének tömör kifejtését tartalmazza. -A könyv megfelelő fejezeteiben -— és így ebben a cikkben ref,——

a szerző egyrészt már ismert, de a magyar statisztikai.

irodalomban nem eléggé rendszerezett összefüggéseket tárgyal, másrészt figyelemre méltó új megállapításokat is tesz. Mind az ismert összefüggések rendszerezése, a szerzőnek azokkal kapcsolatos állásfoglalása, mind pe—

dig az új megállapítások bizonyára vitát váltanak majd ki a statisztikusok körében. Ezért látta jónak a Sta—

tisztikai Szemle szerkesztősége, hogy ezt a vita—

indítás szempontjából legjelentősebb kérdésekkel fog—

lalkozó cikket már a könyv megjelenése előtt is közölje.

A statisztika egyik leggyakrabban előforduló feladata a fejlődés mér—

tékének vizsgálata. E nélkül úgyszólván semmiféle közgazdasági elemző munka, közgazdasági tárgyú tudományos kutatás, vagy gazdasági irányítás nem létezik. A változás, fejlődés mértékének megállapítása sok esetben egé- szen egyszerű eljárást igényel, de bonyolultabb, több különbözőfajta elem—

ből összetevődő, többféle tényező hatására változó gazdasági jelenségek vizsgálata esetén ez a számítás is többé—kevésbé bonyolult. A változások mérésére szolgáló, ilyen többé-kevésbé bonyolult statisztikai módszer az indexszámítás.

A gyakorlatban az ,,index" vagy ,,indexszám" elnevezést nem egészen egyértelműen — gyakran igen tág értelemben —— használják, amennyiben sokan mindenféle időbeli változást mutató (dinamikus) viszonyszámot in—

dexnek neveznek. Mi csak a több, különnemű, közvetlenül nem összesít—

hető mennyiség együttes, átlagos változását kifejező viszonyszámot nevez—

zük indexnek. Tekintve, hogy ezek a különböző mennyiségek együvé tar- toznak, egy jelenségre vonatkoznak, az indexszámot úgyis definiálhatjuk, hogy az az olyan jelenségekre vonatkozóan adja meg a változás mértékét, amelyeket különnemű, közvetlenül nem összesíthető mennyiségek jellemez—- nek. A változás, amelyiknek mértékét indexszel mérjük, az esetek többsé—

gében időbeli változás, de minthogy a különnemű mennyiségek együttes te—

rületi összehasonlítására, vagy például különnemű adatok összességével kapcsolatban a tervteljesítés mértékének megállapítására is sor kerülhet, ——

KUVES: A STATISZTIKAI INDEXEK SÚLYOZASI PROBLÉMA! ,. 661

tekintettel a problémák azonosságára — az ilyen esetekben kiszámított ősz—;

szefoglaló viszonyszámot is ugyanúgy indexnek minősíthetjük. A továb—"

biakban csak az időbeli összehasonlításról beszélünk, de megállapításaink értelemszerűen vonatkoznak a többi esetekre is.

Az alábbiakban —— mielőtt tulajdonképpeni tárgyunkra, az indexek sú—

lyozásának problémáira rátérnénk —— egészen röviden összefoglaljuk az indexszámítás lényegét. Bár a cikk elsősorban olyan olvasókhoz szól, akik az indexszámitásban jártasak, különféle okokból (terminológiai félreértések

elkerülése stb.) —— úgy gondoljuk ——- ez nem felesleges.

a) A _volumenindex

Bizonyos alapvető összefüggések tisztázása érdekében bontsuk elemeire az index definícióját. Az index elsősorban a változás mértékét mérő viszony- szám. Ezen az alapon az indexszám legegyszerűbb ,,rokona" az egyszerű di—

namikus viszonyszám. Lássunk erre egy példát. Egyszénbányászati Vállalat júliusban 2000, augusztusban 2100 tonna szenet termelt. A júliusról augusz—

tusra bekövetkezett változás mértékét kifejező viszonyszám:

Éli :: N—— : 1,05, go 2000

ahol (11 az összehasonlítás tárgyát képező tárgyidőszak adata (termelt meny——

nyiség), go pedig az összehasonlítás alapját képező bázisidőszak adata.

' Az index azonban ,,több", mint egyszerű dinamikus viszonyszám, első—

asorban azért, mert több együvétartozó mennyiség együttes, átlagos változá—

sát mutatja. Ezen az alapon az indexszámnak már kevésbé egyszerű, de kö—

zelebbi ,,rokona" a globális dinamikus viszonyszám, amelyet több részterü—

leten megfigyelt adatok alapján számítunk ki, de ezek az adatok még egy—

neműek, közvetlenül összesíthetők. Például egy szénbányászati tröszt vál—

lalatainak termelési adatai alapján akarjuk kiszámítani a tröszt termelésé—

nek változását. Az adatok:

Termelés mennyisége (tonna) Augusztus,

"**—_— _ "A " júliushoz viszonyítva,, Vállalat július augusztus július :: 100

(03) (el) (3? . 100)

! a 5

I. ... 2000 , 2100 105

II. ... 4000 ' 4100 102,5

III. ... 1000 [ 870 87

Tröszt ! .7000 ! 7070 ! 101

l

A viszonyszám tehát:

2 7070

91 :: : 1,01

L' go 7000

(Megjegyezzük, hogy az eddig ismertetett kétfajta viszonyszám megkülön—

böztetése viszonylagos érvényű, a megkülönböztetés jelentőségét itt az adja.

' (562 i ! KÖVES mr,

meg, hogy a globális dinamikus viszonyszám módszertanilag átmenetet je- lent az egyszerű dinamikus viszonyszám és az- index között.)

A globális viszonyszám egyúttal az egyes részterületekre (itt vállala- tokra) vonatkozó egyszerű dinamikus viszonyszamok átlaga, mégpedig a bázisidőszak adataival súlyozott számtani átlag:

(10 __— ZUUU - l,05 4;- 4000 - l,025 "Jr— 1000 - 0337

:; mi 2 g,, 2000 4— 4000 4— 1000

vagy pedig a tárgyidőszak adataival súlyozott harmonikus átlag:

zal : 2100 4— 4100 ju 870 2101

mi; (el) Muggs zen ,

a; Los 1,025 ' 0,s7

Az indexszám következő jellemzője —— a felbontott definíciónak eddig még be nem kapcsolt eleme —— az, hogy különnemű, közvetlenül nem össze—

síthető mennyiségek együttes változását fejezi ki. Tehát nem egyfajta ter—

méket (például szenet) termelő vállalatok termelésének együttes változását vizsgáljuk, hanem —— mondjuk —— egy különbözőfajta, különböző mérték—

egységben mért termékeket gyártó vállalat termelésének együttes változása, vagy például kűlönbözőfajta fogyasztási cikkekre nézve a fogyasztás meny— s nyiségének együttes változása alkotja vizsgálatunk tárgyát. Az eddigi mód—

szerekkel csak azt tudjuk kiszámítani, hogy az egyes cikkekre nézve hogyan változott a termelés (forgalom, fogyasztás stb.), az együttes változást nem tudjuk kiszámítani az eddig ismertetett módokon, mert a- el adatok össze- adása értelmetlen.

Ez a probléma is megoldható azonban. A különnemű mennyiségeket helyettesíthetjük —— a mennyiségi adatokkal közgazdaságilag szoros kapcso—

latban levő —— egynemű, közvetlenül összesíthető adatokkal. A természetes mértékegységben kifejezett termelt (fogyasztott stb.) mennyiségek helyett pénzértéket, termelési (fogyasztási) értéket veszünk. A pénzben kifejezett adatok összesíthetők. A helyettesítés természetesen azzal a feltétellel törté—

nik, hogy ezzel az egyes cikkek mennyiségeire vonatkozó dinamikus viszony—

számok (íj—1— —ok) ne változzanak. Tehát a mindenkori mennyiségi adatokat nem helyettesíthetjűk egyszerűen a mindenkori érték—adatokkal, mert ak—

kor számításainkat az árváltozások is befolyásolnák, hanem a helyettesítés úgy történik, hogy a (; adatokat cikkenként egy—egy meghatározott, mind—

két időszakra nézve azonos egységárral (p) szorozzuk meg.

