K¨ul¨on is k¨osz¨on¨om a folytonos Reinhardt-tarto- m´anyokkal kapcsolatos k´erd´es´et, amely ak´ar t¨obb ´uj kutat´asi programot is megalapozhat

SZEGEDI TUDOM ´ANYEGYETEM TUDOM ´ANYEGYETEMI KAROK TERM ´ESZETTUDOM ´ANYI ´ES INFORMATIKAI KAR

Bolyai Int´ezet

Aradi V´ertan´uk tere 1.

H-6720 Szeged, Hungary Tel./Fax: (36) 62 544-548

V´alasz Sz˝oke R´obert opponensi v´elem´eny´ere

Mindenek el˝ott k¨osz¨onetet szeretn´ek mondani gyors ´es alapos munk´aj´ert, kedvez˝o v´elem´eny´e´ert. K¨ul¨on is k¨osz¨on¨om a folytonos Reinhardt-tarto- m´anyokkal kapcsolatos k´erd´es´et, amely ak´ar t¨obb ´uj kutat´asi programot is megalapozhat.

Az al´abbiakban pontr´ol pontra reag´alok a disszert´aci´o fejezeteihez f˝uz¨ott megjegyz´eseire.

1. FEJEZET.

1.1: Egyt´ertek: a sz¨ovegben val´oban t´eves az Henri keresztn´ev:

a hivatkozott m˝u szerz˝oje Elie´ Cartan, mint az Irodalomjegyz´ekben is (helyesen) szerepel.

2. FEJEZET.

Az Opponensi V´elem´eny (Opp.V.) kritikai ´eszrev´etelei h´arom egy- s´egbe foglalhat´ok:

A) a 2.2 ill. 2.3 alfejezetekben jel¨ol´esi pontatlans´agok ´es ´es hi´anyo- san bevezett fogalmak fordulnak el˝o a 2.2.1 ill. 2.3.1 f˝o projekci´os elvek kimond´asakor ´es a bizony´ıt´asukban.

B) Matematikai hiba Corollary 2.2.8-ban.

C) Egyszer˝ubb bizony´ıt´asok lehet˝os´ege.

A) A r´eszletekbe mer¨ul´es el˝ott hangs´ulyzni szeretn´em az elm´elet matematikai korrekts´eg´et (a k´es˝obb korrekt homogenit´asi mell´ekfelt´e- tellel haszn´alt Corollary 2.8-at kiv´eve).

El˝ozetes fogalmi ´attekint´es.

Egy M (komplex) Banach-sokas´ag b´armely S ⊂ M r´eszhalmaz´an tekint¨unk vektormez˝oket, amelyek a TM = ∪

p∈M{(p, v) : v ∈ TpM}

´erint˝osokas´ag olyan X r´eszhalmazai, amelyekn´el egy G → T(M) f¨ugg- v´eny gr´afjai (X⊂∪

p∈S{(p, v) : v∈Tp(M)}, (p, v),(p, w)∈X ⇒ v=w).

Theorem 2.3.1-ben P : M → M holomorf projekci´o, X holomorf vek- tormez˝o M-en, azonban P^′X := {(

s,P^′X(s))

: s ∈ S}

, ahol S :=

ran(P ={P(p) : p∈ M}. Vektormez˝o halmazhoz val´o ´erint˝olegess´ege:

A G ⊂ M halmazon ´ertelmezett V = {(

p, v(p))

: p ∈ G}

vektormez˝o

´erinti a S ⊂ Mhalmazt ap∈ S ∩ G pontban, ha tal´alhat´o olyan differ- enci´alhat´o y_p : I_p → G f¨uggv´eny, amelyn´el I_p ⊂IR egy 0-k¨or¨uli nyitott intervallum, y_p(0) = p ´es dy_p(t)/dt = V(

y(t))

(t ∈ I_p). Teljes a V mez˝o S-ben, ha S ⊂ G, V minden pontj´aban ´erinti S-et, ´es I_p = IR v´alaszthat´o minden p ∈ S-hez. A 2.2 alfejezetben az M = D esetet t´argyaljuk, ahol D egy E Banach-t´er r´esztartom´anya. Itt szok´asosan azonos´ıtjuk E-vel a T_p(D) (p ∈ D) ´erint˝otereket. Ez lehet˝os´eget ad a P : D → D holomorf projekci´o S k´ephalmaz´an ´ertelmezett P^′X vek- tormez˝onek egy term´eszetes holomorf kiterjeszt´es´ere: ezP^′(z)X(z)∂/∂z=

{(z,P^′(z)X(z))

:z∈D}

(ahogyan az Opp.V. 2. oldal´anak 5-9. soraiban is ´all). A 2.3 alfejezetben lok´alis koordin´at´akat haszn´alva az ´erint´esi k´erd´eseket ilyen kiterjeszt´essel t´argyalom.

