Algoritmuselmélet 12. el ˝oadás

Katona Gyula Y.

Budapesti M ˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz.

I. B. 137/b

kiskat@cs.bme.hu

2002 Április 9.

Turing-gépek

Az algoritmus fogalmának pontosabb meghatározása.

Turing-gépek

Az algoritmus fogalmának pontosabb meghatározása.

Számítógép elméleti, egyszer ˝usített modellje.

Turing-gépek

Az algoritmus fogalmának pontosabb meghatározása.

Számítógép elméleti, egyszer ˝usített modellje.

Alan Turing 1912-1954

Definíció. Többszalagos Turing-gép (TG), k ≥ 1 egész szám

• k db szalag cellákra osztva, cellákba jelek, a szalag egyik (mindkét) irányban végtelen

Turing-gépek

Az algoritmus fogalmának pontosabb meghatározása.

Számítógép elméleti, egyszer ˝usített modellje.

Alan Turing 1912-1954

Definíció. Többszalagos Turing-gép (TG), k ≥ 1 egész szám

• k db szalag cellákra osztva, cellákba jelek, a szalag egyik (mindkét) irányban végtelen

• minden szalaghoz tartozik egy fej, ami jobbra és balra is lépegethet a szalagon cellánként

Turing-gépek

Az algoritmus fogalmának pontosabb meghatározása.

Számítógép elméleti, egyszer ˝usített modellje.

Alan Turing 1912-1954

Definíció. Többszalagos Turing-gép (TG), k ≥ 1 egész szám

• k db szalag cellákra osztva, cellákba jelek, a szalag egyik (mindkét) irányban végtelen

• minden szalaghoz tartozik egy fej, ami jobbra és balra is lépegethet a szalagon cellánként

• véges vezérl ˝o, ennek véges sok állapota van

Turing-gépek

Az algoritmus fogalmának pontosabb meghatározása.

Számítógép elméleti, egyszer ˝usített modellje.

Alan Turing 1912-1954

Definíció. Többszalagos Turing-gép (TG), k ≥ 1 egész szám

• k db szalag cellákra osztva, cellákba jelek, a szalag egyik (mindkét) irányban végtelen

• minden szalaghoz tartozik egy fej, ami jobbra és balra is lépegethet a szalagon cellánként

• véges vezérl ˝o, ennek véges sok állapota van

• Lépés: függ a bels ˝o állapottól és a fej alatti jelekt ˝ol

Turing-gépek

Az algoritmus fogalmának pontosabb meghatározása.

Számítógép elméleti, egyszer ˝usített modellje.

Alan Turing 1912-1954

Definíció. Többszalagos Turing-gép (TG), k ≥ 1 egész szám

• k db szalag cellákra osztva, cellákba jelek, a szalag egyik (mindkét) irányban végtelen

• minden szalaghoz tartozik egy fej, ami jobbra és balra is lépegethet a szalagon cellánként

• véges vezérl ˝o, ennek véges sok állapota van

• Lépés: függ a bels ˝o állapottól és a fej alatti jelekt ˝ol

? a gép megáll

Turing-gépek

Az algoritmus fogalmának pontosabb meghatározása.

Számítógép elméleti, egyszer ˝usített modellje.

Alan Turing 1912-1954

Definíció. Többszalagos Turing-gép (TG), k ≥ 1 egész szám

• k db szalag cellákra osztva, cellákba jelek, a szalag egyik (mindkét) irányban végtelen

• minden szalaghoz tartozik egy fej, ami jobbra és balra is lépegethet a szalagon cellánként

• véges vezérl ˝o, ennek véges sok állapota van

• Lépés: függ a bels ˝o állapottól és a fej alatti jelekt ˝ol

? a gép megáll

? átmegy új állapotba,

Turing-gépek

Az algoritmus fogalmának pontosabb meghatározása.

Számítógép elméleti, egyszer ˝usített modellje.

