Fels˝obb matematika villamosm´ern¨ok¨oknek – Kombinatorikus optimaliz´al´as

Fels˝ obb matematika villamosm´ ern¨ ok¨ oknek – Kombinatorikus optimaliz´ al´ as

Utemez´¨ esi probl´em´ak

2022. m´ajus 3.

Bevezet´ es

A kombinatorikus optimaliz´al´as egy fontos, sokat kutatott r´eszter¨ulete az ¨utemez´eselm´elet. Itt a c´elf¨uggv´eny

optimaliz´al´as´ahoz a rendelkez´esre ´all´o feladatok (alkalmas

r´eszhalmaz´anak) elv´egz´es´enek m´odj´at kell meghat´arozni. N´eh´any alapfeladattal kapcsolatos egyszer˝u eredm´eny mutatunk be a mai alkalommal.

Utemez´ ¨ esi probl´ em´ ak

Input: J1,J2, . . . munk´akpi megmunk´al´asi id˝ok, g´epekm sz´ama.

Feladat: A munk´ak g´epekre ¨utemez´ese. Egy S ¨utemez´esre St(i)

´esS_m(i) adja meg, hogyJ_i-t mikor ´es melyik g´epen kell elkezdeni.

C_i^S =St(i) +p(i) aJi befejez´esi id˝opontja, C_max^S = maxiC_i^S pedig azS ¨utemez´es ´atfut´asi ideje.

Megk¨ot´esek: A g´epek egyform´ak (ebben a t´argyal´asban).

Egy g´epen egyszerre egy munka v´egezhet˝o.

Minden munk´at megszak´ıt´as n´elk¨ul kell elv´egezni.

Lehets´eges felt´etelekJ_i-kre: r_i (rendelkez´esre ´all´asi id˝o), w_i (s´uly),di (hat´arid˝o),≺(precedencia)

Optimaliz´aland´o mennyis´egek: C_max^S , (P

iC_i^S)/n T¨om¨or jel¨ol´es: α|β|γ, ahol

α∈ {1,Pm,P}(1 g´ep, m, ill. v´egtelen sok p´arhuzamos g´ep) β⊆ {p≡1,ri,dj,≺}(felt´etelek megad´asa)

γ∈ {C_max,P

iC_i,P

iw_iC_i}(c´elfv megad´asa)

Pl: (1) 1||C_max: 1 g´epen kell mihamarabb v´egezni. OPT =P

ipi. (2) 1| ≺ |C_max. Nem mindegy a sorrend, de itt isOPT =P

ipi.

Az SPT sorrend optimalit´ asa

T´etel: Az 1||P

iCi feladatra optim´alis megold´as a munk´akpi

szerint n¨ovekv˝o sorrendben t¨ort´en˝o ¨utemez´ese.

Biz: Ha J₁,J₂, . . . ,J_n sorrendben ¨utemez¨unk, akkor Pn

i=1C_i^S =Pn i=1

Pi

j=1pj =P

1≤j≤i≤npj =Pn j=1

Pn i=jpj = Pn

j=1(n+ 1−j)p_j =np1+ (n−1)p2+. . .+ 2pn−1+ 1pn, ´es ez akkor minim´alis, ha p₁ ≤p₂≤. . .≤p_n.

T´etel: Az 1||P

iwiCi feladatra optim´alis megold´as a munk´ak pi/wi szerint n¨ovekv˝o sorrendben t¨ort´en˝o ¨utemez´ese.

Biz: Ha J₁,J₂, . . . ,J_n sorrendben ¨utemez¨unk, akkor Pn

i=1wiC_i^S =Pn

i=1wiPi

j=1pj =P

1≤j≤i≤nwipj = Pn

j=1

Pn

i=jwipj, ´es ha pi/wi >pi+1/wi+1 (azaz

p_iw_i+1 >p_i+1w_i), akkorJ_i ´esJ_i+1 cser´ej´et˝ol a c´elf¨uggv´eny ´ert´eke cs¨okken. Egym´ast k¨ovet˝o munk´ak cser´ej´evel a c´elf¨uggv´eny ´ert´ek´et cs¨okkentve el˝obb-ut´obb a t´etelben szerepl˝o ¨utemez´es ad´odik.

