Készítette: Köllő János Szakmai felelős: Köllő János

MUNKAGAZDASÁGTAN

MUNKAGAZDASÁGTAN

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi Intézet,

és a Balassi Kiadó közreműködésével.

MUNKAGAZDASÁGTAN

Készítette: Köllő János Szakmai felelős: Köllő János

2011. január

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

MUNKAGAZDASÁGTAN

9. hét

Munkakereslet – Kiegészítések

Köllő János

• Két tényező: tőke és munka

• Több tényező

1. Függelék: Munkakereslet rövid távon

2. Függelék: Skálahatás homogén termelési függvény esetén

A keresleti összefüggések

pontosabban

• A prezentáció P. Cahuc –A. Zylberberg

„Labor Economics” (MIT Press 2004) haladó tankönyvének 171–193. oldalát követi

• Csak homogén termelési függvényekkel

foglalkozunk, az általános esetre vonatkozó eredményeket bizonyítás nélkül közöljük

• Csak a kéttényezős esetet vizsgáljuk részletesen*

* Az egytényezős esetről lásd az 1. Függeléket ! A többtényezős esetről röviden esik szó

Két tényező:

munka és tőke

Segédeszközök: termelési függvény

Kéttényezős, fokú homogén, azaz:

A skálahozadék csökkenő, ha <1. Konstans, ha =1.

Növekvő, ha >1.

Mindkét argumentumában csökkenő hozadékú, azaz:

F

>0, F

>0, F

<0, F

<0

) , ( ,

0 )

, ( )

,

( K L F K L K L

F

Segédeszközök: költségfüggvény

A termelés minimális költsége adott Y kibocsátás mellett K

r L w

A minimálköltséget w, r és Y függvényében leíró összefüggés a költségfüggvény:

) , , ( w r Y C

C

a) A tényezőárakban növekvő, elsőfokú homogén b) Konkáv: C_ww<0, C_rr<0

c) Kielégíti a Shepard-lemmát: az optimális tényezőkeresleteket a költségfüggvény megfelelő árak szerinti parciális deriváltjai

adják:

) , , ( )

, ,

( w r Y és K C w r Y

C

L

Segédeszközök: piaci erő

A tökéletes verseny szélső eset. A piaci erőt az izoelasztikusnak

feltételezett inverz termékkeresleti függvényből (P = P(Y)) származtatott alábbi rugalmasság méri:

Y Y P

Y

p P

Y ( )

) (

Tökéletes verseny esetén a vállalat árelfogadó

Ha a verseny nem tökéletes, a vállalat árbefolyásoló

p 0

Y

p 0

Y

* P’(Y) és ennél fogva a rugalmasság természetesen nempozitív

Definiáljuk a piaci erőt mérő alábbi mutatót!

1 1

1

p Y

Tökéletes verseny esetén a vállalatnak nincs piaci ereje Ha a verseny nem tökéletes, a vállalat árbefolyásoló

1 1

Segédeszközök: profitfüggvény

Amikor a tényezőárak változnak, a vállalat optimális mérete is változik A profitfüggvény

) , , ( )

( )

, ,

( w r Y P Y Y C w r Y

Az elsőrendű feltétel Y szerinti deriválásból:

s összefüggé fenti

a adódik azonnal

, ga

rugalmassá -

kibocsátás függvény

keresleti inverz

az hogy emlékezve,

és kiemelve t

- P(Y)

0 ) , , ( )

( )

( )

, , (

) P'(Y)Y/P(Y η

Y r w C Y P Y Y P Y

r w

p Y

Y Y

Megjegyzés: az optimumban: ár = határköltség*felár )

1 /(

1 ahol

) , , ( )

(

Y C

w r Y

P

A fenti összefüggéseket és feltevéseket szem előtt tartva az alábbi kérdéseket fogjuk

megvizsgálni

Feltételes keresletváltozások

(Hogyan változik az optimális választás adott kibocsátás mellett, ha változnak a tényezőárak?)

• Feltételes munka- és tőkekereslet

• Kereszthatások Skálahatás

(Hogyan változik az optimális kibocsátás, ha változnak a tényezőárak?)