R´eszletek.

Az Opp.V. 1. oldal´anak utols´o, z´ar´ojeles sor´ahoz. A k¨ovetke- z˝ok´eppen ´ertelmezend˝o a P^′X = P^′(z)X(z)∂/∂z kifejez´es: a Tz(E)

´erint˝otereket azonos´ıtva szok´asosan a {(z, v) : v ∈ E} p´arok hal- mazaival: az E Banach-t´erben valamely nyitott D ⊂ E tartom´any, tov´abb´a holomorf x, p : D → E f¨uggv´enyek mellett X = {(

z, x(z)) : z ∈D}

ill. p^′(z)v= limt→0t⁻¹[p(z+tv)−p(z)]

(z ∈D, v∈E). Teh´at P^′X = {(

z, p^′(z)x(z))

: z ∈ D}

, ahol p^′(z)x(z) = limt→0t⁻¹[ p(

z + tx(z))

−p(z)]

. Ez j´ol-defini´altD minden pontj´aban.

2.1.1. Sajnos val´oban nem hangs´ulyoztam k¨ul¨on, mit ´ertek azon, hogy egy E Banch-t´erbeli G tartom´anyon ´ertelmezett (holomorf) X = {z, x(z))

: z ∈ D}

vektormez˝o ´erint˝oleges egy ´altal´anos S ⊂ D hal- mazhoz. A bizony´ıt´asb´ol kider¨ul, hogy ez nem m´as, mint X-nek az S-beli teljess´ege, azaz a k¨ovetkez˝o t´eny: tetsz˝oleges s0 ∈ S pont eset´en van olyan megold´asa a [

dy(t)/dt = x( y(t))

, y(0) = s0

] differenci´al- egyenletnek, amely v´egig S-ben marad. Mivel a Piccard–Lindel¨of-t´etel szerint a jelen holomorf esetben egy´ertem˝u maxim´alis megold´asok van- nak, a propoz´ıci´o ´all´ıt´asa ekvivalens az explicite kimondott Corollary 2.1.4 k¨ovetkezm´eny´evel.

Proposition 2.1.1. jav´ıtott, r´eszletes kimond´asa (Corollary 2.1.4-et is belefogalmazva): LetP be a holomorphic projection of D with ran(P) =S. Then given any holomorphic vector field X =v(z)∂/∂z = {(z, v(z)) : z ∈ D} on D, each integral curve of its projection by P starting from a point of S ranges in S. That is the vector field P^′X :=

P^′(z)v(z)∂/∂z={(

z,P^′(z)v(z))

:z∈D}

with P^′(z)v(z) := lim

t→0t⁻¹[P(z+ tv(z))−P(z)]

is tangent to S in the sense that the necessarily unique

maximal solution of the initial value problem [

dy(t)/dt = P^′X( y(t))

, y(0) =s₀]

ranges in S whenever s₀ ∈S.

Megjegyz´es. 1) Opp.V. 5. bekezd´es: ”. . . Sajn´alatos m´odon csak a bizony´ıt´as utols´o mondat´ab´ol der¨ul ki, hogy egy fontos felt´etel kimaradt a 2.2.1 T´etel ´all´ıt´as´ab´ol: aδpszeudometrikaS-re val´o megszor´ıt´asa teljes kell legyen. Egyet´ertek (szerencs´ere ez k¨onnyen jav´ıthat´figyelmetlens´eg volt a r´eszemr˝ol, amelyet a [79] cikk feldolgoz´asakor (lektor hi´any´aban) k¨ovettem el. A sokas´agon megfogalmazott 2.3.1 v´altozatban ez j´ol is szerepel.

2) A 2.2.1 t´etelbeli Projekci´os Elvet leggyakrabban a abban a speci-

´

alis eset´eben alkalmazz´ak, amelyn´el D az egys´egg¨ombje egy E Banach- t´ernek, P :E →E egy kontrakt´ıv line´aris projekci´o, ahonnamS :=P E egy z´art alt´er E-ben, X pedig teljes holomorf vektormez˝o E-n.