Alan Turing 1912-1954

Definíció. Többszalagos Turing-gép (TG), k ≥ 1 egész szám

• k db szalag cellákra osztva, cellákba jelek, a szalag egyik (mindkét) irányban végtelen

• minden szalaghoz tartozik egy fej, ami jobbra és balra is lépegethet a szalagon cellánként

• véges vezérl ˝o, ennek véges sok állapota van

• Lépés: függ a bels ˝o állapottól és a fej alatti jelekt ˝ol

? a gép megáll

? átmegy új állapotba, ír valamit minden fej alatti cellába,

Turing-gépek

Az algoritmus fogalmának pontosabb meghatározása.

Számítógép elméleti, egyszer ˝usített modellje.

Alan Turing 1912-1954

Definíció. Többszalagos Turing-gép (TG), k ≥ 1 egész szám

• k db szalag cellákra osztva, cellákba jelek, a szalag egyik (mindkét) irányban végtelen

• minden szalaghoz tartozik egy fej, ami jobbra és balra is lépegethet a szalagon cellánként

• véges vezérl ˝o, ennek véges sok állapota van

• Lépés: függ a bels ˝o állapottól és a fej alatti jelekt ˝ol

? a gép megáll

? átmegy új állapotba, ír valamit minden fej alatti cellába, minden fej lép vagy jobbra, vagy balra egyet vagy helyben marad

Definíció. Egy k-szalagos Turing-gép egy hetessel jellemezhet ˝o:

M = (Q, T , ü, I, q₀, F, δ),

Definíció. Egy k-szalagos Turing-gép egy hetessel jellemezhet ˝o:

M = (Q, T , ü, I, q₀, F, δ), ahol

Q : egy véges halmaz, az M gép bels ˝o állapotainak halmaza.

Definíció. Egy k-szalagos Turing-gép egy hetessel jellemezhet ˝o:

M = (Q, T , ü, I, q₀, F, δ), ahol

Q : egy véges halmaz, az M gép bels ˝o állapotainak halmaza.

T : egy véges halmaz, a szalagjelek halmaza.

Definíció. Egy k-szalagos Turing-gép egy hetessel jellemezhet ˝o:

M = (Q, T , ü, I, q₀, F, δ), ahol

Q : egy véges halmaz, az M gép bels ˝o állapotainak halmaza.

T : egy véges halmaz, a szalagjelek halmaza.

ü : egy kitüntetett szalagjel, az üresjel. A bemenetként felírt jeleken és a gép számítása során kiírt jeleken kívül minden szalagcellában ü van.

Definíció. Egy k-szalagos Turing-gép egy hetessel jellemezhet ˝o:

M = (Q, T , ü, I, q₀, F, δ), ahol

Q : egy véges halmaz, az M gép bels ˝o állapotainak halmaza.

T : egy véges halmaz, a szalagjelek halmaza.

ü : egy kitüntetett szalagjel, az üresjel. A bemenetként felírt jeleken és a gép számítása során kiírt jeleken kívül minden szalagcellában ü van.

I : I ⊆ T \ {ü} az input jelek vagy bemen ˝o jelek halmaza, más szóval az input abc. Az üresjel nem lehet input jel.

Definíció. Egy k-szalagos Turing-gép egy hetessel jellemezhet ˝o:

M = (Q, T , ü, I, q₀, F, δ), ahol

Q : egy véges halmaz, az M gép bels ˝o állapotainak halmaza.

T : egy véges halmaz, a szalagjelek halmaza.

ü : egy kitüntetett szalagjel, az üresjel. A bemenetként felírt jeleken és a gép számítása során kiírt jeleken kívül minden szalagcellában ü van.

I : I ⊆ T \ {ü} az input jelek vagy bemen ˝o jelek halmaza, más szóval az input abc. Az üresjel nem lehet input jel.

q₀ : q₀ ∈ Q a kezd ˝o állapot.

F : F ⊆ Q az elfogadó állapotok halmaza.

F : F ⊆ Q az elfogadó állapotok halmaza.

Elfogadó állapotban áll meg =⇒ IGEN

F : F ⊆ Q az elfogadó állapotok halmaza.

Elfogadó állapotban áll meg =⇒ IGEN

Nem elfogadó állapotban áll meg =⇒ NEM

F : F ⊆ Q az elfogadó állapotok halmaza.

