Matematika-tanítás Excel programcsomaggal
Mintafeladatokon keresztül mutatjuk meg az Excel lehetőségeit a valószínűség-számítás, a statisztika és a lineáris algebra tanításában.
Természetesen az Excel nem képes felvenni a versenyt a kifejezetten matematikai, illetve statisztikai programcsomagokkal összetett,
bonyolult problémák megoldásában, de lehetőséget biztosít az oktatóknak, hogy a hallgatókkal jobban megértethessék a fogalmakat,
a közöttük lévő kapcsolatokat, az eljárásokat, a próbákat, valamint a tanulók könnyen és gyorsan ellenőrizhessék számításaikat.
S okféle matematikai és ezen kívül többféle kifejezetten statisztikai programcsomag kapható napjainkban, amelyekkel rendkívül sokféle problémát lehet megoldani.
Ezek a programok azonban általában drágák, gyors és nagy kapacitású számítógé- peket igényelnek, sokszor a kezelésük sem könnyû. Az Excel ezzel szemben olcsó, könnyen kezelhetõ programcsomag, melynek nem túl nagyok a számítógéppel szemben támasztott igényei, így a hallgatók nemcsak a fõiskolákon, hanem otthon a saját gépükön és a fõiskola elvégzése után új munkahelyükön is nagy haszonnal alkalmazhatják felme- rülõ problémáik megoldására. A hallgatók önállóan dolgozva, a számítógép segítségével igen számításigényes feladatokat képesek megoldani viszonylag gyorsan és könnyedén, és emellett jobban átlátják a megoldandó kérdéseket, hatékonyabban sajátítják el a tudást.
A valószínûség-számítás tanítása az Excel segítségével
Az Excel alkalmas a valószínûség-számítási feladatok kapcsán felmerülõ egyszerûbb kombinatorikai számítások elvégzésére, permutációk, variációk és kombinációk megha- tározására.
1. feladat: 18 diák vesz részt a futóversenyen. Hányféleképpen futhat be az elsõ három helyezett a célba?
Megoldás: 18 különbözõ elembõl kell kiválasztanunk hármat ismétlés nélkül, a sorrend számít, ez 18 elem 3-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak a száma, melyet az Excel VARIÁCIÓK függvé- nyének segítségével számolhatunk ki. A kiválasztott cellába VARIÁCIÓK(18;3) {angol nyelvû prog- ram esetén PERMUT(18;3)} beírása után megjelenik a 4896 eredmény. A továbbiakban kapcsos záró- jelben mindig megadjuk a megfelelõ angol nyelvû függvényt is. Az elõzõ feladathoz hasonlóan lehet kombinációk számát meghatározni: például 90 elem 5-öd osztályú ismétlés nélküli kombinációnak száma a KOMBINÁCIÓK(90;5) {COMBIN} függvény alkalmazásával számolható ki.
Az Excel segítségével számos nevezetes valószínûség-eloszlásra vonatkozó feladat oldható meg.
2. feladat: Mekkora a valószínûsége, hogy 5 újszülött között 2 lány van, ha egyforma valószínûség- gel születnek a lányok és a fiúk?
Megoldás: Az újszülött lányok száma binomiális eloszlású valószínûségi változó n=5 és p=0,5 pa- raméterekkel. A feladatra a választ a BINOM.ELOSZLÁS(2;5;0,5; hamis) {BINOMDIST} beírásá- val kaphatjuk meg, ahol a paraméterek jelentése a következõ:
Kiss Gábor – Õri István
Iskolakultúra 2003/12
1. paraméter: kedvezõ esemény bekövetkezésének száma: k=2 2. paraméter: összes kísérletek száma: n=5
3. paraméter: kedvezõ esemény bekövetkezésének valószínûsége: p=0,5
4. paraméter: logikai változó, melynek értékét hamisra állítva a kérdezett valószínûséget kapjuk meg.
Ha a logikai változó értéke igaz, akkor annak a valószínûségét kapjuk meg, hogy legfeljebb 2 lány van az újszülöttek között, azaz azon valószínûségek összegét, amelyekre k kisebb vagy egyenlõ, mint 2.
Hasonlóképpen oldhatók meg hipergeometrikus és Poisson-eloszlásra vezetõ felada- tok a HIPERGEOM.ELOSZLÁS {HYPGEOMDIST} és a POISSON {POISSON}
függvények alkalmazásával.
Az Excel képes számos folytonos valószínûségi változóval kapcsolatos feladat megol- dására is.