3) A 2.1. il. 2.2 alfejezeteket ut´olag ´ırtam, t¨obbek k¨ozt az 1) megjegyz´esre val´o tekintettel. A Projekci´os Elvet Banach-sokas´agokon t´argyal´o 2.3 alfejezet alapja az eredeti [79] munk´am. Ebben a kontextus- ban v´alik fontoss´a az Opp. V. 1. oldal´anak utols´o sor´ban ´ırt ´eszrev´etele:

”k¨ul¨onb¨oz˝o pontok k´epe [P ´altal] lehet ugyanaz a pont, az ezen pon- tokhoz tartoz´o vektorok k´epe a lek´epez´esn´el adhat k´et k¨ul¨onb¨oz˝o vek- tort a k´eppontban”. Val´oban P^′X itt m´ar nem lehet a 2.1-2,2-beli P^′(z)v(z)∂/∂z form´aj´u. Nevezetesen itt val´obanP^′X={(

P(z),P^′(z)X(z)) : z∈ D}

A 2.3.1 T´etelben (´es a bizony´ıt´asban) azonban ennek az S :=

P(D) ´ert´ekk´eszletre val´o megszor´ıtottj´ar´ol van sz´o, azaz a sajnos P^′X- szel rosszul jel¨olt

P^′XS ={(

P(s),P^′(s)X(s))

: s∈ S}

, ahol S ={s∈ D: P(s) =s} alsokas´agr´ol. A 2.3.1 T´etel jav´ıtva:

Theorem 2.3.1. Let P :D → D be a holomorphic projection of a complex manifold (D,A). Then, for any holomorphic vector field X on D, the projected vector field P^′XS is tangent to the range S := P(D) in the sense that for each point s ∈ S there is a smooth curve y:I → S defined on some open interval I around 0 in IR such that y(0) = s and dy(t)/dt = P^′X(

y(t))

(t ∈ I). If there is a pseudodistance δ on D such that all holomorphic maps D → D are δ-contractions and whose restriction toS is a complete metric being locally equivalent to the chart distances d_ϕ(p, q) :=∥ϕ(p)−ϕ(q)∥ (ϕ∈ A, p, q∈dom(ϕ)), then P^′XS is semicomplete in S for any semicomplete holomorphic vector field X on D.

Megjegyz´es. A lok´alis meggondol´asok sor´an a koordin´at´azott dara- bokon m´ar lehet a 2.1-2.2-beli (´es az Opp.V. 2.old. 4-9 soraiban ”szokat-

lannak” tartott) P^′(z)X(z)_∂z^∂ alak´u veltormez˝oket. B´ar az ´altalam is- mert ¨osszes alkalmaz´as olyan esetekr˝ol sz´ol, amelyekn´el val´oban komplex alsokas´ag az S = P(D) ´ert´ekk´eszlet, az ´erint´esnek a v´alaszomban le´ırt (´es a bizony´ıt´asok sor´an implicite haszn´alt) fogalm´aval ´all a 2.3.1 T´etel a fenti jav´ıtott form´aja.

B)Sajnos teljes m´ert´ekig egyet kell ´ertenem Opponensemmel azzal kapcsolatban, hogy a 2.2.8-beli ´es a 2.4.1-beli ´all´ıt´asokhoz hozz´ateend˝o Carath´eodory-t´avols´ag teljess´eg´enek felt´etelez´ese, mert a bizony´ıt´as so- r´an arra hib´asan hivatkozom. Ez t´enyleges matematikai hiba: az ´all´ı- t´asokat a form´alis kieg´esz´ıt´es meglehet˝osen ´erdektelenn´e teszi. Ugyan- akkor felvethet˝o itt egy ´erdekes k´erd´es: vajon egy korl´atos k¨orszer˝u tartom´anynak a holomorf burka (ez felfoghat´o egy, az el˝obbit tartalmaz´o korl´atos k¨orszer˝u tartom´anynak) a Carath´eodory-t´avols´ag mindig teljes- e?

Egyt´ertek az Opp.V. 2.old. -11-8 soraiban tal´alhat´o t¨ort´eneti ko- rrekci´oval: Val´oban J.-M. Isidro volt a [79] cikkem refer´al´oja a Math.

Reviews-ban. Mindazon´altal a legt¨obbet a cikk elismertet´es´e´ert Se´an Dineen tett v´elem´enyem szerint, amit hangs´ulyozand´onak ´erzek egy ja- v´ıtott (lektor´alt) v´altozatban is.