Elfogadó állapotban áll meg =⇒ IGEN

Nem elfogadó állapotban áll meg =⇒ NEM

=⇒ a Q \ F-be tartozó állapotokat elutasító állapotoknak is nevezik.

F : F ⊆ Q az elfogadó állapotok halmaza.

Elfogadó állapotban áll meg =⇒ IGEN

Nem elfogadó állapotban áll meg =⇒ NEM

=⇒ a Q \ F-be tartozó állapotokat elutasító állapotoknak is nevezik.

δ : A δ : Q × T^k −→ Q × (T × {jobb,bal, helyben})^k egy parciálisan értelmezett függvény, a gép átmenetfüggvénye.

F : F ⊆ Q az elfogadó állapotok halmaza.

Elfogadó állapotban áll meg =⇒ IGEN

Nem elfogadó állapotban áll meg =⇒ NEM

=⇒ a Q \ F-be tartozó állapotokat elutasító állapotoknak is nevezik.

δ : A δ : Q × T^k −→ Q × (T × {jobb,bal, helyben})^k egy parciálisan értelmezett függvény, a gép átmenetfüggvénye.

Az átmenetfüggvény tekinthet ˝o a gép programjának.

F : F ⊆ Q az elfogadó állapotok halmaza.

Elfogadó állapotban áll meg =⇒ IGEN

Nem elfogadó állapotban áll meg =⇒ NEM

=⇒ a Q \ F-be tartozó állapotokat elutasító állapotoknak is nevezik.

δ : A δ : Q × T^k −→ Q × (T × {jobb,bal, helyben})^k egy parciálisan értelmezett függvény, a gép átmenetfüggvénye.

Az átmenetfüggvény tekinthet ˝o a gép programjának.

Ha a δ(q; a₁, a₂, . . . , a_k) nincs értelmezve, =⇒ megállás

Példa

1 0

1 0 0 1 0

q0

Példa

1 0

1 0 0 1 0

q0

1 0 0 1 1 0 q0

1

Példa

1 0

1 0 0 1 0

q0

1 0 0 1 1 0 q0

11 1

0 0 1 0 q0

0

Példa

1 0

1 0 0 1 0

q0

1 0 0 1 1 0 q0

11 1

0 0 1 0 q0

0 q0

0 0 1 1 1 0

0 0 0

Példa

1 0

1 0 0 1 0

q0

1 0 0 1 1 0 q0

11 1

0 0 1 0 q0

0 q0

0 0 1 1 1 0

0 0 0

1 1

0 0 1 0 q0

0

Példa

1 0

1 0 0 1 0

q0

1 0 0 1 1 0 q0

11 1

0 0 1 0 q0

0 q0

0 0 1 1 1 0

0 0 0

1 1

0 0 1 0 q0

0

JAVA animáció: Turing gép

Turing-gép m ˝ uködése

• Kezdetben a q₀ állapotban van, az s ∈ I^∗ bemenet az els ˝o szalag elejére van írva, az összes többi mez ˝on ü

Turing-gép m ˝ uködése

• Kezdetben a q₀ állapotban van, az s ∈ I^∗ bemenet az els ˝o szalag elejére van írva, az összes többi mez ˝on ü

• A δ függvénynek megfelel ˝oen lépeget =⇒ új állapot, írás, fej lépése

Turing-gép m ˝ uködése

• Kezdetben a q₀ állapotban van, az s ∈ I^∗ bemenet az els ˝o szalag elejére van írva, az összes többi mez ˝on ü

• A δ függvénynek megfelel ˝oen lépeget =⇒ új állapot, írás, fej lépése

• Ha δ nincs értelmezve, akkor megáll (akár elfogadó állapotban van, akár nem)

Turing-gép m ˝ uködése

• Kezdetben a q₀ állapotban van, az s ∈ I^∗ bemenet az els ˝o szalag elejére van írva, az összes többi mez ˝on ü

• A δ függvénynek megfelel ˝oen lépeget =⇒ új állapot, írás, fej lépése

• Ha δ nincs értelmezve, akkor megáll (akár elfogadó állapotban van, akár nem)