Az SPT sorrend optimalit´ asa

T´etel: Az 1||P

iCi feladatra optim´alis megold´as a munk´akpi

szerint n¨ovekv˝o sorrendben t¨ort´en˝o ¨utemez´ese.

Biz: Ha J₁,J₂, . . . ,J_n sorrendben ¨utemez¨unk, akkor Pn

i=1C_i^S =Pn i=1

Pi

j=1pj =P

1≤j≤i≤npj =Pn j=1

Pn i=jpj = Pn

j=1(n+ 1−j)p_j =np1+ (n−1)p2+. . .+ 2pn−1+ 1pn, ´es ez akkor minim´alis, ha p₁ ≤p₂≤. . .≤p_n.

T´etel: Az 1||P

iwiCi feladatra optim´alis megold´as a munk´ak pi/wi szerint n¨ovekv˝o sorrendben t¨ort´en˝o ¨utemez´ese.

Biz: Ha J₁,J₂, . . . ,J_n sorrendben ¨utemez¨unk, akkor Pn

i=1wiC_i^S =Pn

i=1wiPi

j=1pj =P

1≤j≤i≤nwipj = Pn

j=1

Pn

i=jwipj, ´es ha pi/wi >pi+1/wi+1 (azaz

p_iw_i+1 >p_i+1w_i), akkorJ_i ´esJ_i+1 cser´ej´et˝ol a c´elf¨uggv´eny ´ert´eke cs¨okken. Egym´ast k¨ovet˝o munk´ak cser´ej´evel a c´elf¨uggv´eny ´ert´ek´et cs¨okkentve el˝obb-ut´obb a t´etelben szerepl˝o ¨utemez´es ad´odik.

Az SPT sorrend optimalit´ asa

T´etel: Az 1||P

iCi feladatra optim´alis megold´as a munk´akpi

szerint n¨ovekv˝o sorrendben t¨ort´en˝o ¨utemez´ese.

Biz: Ha J₁,J₂, . . . ,J_n sorrendben ¨utemez¨unk, akkor Pn

i=1C_i^S =Pn i=1

Pi

j=1pj =P

1≤j≤i≤npj =Pn j=1

Pn i=jpj = Pn

j=1(n+ 1−j)p_j =np1+ (n−1)p2+. . .+ 2pn−1+ 1pn, ´es ez akkor minim´alis, ha p₁ ≤p₂≤. . .≤p_n.

T´etel: Az 1||P

iwiCi feladatra optim´alis megold´as a munk´ak p_i/w_i szerint n¨ovekv˝o sorrendben t¨ort´en˝o ¨utemez´ese.

Biz: Ha J₁,J₂, . . . ,J_n sorrendben ¨utemez¨unk, akkor Pn

i=1wiC_i^S =Pn

i=1wiPi

j=1pj =P

1≤j≤i≤nwipj = Pn

j=1

Pn

i=jwipj, ´es ha pi/wi >pi+1/wi+1 (azaz

p_iw_i+1 >p_i+1w_i), akkorJ_i ´esJ_i+1 cser´ej´et˝ol a c´elf¨uggv´eny ´ert´eke cs¨okken. Egym´ast k¨ovet˝o munk´ak cser´ej´evel a c´elf¨uggv´eny ´ert´ek´et cs¨okkentve el˝obb-ut´obb a t´etelben szerepl˝o ¨utemez´es ad´odik.

Az SPT sorrend optimalit´ asa

T´etel: Az 1||P

iCi feladatra optim´alis megold´as a munk´akpi

szerint n¨ovekv˝o sorrendben t¨ort´en˝o ¨utemez´ese.

Biz: Ha J₁,J₂, . . . ,J_n sorrendben ¨utemez¨unk, akkor Pn

i=1C_i^S =Pn i=1

Pi

j=1pj =P

1≤j≤i≤npj =Pn j=1

Pn i=jpj = Pn

j=1(n+ 1−j)p_j =np1+ (n−1)p2+. . .+ 2pn−1+ 1pn, ´es ez akkor minim´alis, ha p₁ ≤p₂≤. . .≤p_n.