3. feladat: Deszkák hossza normális eloszlást mutat 400 cm várható értékkel és 3 cm szórással. Mek- kora annak a valószínûsége, hogy egy véletlenszerûen kiválasztott deszka hossza kisebb, mint 398 cm?
Megoldás: A NORM.ELOSZL(398;400;3;igaz) {NORMDIST} beírásával megkapjuk az ered- ményt: 0,252. Az egyes paraméterek jelentése a következõ:
1. paraméter: az érték, aminél kisebb a valószínûségi változó értéke: x=398 2. paraméter: a valószínûségi változó várható értéke: m=400
3. paraméter: a valószínûségi változó szórása: =3
4. paraméter: logikai változó, melynek értékét igazra állítva az eloszlásfüggvény értékét kapjuk meg az x helyen, azaz a kérdezett valószínûségét. Ha a logikai változó értéke hamis, akkor a sûrûség- függvény értékét kapjuk meg az x helyen.
Lehetõség van a fordított kérdés megválaszolására is.
4. feladat: Az elõzõ feladatban a deszkák 25%-a milyen felsõ korlát alatt lesz?
Megoldás: Ismerjük a valószínûséget: 0,25 és keressük azt az x értéket, amelyre az eloszlásfügg- vény ezt veszi fel. A választ az INVERZ.NORM(O,25;400;3) {NORMINV} kifejezés adja meg: ez 397,9 elvárásaink szerint.
Hasonlóképpen oldhatók meg exponenciális, Weibull, lognormális, béta, gamma, F, t és khi-négyzet eloszlásra vezetõ feladatok a megfelelõ függvények alkalmazásával.
Nincs szükségünk táblázatokra, a keresett értékeket az Excel megfelelõ függvényének al- kalmazásával határozhatjuk meg.
1. ábra. Normális eloszlás sûrûségfüggvényei
Az Excel segítségével mind diszkrét, mind folytonos valószínûségi változó esetén áb- rázolhatjuk az eloszlásokat jellemzõ függvényeket. Például normális eloszlást vizsgálva a diákok maguk változtathatják az eloszlás várható értékét és szórását, és megfigyelhetik a sûrûségfüggvény változását, megtapasztalhatják, hogyan változik a haranggörbe alak- ja, ha csökkentik a szórást vagy növelik a várható értéket.
Például az 1. ábrán az Adatsor2 és az Adatsor3 esetében a szórás megegyezik, de az Adatsor3-nak nagyobb a várható értéke, ezért a haranggörbe jobbra tolódott el. Az Adat- sor2-nek és az Adatsor4-nek ugyanakkora a várható értéke, de az Adatsor4-nek kisebb a szórása, ezért csúcsosabb a haranggörbe.
Matematikai statisztika tanítása az Excel segítségével
Az Excel rendelkezik olyan statisztikai eszközökkel, amelyeket a hallgatók alkalmazni tudnak többféle adat feldolgozásában. A felhasználók ábrázolhatják adataikat a munkala- pokon hisztogramként, poligonként, vagy kördiagram formájában. Az adatok ilyen megjele- nítése elõsegíti az összefüggések könnyebb felismerését. Az Excel segítségével a minta szá- mos fontos jellemzõjét ki tudjuk számolni: átlag, medián, módusz, szórás, percentilisek stb.
5. feladat: Határozzuk meg az alábbi 10 elemû minta átlagát, mediánját, móduszát, korrigált ta- pasztalati szórását!
Mintaértékek: 1; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 5.
Megoldás: A megfelelõ értékeket például az A1 cellától az A10 celláig beírva, majd az ÁTLAG(A1:A10) {AVERAGE}, MEDIÁN(A1:A10) {MEDIAN}, MÓDUSZ(A1:A10) {MODE}, SZÓRÁS(A1:A10) {STDEV} függvények felhasználásával megkapjuk a kívánt adatokat: átlag = 2,9, medián = 3, módusz = 2, korrigált tapasztalati szórás = 1,197.
Hasonlóképpen határozható meg a minta legkisebb és legnagyobb eleme, számolható ki az átlagos eltérés, a minta ferdesége, csúcsossága, kvartilisek és percentilisek, az ada- tok mértani, illetve harmonikus középe. Természetesen lehetõség van a tapasztalati elosz- lás- és sûrûségfüggvény ábrázolására is. Ha a fenti mintaértékek az A1:A10 tömbben, a lehetséges értékek (1; 2; 3; 4; 5) a C10:C15 tömbben vannak, akkor a GYAKORI- SÁG(A1:A10;C10:C15) {FREQUENCY} függvény megadja az egyes értékek gyakori- ságát és ezután az Excel diagramkészítõ lehetõségeit felhasználva megrajzolhatjuk a gya- korisági hisztogramot (2. ábra).