Két felhasználás:

• Függvények kiszámolása

Turing-gép m ˝ uködése

• Kezdetben a q₀ állapotban van, az s ∈ I^∗ bemenet az els ˝o szalag elejére van írva, az összes többi mez ˝on ü

• A δ függvénynek megfelel ˝oen lépeget =⇒ új állapot, írás, fej lépése

• Ha δ nincs értelmezve, akkor megáll (akár elfogadó állapotban van, akár nem)

Két felhasználás:

• Függvények kiszámolása

• Kérdések eldöntése (0 − 1 érték ˝u függvény)

Definíció. Az M Turing-gép által felismert L_M nyelv azokból az s ∈ I^∗ szavakból áll, amelyekkel mint bemenetekkel elindítva az M megáll, mégpedig elfogadó (azaz F-beli) állapotban.

Turing-gép m ˝ uködése

• Kezdetben a q₀ állapotban van, az s ∈ I^∗ bemenet az els ˝o szalag elejére van írva, az összes többi mez ˝on ü

• A δ függvénynek megfelel ˝oen lépeget =⇒ új állapot, írás, fej lépése

• Ha δ nincs értelmezve, akkor megáll (akár elfogadó állapotban van, akár nem)

Két felhasználás:

• Függvények kiszámolása

• Kérdések eldöntése (0 − 1 érték ˝u függvény)

Definíció. Az M Turing-gép által felismert L_M nyelv azokból az s ∈ I^∗ szavakból áll, amelyekkel mint bemenetekkel elindítva az M megáll, mégpedig elfogadó (azaz F-beli) állapotban.

Ha M az L_M nyelvet ismeri fel, akkor a nyelvbe nem tartozó szavakra vagy megáll elutasító állapotban, vagy végtelen ciklusba kerül.

Definíció. Legyen M egy kitüntetett output szalaggal rendelkez ˝o Turing-gép.

Az M által kiszámított f_M : I^∗ → I^∗ parciális függvényt így értelmezzük:

f_M(s) = w, ha M az s ∈ I^∗ inputtal indulva megáll, és megállás után az output szalagon a w ∈ I^∗ szó szerepel az üresjelek óceánja el ˝ott.

Definíció. Legyen M egy kitüntetett output szalaggal rendelkez ˝o Turing-gép.

Az M által kiszámított f_M : I^∗ → I^∗ parciális függvényt így értelmezzük:

f_M(s) = w, ha M az s ∈ I^∗ inputtal indulva megáll, és megállás után az output szalagon a w ∈ I^∗ szó szerepel az üresjelek óceánja el ˝ott.

Az f_M függvény tehát csak azokra az s ∈ I^∗ szavakra értelmezett,

amelyekkel mint bemenetekkel az M gép véges sok lépés megtétele után megáll. Mindegy, hogy a megállás elfogadó vagy elutasító állapotban

történt-e.

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q₁, q₂, q_v}, T = {0, 1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v}. δ(q₀, 1) = (q₁, 1, jobb), δ(q₀, ü) = (q_v, ü, helyben), δ(q₁, 1) = (q₂, 1, jobb), δ(q₂, 1) = (q₀, 1, jobb).

Más párokra δ nincs értelmezve.

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q₁, q₂, q_v}, T = {0, 1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v}. δ(q₀, 1) = (q₁, 1, jobb), δ(q₀, ü) = (q_v, ü, helyben), δ(q₁, 1) = (q₂, 1, jobb), δ(q₂, 1) = (q₀, 1, jobb).

Más párokra δ nincs értelmezve.

Ha 0-t olvas =⇒ elutasít

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q₁, q₂, q_v}, T = {0, 1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v}. δ(q₀, 1) = (q₁, 1, jobb), δ(q₀, ü) = (q_v, ü, helyben), δ(q₁, 1) = (q₂, 1, jobb), δ(q₂, 1) = (q₀, 1, jobb).

Más párokra δ nincs értelmezve.