Példánk valamely társadalmi rétegre jellemző, meghatározott taglét—

számú család évi fogyasztását adja meg egyes főbb fogyasztási cikkekből, amelyeket tekintsünk úgy, mint az egész fogyasztás reprezentálóit. Vizs—

gáljuk a fogyasztás mennyiségének változását két időszak között.

A STATISZTIKAI INDEXEK SÚLYOZÁSI PROBLÉMAI

A fogyasztás terjedelme indexének kiszámítása

Fagyasztott mennyiség Vlszony— Egység Átszámítás Viszony-

. a két időszakban , szám ár értékre (Ft) szám

FOBYasztási c'kk! Mérték—egység A a p

1 1

% 01 07100 10 11010 am 'la—03.100

Kenyér ... kg 500 475 95 3 1 500 1425 05

Hús ... kg 100 120 l 20 25 2500 3000 120

Te) ... 1 300 315 105 3 900 945 105

"Tojás ... db 150 195 130 2 300 390 130

Férfit-uhu ... 3 db 1 1 100 1500 1500 1500 100

Női cipő ... pár ! 2 2 100 400 800 800 100

Szén ... cl 20 22 110 25 500 550 1l0

Össze—sen —— —— -— —— —— 8000 8610 107,6

. . 23 ( ,)

Vagyis az index : __]Jl — :: 1 ,07 6

E (10 P

A fogyasztás mennyisége 7,6 százalékkal növekedett A termelt (eladott, fogyasztott) mennyiségek összterjedelmének (volumenének) változását kife- Ijező ilyen indexet volumenindexnek szokás nevezni.

A volumenindexet —— hasonlóan az egynemű mennyiségek együttes

"változását kifejező viszonyszámhoz — nemcsak az itt bemutatott módon:

agregát—formában számíthatjuk ki, hanem mint az egyes cikkekre vonatkozó dinamikus viszonyszámok (egyéni indexek) súlyozott számtani átlagát:

91

2 90 P w— ,

go ' 1500-0,9o—1—2500— 1,21L900- 1,057L300-1,3 ,

z: % 29 8000

1'00-1 800-1 *" —11

$ a —i—- %— 000 , : l,076

8000

és súlyozott harmonikus átlag:

.,fnjv'ifil Éwn _, :: 1,076

(

23913) : (ll—) __

90

_formájában is. A volumenindexet a továbbiakban G—val jelöljük.

b) Az árindex

A termelt (fogyasztott stb.) mennyiségeket egyneműség esetén össze—

adással összesítettük. Szemben'az ilyen terjedelmet kifejező számokkal ——

amelyeknek összesítése összeadással történik ——- a statisztikai tevékenység során találkozunk olyan fajta számokkal is, amelyek valamilyen színvona—

lat fejeZnek ki. Az ilyen számokat —— amennyiben egyneműek, közvetlenül rösszesíthetők —- átlagolás útján tudjuk összesíteni. Klasszikus példa erre az egységár. Hogyan történik az egységár változásának vizsgálata, hogyan

664 . KÖVES PAL

' mérjük többféle ár átlagos változását, az általános árszínvonalnak a válto—

zását?

A legegyszerűbb eset: egy termék két időpontban ismeretes árának há—

nyadosa: ill—. Ha ugyanazon terméknek különböző helyeken figyeljük meg Po

az árát, vagy egy termék különböző minőségeinek árait jegyezzük fel, lehe—

tővé válik egy—egy időpontban antermék átlagárának (í?) megállapítása. En—

nek alapján kiszámíthatjuk a _7—0-1 globális dinamikus viszonyszámot. Az Po

ilyen, átlagokból képezett viszonyszám számítása külön problémakört vet fel, amely az indexszámitásnak külön nagy fejezetét hozta létre. (Változó és Változatlan állományú indexek.) Ennek alapján a szocialista statisztiká—

ban szokásos az indexeket az általunk adott definíciótól némileg eltérően, il—

letve annál valamivel bővebben meghatározni. Minthogy a súlyozás prob—

lémáinak kifejtéséhez nincs szükség arra, hogy az indexszámításnak erre a részére kitérjünk, azt a továbbiak során is figyelmen kívül hagyjuk.

Különböző cikkek összességére nézve az árszínvonal. változását árindex—

szel mérjük. Az árindex szerkezete ugyanazon elvek alapján épül fel, mint a volumenindexé. A különfajta mennyiségi egységekre vonatkozó ár helyett minden cikkből egy meghatározott (a tényleges termelésnek, forgalomnak, fogyasztásnak megfelelő) mennyiségre vonatkozó pénzértéket veszünk fi—

gyelembe, amelyek összeadhatók. A helyettesítés itt is olyan feltétellel tör—

ténik, hogy a behelyettesített pénzértékek dinamikus viszonyszáma azonos legyen az egységárak viszonyszámával. Ennek az a biztosítéka, hogy mind- két időszak árait ugyanazon mennyiségekkel szorozzuk meg.

Az árindex képlete agregát—, számtani átlag— és harmonikus átlag—tor—

mában:

21719 22709

(3)

370

p: : . a: - ?,??Ul,

22909 21909 Danyiil)

,.

x 770

AZ INDEXEK SÚLYOZÁSA

a) A súlyozás fogalma az indexszámitásban

A súlyozás vagy mérlegelés fogalma az átlagszámítással kapcsolatban közismert. Ebben az értelemben már használtuk is ezt a fogalmat az index—

képletek felirásánál is. A volumen- és árindexet egyrészt agregát—formában, másrészt súlyozott (számtani vagy harmonikus) átlag formájában is kiszá—

míthatjuk. Az indexszámitásban azonban más értelemben is beszélhetünk súlyozásról. Az agregát—formában súlyoknak nevezzük annak a tényezőnek az adatait, amelyiknek segítségével a különnemű adatokat egyneművé tetu tük, vagyis a volumenihdexben a 13, az árindexben a g adatokat. Ezeknek a p, illetve (1 adatoknak a nagysága ugyanis az eredetileg adott (10 és (11, il—

letve po és pl adatok mellett meghatározza az egyes cikkeknek az összérték—

ben elfoglalt részarányát, viszonylagos súlyát. Az indexek átlagformáiban tehát mindig a (1 p értékadatok a súlyok, az aggregát—formában viszont a p

A STATISZTIKAI INDEXI'ZK SÚLYOZÁSI PROBLÉMÁI 665

(volumenindexben) és a :; (árindexben) adatok értendők a ,,súly" elneve—

zésen

Ugyanakkor, amikor felhívjuk a figyelmet a súlyozás fogalmának ket-—

tős értelmére az indexszámításban, arra is rá kell mutatnunk, hogy a sú- lyozás problémája nem jelent kétféle problémát. Mindenféle ,,súlyozási probléma" jelentkezik az egyszerűbb aggregát—formában is, és az agregát forrna tanulmányozása alapján tehető megállapítások értelemszerűen át—

vihetők az átlag—formákra is.