C) Egyetlen pont van csak, amelyben nem tudok egyet´erteni Op- ponensemmel: 2. old. 3. bekezd´es: ”A hossz´u bizony´ıt´asb´ol az der¨ul ki, hogy ezt a k¨ovetkez˝ok´eppem kell gondolni: egy S pontj´ab´ol kiin- dul´o P^′X trajekt´oria kis ideig S-ben marad. [Sz´amomra ez jelenti azt, hogy P^′X ´erinti S-et]. Enn´el a k¨ovetkez˝ovel t¨obb kellP^′X S-beli f´elig- teljess´eg´ehez: megadhat´o olyan ε > 0, hogy S minden pontj´ab´ol kiin- dulva aP^′X-trajekt´oria legal´abbε ideigS-ben marad. UgyanisP^′X S- beli f´elig-teljess´ege azt k¨oveteli meg, hogy amaxim´alis trajekt´ori´ak a tel- jes IR₊-on ´ertelmezve legyenek. Emiatt nem l´atom, hogyan egyszer˝us´ıt- heti le a 2.1.1-re adott bizony´ıt´asomat. Az ´altala javasolt gondolatmenet t´ul v´azlatos, nincs benne utal´as valamilyen holomorfia-invari´ans t´avols´ag teljess´eg´enek a kihaszn´al´as´ara. Az 1. F¨uggel´ekben mutatok egy p´eld´at C²-ben teljes holomorf vektormez˝ore, amelynek els˝o koordi´atavet¨ulete C × {0}-ban nem teljes, j´ollehet a vet¨uleti trajekt´ori´ak trivi´alisan C× {0}-beliek.

3-8. FEJEZETEK.

K¨ozvetlen reag´al´ast k´ıv´an´o technikai megjegyz´esek nem fordulnak el˝o.

7. FEJEZET. Opponensi k´erd´es.

A v´eges-dimenzi´os eset anal´ogi´aj´ara, lehet-e valamit mondani arr´ol, hogy egy teljes folytonos Reinhardt-tartom´any mikor lesz holomorfan konvex, azaz van-e valami megfelel˝oje a logaritmikus konvexs´egnek foly- tonos Reinhardt-tartom´anyokra?

V´alasz.

K´ezenfekv˝o defin´ıci´o: egy lok´alisan kompakt Ω topologikus t´erE :=

C0(Ω) f¨uggv´enyter´eben aD folytonos Reinhardt-tartom´anylogaritmiku- san konvex, ha

[

f₁, f₂ ∈D, 0≤λ ≤1, g ∈E, |g| ≤ |f₁|^1−λ|f₂|^λ]

=⇒g∈D.

A j´ol-ismert v´eges-dimenzi´os elm´elet alapj´an siker¨ult bel´atnom a k¨ovet- kez˝ot (ld, F¨uggel´ek):

T´etel. Egy folytonos Reihardt-tartom´anyr´ol minden holomorf f¨ugg- v´eny kiterjeszthet˝o holomorf m´odon a tartom´any logaritmikusan konvex burk´ara.

K¨ozvetlen k¨ovetkezm´eny a holomorfia-burkol´ok ´altal´anos elm´elet´eb˝ol [W. Kaup, Komplex Analysis II, T¨ubingen, 1995], hogy egy D ⊂ E = C0(Ω) folytonos Reinhardt-tartom´any holomorf burka felfoghat´o kanon- ikus m´odon egy olyan E-beli Db tartom´anyk´ent, amelyre ψDb = Db vala- h´anyszor ψ∈ C(Ω), |ψ| ≡1.

Az ismert bizony´ıt´as r´eszletei nem adj´ak ki k¨ovetketezm´enyk´ent v´egtelen dimenzi´oban Db Reinhardt-volt´at (azaz, hogy f ∈ D,b |g| ≤

|f| ⇒g∈D).b

Uj konstrukci´´ ot ig´enyel annak a plauzibilis sejt´esnek a bel´at´asa is, hogy egy logaritmikusan konvex D ⊂ E = C0(Ω) folytonos Reinhardt- tartom´any eset´en minden p∈∂D hat´arponthoz van olyan holomorf fp : D→C f¨uggv´eny, amelyre lim sup

D∋q→p |f_p(q)|=∞. A 4. oldalon a z´ar´o ´Eszrev´etekhez

1. bekezd´es: Mint m´ar eml´ıtettem, val´odi, k¨onnyen jav´ıthat´o hi- b´akr´ol van sz´o, de sajnos a jav´ıtott ´all´ıt´asok meglehet˝osen ´erdektelenek.

