Fels˝ obb matematika villamosm´ ern¨ ok¨ oknek – Kombinatorikus optimaliz´ al´ as
2-(´el)¨of ´es er˝osen ¨osszef¨ugg˝o gr´afok
2022. ´aprilis 5.
Bevezet´ es
Def: Egy G gr´af akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, ha nincs elv´ag´o ´ele, azaz haG b´armely k´et cs´ucsa k¨oz¨ott vezet k´et ´eldiszjunkt ´ut. A G egyszer˝u gr´af akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha legal´abb 3 cs´ucsa van, ´es nincs elv´ag´o pontja, avagy G b´armely k´et cs´ucsa k¨oz¨ott vezet k´et bels˝olet pontdiszjunkt ´ut. Az ir´any´ıtottG gr´af akkorgyeng´en
¨
osszef¨ugg˝o, ha G ir´any´ıtatlan ´ertelemben ¨osszef¨ugg˝o, ´es akkor er˝osen ¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armelyu,v cs´ucsaira vanG-ben ir´any´ıtottuv-´ut (´es av,u v´alaszt´as miatt ir´any´ıtottvu-´ut is).
v
u u v
A tov´abbiakban 2-(´el)¨osszef¨ugg˝o ´es er˝osen ¨osszef¨ugg˝o gr´afok tulajdons´agaival, strukt´ur´aj´aval foglalkozunk.
Bevezet´ es
Def: Egy G gr´af akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, ha nincs elv´ag´o ´ele, azaz haG b´armely k´et cs´ucsa k¨oz¨ott vezet k´et ´eldiszjunkt ´ut. A G egyszer˝u gr´af akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha legal´abb 3 cs´ucsa van, ´es nincs elv´ag´o pontja, avagy G b´armely k´et cs´ucsa k¨oz¨ott vezet k´et bels˝olet pontdiszjunkt ´ut. Az ir´any´ıtottG gr´af akkorgyeng´en
¨
osszef¨ugg˝o, ha G ir´any´ıtatlan ´ertelemben ¨osszef¨ugg˝o, ´es akkor er˝osen ¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armelyu,v cs´ucsaira vanG-ben ir´any´ıtottuv-´ut (´es av,u v´alaszt´as miatt ir´any´ıtottvu-´ut is).
v
u u v
A tov´abbiakban 2-(´el)¨osszef¨ugg˝o ´es er˝osen ¨osszef¨ugg˝o gr´afok tulajdons´agaival, strukt´ur´aj´aval foglalkozunk.
2-¨ of gr´ afok egy jellemz´ ese
Menger t´etele: AG gr´af pontosan akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armely k´etu,v cs´ucs´ahoz l´etezik olyan C k¨or, ami azu,v cs´ucsokat tartalmazza.
Menger t´etele: TfhG-nek nincs izol´alt pontja. Ekkor G pontosan akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armely k´et e,f ´el´ere l´etezik olyan C k¨or, ami az e,f ´eleket tartalmazza.
Biz: Ha bmely 2 ´elhez van k¨or, akkor bmely 2 cs´ucshoz is, ´ıgy az el˝oz˝o t´etel miattG 2-¨of. Ha G 2-¨of, ´ese,f ´elek akkore-re egyu, f-re egyv cs´ucsot ¨ultetve nem keletkezik elv´ag´o pont, ´ıgy a gr´af 2-¨of marad, teh´at vanu-n ´esv-n kereszt¨ul k¨or, amiG-ben ´epp egy e-t ´esf-et tartalmaz´o k¨or.
e f u v
2-¨ of gr´ afok egy jellemz´ ese
Menger t´etele: AG gr´af pontosan akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armely k´etu,v cs´ucs´ahoz l´etezik olyan C k¨or, ami azu,v cs´ucsokat tartalmazza.
Biz: Ha G nem 2-¨osszef¨ugg˝o, akkor van elv´ag´o pontja. Legyen u ´es v k´et cs´ucs G k´et k¨ul¨onb¨oz˝o maxblokkj´ab´ol.
u v
EkkorG-nek nincs olyan k¨ore, amiu ´esv mindegyik´et tartalmazza.