Vizsgáljuk meg a volumenindexben súlyként szereplő p tulajdonságait közelebbről. Az egységár maga is változik, de a volumenindexben ennek a

változásnak nem szabad tükröződnie, abban csak egyféle ár (ársorozat) sze- repelhet. A súlyozásrax felhasznált árak vagy a bázisidőszak (po) vagy a tárgyidőszak (pl) tényleges árai, vagy valamilyen harmadik ársorozatot használunk fel. Leggyakrabban az első két eset valamelyike mellett kötünk

ki —— legalábbis elméletileg. így az eddig ismertetett aggregát—képlet a követ—

kező kétféle variációt veheti fel:

00: Bálipo 9 : 2391271

1

2 (10390 2 90 pl

A bázisidőszaki adatokkal súlyozott indexet (00) Laspeyres—féle, a tárgyidőszaki adatokkal súlyozottat (01) pedig Paasche—féle indexnek szo—

kás nevezni.

A Laspeyres—féle és a Paasche—féle indexek számtani átlag—formában:

290390 (§) 29'0271(Zl)

a, — ———————————— o, _ —— 3——

2 (10 Po Z % Pi

A harmonikus átlagformák felirását mellőzzük.

Hasonló módon az árindexek is lehetnek Laspeyres-féle (bázisidőszaki mennyiségekkel súlyozott) és Paasche-féle (tárgyidőszaki mennyiségekkel súlyozott) indexek, sőt, ami az elnevezést illeti, azt éppen az árindexszel kapcsolatban használták először, minthogy Laspeyres és Paasche voltak az elsők, akik az egyik, illetve a másik formulát elsőnek propagálták. A két—

féle képlet agregát--formábanz

Po: 220192 FIZ—270193—

2 'Po 90 2 Po 91

Az átlagformák képleteinek _ felírását mellőzzük.

b) A különböző súlyozású indexek összehasonlitása

Egészítsük ki korábbi példánkat. Abban adottak voltak az egyes go és

(11 adatok, valamint egy p sorozat, amelyet tekintsünk most po-nak. Ezt most kiegészítjük a pl adatokkal. Legyen a tárgyidőszakban a kenyér ára 3, a húsé 20, a tejé 3, a tojásé 1,50, a férfiruháé 1425, a női cipőé 420, a széné 24 Ft. Számítsuk ki a Laspeyres- és Paasche—féle volumen- és árindexeket!

666 f KÖVES PÁL

A volumen— és az árindex kiszámítása

Fogyasztás értékben (Ft) Dinamikus viszonyszám (és index)

Cikk (11 170 a; 711 1 a(, m 41 ?)

ao 290 a; % ao zu 01 m % 1," (10171 1 (Li 1," a! ,,S

) "Kenyér ... 1500 1425 1500 1425 95 95 100 100

Hús ... 2500 3000 2000 2400 120 l 20 80 80

Tej ... 000 945 900 945 105 105 100 100

Tojás ... 300 390 225 292,5 130 130 75 75

Férfirulm ... 1500 1500 1425 1425 100 100 95 95

Női vipö ... 800 800 840, 840 100 100 105 105

Szén ... 500 550 480 528 1 10 110 06 96

Összesen 8000 8610 7370 7865,ő 107,62 ! 106,59 ( 9242 9124

Vagyis:

620 :: 107,62%; 621 : 106,590/0; Po : 92,12%; Pl : 91,24%.

A 620 és (21 ,,egyéni indexei" egyformák, hiszen

a.!

90 790 % (lo Pi (lo

ugyanakkor 00 :P (21. Hasonló a helyzet az árindexnél is.

*Arra a kérdésre, ,,hogyan változott a fogyasztott mennyiség?" —-— két—

féle (bár egymástól nem túl nagy mértékben különböző) választ kaptunk.

Ez abból adódott, hogy ezt a kérdést a kétféle súlyozású index kiszámításá—

val két, alapjában azonos, némileg mégis különböző, megközelítő kérdéssel 'helyettesitettük. Az első ,,közelítő kérdés": ,,Hogyan változott volna a fo—

gyasztási érték, —— a fogyasztott mennyiségek változásából kifolyólag — ha az egységárak a tárgyidőszakban is ugyanazok maradtak volna, mint a bázisidőszakban voltak?" A másik ,,közelítő kérdés" csak a ,,ha" után tér el az előbbitől: ,, —— ha az egységárak már a bázisidőszakban is ugyanazok lettek volna, mint a tárgyidőszakban voltak." A két ,,közelítő kérdés" el—

"térő része is lényegében ugyanaz: ,, —— ha az egységárak nem változtak . "volna."

Hasonló módon fogalmazhatnánk meg az árindexszámítás ,,közelítő kérdéseit" is.

Hasonlítsuk össze a kétféle súlyozású indexek közötti eltérés mértékét a volumenindex és az árindex esetében. A 00 és (21 különbsége l%, a P0 és P1 közötti különbség 0,9%. Nézzük meg a különbség mellett a hányadoso—

kat is!

3 : M : (),9904 _P_1 :: ,OJÉÉÉ— : (),9904

00 10762 PO (LD-212

)

Tehát. 93, :: L.

% Po

A két hanyados egyforma! Ez nem véletlen, amit be is bizonyíthatunk:

91 ::291191 . 291790 _29'17—71'240790 727541 , 220190 Pi

(Jo 290291 290200 Saopi'zgipo Epofh ! 210090 Po

A STATISZTIKAI INDEXEK SÚLYOZASI PROBLÉMÁI 667

c) Az egyéni indexek szóródása és a súlyarány-változások szerepe , ' az eltérő eredmények kialakításában

Tekintve, hogy (91 : (20 : Pl : Po, általában beszélhetünk a Paasche- és Laspeyres-féle indexek közötti eltérésről. Az eltérések oka a volumenindex- nél és az árindexnél nyilván ugyanaz. Hogy az eltérést előidéző tényezők szerepét könnyebben feltárhassuk, szűkítsük le példánkat két fogyasztási cikkre: a kenyérre és a húsra. Az egyes indexek kiszámítása (az előbbi tábla

adatainak felhasználásával) a következő:

142r —— 3000 442:—

90 : ) 4 _M : __ ) : 110,63%

1500 4— 2500 4000

15 2

Po : 00 —l— 000 : 3500 : 87,50%

1500 4— 2500 4000 1425 —l— 2400 3825

P1 : : : 86,44%.

1425 a 3000 4425

1 2 '4

ÉL : 09* 9 :0,9s79 5- : §? :(),9879

(20 110,63 190 87,5

Vizsgáljuk meg, hogy a Paasche—fe'le index miért kisebb a Laspeyres—

féle indexnél? A vizsgálatot a volumenindexen végezzük el. Az egyéni in- dexek: 95 és 120. Az index szükségszerűen ezek kőzött helyezkedik el. Hogy hol, az nyilván a súlyoktól függ, vagyis az áraktól. Könnyű belátni azt is;

hogy nem az árak abszolút értékétől, hanem azok egymáshoz való arányá—

tól. Ha a po-ok helyett azok meghatározott többszörösével súlyoznánk, a már ismert (90 indexszel megegyező eredményt kapnánk. Nézzük meg kö—

25 l

zelebbről az árarányokatl A bázisidőszakban egy kilogramm húsért—g— :: 83 kilogramm kenyeret vásárolhattunk volna, a tárgyidőszakban pedig csak M— : 6—3 ' kilogrammot. A kenyérnek abszolút értelemben változatlan ára

3

——- a hús árához képest —— viszonylagosan növekedett. A húsnak abszolút ér—

telemben is lecsökkent ára —— a kenyér árához képest ——- viszonylagosan is csökkent. Ez azt jelenti, hogy a (21 indexben a kenyér ,,súlya" megnöve—

kedett a 620 indexhez képest, a hús ,,súlya" pedig csökkent. A 621 index a kenyérnek nagyobb jelentőséget tulajdonít a (20 indexhez képest. Ebből kö—

vetkezőleg jobban kihangsúlyozza a kenyér alacsony, csökkenést mutató egyéni indexét, ezért kisebb a 91, mint a (20. *

Hasonló megállapításokhoz jutunk, ha az átlag-formán keresztül vizs—

galjuk a súlyok szerepét. A számtani átlag formánál a (20 súlyai a (10 po-ok, a (21 súlyai pedig a (10 p] adatok. (A két súlysorozat adatai csak a p adatok tekintetében különböznek, ezek pedig az agregát—forma súlyai.) Számítsuk , ki a súlyarányokat!