2. bekezd´es: K¨orszer˝u tartom´any alatt kimondatlanul is, minden

´

altalam ismert irodalomnak megfelel˝oen, orig´ot tartalmaz´o (

´es D = e^itD (t ∈ IR) tulajdons´ag´u)

tartom´anyt ´ertek a Disszert´aci´oban. Ez a sajt´ohiba egyszer˝uen jav´ıthat´o (a 11- oldal -11. sor´aban 0∈TTD=D

´ırand´o TTD =D helyett).

3. bekezd´es: Szerencs´ere nem fordul el˝o olyan t´etel¨osszevon´as a T´ezisek-ben, amely egy, a Disszert´aci´o´evel teljesen kompatibilis sz´amo- z´asnak komoly akad´alya volna.

4. bekezd´es: A felsorolt hivatkoz´asi sajt´ohib´aim mind val´osak. A jav´ıt´as egy-egy karakter cser´ej´evel ill. egy szerz˝oi n´ev ([104] E. Vesentini) p´otl´as´aval megoldhat´o.

Szeged, 2011. szeptember 5.

Stach´o L´aszl´o

1. F ¨UGGEL ´EK

P´elda. LegyenE:= C², ´es rajta tekints¨uk aW(z₁, z₂) :=(

−z₁²z₂, z₁z₂²) _∂

∂z

polinomi´alis vektormez˝ot. All´ıt´´ as: W teljes E-ben, de a P : E ∋ (z₁, z₂) 7→ (z₁,1) affin projekci´o S := P(E) = C × {1} k´ep´eben (amely C-vel izomorf 1-dimenzi´os komplex alsokas´aga E-nek) nem teljes a W vektormz˝o P^′V|S :S ∋(z₁,1)7→(z⁻₁¹,0) vet¨ulete.

Bizony´ıt´as. Vegy¨uk ´eszre, hogy tetsz˝oleges ζ1, ζ2 ∈C eset´en a z₁(t) :=ζ₁exp(

−t ζ₁ζ₂)

, z₂(t) :=ζ₂exp(

t ζ₁ζ₂)

(t∈IR) f¨uggv´enyp´ar megold´asa a

˙

z1 =−z₁²z2, z˙2 =z1z₂², z1(0) =ζ1, z2(0) =ζ2

kezdeti-´ert´ek probl´em´anak. Val´oban:

˙

z1(t) = d

dtζ1exp(

−tζ1ζ2

)=ζ1

[−ζ1ζ2exp(

−tζ₁⁻¹ζ₂⁻¹)]

=

=−ζ₁²ζ2exp(

−tζ₁⁻¹ζ₂⁻¹)

=−z1(t)²z2(t) ,

˙

z2(t) = d dt

[ζ2exp( tζ1ζ2

)]=ζ2

[ζ1ζ2exp( tζ1ζ2

)]=

=ζ1ζ₂²exp( tζ1ζ2

)=z1(t)z2(t)² . Teh´at

[exp(tW)]

(ζ₁, ζ₂) = (

ζ₁exp(

−t ζ₁ζ₂)

, ζ₁ζ₂²exp(

t ζ₁ζ₂))

(t ∈IR).

M´asr´eszt aP affin lek´epez´es Fr´echet-deriv´altja minden¨utt annak line´aris tagja. Ez´ert a P₀ : (ζ₁, ζ₂) := (ζ₁,0) line´aris projekci´oval

P^′(z) [

W(z) ∂

∂z ]

= [

P0

(−z₁²z2 , z1z²₂)] ∂

∂z =(

−z₁²z2 ,0)] ∂

∂z .

Mivel az S alsokas´ag pontjain z₂ ≡ 1, fenn´all P^′(z)[

W(z)_∂z^∂ ] ( =

−z²₁,0) _∂

∂z (z ∈ S). Csakhogy a −z²_∂z^∂ vektormez˝o nem teljes a C komplex s´ıkban. [A ˙z = −z², z(0) = η ̸= 0 kezdeti´ert´ek-probl´em´ak megold´asaiz(t) = [t+ζ⁻¹]⁻¹ alak´uak. Negat´ıv ζ <0 kezd˝opont eset´en teh´at a maxim´alis megold´as csak a (

t <−ζ⁻¹)

f´elegyenesen, nem pedig az eg´esz IR-en van ´ertelmezve].

2. F ¨UGGEL ´EK

Legyen Ω lok´alisan kompakt topologikus t´er,E :=C0(Ω) az ∥f∥:=

max|f| spektr´alnorm´aval, D pedig folytonos Reinhardt-tartom´any E- ben.