Menger t´etele: TfhG-nek nincs izol´alt pontja. Ekkor G pontosan akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armely k´et e,f ´el´ere l´etezik olyan C k¨or, ami az e,f ´eleket tartalmazza.
Biz: Ha bmely 2 ´elhez van k¨or, akkor bmely 2 cs´ucshoz is, ´ıgy az el˝oz˝o t´etel miattG 2-¨of. Ha G 2-¨of, ´ese,f ´elek akkore-re egyu, f-re egyv cs´ucsot ¨ultetve nem keletkezik elv´ag´o pont, ´ıgy a gr´af 2-¨of marad, teh´at vanu-n ´esv-n kereszt¨ul k¨or, amiG-ben ´epp egy e-t ´esf-et tartalmaz´o k¨or.
e f u v
2-¨ of gr´ afok egy jellemz´ ese
Menger t´etele: AG gr´af pontosan akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armely k´etu,v cs´ucs´ahoz l´etezik olyan C k¨or, ami azu,v cs´ucsokat tartalmazza.
Biz: Ha G nem 2-¨osszef¨ugg˝o, akkor van elv´ag´o pontja. Legyen u ´es v k´et cs´ucs G k´et k¨ul¨onb¨oz˝o maxblokkj´ab´ol.
u v
EkkorG-nek nincs olyan k¨ore, amiu ´esv mindegyik´et tartalmazza.
Ha viszont G 2-¨osszef¨ugg˝o ´es u,v ∈ V(G), akkor Menger t´etele szerint van G-ben k´et bels˝oleg pontdiszjunktuv-´ut.
Ezek egy¨utt egyu-t ´esv-t tartalmaz´o
u v
k¨ort adnak.
Menger t´etele: TfhG-nek nincs izol´alt pontja. Ekkor G pontosan akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armely k´et e,f ´el´ere l´etezik olyan C k¨or, ami az e,f ´eleket tartalmazza.
Biz: Ha bmely 2 ´elhez van k¨or, akkor bmely 2 cs´ucshoz is, ´ıgy az el˝oz˝o t´etel miattG 2-¨of. Ha G 2-¨of, ´ese,f ´elek akkore-re egyu, f-re egyv cs´ucsot ¨ultetve nem keletkezik elv´ag´o pont, ´ıgy a gr´af 2-¨of marad, teh´at vanu-n ´esv-n kereszt¨ul k¨or, amiG-ben ´epp egy e-t ´esf-et tartalmaz´o k¨or.
e f u v
2-¨ of gr´ afok egy jellemz´ ese
Menger t´etele: AG gr´af pontosan akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armely k´etu,v cs´ucs´ahoz l´etezik olyan C k¨or, ami azu,v cs´ucsokat tartalmazza.
Menger t´etele: TfhG-nek nincs izol´alt pontja. Ekkor G pontosan akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armely k´et e,f ´el´ere l´etezik olyan C k¨or, ami az e,f ´eleket tartalmazza.
Biz: Ha bmely 2 ´elhez van k¨or, akkor bmely 2 cs´ucshoz is, ´ıgy az el˝oz˝o t´etel miattG 2-¨of. Ha G 2-¨of, ´ese,f ´elek akkore-re egyu, f-re egyv cs´ucsot ¨ultetve nem keletkezik elv´ag´o pont, ´ıgy a gr´af 2-¨of marad, teh´at vanu-n ´esv-n kereszt¨ul k¨or, amiG-ben ´epp egy e-t ´esf-et tartalmaz´o k¨or.
e f u v
2-¨ of gr´ afok egy jellemz´ ese
Menger t´etele: AG gr´af pontosan akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armely k´etu,v cs´ucs´ahoz l´etezik olyan C k¨or, ami azu,v cs´ucsokat tartalmazza.
Menger t´etele: TfhG-nek nincs izol´alt pontja. Ekkor G pontosan akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armely k´et e,f ´el´ere l´etezik olyanC k¨or, ami az e,f ´eleket tartalmazza.