2. ábra A minta gyakorisági hisztogramja
Az Excelt nemcsak a leíró statisztikában alkalmazhatjuk, hanem a sokaság ismeretlen
paramétereinek becslésében is.
Iskolakultúra 2003/12
6. feladat: Egy alkatrész gyártási ideje közelítõleg normális eloszlású valószínûségi változó. A 50 elemû minta átlaga 115 s, korrigált tapasztalati szórása 5,4 s. 95 százalékos biztonsággal milyen inter- vallumba esik az egész sokaság várható értéke?
Megoldás: 95 százalékos megbízhatósági intervallum meghatározása a feladat. A MEGBIZHATÓSÁG(0,05;5,4;50) {CONFIDENCE} függvény segítségével meghatározhatjuk a fél intervallum hosszát: 1,5 és ezt az átlaghoz hozzáadva, illetve levonva megkapjuk a kérdezett konfi- dencia-intervallumot: [113,5; 116,5].
A MEGBÍZHATÓSÁG sajátfüggvényben az egyes paraméterek jelentése a következõ:
1. paraméter: a szignifikancia-szint: = 0,05, mert a konfidenciaszint = 100(1-) százalék 2. paraméter: a minta korrigált tapasztalati szórása: α= 5,4
3. paraméter: a minta elemszáma: n = 50.
A hallgatóknak nagyon hasznos, ha a paraméterek változtatásával megvizsgálják, ho- gyan változik a megbízhatósági intervallum hossza. Például a szignifikancia-szint csök- kentésével =0,01, azaz a megbízhatósági szint 99 százalékra növelésével 1,97-ra nõ a fél intervallum hossza, illetve a minta elemszámának növelésével csökken az intervallum hossza. =0,01 mellett az elemszámot 70-re növelve a MEGBIZHATÓSÁG(0,01;5,4;70) függvény értéke 1,66, ami az intervallum hosszának csökkenését jelenti.
Számos próbát is végrehajthatunk az Excel segítségével: egy- és kétmintás t-próba, F-próba, khi-négyzet próba stb.
7. feladat: Két gyártósoron dolgozó munkások ugyanazt a feladatot hajtják végre. Az 1. táblázat tar- talmazza a megfelelõ adatokat. A két gyártósor ugyanakkora varianciával dolgozik? Válaszoljunk 95 százalékos konfidenciaszinten, feltételezve, hogy az adatok normális eloszlásból származnak!
Megoldás: Nullhipotézisünk, hogy a két variancia egyenlõ, az ellenhipotézisünk, hogy a két vari- ancia nem egyenlõ és a szignifikancia szint 0,05. Az elsõ gyártósor adatai legyenek a TÖMB1 nevû tömbváltozóban, a második gyártósor adatai legyenek a TÖMB2-ben.
1. táblázat. A feladat végrehajtási ideje percekben
1. gyártósor 3 4 6 8 5 4 6 7
2. gyártósor 6 7 6 4 6 8 6 5
A VAR függvény 2,84-et ad TÖMB1 esetén és 1,43-at TÖMB2 beírásakor, hányado- suk: 1,99. A DARAB függvény megadja egy tömbváltozó elemeinek számát. Nincs szük- ségünk táblázatra, mert az INVERZ.F(0,05, DARAB(TÖMB1)-1, DARAB(TÖMB2)-1) függvény megadja a keresett értéket: 3,78. Ez nagyobb, mint a varianciák hányadosára kiszámolt 1,99, így 95 százalékos biztonsági szinten nem vetjük el nullhipotézisünk, a két gyártósor varianciájának egyenlõségét.
Az Excelt alkalmazhatjuk korreláció- és regresszió-számításra is.
8. feladat: Számítsuk ki a 2. táblázat x-y adatai közötti lineáris korrelációs együtthatót!
Megoldás: Legyenek az x értékek a B10:B17 és az y értékek a C10:C17 tömbökben. A KORREL(B10:B17,C10:C17) {CORREL} alkalmazásával 0,977-et kapunk, ami a változók közötti erõs pozitív lineáris korrelációt jelzi. Ezután felírhatjuk a regressziós egyenes egyenletét.