Feltétel nélküli keresletváltozások

• A helyettesítési és skálahatás együtt

A feltételes (konstans kibocsátás melletti, kompenzált) munkakereslet csökken a bérrel

és nő a tőkehasználati díjjal

0 )

, ,

( _ww

w

C

w Y L

r w C

L

Hasonlóképp, a feltételes tőkekereslet csökken a tőkehasználati díjjal és nő a bérrel

A Shepard-lemmából:

wr 0

r C

L

Mivel a feltételes kereslet csak a relatív tényezőáraktól függ, a tőkehasználati díj emelkedése esetén a munkakereslet nő:

Kereszthatások

Keresztrugalmasság: pozitív, nem szimmetrikus

K w L

r K

w L

r

w

K K

w r

L L

r

Helyettesítési rugalmasság: pozitív*, szimmetrikus*

) 0 / (

) / (

r w

L K L

K r w

* Ezek nem feltétlenül teljesülnek n>2 termelési tényező esetén!

Kereszthatások (folyt.)

A helyettesítési rugalmasság kifejezhető a költségfüggvényből (Uzawa 1962, Cahuc–Zylberberg 2004, 237–238)

r w

wr

C C

C C

r w

L K L

K r w

) / (

) / (

s_K a tőke részaránya az összköltségben (s_K = rK/C = 1–s_L = 1–wL/C)

Ha ez igaz, akkor belátható, hogy

r s s

r w

wr wr

wr K

Y wr Y Y

Y L

r

C C

C C K

L C C K

r C L C r

s

L C r

L r r

L r

L

1

: hogy belátható,

gról rugalmassá tési

hely ettesí a

va felhasznál Ezt

log log

L r

0 0

Ezt felhasználva a helyettesítési rugalmasságról belátható, hogy:

A fentiekből adódnak a kompenzált árhatások közötti alábbi összefüggések*:

0 )

1

( _L

L r L

w s

0 )

1

( _L

L

r s

r  L w  L

* Vegyük észre, hogy a kompenzált sajátbér-rugalmasság csökken a munka részarányával!

Exogén kibocsátásváltozás hatása homogén termelési fv esetén

/ 1 /

1 ( , ) ( ,1)

) 1 , (

) , /

(

w r Y L w r Y és K w r Y K w r Y

L

Ha a termelési függvény homogén, Y növekedése (az árarányok változása nélkül) mindkét tényező keresletét növeli. A termelési függvény -ed fokú homogenitásából és a Shepard-lemmából adódóan ugyanis:

Az általános esetben csak annyi biztos, hogy valamelyik termelési tényező kereslete nő

Feltétel nélküli kereslet

Amikor a tényezőárak változnak, a vállalat optimális kibocsátása (Y^*) is változik A feladat

) , , ( max )

,

(w r w r Y

Y

Hogyan változik Y^*, C és ezeken keresztül L^*, ha változik a bér?

) , , ( )]

, , ( )

1 )(

( [ ) ,

( C w r Y

w Y Y

r w C Y

P r

w _Y^p _{Y w}

w

Ha a választás optimális, a zárójelben lévő kifejezés nulla (v.ö. Profitfüggvény). Másfelől, a Shepard-lemma értelmében

C_w(w,r,Y^*) = L*. Így jutunk az alábbi összefüggésekhez (Hotelling-lemma):

K r

w és

L r

w _r

w( , ) ( , )

A feltétel nélküli keresletek (is) csökkennek a sajátárakkal*:

0

0 _rr

ww r

és K w

L

* A költségfüggvény konkavitásából adódóan a profitfüggvény konvex, a második deriváltak pozitívak

Feltétel nélküli kereslet

– A bérváltozás hatásának komponensei

A bérváltozás teljes, közvetlen és közvetett hatása:

w C Y

w C L

wY ww

Szorozzuk ezt végig w/L^*–gal, a második tagot pedig Y^*/Y^*-gal !

Y w wY

ww L

w wY

ww

L

C C Y

L w Y

Y w C Y

L C w

L w L

w w L

Mi ez? Az első tag nem más, mint a feltételes keresletrugalmasság Y = Y* kibocsátás mellett.