Biz: Ha bmely 2 ´elhez van k¨or, akkor bmely 2 cs´ucshoz is, ´ıgy az el˝oz˝o t´etel miattG 2-¨of. Ha G 2-¨of, ´ese,f ´elek akkore-re egyu, f-re egyv cs´ucsot ¨ultetve nem keletkezik elv´ag´o pont, ´ıgy a gr´af 2-¨of marad, teh´at vanu-n ´esv-n kereszt¨ul k¨or, amiG-ben ´epp egy e-t ´esf-et tartalmaz´o k¨or.
e f u v
2-¨ of gr´ afok egy jellemz´ ese
Menger t´etele: AG gr´af pontosan akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armely k´etu,v cs´ucs´ahoz l´etezik olyan C k¨or, ami azu,v cs´ucsokat tartalmazza.
Menger t´etele: TfhG-nek nincs izol´alt pontja. Ekkor G pontosan akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, ha G b´armely k´et e,f ´el´ere l´etezik olyanC k¨or, ami az e,f ´eleket tartalmazza.
Biz: Ha bmely 2 ´elhez van k¨or, akkor bmely 2 cs´ucshoz is, ´ıgy az el˝oz˝o t´etel miattG 2-¨of. Ha G 2-¨of, ´ese,f ´elek akkore-re egyu, f-re egyv cs´ucsot ¨ultetve nem keletkezik elv´ag´o pont, ´ıgy a gr´af 2-¨of marad, teh´at vanu-n ´esv-n kereszt¨ul k¨or, amiG-ben ´epp egy e-t ´esf-et tartalmaz´o k¨or.
e f u v
2-´ el¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol kiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v is megengedett.
v u
u0 =v0
Biz: TfhG 2-´el¨of. Induljunk ki G tetsz. w cs´ucs´ab´ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyanz cs´ucs, amit eddig nem si- ker¨ult megkapni, akkor tekints¨unkG-ben k´et ´eldiszjunkt zw-utat. Legyen ezeknek els˝o olyan cs´ucsa, amit m´ar fel´ep´ıtett¨unk u ill. v. Ekkor a m´ar fel´ep´ıtett gr´afhoz hozz´aadhat´o egy ´uj, z-t esetleg nem tar- talmaz´o uv-f¨ul.
v w
z u
Teh´at tetsz. 2-´el¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-´ el¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol kiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v is megengedett.
Biz:
TfhG 2-´el¨of. Induljunk ki G tetsz. w cs´ucs´ab´ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyanz cs´ucs, amit eddig nem si- ker¨ult megkapni, akkor tekints¨unkG-ben k´et ´eldiszjunkt zw-utat. Legyen ezeknek els˝o olyan cs´ucsa, amit m´ar fel´ep´ıtett¨unk u ill. v. Ekkor a m´ar fel´ep´ıtett gr´afhoz hozz´aadhat´o egy ´uj, z-t esetleg nem tar- talmaz´o uv-f¨ul.
v w
z u
Teh´at tetsz. 2-´el¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-´ el¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol kiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v is megengedett.
Biz: TfhG-nek van f¨ulfelbont´asa. Mivel a kiindul´asi egypont´u gr´af 2-´el¨of, ´es egyetlen f¨ul hozz´aad´asakor sem keletkezik elv´ag´o ´el, ez´ert a fel´ep´ıtettG 2-´el¨of lesz.
TfhG 2-´el¨of. Induljunk ki G tetsz. w cs´ucs´ab´ol ´es ´ep´ıts¨ukG-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´esG-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyanz cs´ucs, amit eddig nem si- ker¨ult megkapni, akkor tekints¨unkG-ben k´et ´eldiszjunkt zw-utat. Legyen ezeknek els˝o olyan cs´ucsa, amit m´ar fel´ep´ıtett¨unk u ill. v. Ekkor a m´ar fel´ep´ıtett gr´afhoz hozz´aadhat´o egy ´uj, z-t esetleg nem tar- talmaz´o uv-f¨ul.
v w
z u
Teh´at tetsz. 2-´el¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-´ el¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol kiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v is megengedett.