A LIN.ILL(C10:C17;B10:B17;igaz;hamis) {LINEST} függvény megadja a regressziós egyenes meredekségét és tengelymetszetét is.
Az egyes paraméterek jelentése a következõ:
1. paraméter: az y értékek tömbje 2. paraméter: az x értékek tömbje
3. paraméter: logikai változó, melynek értékét igazra állítva a tengelymetszet kiszámítása a szoká- sos módon történik, hamis érték esetén a tengelymetszet értéke 0.
4. paraméter: logikai változó, melynek értékét igazra állítva csak az egyenes meredekségét és ten- gelymetszetét kapjuk meg, egyébként kiegészítõ statisztikai adatokat is megkapunk (meredekség és tengelymetszet hibája stb.).
Lehetõség van a regressziós egyenes ábrázolására. (3.ábra) A hallgatók változtathat- ják az értékeket, és megfigyelhetik, hogyan változik a korrelációs együttható, a regresz- sziós egyenes meredeksége, illetve tengelymetszete, kiszámolhatnak új x értékhez tarto- zó y értéket.
Ha nem lineáris összefüggés van a két változó között, hanem exponenciális, akkor is hasonlóképpen lehet exponenciális görbét illeszteni az alappontokra, és természetesen elõrejelzéseket is ki lehet számolni az Excel segítségével.
2. táblázat. A lineáris korrelációs együttható kiszámításához szükséges adatok
XI 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
YI 1,0 1,5 2,0 3,8 4,0 4,2 4,8 5,0
3. ábra. A regressziós egyenes
Lineáris algebra tanítása az Excel segítségével
Mátrixok, determinánsok és lineáris egyenletrendszerekkel kapcsolatos fogalmak igen könnyen szemléltethetõk az Excel segítségével.
9. feladat: Határozzuk meg az mátrix transzponáltját: és az mátrixot, ha
Megoldás: TRANSZPONÁLÁS (tömb) függvény {TRANSPOSE (array)} megadja a keresett mátrixot:
MSZORZAT (tömb1, tömb2) függvény {MMULT (array1, array2)} gyorsan kiszámolja a két mát- rix szorzatát:
Iskolakultúra 2003/12
10. feladat: Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:
Megoldás: Elõször átírjuk az egyenletrendszert mátrixos formába:
ahol
; és
A következõ lépés inverzének meghatározása: -1, majd ennek segítségével az egyenletrend- szer megoldása:
INVERZ.MÁTRIX(tömb) függvény {MINVERSE(array)} megadja a keresett inverz mátrixot:
és az elõbb megismert MSZORZAT függvény segítségével meghatározhatjuk a megoldást:
11. feladat: Határozzuk meg determináns értékét!
Megoldás: MDETERM(tömb) függvény gyorsan kiszámolja a determináns értékét, amely ebben az esetben 12. Ugyanezt a feladatot megoldhatjuk papíron is, kifejtéssel vagy még inkább Gauss-elimi- nációval és ellenõrizhetjük eredményünket.
12. feladat: Ellenõrizzük az állítás igazságát, ha és .
Megoldás: MSZORZAT és MDETERM függvények felhasználásával könnyedén ellenõrizhetjük ezen a példán az állítás helyességét:
Számos egyéb függvénnyel rendelkezik az Excel, amely jól használható a valószínû-
ség-számítás, a matematikai statisztika és a lineáris algebra tanításában is, de az összes
függvény ismertetésére nincsen lehetõség egy rövid cikkben. Részletesebb leírás találha-
tó a Microsoft által kiadott kézikönyvekben (,Function Reference, User’s Guide’) és pél-
dául Kovácsné Cohner Judit és Ozsváth Miklós (1996) vagy Kovalcsik Géza (1999)
könyvében.
Irodalom
Function Reference. (1992) Microsoft Corporation.
User’s Guide. (1992) Microsoft Corporation.
Kovácsné Cohner Judit – Ozsváth Miklós (1996): Az Excel 5.0 függvényei, ComputerBooks, Budapest.
Kovalcsik Géza (1999): Excel´97.ComputerBooks, Budapest.
Õri I.– Kiss G.:Teaching Probability Theory and Mathematical Statistics Using Microsoft Excel?On CD of ITHET 2002, 3rd International Conference on Information Technology Based Higher Education and Training, Budapest, Hungary.
A Typotex Kiadó könyveibõl