Defin´ıci´o. Azt mondjuk, D logaritmikusan konvex, ha mindig [

f₁, f₂ ∈D, g ∈E, λ∈(0,1), |g| ≤ |f₁|^λ|f₂|^1−λ]

=⇒g∈D.

Jel¨ol´esek: E₊ := {f ∈ E : f ≥ 0}, E₀ := {f ∈ E : support(f) kompakt}.

1. Lemma. Legyeneku1, . . . , uN line´arisan f¨uggetlenE-beli f¨uggv´enyek,

´es tegy¨uk fel, hogy a H+U ⊂D, aholH :={ ∑

kζkuN : (ζ1, . . . , ζN)∈

∆}

valamely ∆ ⊂ C^N klasszikus teljes Reinhardt-tartom´any mellett, U pedig valamely g¨ombi 0-k¨ornyezet. Ekkor D-nek a holomorf burka (amely egy E-beli k¨orszer˝u tartom´any) tartalmazza a He +U alakzatot, ahol He := { ∑

kζkuk : (ζ1, . . . , ζN) ∈ ∆e}

, ∆-nak a ∆e logaritmikusan konvex burka mellett.

Bizony´ıt´as. Legyen ϕ: D → C holomorf f¨uggv´eny. Elegend˝o bel´atni:

ϕ-nek van holomorf kiterjeszt´ese D∪He-ra. Tudjuk: a ∆ alakzat neme m´as, mint ∆ Hartogs-konvex burka. M´asr´eszt b´armely Hartogs-alak- zatr´ol a holomorf kiterjeszt´es megadhat´o kompakt k¨orvonalakon val´o integr´al-k¨ozepel´esekkel. Ez´ert mindenξ∈∆ ponthoz tal´e alhat´o olyanµ_ξ korl´atos vari´aci´oj´u kompakt tart´oj´u komplex Baire-m´ert´ek ∆-n, amellyel

e

φ(ξ) =∫

φ dµ_ξ valah´anyszor φ ∈Hol(∆,C) a φe∈ Hol(∆,e C) holomorf kiterjeszt´essel. K¨ovetkez´esk´eppen b´armelyx ∈He pontra tal´alhat´o olyan kompakt tart´oj´u korl´atos vari´aci´oj´u komplexµxm´ert´ek-n, amely mellett az L := { ∑

kζkuk : ζ1, . . . , ζN

} N-dimenzi´os line´aris alt´er relative nyitott r´eszhalmazain vett holomorfia-fogalomak szerint

ψ(x) =e

∫

ψ dµ_x ha x∈H, ψe ∈Hol(H,C), ψe∈Hol(H,e C), ψ=ψe

H.

Ekkor (a Hartogs-alakzatokr´ol val´o holomorf kiterjeszt´es szok´asos t´ar- gyal´as´ahoz hasonl´o ´ervekkel l´athat´oan) a

ϕ(xe +u) :=

∫

y∈H

ϕ(y+u) dµx(y) (x∈H, ue ∈U)

lek´epez´es j´ol-defini´alt (

x1 +u1 = x2 +u2 ⇒ ∫

y∈H

ϕ(y +u1) dµx₁(y) =

∫

y∈H

ϕ(y+u2)dµx2(y) )

kiterjeszt´eseϕ-nek. M´asr´esztϕeFr´echet-deriv´alhat´o is, mivel C ∋ζ →0 ´es v ∈E mellett

1 ζ

[ϕe(

x+u+ζv)

−ϕe(

x+u)]

=

∫

y∈H

1 ζ

[ϕe(

y+u+ζv)

−ϕe(

y+u)]

dµx(y)→

→

∫

y∈H

ϕ^′(x+u)v dµx(y).

2. Lemma. Legyen f ∈ D. Ekkor van olyan ε > 0 konstans, hogy h∈D valah´anyszor h∈E ´es |h| ≤ |f|+ε.

Bizony´ıt´as. Mivel D folytonos Reinhardt-tartom´any, |f| ∈D is ´all. D nyitotts´aga pedig miatt van olyan ε > 0, hogy D ⊃ {g ∈ E : ∥(g−

|f|)∥ ≤ ε}. Vagyis h ∈ E ´es |h| ≤ |f| +ε eset´en |h| ∈ D, ahonnan k¨ovetkezik h ∈D.

3. Lemma. Legyen f ∈ E₀, ε > 0, {u₁, . . . , u_N} ⊂ E₊ pedig egy egys´egoszt´as support(f) f¨ol¨ott, amelyre 1 ≥ ∑

ku_k ≥ 1_support(f))

, ame- lyre diamf(

support(u_k))

≤ ε (k = 1, . . . , N). Tegy¨uk fel, hogy ω_k ∈ support(u_k) (k = 1, . . . , N). Ekkor f −∑

kf(ω_k)u_k≤ε.