L w

ww

w w

L L w

L L

C w L

w

/ /

Feltétel nélküli kereslet

– A bérváltozás hatásának komponensei (folyt.)

A bérváltozás teljes, közvetlen és közvetett hatása:

w C Y

w C L

wY ww

Szorozzuk ezt végig w/L^*–gal, a második tagot pedig Y^*/Y^*-gal !

Y w wY

ww L

w wY

ww

L

C C Y

L w Y

Y w C Y

L C w

L w L

w w L

Mi ez? A második tag első szorzótényezője nem más, mint a munkakereslet Y = Y^* pontban vett kibocsátásrugalmassága, a tényezőárakat adottnak véve:

L Y wY

Y Y

L L Y

L L

Y L

C Y

/ /

A bérváltozás teljes, közvetlen és közvetett hatása:

w C Y

w C L

wY ww

Szorozzuk ezt végig w/L^*–gal, a második tagot pedig Y^*/Y^*-gal !

Y w wY

ww L

w wY

ww

L

C C Y

L w Y

Y w C Y

L C w

L w L

w w L

Az előzőekből adódóan tehát:

Feltétel nélküli kereslet

– A bérváltozás hatásának komponensei (folyt.)

A bérváltozás hatása tehát

A skálahatás negativitása homogén függvény esetén könnyen belátható: lásd két diával hátrébb!

Az általános esetben (sokkal nehezebben) belátható, hogy a jobb oldalon szereplő szorzat két tényezőjének előjele eltérő.

(Cahuc–Zylberberg 184. és 5. lábjegyzet)

Sajátbér-rugalmasság

Kompenzált helyettesítési

rugalmasság (–)

Skálahatás (–)

A tőke árváltozásának hatása

Az előzőhöz hasonló lépések után:

Keresztár- rugalmasság

(?)

Kompenzált helyettesítési rugalmasság

(+)

Skálahatás (–)

A sajátbér-rugalmasság homogén termelési függvény esetén

Levezetését lásd: 2. Függelék

θ Y d

L Y d

θ )

(w,r, L

(w,r,Y) L

Y r w L Y

r w

L 1

ln ln ln

1 1 ln

ln )

1 , , ( )

, ,

( ¹

) 1

(

: sítésekkel Behelyette

. :

lemma -

Shepard .

/

. ) / (

hogy Láttuk,

L L

r r

w L

r w L

r r

w wr wr

L r

s K

C és L C

C L w s

C L C C rC

C C és C

L C r r

L L

(a) r

(b) (c)

0 )

1

( _L

L

w s

1 _w^Y s

(a)

(b)

(c)

Ezekben a formulákban könnyen észrevehető, hogy*:

a) A munka kereslete csökken a bérrel b) A helyettesítési és a skálahatás additív

c) A kereslet rugalmasabb, ha a munka és a tőke „könnyen helyettesíthető”

( nagy)

d) Minél nagyobb a piaci erő, annál gyengébb a skálahatás. Tökéleteshez közeli verseny ( ) esetén erős skálahatás, rugalmas kereslet

e) A munkakereslet annál rugalmasabb, minél nagyobb a munka részaránya az összköltségben, feltéve hogy < /( - ). Hogy érvényes-e HM-4, azt a tőke-munka helyettesíthetőség és a termékpiaci keresletrugalmasság viszonya dönti el.

* „The formulas in large measure confirm the laws of demand put forward by Marshall (1920) and Hicks (1932)” (C–Z 186).

L L

w L

L L

w (1 s ) s _avagy avagy s

Több tényező

A probléma:

Y X

X F f

k X

w ^{i n}

n

i

i X

X ⁿ

) ,...,

( .