668 ' KOVES PAL

A súlyarányok kiszámítása

Paasche-formula Fogyasztási Laapeyres-formula !

("Lk 00 p., 1 % § ao m ! %

l l

Kenyér . . .. l 1500 ; 37,5 ; 1500 42,0 Hús ... l 2500 _ 62,5 [ 2000 57,1 Összesen 4000 § 100,0 ; 3500 [ 700,0

* 4

' ; :

!

A Paasche—féle formulában súlyke'nt szereplő go pl adatokban a kenyér nagyobb súllyal szerepel, mint a go po-ok között, ezért a 421 közelebb van a kenyér alacsony egyéni indexéhez; mint a 90, vagyis (21 ( 90.

Mi okozza tehát a (20 és 91 eltérő számszerű eredményét? Az eltérésre elsősorban az egyéni indexek különbözősége nyújt alapot. Minél nagyobb az egyéni indexek közötti különbség, vagyis minél nagyobb az egyéni in—

dexek szóródása, annál inkább lehetséges az indexek számszerű eredményé—

nek különbözősége. _, "

Az egyéni indexek szóródásának nagysága mellett a kétféleképpen sú—

lyozott indexek közötti eltérés nagyságát a súlyarányok megváltozásának mértéke befolyásolja.

Számszerű összefüggések feltárása érdekében keressünk a két felsorolt tényező jellemzésére alkalmas mutatószámokat. Az egyéni indexeknek az index körüli szóródását a szóródás—mérésre általánosan használt mutatók—

kal: az átlagos négyzetes eltéréssel (standard eltérés) és a szóródási együtt—

hatóval (variációs koefficiens) jellemezhetjük. Az átlagos négyzetes eltérés

—- mint ismeretes— az egyes átlagolandó értékek és az átlag közötti kü—

lönbségek négyzetes (guadratikus) átlaga. Képlete:

__ Pifí

__ 2 f

ahol (1 : x —— ; (ac-szel az átlagolandó értékeket jelöltük, a? ezek számtani átlaga, 05 : PELÉ ), f pedig az átlagszámításnál is felhasznált súly. A szó—

ródási együttható a négyzetes eltérés viszonya az átlaghoz, Képlete:

(r 0 : __

(E

A mi esetünkben a: : (h , 50: 9 (00): f: % Po

%

Az egyéni indexek szóródását jellemzö mutatók kiszámítása:

ij ' 2

E (10 Pu (A; "" 90)

_. * 0

0-3]— E 90 Po

GO

_ Visoo - (0,95——1,1063)2 4- 2500 . (1,2——1,1063)2

m 12103

1500 4— 2500 0,

A STATISZTIKM mmzxux SÚLYOZÁSI monmnm L' 669

o-_a_x

v __ [im—_ 042103 __01094

% % l,1063 , '

Az egyéni indexek átlagosan 10,94 százalékkal térnek el a volumen—

indextől.

A súlyarányok, vagyis jelen esetben az árarányok megváltozása egy—

ben azt is jelenti, hogy az árak nem egyforma mértékben változnak meg, vagyis az árváltozás viszonyszámai szóródnak az árváltozások átlaga (az ár- index) körül. Ezért az árarányok eltolódásának mértéke is egy szóródási mutató, a __ viszonyszámokPi szóródási együtthatója. Számítsuk ki ezt is!

%

p 2

290 770 ("f " Po)

Um : MW,, 70 ,, :

;; ): (10 770

1500-1—0,s752—,Lz. . , _ , 2

; ( ) A 500 (08 0875) , 209968?)

1500 ju 2500

%— 009683

v,,l :. 7)" z—L—J— :o,1107

;; P0 O,875

Az árarányok megváltozásának mértéke: az árak dinamikus viszony—

számai átlagosan 11,07 százalékkal térnek el saját átlaguktól.

A Paasche— és Laspeyres—féle indexek hányadosa, valamint a két szóró—

dási mutató között példánk számai alapján kimutatható az alábbi össze—

függés:

()

"1— : " UZL'UPU

90 90 PO

. 1 ,2 . .

vagyis "333— : ,—-—(o,1094-0,1107) : 1._—0,0121 : O,9879 110,63 "

Az egyenlőség jobboldala természetesen a kétféle árindex hányadosával is egyenlő. Ebben az esetben a két szóródási együttható szerepe felcserélő—

dik: az árviszonyszámok szóródási együtthatója jellemzi az egyéni indexek szóródását, míg a súlyarányváltozások jellemzőjének szerepét a mennyiségi viszonyszámok variációs koefficiense tölti be.

A fenti öszefüggést egyelőre ne tekintsük általános érvényűnek.

d) A mennyiségi változások és az árváltozások közötti kapcsolat szerepe Az előzőkben kifejtett gondolatmenet alapján érthető, hogy abban az esetben, ha mennyiségnövekedéssel (a mennyiség nagyobb arányú növeke—

désével, a mennyiség kisebb mértékű csökkenésével stb.) árcsökkenés (az ár kisebb arányú növekedése, az ár nagyobb mértékű csökkenése stb.) jár

' 670 KÖVES PAL

együtt, mennyiségcsökkenéssel (stb.) viszont áremelkedés (stb.), akkor a Paasche-féle index kisebb, mint a Laspeyres—féle, vagyis:

(20 ) 91 és P0 ) P,, illetve általában: [0 ) Ip

ahol Io és 11 ugyanazon jelenség Laspeyres— és Paasche—féle indexei (mind a kettő árindex, vagy mind a kettő volumenindex).

Nem szorul különösebb magyarázatra ezek után az sem, hogy ellenkező esetben —-— vagyis, ha mennyiségnövekedéssel (stb.) áremelkedés (stb.), meny—

gyiségcsökkenéssel (stb.) árcsökkenés (stb.) jár együtt —— a nagyságrend for—

ított:

90 ( 01 és P0 ( Pl, illetVe általában: IO ( I1

Ha legutóbbi —— két cikket felölelő —— példánkban ez utóbbi összefüg—

gés érvényesült volna, akkor a két szóródási együttható szorzatával nem csökkenteni, hanem növelni kellett volna l—et, hogy a Paasche— és Laspey—

res—féle indexek hányadosát megkapjuk. Vagyis ebben az esetben I1

___ :] * "a ' %.

IO Go Po

Az ismertetett összefüggések azonban ebben a formában nem általános érvényűek. Példánkban két cikk szerepelt. Két cikk esetében mindig vilá—

gosan, egyértelműen megmondhatjuk, hogy a mennyiségváltozás és az ár—

változások között lehetséges kétféle kapcsolat közül melyikkel állunk szem——

ben és a kapcsolat megállapított jellege kivétel nélkül az ,,összes" (mind a két) cikkre érvényes. Több cikk esetében viszont — már pedig a valóságban rendszerint jóval több, mint két cikkünk van — a legritkább esetben ta—

pasztaljuk ezt. Ilyenkor legfeljebb csak tendenciaként érvényesük valame—

lyik kapcsolat. Ez azt jelenti, hogy a cikkek nagyobb részére vonatkozóan kisebb—nagyobb mértékben fennáll például az, hogy ahol a mennyiség nö—

vekszik, ott az ár csökken és viszont, de sok cikknél nem ennek megfelelő a mennyiségváltozások és árváltozások egymáshoz való Viszonya, egyes ese—

tekben pedig esetleg éppen ellenkező jellegű az alakulás. A statisztikailag megfigyelt ismérvek (jelen esetben a mennyiségváltozás és az árváltozás) között valamely sokaságban (itt a cikkek sokaságában) tapasztalható ilyen kapcsolatokat ——- mint ismeretes —— sztochasztikus kapcsolatoknak nevezzük, szemben a kivételt nem tűrő, függvényszerű, funkcionális kapcsolatokkal.