T´etel: Az 1||P

iwiCi feladatra optim´alis megold´as a munk´ak p_i/w_i szerint n¨ovekv˝o sorrendben t¨ort´en˝o ¨utemez´ese.

Biz: Ha J₁,J₂, . . . ,J_n sorrendben ¨utemez¨unk, akkor Pn

i=1wiC_i^S =Pn

i=1wiPi

j=1pj =P

1≤j≤i≤nwipj = Pn

j=1

Pn

i=jw_ip_j, ´es ha p_i/w_i >p_i+1/w_i+1 (azaz

p_iw_i+1 >p_i+1w_i), akkorJ_i ´esJ_i+1 cser´ej´et˝ol a c´elf¨uggv´eny ´ert´eke cs¨okken. Egym´ast k¨ovet˝o munk´ak cser´ej´evel a c´elf¨uggv´eny ´ert´ek´et cs¨okkentve el˝obb-ut´obb a t´etelben szerepl˝o ¨utemez´es ad´odik.

A P 2||C

probl´ ema

All´ıt´´ as: AP2||C_max probl´ema rem´enytelen.

Biz: Tudjuk, hogy az al´abbi PART´ICI ´O probl´ema NP-teljes. a₁,a₂, . . . ,a_n∈N input eset´en kell eld¨onteni, hogy a 0

el˝o´all´ıthat´o-e 0 =±a₁±a2±. . .±an form´aban. A PART´ICI ´O fenti inputja mellettn job ´esp_i =a_i process time. Ekkor C_max= ¹₂Pn

i=1p_i pontosan akkor teljes¨uk, ha a k´et g´ep folyamatos munka mellett egyszerre tud v´egezni. Ez pedig pontosan akkor van ´ıgy, ha a PART´ICI ´O probl´em´aban a 0

el˝o´all´ıhat´o a k´ıv´ant alakban. Ha teh´at volna optim´alisan ¨utemez˝o polinomidej˝u algoritmus, akkor polinomid˝oben tudn´ank megoldani egy NP-teljes probl´em´at.

A P 2||C

probl´ ema

All´ıt´´ as: AP2||C_max probl´ema rem´enytelen.

Biz: Tudjuk, hogy az al´abbi PART´ICI ´O probl´ema NP-teljes.

a₁,a₂, . . . ,a_n∈N input eset´en kell eld¨onteni, hogy a 0

el˝o´all´ıthat´o-e 0 =±a₁±a2±. . .±an form´aban. A PART´ICI ´O fenti inputja mellettn job ´esp_i =a_i process time. Ekkor C_max= ¹₂Pn

i=1p_i pontosan akkor teljes¨uk, ha a k´et g´ep folyamatos munka mellett egyszerre tud v´egezni. Ez pedig pontosan akkor van ´ıgy, ha a PART´ICI ´O probl´em´aban a 0

el˝o´all´ıhat´o a k´ıv´ant alakban. Ha teh´at volna optim´alisan ¨utemez˝o polinomidej˝u algoritmus, akkor polinomid˝oben tudn´ank megoldani egy NP-teljes probl´em´at.

List´ as ¨ utemez´ es Pm||C

eset´ en

LS algoritmusAzm g´epen, J1,J2, . . . ,Jn sorrendben v´egezz¨uk el a munk´akat, minden munk´at az els˝onek felszabadul´o g´epen.

T´etel: APm||C_max feladatra LS egy (2−_m¹)-approxim´aci´o.

Biz: Jel¨oljeC_max^∗ az optim´alis ´atfut´asi id˝ot. Vil´agos, hogy C_max^∗ ≥ _m¹ Pn

i=1pi ill. C_max^∗ ≥maxipi. Legyent az LS szerint utols´onak befejezett J_k munka kezd´esi id˝opontja. Ekkor 0-t´olt-ig mind azm g´ep dolgozik, teh´att =C_max^LS −pk ≤ _m¹ P

i6=kpi, ez´ert C_max^LS =t+p_k ≤ _m¹ P

i6=kp_i +p_k = _m¹ Pn

i=1p_i + (1−_m¹)p_k ≤ C_max^∗ + (1−_m¹)C_max^∗ = (2−_m¹)C_max^∗ .