Bizony´ıt´as. Tetsz˝oleges ω ∈ Ω pontn´al legyen Iω := {k : uk(ω) >

0}. ´Eszrev´etel: k ∈ Iω ⇒ f(ω) −f(ωk) ≤ ε. Tekints¨unk egy ω ∈ support(f) pontot. Enn´el 1 =∑

k∈Iωuk(ω), ´es ´ıgy f(ω)−∑

k

f(ω_k)u_k(ω)= ∑

k∈Iω

[f(ω)−f(ω_k)]

u_k(ω)≤ ∑

k∈Iω

f(ω)−f(ω_k)u_k(ω)≤ε.

Tekints¨unk egy ω ∈ Ω \ support(f) pontot. Enn´el f(ω) = 0, 1 ≥

∑

k∈Iωu_k(ω)≥0, f(ω_k)≤ε, ´es ´ıgy f(ω)−∑

k

f(ωk)uk(ω)= ∑

k∈Iω

f(ωk)uk(ω)≤ε ∑

k∈Iω

uk(ω)≤ε.

4. Lemma. Tegy¨uk fel, hogy f₁, . . . , f_m ∈ E₊, g ∈ E, λ₁, . . . , λ_m >

0,∑

jλ_j = 1, ´es |g| ≤ ∏

jf_j^λj. Legyen ε >0 tetsz˝olegesen adott. Ekkor l´eteznek olyanfe1, . . . ,fem,eg∈E0 f¨uggv´enyek, hogy valamelyφ1, . . . , φm,γ: Ω→IR+ f¨uggv´enyekkel fej =φjg, eg=γg ´es

|fe₁| ≤f₁, . . . ,|fe_m| ≤f_m, ∥eg−g∥ ≤ε, |eg| ≤

∏m j=1

|fe_j|^λj. Bizony´ıt´as. A Π : C → C, Π(

ρe^iθ)

:= [ρ−ε]₊e^iθ (ρ ≥ 0 ≤ θ < 2π) folytonos transzform´aci´oval a

e

g:= Π◦g, fe_j :=f_jeg/max{|g|, ε} (j = 1, . . . , m)

v´alaszt´as megfelel˝o. Val´oban, ekkor afe_j,qef¨uggv´enyek mind folytonosak, l´ev´en folytonos lek´epez´esek ¨osszet´etelei ill. szorzatai. Fenn´all support(fe_j)

⊂support(eg)⊂ {ω : |g(ω)| ≥ ε} kompakt⊂Ω, ahonnan fe₁, . . . ,fe_m,eg∈ E₀. V´eg¨ul

∏m j=1

|fe_j|^λj = |eg| max{|g|, ε}

∏m j=1

f_j^λj ≥ |g| |eg|

max{|g|, ε} ≥ |eg|.

Sejt´es.Folytonos Reinhardt-tartom´any holomorfiaburka folytonos Rein- hardt-tartom´any.

Megjegyz´es. Tudjuk: k¨orszer˝u tartom´any holomorf burka ”schlicht”

k¨oeszer˝u tartom´any, amelyre a kiindul´asi tartom´any biholomorf auto- morfizmusai biholomorf automorfizmusokk´ent kiterjeszthet˝ok. Speci-

´

alisan, ha D ⊂ C0(Ω) folytonos Reinhardt-tartom´any a De holomorf burokkal, tov´abb´a a ∈ReC(Ω), akkor De =e^iaD.e

T´etel.Folytonos Reinhardt-tartom´anyr´ol minden holomorf f¨uggv´eny ki- terjeszhet˝o holomorf m´odon a tartom´any logaritmikusan konvex burk´ara.

Teh´at, ha a sejt´es igaz, akkor folytonos Reinhardt-tartom´any holomorfi- aburka mindig logaritmikusan konvex folytonos Reinhardt-tartom´any.

Bizony´ıt´as. Az 1. Lemma szerint elegend˝o bel´atni: 0≤f1, . . . , fm∈

D, λ1, . . . , λm > 0,

∑

j

λj= 1, g∈E ´es |g| ≤∏

j

f_j^λj eset´en tal´alhat´ok olyan u1, . . . , uN ∈ E0

f¨uggv´enyek, tov´abb´a egy olyan ∆ ⊂ C^N teljes Reinhardt-tartom´any, hogy valamilyenδ >0 konstans mellett

{v+∑

k

ζ_ku_k : (ζ₁, . . . , ζ_N)∈∆, v∈E, ∥v∥< δ}

⊂D ´es g ∈{

v+∑

k

ζkuk : (ζ1, . . . , ζN)∈∆, ve ∈E, ∥v∥< δ} .