A sztochasztikus kapcsolatok erősségének mérésére szolgál a korrelációs együttható, amelynek képlete:

2 fm, y,

7- _— " mm,—___h

% 0-3 (T,,

ahol —— x és y értékek a két egymással kapcsolatba hozott ismérv adatai;

1 a hozzájuk tartozó súly;

ac, az egyes a: értékek és azok átlaga közötti különbség, vagyis x' :: ix —— x, haa

sonló módon y' : y —— 5;

n a sokaság tagjainak száma, vagyis n :2 f ;

a' az egyes ismérvek szóródásának mutatója, mégpedig a'x az egyes 90 értékek áts lagos négyzetes eltérése ízt—tól számítva, (ry pedig az y értékeknek ? körüli szó——

ródásának mértékét jelzi.

A STATISZTIKAI INDEXEK SÚLYOZÁSI PROBLÉMÁI 671 —

A korrelációs együttható értéke 4-1 és ——1 között bármi lehet. Ha mindkét ismérv értékei az egyes esetekben egyirányban változnak (pozitív korreláció); akkor 7 ) 0, ha a két ismérv értékeinek változása az egyes ese—f tekben ellentétes irányú (negatív korreláció), akkor r ( 0. Mint láttuk, két.

cikk esetében csak a két szélsőséges eset valamelyike lehetséges, vagyis ilyenkor a korrelációs együttható csak -l—1 vagy ———1 lehet. Ennek alapján.

két cikk esetére vonatkozóan belátható, hogy az 11 és 10 hányadosávai egyenlő kifejezésben szorzó tényezőként a korrelációs együtthatót is szere-—

peltetve, a képlet eddigi kétféleségét az alábbi módon megszüntethetjük:

I

__L:1_t_U£L./U£L.rgw ÉL]

IO ao Po (a ' Po

Ha r : —1, akkor az 14361 a variációs együtthatók szorzatát le kell vonni,, mint eredeti példánkban, ha pedig fr: —l—1, akkor hozzá kell adni.

Felmerül a kérdés, hogy ha kettőnél több cikk adataiból számítunk in- ' dexet, —— amikor a korrelációs együttható értéke rendszerint nem 1 vagy

———1 —— érvényes—e a fenti összefüggés. E kérdés megvizsgálása céljából tér—v jünk vissza 7 cikket felölelő példánkhoz.

Mint láttuk, a Paasche—féle és a Laspeyres-féle indexek hányadosa eb—

ben a példában 03904. A szóródási együtthatók kiszámításának részleteit mellőzzük, csak a főbb részeredményeket adjuk meg, ezekből számítjuk ki.

a két szóródási együtthatót:

(20 : 107,62, PO : 9242, %d : 1094, (ra : 9,73

110 270

10, 4 ,73

vh : 9 :0,09936 'vm : 9 :0,1055s

;; 107,62 ;; 92,12

% ) nagysága sze—

(lo

rinti sorrendben és állítsuk szembe a mennyiség— és árváltozásokat!

írjuk fel a fogyasztási cikkeket a mennyiségváltozás (—

Fogyasztási ? '11

? Pi

sikk ; (1? ? po

Tojás ... l 130 75

Hús ... ! 120 80

Szén...-.§ 110 96

Tej ... .... ; 105 100

Fórfiruha ... § 100 95

Női cipő ... 100 105

Kenyér ... 95 100

Lefelé haladva a 91 —ok értéke csökken, 31—— —oké általában emelkedik,,

%%

de ez alól kivételek is vannak. Példánkban tehát a kétféle Változás között elég erős'negatív korreláció áll fenn. A kapcsolat erősségének mértékéül számítsuk ki a korrelációs együtthatót. A már ismertetett képlet egyes té—

nyezői —-— az indexszámítás jelöléseivel is megadva — a következők:

KÖVES PÁL

Általános jelölés Az index—számításban használt jelölés

(la

% G(et Gode használjuk)

n , 71

% 90

%

y JEL

Po

ki Po

y' _____

P1

0

Po

f 90 Po

% A E' 90 230 _

(rx (r71

%

(Ty (TBL

IN)

A részletes számítás mellőzésével a fontosabb részeredményeket meg- adjuk:

2 f x, y' : M 764620 n : 8000 03; : 10,94 o'y : 9,73

A korrelációs együttható:

,— : ___—S.M— ; ——0,91887 8000 - 10,94 - 9,73

Az összefüggés kimutatása a kétféle súlyozású index, valamint az eltérésü— * ket előidéző tényezők között:

I

1 m

I *ll'vn'vee'rnhu

0 de 710 110 Do

O,9904 : 1 %— 0,09936, . 0,10558 . — 0,91887 : 1 —— 0,0096

Tehát a két index közötti/eltérést egyrészt a mennyiségi változások és az árváltozások között fennálló igen erős negatív korreláció okozta, más—

részt a mennyiségi és árváltozások szóródása, ami viszonylag nem nagynak mondható. Az árváltozások szóródása valamivel nagyobb mértékben járult hozzá a különbözőképepn súlyozott indexek eltéréséhez, mint a mennyiségi változások szóródása.

Hét cikket felölelő példánk az ismertetett összefüggés fennálását iga- zolja. A tételt azonban általánosságban is bebizonyíthatjuk. A bizonyítás a következő (a bizonyítást az árindexekre vonatkoztatva készítettük el).

A STATISZTIKAI INDEXEK SÚLYOZASI PROBLÉMA!

678

Vezessük be a következő jelöléseket:

EYOPGÉA, 29177033, 29073120 291171240

Fejezzük ki ;; _l-et a fenti négy értékösszeggel:

0

Pl 1 D G A D 1

?í—'—-F 7' —.B 0 *

(Célszerű bővítések)

B G' B G' B G B 0

D————— D— _— __ ___. _t- ——

A D —— B 0 ' A A A A

_ B o _ B o _ B 0 "

A A

0 B 0 B

1) _— —— . B _— _ 0 _;— —— —— A

A A A A D—P—B—O-C-i—P-O-A

_ G' B __

A __ —,

A-P-g :

A A

(Behoztuk az árindexet és D jelölésről visszatérünk az 2 jelek hatáskörébe,

a mennyiségek indexét a kifejezésbe. Most az A, B, C.

hassuk.)

,,indexes" jelölésre, ugyanakkor az indexeket bevisszük a hogy végül az egész számlálót és az egész nevezőt szummáz—

__ Églpl—Z'Glpo'P—"Égoplg'i—Egopo. p. a

E 90 F() ' P ' ? (Célszerű bővítés, a szummázás egyszerűsítése)

x 9 P P

Zűopo'ÁÁ—Gcipo'

"" 'P—Gopo' *i'g'f' %Po'P'g

_ 90 Po (Io Po __

' ): 90 Po ' P ' 9

(Tényezőkre bontás)

* P 9

mi 1— yei—o)

__ po 90 __

X 90 Po ' P ' O

(A korrelációs jelölések behozása

R 771 91

_ —— : w, —— : yt

Po 90

1935, ez;/', goPozf:

is behozzuk a kifejezésbe.)

290 po : L'f : n. Ugyanakkor a. szórodás mutatóit Xi (a:—_a?) (g,—§) __ Zfafy' U'xa'y

u.a.; i.e—.hm

(Most már a variációs e

kimutathatók.) gyütthatók és a korrelációs együttható külön tényezőkként o-x a'), 2 J' z'gf

: _:— . .— . : 'U

x

01) .r ::

y— "O'xa'y x y [mpg/]

v 771

. 'U ,-

91 [71 al

pU űl) pi) g!)