Biz:
TfhG 2-´el¨of. Induljunk ki G tetsz. w cs´ucs´ab´ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyanz cs´ucs, amit eddig nem si- ker¨ult megkapni, akkor tekints¨unkG-ben k´et ´eldiszjunkt zw-utat. Legyen ezeknek els˝o olyan cs´ucsa, amit m´ar fel´ep´ıtett¨unk u ill. v. Ekkor a m´ar fel´ep´ıtett gr´afhoz hozz´aadhat´o egy ´uj, z-t esetleg nem tar- talmaz´o uv-f¨ul.
v w
z u
Teh´at tetsz. 2-´el¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-´ el¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol kiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v is megengedett.
Biz: TfhG 2-´el¨of. Induljunk ki G tetsz. w cs´ucs´ab´ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyanz cs´ucs, amit eddig nem si- ker¨ult megkapni, akkor tekints¨unkG-ben k´et ´eldiszjunkt zw-utat. Legyen ezeknek els˝o olyan cs´ucsa, amit m´ar fel´ep´ıtett¨unk u ill. v. Ekkor a m´ar fel´ep´ıtett gr´afhoz hozz´aadhat´o egy ´uj, z-t esetleg nem tar- talmaz´o uv-f¨ul.
v w
z u
Teh´at tetsz. 2-´el¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-´ el¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-´el¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egy pontb´ol kiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v is megengedett.
Biz: TfhG 2-´el¨of. Induljunk ki G tetsz. w cs´ucs´ab´ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyanz cs´ucs, amit eddig nem si- ker¨ult megkapni, akkor tekints¨unkG-ben k´et ´eldiszjunkt zw-utat. Legyen ezeknek els˝o olyan cs´ucsa, amit m´ar fel´ep´ıtett¨unk u ill. v. Ekkor a m´ar fel´ep´ıtett gr´afhoz hozz´aadhat´o egy ´uj, z-t esetleg nem tar- talmaz´o uv-f¨ul.
v w
z u
Teh´at tetsz. 2-´el¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egyk¨orb˝olkiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v nemmegengedett.
v u
u0 =v0
Biz: Tfh G 2-¨of. Induljunk ki G tetsz. C k¨or´eb˝ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyan cs´ucs, amit eddig nem siker¨ult megkapni, legyen uz egy m´ar fel´ep´ıtett u cs´ucsb´ol egy fel´ep´ıtetlen z-be vezet˝o G-beli ´el. MivelG-nek u nem elv´ag´o pontja, ez´ertG−u-
ban vezetz-b˝ol ´ut a m´ar fel´ep´ıtett r´eszbe. v z u
Legyenv az ´ut els˝o m´ar meg´ep¨ult pontja. Ekkor az ´ut zv-r´esze a zu´ellel egyuv-f¨ulk´ent hozz´aadhat´o az eddig fel´ep´ıtett gr´afhoz. Teh´at tetsz. 2-¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egyk¨orb˝olkiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v nemmegengedett.
Biz:
Tfh G 2-¨of. Induljunk ki G tetsz. C k¨or´eb˝ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyan cs´ucs, amit eddig nem siker¨ult megkapni, legyen uz egy m´ar fel´ep´ıtett u cs´ucsb´ol egy fel´ep´ıtetlen z-be vezet˝o G-beli ´el. MivelG-nek u nem elv´ag´o pontja, ez´ertG−u-
ban vezetz-b˝ol ´ut a m´ar fel´ep´ıtett r´eszbe. v z u
Legyenv az ´ut els˝o m´ar meg´ep¨ult pontja. Ekkor az ´ut zv-r´esze a zu´ellel egyuv-f¨ulk´ent hozz´aadhat´o az eddig fel´ep´ıtett gr´afhoz. Teh´at tetsz. 2-¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egyk¨orb˝olkiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v nemmegengedett.
Biz: TfhG-nek van f¨ulfelbont´asa. Mivel a kiindul´asi k¨or gr´af 2-¨of, ´es egyetlen f¨ul hozz´aad´asakor sem keletkezik elv´ag´o pont, ez´ert a fel´ep´ıtettG 2-¨of lesz.