.

min ¹

... 1

1

Az elsőrendű feltétel lényegében azonos a kéttényezős esetben megismerttel:

n j

w i w X

X F

X X

és F Y

X X

F

j i n

j

n n i

,..., 1 ) ,

,..., (

) ,...,

) ( ,...,

( 1

1 1

A költségfüggvény elsőfokú homogén w-ben. 1/ fokú homogén

Y-ban, ha F(.) fokú homogén. Konkáv. Kielégíti a Shepard-lemmát:

) , ,...,

(

) , ,..., (

1 1

Y w w

C X

Y w w

C

n i

i

n

Az egyes tényezők kereslete csökken az adott tényező árával n

i w C

Y X w w

C

X _ii

i i n

i

i ( ¹,..., , ) 0 1,...,

De: az egyes tényezők konstans output melletti kereslete nem feltétlenül nő, ha valamely más tényező ára emelkedik. Ha j drágul és a foglalkoztatása csökken, valamely más tényező foglalkoztatásának nőnie kell, de egy-egy konkrét i j esetében a változás irányát (a technológia ismerete nélkül) nem tudjuk előre jelezni

n j

i w C

X w

X

i ij j j

i

,..., 1 ,

j 0

i

w

X  i és j ár-helyettesítők (p-subsitutes, Hicks–Allen substitutes)

j 0

i

w

X  i és j ár-kiegészítők (p-complements, Hicks–Allen complements)

Kereszthatások

Keresztrugalmasság. Bizonytalan előjelű, nem szimmetrikus

j i i

j i ij

j i

j j i i

j C

X w X

w w X

Direkt helyettesítési rugalmasság. A kéttényezős helyettesítési rugalmasság mintájára:

) /

(

) / ( ) / (

) /

(

j i

i j i

j

j i

i

j X X

w w

w w

X d X

Nehezen értelmezhető: ha j drágul, az helyettesítések sorozatát indítja el, és ezek hatására is változik i kereslete. Ezért helyette: Allen-féle parciális helyettesítési rugalmasság, ami a korábbiakhoz hasonlóan levezethető a költségfüggvényből is:

j i

j i

j j

i ij j

j i j i

j s

C C

C C X

w C

Továbbra is igaz:

j i

j i

j

s

De – szemben a kéttényezős esettel – itt előjele bizonytalan.

A tőke, az anyag, a föld árának változásai eltérő módon

befolyásolhatják a különböző munkafajták keresletét rögzített

output mellett is. A képzetlen munka és a tőke például jellemzően helyettesítő viszonyban állnak, míg a képzett munka és a tőke számos kutatás szerint kiegészítők („tudás-tőke

komplementaritás”)

Továbbra is igaz :

A kompenzálatlan helyettesítési rugalmasság előjele (továbbra is) empirikus kérdés:

Homogén termelési függvény és nem tökéletes piac esetén a kéttényezőshöz hasonló kalkulus szerint:

j i s_j ⁱ_j

i

j ,

A különböző munkafajtákat érő árhatások eltérhetnek. Ha a zárójeles kifejezés pozitív, j árának emelkedése növeli i

keresletét. Ha negatív, mindkét munkafajta kereslete csökken.

n j

Y

i

i i Y i

j i

j

, 1 ,...,

1. Függelék

Munkakereslet rövid távon

Kereslet rövid távon

Az egyetlen termelési tényező a munka. A termelési függvény:

Y=F(L), Y^’>0, Y’’<0

A vállalatnak lehet piaci ereje, a tökéletes verseny szélső eset. A piaci erőt az izoelasztikusnak feltételezett inverz termékkeresleti függvényből (P=P(Y)) származtatott alábbi rugalmasság méri:

Y Y P

Y

p P

Y ( )

) (

* P’(Y) és ennél fogva a rugalmasság természetesen negatív

Tökéletes verseny esetén a vállalat árelfogadó

Ha a verseny nem tökéletes, a vállalat árbefolyásoló

p 0

Y

p 0

Y

A profit:

wL L

F L F P wL Y

Y P

L) ( ) ( ) ( ) (

Az elsőrendű feltétel L szerinti deriválásból (szorzatfüggvény+belső függvény!):

0 )

( )

( ) ( )

(L F L P Y P Y Y w

P(Y)-t kiemelve, és kihasználva, hogy az inverz keresleti függvényből: ^{Y YP}

Y P

Y P

) (

) (

0 )

1 )(

( ) ( )

(L F L P Y _Y^P w

Az optimumkritérium tehát:

Tökéletes verseny esetén a határtermelékenység egyenlő a reálbérrel.

Ármeghatározó vállalat(ok) esetén az optimális határtermék adott piaci bér mellett magasabb, az optimális foglalkoztatás alacsonyabb.