Legyen teh´at D ⊂ C0(Ω) folytonos Reinhardt-tartom´any, ´es legyenek

f₁, . . . , f_m, g ∈ E,

λ₁, . . . , λ_m>0 ´ugy adottak, hogy 0 ≤ f_j ∈ D, ∑

j

λ_j= 1 ´es |g| ≤ ∏

j

f_j^λj. A 2. Lemma szerint r¨ogz´ıthet¨unk egy olyan ε > 0 konstanst, amely mellett

(∗) H0 :=

∪m j=1

{f ∈E : |f| ≤fj +ε}

⊂D.

Vegy¨unk egy ε1 ∈ (0, ε) konstanst. A 4. Lemma alapj´an r¨ogz´ıthet¨unk olyan fe1, . . . ,fem,eg∈E0 f¨uggv´enyeket, amelyekre teljes¨ulnek a

|fej| ≤fj (j= 1. . . , m), ∥eg−g∥ ≤ε1, |eg| ≤

∏m j=1

|fej|^λj

felt´etelek, s˝ot support(fej) = support(eg) (j= 1, . . . , m) ´es fej(ω)/eg(ω)>0 valah´anyszor ω ∈ {ξ: |g(ξ)|> ε1}={ξ : eg(ξ)̸= 0}.

Vegy¨unk ezut´an egy ε2∈(0, ε−ε1) konstanst. A kompakt support(eg) halmaznak tal´alhat´o olyan v´eges G := {G1, . . . , GM} nyitott lefed´ese, amelynek tagjait az fe1, . . . ,fem,eg f¨uggv´enyek ε2-n´el kisebb v´altoz´as´uak.

A G lefed´eshez pedig tal´alhat´o olyan v´eges 0≤u1, . . . , uN ∈E0 f¨ugg- v´enycsal´ad, amely a kompakt support(eg) f¨ol¨ott egys´egoszt´as. Ezzel

∑

k

uk(ω) = 1 (

ω∈support(eg)) , diam(

e

g(support(uk)))

,diam( efj(support(uk)))

< ε2 (1≤k ≤N; 1≤j ≤m).

Vagyis v´eve egy tetsz˝oleges ω1 ∈ support(u1), . . . , ωN ∈ support(uN) pontrendszert, a 3. Lemma szerint

∥Pfe1−fe1∥, . . . ,∥Pfem−fem∥,∥Peg−eg∥< ε2, ahol P f :=

∑N k=1

f(ωk)uk. Vegy¨unk v´eg¨ul egy ε3 ∈(0, ε−ε1−ε2) konstanst, ´es legyen

∆ :=

∪m j=1

{

(ζ1, . . . , ζN)∈ C^N : |ζk|<efj(ωk)+ε3 (k= 1, . . . , N) }

.

Vagyis (∗) ´es a h´arosz¨og-egyenl˝otlens´eg alapj´an H :=

∪m j=1

{ v+

∑N k=1

ζkuk : (ζ1, . . . , ζN)∈∆, ∥v∥< ε−ε3

}⊂D.

J´ol-ismert: a ∆ klasszikus Reinhardt-tartom´any∆ holomorf burka neme m´as, mint a logaritmikusan konvex burka. Speci´alisan fe₁, . . . ,fe_m ∈ H

´es |eg| ≤ ∏^m

j=1

fe_j^λj miatt ( efj(ω1), . . . ,fej(ωN))

∈∆ (j = 1, . . . , m) =⇒ ( e

g(ω1), . . . ,eg(ωN))

∈∆.e Az 1. Lemma szerint teh´at

{Peg+v: ∥v∥< ε−ε3

}⊂{ v+

∑N k=1

ζkuk: (ζ1, . . . , ζN)∈∆,e ∥v∥< ε−ε3

}

=He ⊂D.e Mivel∥eg−g∥< ε1,∥Peg−eg∥< ε2, tov´abb´a mivelε1+ε2+ε3 < ε, aδ:=

ε−ε3 v´alaszt´as megfelel a bizony´ıt´as elej´en kimondott k´ıv´analomnak, hiszen ekkor a v := Peg−g f¨uggv´ennyel ∥v∥ < δ ´es g = Peg+v ∈ ∆.e Qu.e.d.