Ha 0-t olvas =⇒ elutasít

Ha ü üresjelet olvas és nem q₀-ban van =⇒ elutasít

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q₁, q₂, q_v}, T = {0, 1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v}. δ(q₀, 1) = (q₁, 1, jobb), δ(q₀, ü) = (q_v, ü, helyben), δ(q₁, 1) = (q₂, 1, jobb), δ(q₂, 1) = (q₀, 1, jobb).

Más párokra δ nincs értelmezve.

Ha 0-t olvas =⇒ elutasít

Ha ü üresjelet olvas és nem q₀-ban van =⇒ elutasít Ha ü üresjelet olvas és q₀-ban van =⇒ elfogad

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q₁, q₂, q_v}, T = {0, 1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v}. δ(q₀, 1) = (q₁, 1, jobb), δ(q₀, ü) = (q_v, ü, helyben), δ(q₁, 1) = (q₂, 1, jobb), δ(q₂, 1) = (q₀, 1, jobb).

Más párokra δ nincs értelmezve.

Ha 0-t olvas =⇒ elutasít

Ha ü üresjelet olvas és nem q₀-ban van =⇒ elutasít Ha ü üresjelet olvas és q₀-ban van =⇒ elfogad

Ha 1-et olvas és q_i-ben van =⇒ jobbra lép, és átmegy a q_i+1 állapotba;

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q₁, q₂, q_v}, T = {0, 1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v}. δ(q₀, 1) = (q₁, 1, jobb), δ(q₀, ü) = (q_v, ü, helyben), δ(q₁, 1) = (q₂, 1, jobb), δ(q₂, 1) = (q₀, 1, jobb).

Más párokra δ nincs értelmezve.

Ha 0-t olvas =⇒ elutasít

Ha ü üresjelet olvas és nem q₀-ban van =⇒ elutasít Ha ü üresjelet olvas és q₀-ban van =⇒ elfogad

Ha 1-et olvas és q_i-ben van =⇒ jobbra lép, és átmegy a q_i+1 állapotba;

=⇒ M pontosan azokat a szavakat fogadja el, amelyek csupa egyesekb ˝ol állnak, és a hosszuk osztható hárommal.

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q₁, q₂, q_v}, T = {0, 1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v}. δ(q₀, 1) = (q₁, 1, jobb), δ(q₀, ü) = (q_v, ü, helyben), δ(q₁, 1) = (q₂, 1, jobb), δ(q₂, 1) = (q₀, 1, jobb).

Más párokra δ nincs értelmezve.

Ha 0-t olvas =⇒ elutasít

Ha ü üresjelet olvas és nem q₀-ban van =⇒ elutasít Ha ü üresjelet olvas és q₀-ban van =⇒ elfogad

Ha 1-et olvas és q_i-ben van =⇒ jobbra lép, és átmegy a q_i+1 állapotba;

=⇒ M pontosan azokat a szavakat fogadja el, amelyek csupa egyesekb ˝ol állnak, és a hosszuk osztható hárommal.

=⇒ Az M által felismert L_M nyelv tehát

L_M = {1ⁿ : n hárommal osztható természetes szám}.

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q_v}, T = {0,1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v} δ(q₀,0) = (q₀, 0, helyben), δ(q₀, 1) = (q₀, 1, jobb),

δ(q₀, ü) = (q_v, 1, helyben).

Másutt δ nem definiált.

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q_v}, T = {0,1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v} δ(q₀,0) = (q₀, 0, helyben), δ(q₀, 1) = (q₀, 1, jobb),

δ(q₀, ü) = (q_v, 1, helyben).

Másutt δ nem definiált.

Meghatározzuk az L_M0 nyelvet és az f_M0 függvényt is.

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q_v}, T = {0,1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v} δ(q₀,0) = (q₀, 0, helyben), δ(q₀, 1) = (q₀, 1, jobb),

δ(q₀, ü) = (q_v, 1, helyben).

Másutt δ nem definiált.

Meghatározzuk az L_M0 nyelvet és az f_M0 függvényt is.

Az M⁰ a q₀ bels ˝o állapotban maradva lépdel jobbra a szalag mentén, amíg 0 vagy ü jelet nem talál.