1 1

ahol 1 )

( p

P Y

L w

F ahol

A költségfüggvény:

) ( )

(Y wL wF ¹ Y C

A határköltség*:

) ( / )

(Y w F L

C

* Az F^-1(L) inverz függvény deriváltja 1/F’(L)

Emlékezve arra, hogy F’(L) = w/P, azaz P = w/F’(L), adódik:

) ) (

( C Y

L F P w

A termékár tiszta verseny ( = 1) esetén egyenlő a határköltséggel. Az árbefolyásoló vállalat ezt egy felárral (markup) fejeli meg. A termékár tehát magasabb, a kibocsátás és a foglalkoztatás alacsonyabb, mint a versengő vállalatnál.

Árak

Az optimumkritérium a következő volt:

Alakítsuk át ezt az alábbi formába, figyelembe véve, hogy L függ a bértől, és vizsgáljuk meg, hogyan változik az optimális létszám, ha nő w!

P L w

F ( )

0 }

) ( {

)

(w P F L w w

L F

w szerinti deriválás (szorzatfüggvény + belső függvény!) és átrendezés után:

2

0

F P P

w F L

(+)(–) (+)(–)

A munkakereslet a munkaköltség csökkenő függvénye. Mértékének meghatározásában a technológia (F), a termékkereslet rugalmassága (P’) és a piaci erő ( ) egyaránt

szerepet játszik

A munkaköltség hatása a munkakeresletre

2. Függelék

Skálahatás homogén termelési

függvény esetén

A skálahatás homogén termelési függvény esetén

Bizonyítandó, hogy ha a termelési függvény fokú homogén, akkor igaz:

s CZ21) ^Y_w

(

A levezetés a Cahuc-Zylberberg (CZ) könyv 185-186. oldalán található, azonban a (21) egyenlet feletti, számozatlan képlet – közbenső lépés – hibás. Ezt kijavítva közöljük a bizoyítást.

A kiindulópont a (CZ 15) optimumfeltétel, ami homogén fv. esetén (CZ 15a) formájú:

) , , ( )

( ) 15 (

) , , ( )

( )

15 (

Y r Y w Y C

P a CZ

Y r w C Y

P

CZ _Y

Figyelembe veendők az alábbi összefüggések:

A piaci erő indikátora ( > , v.ö. 814. old, 4. lj.), amit a P=P(Y) inverz keresleti függvényből származtattunk:

(a) 0

) (

) ( 1

1

Y P

Y Y ahol _Y^p P

p Y

Shepard-lemma:

(b) C_w L

A munkaköltség aránya

(c) C s wL

A munkakereslet kibocsátás-rugalmassága

1 log

logY log 1

r,1) (w, L log Y) r, (w, L log )

1 , , ( ) , , ( )

( ¹

Y d

L Y d

r w L Y r w L d

Ezek után lássuk a levezetést! A kiindulópontunk:

P(Y) = vCY(W, R, Y), ahol v = 1/(1 + ) és = Y

Fontos: R független w-től, v független w-től, Y függ w-től!

Bal oldal: P(Y) w szerinti logaritmikus deriváltja:

Jobb oldal:

A többváltozós összetett függvény deriválási szabálya alapján:

(vektoriális szorzat) Azaz:

Azaz:

A fenti egyenletnek kellene a C-Z könyvben a 185. oldalon szerepelnie a 21-es kifejezés felett, de ott hiányzik a zárójeles kifejezés végén szereplő utolsó, “+ 1” tag). Felhasználva az (a), (b) és (c) egyenletekben leírt összefüggéseket, a javított verzióból egyszerűen megkapható a 21-es kifejezés:

C L Y

dw dY C

Y C C

C Y

P Y Y P Y

P Y w

w

Y / 1 1

) 1 (

) ( 1

Szorozzuk meg mindkét oldalt w-vel!

C s wL w

Y dw

dY _P

Y Y w P

Y 1 1

1 1 /

/

Rendezzük át és szorozzuk meg a jobb oldali kifejezés számlálóját és nevezőjét is -val,

P s

Y Y

w ( 1) 1

majd -vel (figyelembe véve a piaci erőre vonatkozó (a) összefüggést) :

Y s

w