TfhG 2-¨of. Induljunk ki G tetsz. C k¨or´eb˝ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´esG-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyan cs´ucs, amit eddig nem siker¨ult megkapni, legyen uz egy m´ar fel´ep´ıtett u cs´ucsb´ol egy fel´ep´ıtetlen z-be vezet˝o G-beli ´el. MivelG-nek u nem elv´ag´o pontja, ez´ertG−u-
ban vezetz-b˝ol ´ut a m´ar fel´ep´ıtett r´eszbe. v z u
Legyenv az ´ut els˝o m´ar meg´ep¨ult pontja. Ekkor az ´ut zv-r´esze a zu´ellel egyuv-f¨ulk´ent hozz´aadhat´o az eddig fel´ep´ıtett gr´afhoz. Teh´at tetsz. 2-¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egyk¨orb˝olkiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v nemmegengedett.
Biz:
TfhG 2-¨of. Induljunk ki G tetsz. C k¨or´eb˝ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyan cs´ucs, amit eddig nem siker¨ult megkapni, legyen uz egy m´ar fel´ep´ıtett u cs´ucsb´ol egy fel´ep´ıtetlen z-be vezet˝o G-beli ´el. MivelG-neku nem elv´ag´o pontja, ez´ertG−u-
ban vezetz-b˝ol ´ut a m´ar fel´ep´ıtett r´eszbe. v z u
Legyenv az ´ut els˝o m´ar meg´ep¨ult pontja. Ekkor az ´ut zv-r´esze a zu´ellel egyuv-f¨ulk´ent hozz´aadhat´o az eddig fel´ep´ıtett gr´afhoz. Teh´at tetsz. 2-¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egyk¨orb˝olkiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v nemmegengedett.
Biz: TfhG 2-¨of. Induljunk ki G tetsz. C k¨or´eb˝ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyan cs´ucs, amit eddig nem siker¨ult megkapni, legyen uz egy m´ar fel´ep´ıtett u cs´ucsb´ol egy fel´ep´ıtetlen z-be vezet˝o G-beli ´el. MivelG-neku nem elv´ag´o pontja, ez´ertG−u-
ban vezetz-b˝ol ´ut a m´ar fel´ep´ıtett r´eszbe. v z u
Legyenv az ´ut els˝o m´ar meg´ep¨ult pontja. Ekkor az ´ut zv-r´esze a zu´ellel egyuv-f¨ulk´ent hozz´aadhat´o az eddig fel´ep´ıtett gr´afhoz. Teh´at tetsz. 2-¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
2-¨ of gr´ afok f¨ ulfelbont´ asa
T´etel: Tetsz.G gr´af akkor ´es csak akkor 2-¨osszef¨ugg˝o, haG el˝o´all´ıthat´o egyk¨orb˝olkiindulva ´ugy, hogy minden l´ep´esben egy f¨ulet ragasztunk az addig elk´esz¨ult gr´afhoz, azaz egyu ´esv pont k¨oz´e olyan utat vesz¨unk be, amelynek bels˝o cs´ucsai ´ujak. Ittu =v nemmegengedett.
Biz: TfhG 2-¨of. Induljunk ki G tetsz. C k¨or´eb˝ol ´es ´ep´ıts¨uk G-t f¨ulek hozz´av´etel´evel am´ıg tudjuk. Ha ´ıgy minden cs´ucsot siker¨ult megkapni, akkor a hi´anyz´o ´elek f¨ulekk´ent hozz´aadhat´ok, ´es G-t el tudjuk k´esz´ıteni.
Ha van olyan cs´ucs, amit eddig nem siker¨ult megkapni, legyen uz egy m´ar fel´ep´ıtett u cs´ucsb´ol egy fel´ep´ıtetlen z-be vezet˝o G-beli ´el.
MivelG-neku nem elv´ag´o pontja, ez´ertG−u-
ban vezetz-b˝ol ´ut a m´ar fel´ep´ıtett r´eszbe. v z u
Legyenv az ´ut els˝o m´ar meg´ep¨ult pontja. Ekkor az ´ut zv-r´esze a zu´ellel egyuv-f¨ulk´ent hozz´aadhat´o az eddig fel´ep´ıtett gr´afhoz.