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q_v}, T = {0,1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v} δ(q₀,0) = (q₀, 0, helyben), δ(q₀, 1) = (q₀, 1, jobb),

δ(q₀, ü) = (q_v, 1, helyben).

Másutt δ nem definiált.

Meghatározzuk az L_M0 nyelvet és az f_M0 függvényt is.

Az M⁰ a q₀ bels ˝o állapotban maradva lépdel jobbra a szalag mentén, amíg 0 vagy ü jelet nem talál.

0 =⇒ végtelen ciklus

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q_v}, T = {0,1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v} δ(q₀,0) = (q₀, 0, helyben), δ(q₀, 1) = (q₀, 1, jobb),

δ(q₀, ü) = (q_v, 1, helyben).

Másutt δ nem definiált.

Meghatározzuk az L_M0 nyelvet és az f_M0 függvényt is.

Az M⁰ a q₀ bels ˝o állapotban maradva lépdel jobbra a szalag mentén, amíg 0 vagy ü jelet nem talál.

0 =⇒ végtelen ciklus

ü =⇒ még egy 1-est ír az input után, majd elfogad

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q_v}, T = {0,1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v} δ(q₀,0) = (q₀, 0, helyben), δ(q₀, 1) = (q₀, 1, jobb),

δ(q₀, ü) = (q_v, 1, helyben).

Másutt δ nem definiált.

Meghatározzuk az L_M0 nyelvet és az f_M0 függvényt is.

Az M⁰ a q₀ bels ˝o állapotban maradva lépdel jobbra a szalag mentén, amíg 0 vagy ü jelet nem talál.

0 =⇒ végtelen ciklus

ü =⇒ még egy 1-est ír az input után, majd elfogad

=⇒ L_M0 = {1ⁿ;n ≥ 0 egész}

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q_v}, T = {0,1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v} δ(q₀,0) = (q₀, 0, helyben), δ(q₀, 1) = (q₀, 1, jobb),

δ(q₀, ü) = (q_v, 1, helyben).

Másutt δ nem definiált.

Meghatározzuk az L_M0 nyelvet és az f_M0 függvényt is.

Az M⁰ a q₀ bels ˝o állapotban maradva lépdel jobbra a szalag mentén, amíg 0 vagy ü jelet nem talál.

0 =⇒ végtelen ciklus

ü =⇒ még egy 1-est ír az input után, majd elfogad

=⇒ L_M0 = {1ⁿ;n ≥ 0 egész}

=⇒ A gép az 1ⁿ bemeneten az 1ⁿ⁺¹ eredményt adja, vagyis f_M0(1ⁿ) = 1ⁿ⁺¹.

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q_v}, T = {0,1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v} δ(q₀,0) = (q₀, 0, helyben), δ(q₀, 1) = (q₀, 1, jobb),

δ(q₀, ü) = (q_v, 1, helyben).

Másutt δ nem definiált.

Meghatározzuk az L_M0 nyelvet és az f_M0 függvényt is.

Az M⁰ a q₀ bels ˝o állapotban maradva lépdel jobbra a szalag mentén, amíg 0 vagy ü jelet nem talál.

0 =⇒ végtelen ciklus

ü =⇒ még egy 1-est ír az input után, majd elfogad

=⇒ L_M0 = {1ⁿ;n ≥ 0 egész}

=⇒ A gép az 1ⁿ bemeneten az 1ⁿ⁺¹ eredményt adja, vagyis f_M0(1ⁿ) = 1ⁿ⁺¹.

Turing-gép ⇐⇒ igazi számítógép

Példa Turing-gépre

Q = {q₀, q_v}, T = {0,1, ü}, I = {0, 1}, F = {q_v} δ(q₀,0) = (q₀, 0, helyben), δ(q₀, 1) = (q₀, 1, jobb),

δ(q₀, ü) = (q_v, 1, helyben).

Másutt δ nem definiált.

Meghatározzuk az L_M0 nyelvet és az f_M0 függvényt is.

Az M⁰ a q₀ bels ˝o állapotban maradva lépdel jobbra a szalag mentén, amíg 0 vagy ü jelet nem talál.