7 Statisztikai Smmlc

67 4 KÖVES P ÁL

Felmerül a kérdés, hogy a gyakorlatban a sztochasztikus kapcsolat és a korrelációs együttható milyen jellegű lehet. Az árváltozás és a mennyiség—

változás közötti kapcsolat kiindulhat bármelyik változóból. Lehet, hogy az árváltozás gyakorol hatást a mennyiségváltozásra, de éppúgy lehet for—

ditva is.

Kézenfekvő, gyakran előforduló összefüggés például a következő. Va—

lamilyen mezőgazdasági termékből egy évben lényegesen több terem, mint máskor, aminek következtében a termék ára csökken, Ha a termés a szoká—

sosnál kisebb, akkor az ár magasabb lesz. A termelt mennyiségek változása és az egységárak változása között tehát negatív korreláció van. Ebben az esetben a termelt mennyiségek változása gyakorolt hatást az árak alakulá—

sára. (Ha a fogyasztás a termeléshez igazodik, akkor nemcsak a termelt, ha—

nem a fogyasztott mennyiségek változása is hasonló módon áll sztochaszti—

kus kapcsolatban az áralakulással.) De ugyanilyen negatív korreláció állhat elő oly módon is, hogy az árak változása gyakorol hatást a fogyasztott mennyiségek alakulására. Ha valamilyen fogyasztási cikknek az ára csök—

ken, akkor azt általában fokozott mértékben fogyasztják, ha viszont a cikk ára növekszik, akkor kevesebbet vásárolnak belőle. Eddigi példánk esetében az árak és mennyiségek változása között könnyen áttekinthető, közvetlen összefüggés volt.

A 31— és 2] változó között másfajta, közvetett öszefüggés is lehet. Ki—

Po 90 "

alakulhat például pozitiv korreláció a következőképpen. Ha a lakosság élet—- színvonala növekszik, —— egy meghatározott szint elérése után — egyre in—

kább fogyasztanak luxuscikkeket, különféle iparcikkeket és a fogyasztáson belül csökken az alapvető élelmiszerek aránya. Ha ugyanakkor a kormány elsősorban az elsőrendű közszükségleti cikkek árát csökkenti, akkor a lakos—

ság fogyasztása éppen azokon a területeken növekszik, ahol kedvezőtlenebb az áralakulás. Életszinvonalemelkedés esetén senki sem vásárol szép búto—

rok helyett is kenyeret, csak azért, mert a kenyér árát csökkentették, a bútorét nem.

Ezzel a két ismérv közötti kapcsolat összes lehetőségeit egyáltalán nem meritettük ki. Ebből a néhány példából is láthatjuk azonban, hogy a korre—

lációs együttható igen sokféle értéket vehet fel —1 és —t—l között. Még arra is fel kell hívni a figyelmet, hogy a felsorolt és fel nem sorolt tendenciák közül egyszerre több is érvényesülhet, —— sőt ez a leggyakoribb eset. A kor—

relációs együttható értéke attól függ, hogy a különböző tendenciák közül melyek az erősebbek és melyek a gyengébbek.

Megjegyezzük még, hogy az itt szereplő korrelációs együtthatónak őn—

magában csak akkor tudunk határozott közgazdasági értelmet tulajdonítani, ha a cikkek száma elég nagy és ha csak egy közgazdaságilag meghatározott tendencia uralkodik a cikkek sokaságában. Kisszámú sokaság esetén az együtthatónak meglehetősen nagy értéke (két cikk esetén mindig —§—1 vagy

———1) sem bír közgazdasági jelentőséggel, viszont az együttható alacsony ér—

téke esetén az is lehetséges, hogy különböző jellegű, közgazdasági jelentő—

séggel rendelkező tendenciák megközelítően semlegesítik egymást, ilyenkor a sokaság egészére számitott együttható értéke nem nyújt alapot közgazda—

sági magyarázatra.

A STATISZTIKAE INDEXEK SÚLYOZÁSI PROBLÉMA! 675

e) Különböző álláspontok a helyes súlyozásról

Az indexszámítás kialakulásának kezdetén a statisztikusok sokféle ——

gyakran igen primitív — módon igyekeztek megoldani a különnemű meny—

nyiségek együttes változása mérésének kérdését. Hogy a különböző megol—

dások előnyeit és hátrányait lemérhessék, igyekeztek bizonyos nyilvánvaló alapelvekből a ,,jó index"—re jellemző kritériumokat megállapítani. így jöt—

tek létre az ún. indexpróbák. Ezek közül most kettőt ismertetünk, amelye—

ket felhasználunk a helyes súlyozás kérdéseinek tárgyalása során.

Az egyik ilyenpróba az időpróba. Ez a következő egyszerű összefüggé—

sen alapszik: ha kiszámítjuk, hogy a 0. időszakról az 1. időszakra hogyan változott egy cikk ára (vagy mennyisége), továbbá kiszámítjuk azt is, hogy ,,visszafelé", az 1. időszakról a 0. időszakra milyen a változás mértéke, aki kor a két kiszámított viszonyszám egymással reciprok viszonyban áll, vagy ami ebből következik: a két viszonyszám szorzata Z—et ad, Vagyis

pl . 790 :: l Po Pi

Ha az árindextől is ,,megköveteljük" ennek az összefüggésnek az érvénye—

sülését, akkor az indexet egy próbának (az időpróbának) vetjük alá. Ha ,,megállja a próbát", akkor ,,jó indexnek" nyilváníthatjuk.

Könnyű azonban kimutatni, hogy az időpróba követelményének telje—

sülése önmagában nem elegendő ahhoz, hogy egy indexszámot megbízható—

nak nyilvánítsunk. Vegyük elő az ismertebb kezdetleges megoldások egyi—

két, az egyéni indexeknek a súlyok figyelembe vátele nélkül megállapított mediánját, vagyis azt az egyéni indexet, amelyiknél ugyanannyi kisebb, mint nagyobb egyéni index fordul elő. Hét fogyasztás Cikkre vonatkozó , példánkban a nagyságrendi sorba állitott árviszonyszámok közül a tej egyéni indexe, a 96 áll középen, ez lesz a medián. Tehát P :: 96. Nem kell

különösebben magyarázni, hogy ez a szám, mint árindex, igen durva köze-—

litő érték. Az időpróba követelményének azonban szükségszerűen eleget—

tesz. Ha ugyanis a két időszakot az összehasonlitásban betöltött szerep te- kintetében felcseréljük, akkor az eredeti egyéni indexek reciprokainak sora áll előttünk, amelyek nagyság szerinti sorrendje nem változik (csak a nagy—- ságrend megfordul), tehát a medián ezúttal is a tej egyéni indexe lesz. így a reciprok—viszony fennállása mindenképpen biztosítva van.

Ugyanakkor az általunk ismertetett Paasche- és Laspeyres féle formu—

lák —— bár nyilvánvalóan tökéletesebb indexek, mint az árviszonyszámok egyszerű mediánja —— nem tesznek eleget az időpróba követelményeinek.

Legalább is úgy nem, ha mind az ,,egyenes", mind a ,,fordított" indexet kö—

vetkezetesen vagy Laspeyres—, vagy Paasche—féle ,,szellemben" készítjük el.

Ugyanis a Laspeyres-féle indexben az időszakokat felcserélve és a súlyokat az ,,új" bázisidőszakból (a ,,régi" tárgyidőszakból) választva, Paasche-féle indexhez jutunk —— és viszont. Belátható, hogy —— kivételes esetektől elte—- kintve ——

2171ro _ 230091

Dpogo 2919:

és hasonló a helyzet a Paasche-féle indexnél is, valamint nemcsak az ár—

index, hanem a volumenindex esetében is.

"*

I

:;É-l,

67 6 KÖVES PÁL

Most vizsgáljunk meg egy másik, szintén magától értetődő összefüggé—

sen alapuló indexpróbát.