T´etel: APm||C_max feladatra LS ¨utemez´est pi szerint cs¨okken˝o (LPT) sorrendben v´egezve egy ⁴₃-approxim´aci´os algoritmust kapunk.

List´ as ¨ utemez´ es Pm||C

eset´ en

LS algoritmusAzm g´epen, J1,J2, . . . ,Jn sorrendben v´egezz¨uk el a munk´akat, minden munk´at az els˝onek felszabadul´o g´epen.

T´etel: APm||C_max feladatra LS egy (2−_m¹)-approxim´aci´o.

Biz: Jel¨oljeC_max^∗ az optim´alis ´atfut´asi id˝ot. Vil´agos, hogy C_max^∗ ≥ _m¹ Pn

i=1p_i ill. C_max^∗ ≥max_ip_i. Legyent az LS szerint utols´onak befejezett J_k munka kezd´esi id˝opontja. Ekkor 0-t´olt-ig mind azm g´ep dolgozik, teh´att =C_max^LS −pk ≤ _m¹ P

i6=kpi, ez´ert C_max^LS =t+pk ≤ _m¹ P

i6=kpi +pk = _m¹ Pn

i=1pi + (1−_m¹)pk ≤ C_max^∗ + (1−_m¹)C_max^∗ = (2−_m¹)C_max^∗ .

T´etel: APm||C_max feladatra LS ¨utemez´est pi szerint cs¨okken˝o (LPT) sorrendben v´egezve egy ⁴₃-approxim´aci´os algoritmust kapunk.

List´ as ¨ utemez´ es Pm||C

eset´ en

LS algoritmusAzm g´epen, J1,J2, . . . ,Jn sorrendben v´egezz¨uk el a munk´akat, minden munk´at az els˝onek felszabadul´o g´epen.

T´etel: APm||C_max feladatra LS egy (2−_m¹)-approxim´aci´o.

Biz: Jel¨oljeC_max^∗ az optim´alis ´atfut´asi id˝ot. Vil´agos, hogy C_max^∗ ≥ _m¹ Pn

i=1p_i ill. C_max^∗ ≥max_ip_i. Legyent az LS szerint utols´onak befejezett J_k munka kezd´esi id˝opontja. Ekkor 0-t´olt-ig mind azm g´ep dolgozik, teh´att =C_max^LS −pk ≤ _m¹ P

i6=kpi, ez´ert C_max^LS =t+pk ≤ _m¹ P

i6=kpi +pk = _m¹ Pn

i=1pi + (1−_m¹)pk ≤ C_max^∗ + (1−_m¹)C_max^∗ = (2−_m¹)C_max^∗ .

T´etel: APm||C_max feladatra LS ¨utemez´est pi szerint cs¨okken˝o (LPT) sorrendben v´egezve egy ⁴₃-approxim´aci´os algoritmust kapunk.

List´ as ¨ utemez´ es Pm||C

eset´ en

LS algoritmusAzm g´epen, J1,J2, . . . ,Jn sorrendben v´egezz¨uk el a munk´akat, minden munk´at az els˝onek felszabadul´o g´epen.

T´etel: APm||C_max feladatra LS egy (2−_m¹)-approxim´aci´o.

Biz: Jel¨oljeC_max^∗ az optim´alis ´atfut´asi id˝ot. Vil´agos, hogy C_max^∗ ≥ _m¹ Pn

i=1p_i ill. C_max^∗ ≥max_ip_i. Legyent az LS szerint utols´onak befejezett J_k munka kezd´esi id˝opontja. Ekkor 0-t´olt-ig mind azm g´ep dolgozik, teh´att =C_max^LS −pk ≤ _m¹ P

i6=kpi, ez´ert C_max^LS =t+pk ≤ _m¹ P

i6=kpi +pk = _m¹ Pn

i=1pi + (1−_m¹)pk ≤ C_max^∗ + (1−_m¹)C_max^∗ = (2−_m¹)C_max^∗ .