Teh´at tetsz. 2-¨of G gr´afnak van f¨ulfelbont´asa.
Er˝ osen ¨ osszef¨ ugg˝ o gr´ afok jellemz´ ese
Robbins t´etele: Tetsz˝oleges G ir´any´ıtatlan gr´af ´eleit pontosan akkor lehet er˝osen ¨osszef¨ugg˝ov´e ir´any´ıtani, ha G 2-´el¨osszef¨ugg˝o.
Biz: TfhG nem 2-´el¨of, azazG az e ´el elhagy´as´at´ol sz´etesik egy K1 ´es egy K2 komponensre. Legyenu ´esv rendre aK1 ill. a K2
egy-egy cs´ucsa. Ha e-t aK1-b˝ol a K2-be ir´any´ıtjuk, akkor nem lesz ir´any´ıtottvu-´ut, haK2-b˝olK1-be, akkor nem lesz ir´any´ıtott uv-´ut. Ez´ert a 2-´el¨osszef¨ugg˝os´eg sz¨uks´eges az e¨of ir´any´ıt´as l´etez´es´ehez. El´egs´egess´eg. HaG 2-´el¨of, akkor vanG-nek f¨ulfelbont´asa az el˝oz˝o t´etel szerint. Ennek seg´ıts´eg´evel ´ugy kaphatjuk meg G e¨of
ir´any´ıt´as´at, hogy minden hozz´aadott f¨ul ´eleit a f¨ul ment´en egy ir´anyba ir´any´ıtjuk. K¨onny˝u l´atni, hogy a fel´ep´ıt´es b´armely k¨oztes
´allapot´aban a kapott gr´af e¨of lesz: ha ugyanisu az ´ujonnan bevett f¨ul,v pedig a kor´abban fel´ep´ıtett gr´af egy-egy cs´ucsa, akkor van a f¨ul bev´etele ut´ani gr´afban ir´any´ıtottuv- ´esvu-´ut is.
Ez´ert a f¨ulek megir´any´ıt´as´aval fel´ep´ıtett gr´af az eredetiG gr´af egy e¨of ir´any´ıt´asa.
Er˝ osen ¨ osszef¨ ugg˝ o gr´ afok jellemz´ ese
Robbins t´etele: Tetsz˝oleges G ir´any´ıtatlan gr´af ´eleit pontosan akkor lehet er˝osen ¨osszef¨ugg˝ov´e ir´any´ıtani, ha G 2-´el¨osszef¨ugg˝o.
Biz: TfhG nem 2-´el¨of, azaz G az e ´el elhagy´as´at´ol sz´etesik egy K1 ´es egy K2 komponensre. Legyenu ´esv rendre aK1 ill. a K2
egy-egy cs´ucsa. Ha e-t aK1-b˝ol a K2-be ir´any´ıtjuk, akkor nem lesz ir´any´ıtottvu-´ut, haK2-b˝olK1-be, akkor nem lesz ir´any´ıtottuv-´ut.
Ez´ert a 2-´el¨osszef¨ugg˝os´eg sz¨uks´eges az e¨of ir´any´ıt´as l´etez´es´ehez.
u v
K1
K2 e
El´egs´egess´eg. HaG 2-´el¨of, akkor vanG-nek f¨ulfelbont´asa az el˝oz˝o t´etel szerint. Ennek seg´ıts´eg´evel ´ugy kaphatjuk meg G e¨of
ir´any´ıt´as´at, hogy minden hozz´aadott f¨ul ´eleit a f¨ul ment´en egy ir´anyba ir´any´ıtjuk. K¨onny˝u l´atni, hogy a fel´ep´ıt´es b´armely k¨oztes
´allapot´aban a kapott gr´af e¨of lesz: ha ugyanisu az ´ujonnan bevett f¨ul,v pedig a kor´abban fel´ep´ıtett gr´af egy-egy cs´ucsa, akkor van a f¨ul bev´etele ut´ani gr´afban ir´any´ıtottuv- ´esvu-´ut is.
Ez´ert a f¨ulek megir´any´ıt´as´aval fel´ep´ıtett gr´af az eredetiG gr´af egy e¨of ir´any´ıt´asa.