Minthogy az egy termékre vonatkozó fogyasztási (termelési, eladási) érték (9) a fogyasztott (termelt, eladott) mennyiség és az egységár szorzata:

g.p:v

a mennyiség és egységár dinamikus viszonyszámainak szorzata is kiadja az érték dinamikus viszonyszámát:

90 po "0

Ebből következik, hogy a több termékre vonatkozó dinamikus viszony—- számokra, az indexekre is vonatkoznia kell ennek az összefüggésnek.

Az indexekkel szemben támasztott azt a követelményt, hogy az index—

számitás során Vizsgált gazdasági jelenségek adatai között statikusan fenn- álló szorzatszerű összefüggésnek dinamikus viszonyszámaik —-— és ennek alapján —-— indexeik között is fenn kell állnia, tényezőpróbának nevezik. A több tényező együttes változását kifejező indexnek egyenlőnek kell lennie az egyes tényezők indexeinek szorzatával.

A tényezőpróba tehát azt a követelményt támasztja az indexekkel szemben, hogy legyen

apait/, ahol

201 _ 29121

2710 290790 V:

A V viszonyszámot értékindexnek szokás nevezni. Az értékindex meg-—

mutatja, hogy a különböző cikkek összességére vonatkozóan a fogyasztási (termelési, eladási) értékek hogyan változtak. A V alakulását a mennyisé- gek és az egységárak alakulása egyaránt befolyásolja. A fogyasztási (stb) érték változása a fogyasztott mennyiségek és az egységárak változásától

függ. '

Példánkban az értékindex (a 666. oldalon levő tábla adataiból számítva):

Vajon a bázisidőszak súlyaival számitott indexek (a bázisidőszak árai- val súlyozott volumenidex és a bázisidőszak mennyiségével súlyozott ár—

index) eleget tesznek—e együtt a tényezőpróbának?

00 - PO: l,()762 . 0,9212:0,9914 09 P0 ) V

A volumenidex és az árindex szorzata nem adja ki az értékindexet. ha-

nem annál nagyobb. '

A STATISZTIKAI INDEXEK SÚLYOZASI PROBLÉMA!

677

Tegyük próbára a tárgyidőszak súlyaival számitott indexeket is!

(;, . P,: 1,0659 . 0,9124:0,9725

% P1 ( V

A volumenindex és az árindex szorzata kisebb, mint az értékindex.

A mennyiség és az ár változása közötti negatív korreláció esetén ;_.._.

amikor tehát mennyiségnövekedések többnyire árcsökkenésekkel, mennyi—.

ségcsökkenések pedig áremelkedésekkel járnak együtt —— mindig

90 PO ) V ) 91 P 1

Pozitív korreláció esetén viszont fordított a nagyságrend, vagyis ÚÖP0(V(91P1

Az index—elmélet korábbi művelői mindebből azt állapították meg, hogy sem a Laspeyres—féle, sem a Paasche-féle indexek nem tesznek eleget a tényezőpróba követelményének. Ezzel a megállapítással azonban még nem lehet lezárni azt a kérdést, hogy a kétféleképpen súlyozott volumen- és ár—

indexek összehangba hozhatók—e a tényezőpróba követelményeivel. Már láttuk azt, hogy a kétféle volumenindex hányadosa egyenlő a kétféle ár—

index hányadosával:

ÉL : 93.

Po (20

A fenti egyenlőség rendezéséből adódik, hogy

90 P 1: 91 Po

Az az egyforma érték, amelyikkel mindket szorzat egyenlő, nem más, mint V, az értékindex. Ezt a kövekezőképpen bizonyíthatjuk:

90.171: 291390 ___2P19i_ : ):;(11291 277

290 Po 271091 2. 90290

arpo: 239115 _ EPlgo § EYiPiJ—ÉV 2 90101 2 Po 90 X % 700

Ha tehát a volumenindex és az árindex közül az egyikben bázisidőszak——

beli, a másikban a tárgyidőszakbeli súlyozást alkalmazunk, akkor indexeink eleget tesznek a tényezőpróbának. Ha a volumenindexek közül a kisebbiket választjuk, akkor az árindexek közül a nagyobbikat kell választanunk —.— és megfordítva —- így a két index szorzata megadja az értékindexet.

El kell döntenünk, hogy a fenti módon eljárva, megoldottuk—e a té—

nyezőpróbának való megfelelés problémáját. Az erre a kérdésre adandó vá—

lasz függ attól, hogy egyenrangúaknak tekintjük—e a 00 és (21 volumenin—á

dexeket, úgyszintén a P0 és P1 árindexeket, vagyis azt tartjuk-e, hogy mind—

kettő egyenlő értékű, közgazdaságilag indokolt feltételezés eredménye. Ha _ ezt az álláspontot elfogadjuk, akkor a Go, P1 és a (21, PO indexpárok egyes tagjai semmivel sem jobbak, mint a 90, P,, és a (21, Pl indexpárok egyes

678 KÖVES PAL

,/

' tagjai. A különbség a négyféle indexpár között csak az, hogy az első kettő—

ből kiszámított értékindex a tényleges V-vel megegyezik, a másik kettőből kiszámított értékindex pedig nagyobb, illetve kisebb a tényleges V-nél. Ön- álló gyakorlati jelentősége pedig a G—nak és a P—nek (a volumenindexnek és az árindexnek) van, a V (értékindex) szerepe rendszerint csak közvetett, , vagy kizárólag csak elméleti. Ha úgy akarunk a tényezőpróba követelmé—

nyeinek eleget tenni, hogy az ellentétesen súlyozott indexeket párosítjuk össze, akkor a problémát nem oldottuk meg, hanem csak megkerültük. Ha ugyanis a volumenindexet önmagában használjuk a termelt (vagy fogyasz—

tott stb.) mennyiségek változásának mérésére, az árindexet szintén önmagá- ban, az árak dinamikájának mérésére és a két indexet nem hozzuk egymás—

sal kapcsolatba, akkor mindegy, hogy mind a két index egy irányban tor—

zít—e, vagy különböző irányban torzitanak —— ugyanolyan mértékben.

A szocialista statisztika gyakorlatában a (20, Pl indexpárt alkalmazzák a leggyakrabban, illetve a szakirodalomban általában ezt ajánlják. A bázis—

áron számított volumenindex és a tárgyidőszaki mennyiségekkel számitott árindex alkalmazását gyakorlati és elméleti érvekkel indokolják. Gyakorlati indok például az, hogy több időszakon keresztül), történő volumenindexszá—

mításnál kényelmes eljárás egy bizonyos időszak árait felhasználni az utána következő időszakok során át. Az—elméleti érv úgy szól, hogy a P1 árindex- nek nagyobb a közgazdasági tartalma, mint a Po-nak (sőt gyakran olyan fo—

galmazással is találkozunk, hogy csak a P, indexnek van közgazdasági tar—

talma), mert a PI agregát formája nevezőjének és számlálójának különbsége (2 al po ———— E (11 pl) helyesen fejezi ki az árcsökkenésből adódó megtaka- rítások (vagy esetleg az áremelkedésből adódó túlkiadások) összegét, szem—

ben a P9 indexszel (23 90 790 — Z) % pl). Ezen érv képviselői szerint a meg—

takarítások vizsgálatának csak a tárgyidőszakban fogyasztott mennyiségek alapján van értelme, mert a megtakarítást a tárgyidőszakban éri el a la—

kosság.1

A (20 volumenindex mellett felhozott érv nem lép fel az elméleti érték

igényével. Megjegyezzük, hogy amikor ennek az érvnek az indexszámitás gyakorlatában helyt adunk, az nem jelenti egyértelműen a Laspeyres—féle súlyozási elv érvényesítését.