T´etel: APm||C_max feladatra LS ¨utemez´est pi szerint cs¨okken˝o (LPT) sorrendben v´egezve egy ⁴₃-approxim´aci´os algoritmust kapunk.

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FF:

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FF:

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FF:

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FF:

9

10,₁₀⁶,₁₀⁴,₁₀⁷,₁₀² ,₁₀²,₁₀¹

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FF:

9

10,₁₀⁶,₁₀⁴,₁₀⁷,₁₀² ,₁₀² ₁₀¹

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FF:

9

10,₁₀⁶,₁₀⁴,₁₀⁷,₁₀² ₁₀¹ ,₁₀²

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FF:

9

10,₁₀⁶,₁₀⁴,₁₀⁷ ₁₀¹,₁₀² ,₁₀²

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FF:

9

10,₁₀⁶,₁₀⁴ ₁₀¹ ,₁₀²,₁₀² ₁₀⁷

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FF:

9

10,₁₀⁶ ₁₀¹,₁₀² ,₁₀²,₁₀⁴ ₁₀⁷

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FF:

9 10

1

10,₁₀²,₁₀² ,₁₀⁴ ₁₀⁷ ₁₀⁶

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FF: k = 4

1

10,₁₀² ,₁₀²,₁₀⁴ ₁₀⁷ ₁₀⁶ ₁₀⁹

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda:

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FFD:

1

10,₁₀²,₁₀²,₁₀⁴,₁₀⁶ ,₁₀⁷,₁₀⁹

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FFD:

1

10,₁₀²,₁₀²,₁₀⁴,₁₀⁶ ,₁₀⁷ ₁₀⁹

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FFD:

1

10,₁₀²,₁₀²,₁₀⁴,₁₀⁶ , ₁₀⁹ ₁₀⁷

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FFD:

1

10,₁₀²,₁₀²,₁₀⁴ ₁₀⁹ ₁₀⁷ ₁₀⁶

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FFD:

1

10,₁₀²,₁₀² ₁₀⁹ ₁₀⁷ ₁₀⁶,₁₀⁴

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FFD:

1

10,₁₀² ₁₀⁹ ₁₀⁷,₁₀² ₁₀⁶,₁₀⁴

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FFD:

1 10

9 10

7

10,₁₀² ₁₀⁶,₁₀⁴ ₁₀²

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

P´elda: FFD:k = 4

9

10,₁₀¹ ₁₀⁷,₁₀² ₁₀⁶ ,₁₀⁴ ₁₀²

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

A l´ adapakol´ asi probl´ ema

Def: Al´adapakol´asi(bin packing) probl´em´aban adott a1,a2, . . . ,an m´eret˝u t´argyakat kell a lehet˝o legkevesebb l´ad´aba elpakolni, ahol egy l´ad´aban a t´argyak ¨osszm´erete legfeljebb 1 lehet.

Megj: A l´adapakol´asi feladat felfoghat´o olyan inverz ¨utemez´esi probl´emak´ent, aholCmax≤1 felt´etel mellett minim´alis sz´am´u g´eppel kell elv´egezni aJ₁, . . . ,J_n munk´akat.

FF algoritmus A t´argyakat ´erkez´esi sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

FFD algoritmusA t´argyakat m´eret szerint cs¨okken˝o sorrendben pakoljuk a l´ad´akba, mindegyiket a legels˝o olyanba, amelyikbe belef´er.

T´etel: Ha a l´adapakol´asi feladat egy inputj´ahozk l´ada elegend˝o, akkor az FF algoritmus legfeljebbb¹⁷₁₀kc, az FFD pedig legfeljebb

11k+6

9 k l´ad´at haszn´al.

(Az FF l´enyeg´eben 1,7-, az FFD 1,22-k¨ozel´ıt˝o algoritmus.)

Vak´ aci´ o!