Er˝ osen ¨ osszef¨ ugg˝ o gr´ afok jellemz´ ese
Robbins t´etele: Tetsz˝oleges G ir´any´ıtatlan gr´af ´eleit pontosan akkor lehet er˝osen ¨osszef¨ugg˝ov´e ir´any´ıtani, ha G 2-´el¨osszef¨ugg˝o.
Biz: TfhG nem 2-´el¨of, azaz G az e ´el elhagy´as´at´ol sz´etesik egy K1 ´es egy K2 komponensre. Legyenu ´esv rendre aK1 ill. a K2
egy-egy cs´ucsa. Ha e-t aK1-b˝ol a K2-be ir´any´ıtjuk, akkor nem lesz ir´any´ıtottvu-´ut, haK2-b˝olK1-be, akkor nem lesz ir´any´ıtottuv-´ut.
Ez´ert a 2-´el¨osszef¨ugg˝os´eg sz¨uks´eges az e¨of ir´any´ıt´as l´etez´es´ehez.
El´egs´egess´eg. HaG 2-´el¨of, akkor vanG-nek f¨ulfelbont´asa az el˝oz˝o t´etel szerint. Ennek seg´ıts´eg´evel ´ugy kaphatjuk meg G e¨of
ir´any´ıt´as´at, hogy minden hozz´aadott f¨ul ´eleit a f¨ul ment´en egy ir´anyba ir´any´ıtjuk. K¨onny˝u l´atni, hogy a fel´ep´ıt´es b´armely k¨oztes
´allapot´aban a kapott gr´af e¨of lesz: ha ugyanisu az ´ujonnan bevett f¨ul,v pedig a kor´abban fel´ep´ıtett gr´af egy-egy cs´ucsa, akkor van a f¨ul bev´etele ut´ani gr´afban ir´any´ıtottuv- ´esvu-´ut is.
Ez´ert a f¨ulek megir´any´ıt´as´aval fel´ep´ıtett gr´af az eredetiG gr´af egy e¨of ir´any´ıt´asa.
Er˝ osen ¨ osszef¨ ugg˝ o gr´ afok jellemz´ ese
Robbins t´etele: Tetsz˝oleges G ir´any´ıtatlan gr´af ´eleit pontosan akkor lehet er˝osen ¨osszef¨ugg˝ov´e ir´any´ıtani, ha G 2-´el¨osszef¨ugg˝o.
Biz: TfhG nem 2-´el¨of, azaz G az e ´el elhagy´as´at´ol sz´etesik egy K1 ´es egy K2 komponensre. Legyenu ´esv rendre aK1 ill. a K2
egy-egy cs´ucsa. Ha e-t aK1-b˝ol a K2-be ir´any´ıtjuk, akkor nem lesz ir´any´ıtottvu-´ut, haK2-b˝olK1-be, akkor nem lesz ir´any´ıtottuv-´ut.
Ez´ert a 2-´el¨osszef¨ugg˝os´eg sz¨uks´eges az e¨of ir´any´ıt´as l´etez´es´ehez.
El´egs´egess´eg. HaG 2-´el¨of, akkor vanG-nek f¨ulfelbont´asa az el˝oz˝o t´etel szerint. Ennek seg´ıts´eg´evel ´ugy kaphatjuk meg G e¨of
ir´any´ıt´as´at, hogy minden hozz´aadott f¨ul ´eleit a f¨ul ment´en egy ir´anyba ir´any´ıtjuk. K¨onny˝u l´atni, hogy a fel´ep´ıt´es b´armely k¨oztes
´allapot´aban a kapott gr´af e¨of lesz: ha ugyanisu az ´ujonnan bevett f¨ul,v pedig a kor´abban fel´ep´ıtett gr´af egy-egy cs´ucsa, akkor van a f¨ul bev´etele ut´ani gr´afban ir´any´ıtottuv- ´esvu-´ut is.
Ez´ert a f¨ulek megir´any´ıt´as´aval fel´ep´ıtett gr´af az eredetiG gr´af egy e¨of ir´any´ıt´asa.