Ami pedig a P1 melletti érvelést illeti, az véleményünk szerint nem helytálló. Az index közgazdasági tartalma nemcsak a számláló és nevező közötti különbségben nyilvánul meg. Továbbá az árcsökkenésből adódó megtakarítás számítása helyességének kérdése nem azonos az index súlyo—

zása helyességének kérdésével. Mig ugyanis a megtakarítás-szánntás P1 és Pu szerinti módja ( E' g, po —— B (11 101 és !] % % —-—— Z! % p,) elsősorban asze—

rint eredményez egymástól többé—kevésbé eltérő számszerű értéket, hogy milyen mértékben különböznek egymástól a go és (31 adatok, vagyis milyen mértékben növekedett (vagy csökkent) a fogyasztás volumene, és csak vi—

szonylag kis mértékben hat ki a kétféle megtakarítás—számítás eredményére a (yo—ok egymásközti arányának, valamint a gl—ek egymásközti arányának eltérése, addig a kétféle súlyozású árindex számszerű értékeinek eltérése teljesen független a (; adatok abszolút nagyságának változásától, az árindex értékét az áradatok mellett csak a (; arányok befolyásolják. Végül, mégha a megtakarítás—számításnak alá is rendelnénk az árindex súlyozásának kér—

! Lásd N. Riauzov és N. Titclbaum: A kereskedelmi statisztika lan-könyve. Statisztikai Kiadóváll—alat, Budapest. 1952.

A STATISZTIKAI INDEXEK SÚLYOZASI PROBLÉMAI ' - 679

dését, akkor sem fogadhatnánk el a P1 mellett felhozott érvet, mert a 291 yoo—Z: 91201 különbség nem tekinthető az árcsökkenésből adódó megta- karítás kiszámítása egyetlen helyes vagy leghelyesebb módjának. Akár a Po, akár a PI árindex számlálójának és nevezőjének különbsége csak durva közelítéssel tekinthető az árcsökkenésből adódó megtakarításnak. Mindkét esetben a bázis— és tárgyidőszak közötti fogyasztási értékváltozást bontjuk fel két részre: l. a mennyiségek megváltozása következtében és 2. az árak megváltozása következtében bekövetkezett fogyasztási értékváltozásra.

Csak míg a (20, Pl indexpárral először csak a mennyiségeket tekintjük vál—

tozónak és feltételezzük, hogy az árak csak azután változnak meg, addig a (20, Pl indexpár számítása esetén a sorrend fordított. A valóságban a meny—

nyiségek és az árak egyidejűleg változnak. Tehát a kétféle indexszámitás (és a kétféle megtakarítás—számítás) közül egyik sem közelíti meg a másiknál jobban a valóságot.

A 00, Pl indexpár mellett érvelő irodalomban sehol sem található a kétféleképpen súlyozott index eltérését meghatározó tényezők feltárása, a súlyozással kapcsolatos matematikai összefüggések tárgyalása és azok köz- gazdasági értelmezése. E helyett ezek a szerzők a durva megközelítést je—

lentő módszereket vagy azok valamelyikét a ,,közgazdasági tartalom kizá—

rólagos megtestesítőjének nyilvánítják Ez az eljárás is a matematikai for- malizmus elleni harc túlhajtásaként jelentkező dogmatikus matematika- ellenesség,megnyilvánulása, amelyik eleve irtózik a fejlettebb módszerek—

kel kimutatható összefügge'seknek még a tudomásulvételétől is.

Véleményünk szerint a (20, P1 és a 621, Po indexpár, ebből következőleg külön—külön az árindex és a volumenindex vonatkozásában a Laspeyres- és Paasche—féle indexek egymással egyenrangúak, a közgazdasági valóságot egyforma mértékben közelítik meg. Ebből kifolyólag pedig nem tartjuk eleve elvetendőnek —' sőt helyeseljük — az olyan módszerek keresését, amelyek a kétféle súlyozás között keresnek átmeneti megoldást.

A legnevezetesebb ilyen kísérlet I. Fisher amerikai közgazdász és sta—

tisztikus nevéhez fűződik. ,,The Making of Index Numbers" cimű könyvé—

ben a legkülönbözőbb szempontok, indexpróbák alapján igen sokféle index- képletet ismertet és elemzi azokat. Leghíresebb képlete az általa ideális in—

dexnek nevezett, később róla Fisher—féle formulának elnevezett indexkép- let. Ez nem más, mint a Laspeyres— és a Paasche-féle index mértani átlaga.

Azért tartja ezt a formulát Fisher ideálisnak, mert mind az időpróbának, mind a tényezőpróbának hiánytalanul eleget tesz. Az ,,ideális" árindex képlete:

* p: ypg'zj'agz l/Éíülg . 319141

Ez az index az időpróbának eleget tesz, hiszen az időpróba alkalmazá—

l 1

sával a két időszak felcserélése során a PO—ból ———-— lesz, a Pl—ból pedig— ;

1 a

P- 1 ZAJ/' 219190 _ EP191 _1/210091 _ Epogom 21 P ?) 217090 279041 227191 229190

^{680 KÖVES PÁL}

Vizsgáljuk meg a tényezőpróba érvényesülését is. Az ,,ideális" árindex mellett megszerkeszthetjük az ,,ideális" volumemndexet a (20 és 01 mértani átlagaként. Az ,,ideális" árindex és az ,,ideális" volumenindex szorzata egyenlő az értékindexszel.

P . g : Vian . Bea . Vian. . ian- ;

271090 219091 29090 Ellopi

Számítsuk ki példánk adataiból a Fisher—féle árindexet és volumen- indexet.

P : VPo -1D1 : V0,9212 - 0,9124 :V0,8405 :(),9168

(; 21/9001 ::Vl,0762- l,0659 :V1,1471 : Lone

A tényezőpróba:

P . o : 03168 . 1,0710 :: 0,9819

A Fisher—féle ,,ideális" index sok vitára adott alkalmat a statisztikusok körében. Mi a magunk részéről —- anélkül, hogy I. Fisher más indexelmé- leti vagy egyéb statisztikai megállapitásaival vagy módszereivel minden—

ben azonosítanánk magunkat, nem is beszélve politikai gazdaságtani mun—

kásságáról —— a szóban levő indexformulát —— ha nem is ideálisnak, de ——

jónak, a Laspeyres— és Paasche—féle indexeknél jobbnak tartjuk.

A formula legélesebb ellenzői szerint ennek az indexnek nincs közgaz- dasági tartalma. Az tény, hogy mig a bázis— és tárgyidőszaki súlyozású in- dexek közgadasági tartalma egészen világos, addig az ,,ideális" indexnek a közgazdasági tartalma közvetlenül nem érzékelhető. De az, hogy a köz—

gazdasági tartalom nem közvetlenül, hanem csak közvetve, bonyolultabb úton fedhető fel, csak abból a gyakorlati szempontból hátrány, hogy nehe—

zebb megérteni ezt a közgazdasági tartalmat. A közvetettség abban áll, hogy az ,,ideális" index két olyan index átlaga, amelyeknek külön—külön megvan a közvetlen közgazdasági tartalmuk, hiszen ezek maguk a bázis— és tárgy—

időszaki súlyozású indexek. Az átlagolás művelete sem veszi el a közgazda—

sági tartalmat (még ha az mértani átlag is), sőt inkább gyarapítja, amennyi—

ben arra épül, ami a két közgazdasági értelemmel biró indexben közös és azt küszöböli ki, ami a súlyozás szélsőséges eseteinek alkalmazásából adódó eltérés.

Az olvasónak még kételyei lehetnek afelől, hogy mi indokolja éppen a mértani átlag alkalmazását, illetve afelől, hogy miért tekinthetjük valami- féle ,,igazi" értéknek a két index mértani átlagát. Megkíséreljük ezeket a kételyeket eloszlatni a már ismert összefüggéseknek újabb oldalról való

bemutatásával.