0 =⇒ végtelen ciklus

ü =⇒ még egy 1-est ír az input után, majd elfogad

=⇒ L_M0 = {1ⁿ;n ≥ 0 egész}

=⇒ A gép az 1ⁿ bemeneten az 1ⁿ⁺¹ eredményt adja, vagyis f_M0(1ⁿ) = 1ⁿ⁺¹.

Turing-gép ⇐⇒ igazi számítógép

Turing-gép többet tud, mint a véges automata.

A kiszámíthatóság alapfogalmai

Algoritmus: ami Turing-géppel kiszámítható

A kiszámíthatóság alapfogalmai

Algoritmus: ami Turing-géppel kiszámítható

Definíció. Az L ⊆ I^∗ nyelvet rekurzíve felsorolhatónak nevezzük, ha van olyan M Turing-gép, melyre L = L_M, azaz a gép által felismert nyelv éppen L.

A kiszámíthatóság alapfogalmai

Algoritmus: ami Turing-géppel kiszámítható

Definíció. Az L ⊆ I^∗ nyelvet rekurzíve felsorolhatónak nevezzük, ha van olyan M Turing-gép, melyre L = L_M, azaz a gép által felismert nyelv éppen L.

Definíció. Az L ⊆ I^∗ nyelv rekurzív, ha van olyan M Turing-gép, melyre L = L_M, és M minden s ∈ I^∗ szóra megáll.

A kiszámíthatóság alapfogalmai

Algoritmus: ami Turing-géppel kiszámítható

Definíció. Az L ⊆ I^∗ nyelvet rekurzíve felsorolhatónak nevezzük, ha van olyan M Turing-gép, melyre L = L_M, azaz a gép által felismert nyelv éppen L.

Definíció. Az L ⊆ I^∗ nyelv rekurzív, ha van olyan M Turing-gép, melyre L = L_M, és M minden s ∈ I^∗ szóra megáll.

RE = {L ⊆ I^∗ : L rekurzíve felsorolható}. R = {L ⊆ I^∗ : L rekurzív}.

A kiszámíthatóság alapfogalmai

Algoritmus: ami Turing-géppel kiszámítható

Definíció. Az L ⊆ I^∗ nyelvet rekurzíve felsorolhatónak nevezzük, ha van olyan M Turing-gép, melyre L = L_M, azaz a gép által felismert nyelv éppen L.

Definíció. Az L ⊆ I^∗ nyelv rekurzív, ha van olyan M Turing-gép, melyre L = L_M, és M minden s ∈ I^∗ szóra megáll.

RE = {L ⊆ I^∗ : L rekurzíve felsorolható}. R = {L ⊆ I^∗ : L rekurzív}.

=⇒ R ⊆ RE

A kiszámíthatóság alapfogalmai

Algoritmus: ami Turing-géppel kiszámítható

Definíció. Az L ⊆ I^∗ nyelvet rekurzíve felsorolhatónak nevezzük, ha van olyan M Turing-gép, melyre L = L_M, azaz a gép által felismert nyelv éppen L.

Definíció. Az L ⊆ I^∗ nyelv rekurzív, ha van olyan M Turing-gép, melyre L = L_M, és M minden s ∈ I^∗ szóra megáll.

RE = {L ⊆ I^∗ : L rekurzíve felsorolható}. R = {L ⊆ I^∗ : L rekurzív}.

=⇒ R ⊆ RE

Definíció. Az f : I^∗ → I^∗ parciális függvény parciálisan rekurzív függvény, ha létezik olyan M Turing-gép, hogy f = f_M. Ha ezen túl még f minden s ∈ I^∗ inputra értelmezve van, akkor f egy rekurzív függvény.

Tétel. Van olyan L⁰ ⊆ I^∗ nyelv, amely nem rekurzíve felsorolható.

Bizonyítás: Egy Turing-gép leírható véges jelsorozattal =⇒ az összes gép számossága megszámlálható =⇒ felsorolható: M₀, M₁, M₂, . . .

Tétel. Van olyan L⁰ ⊆ I^∗ nyelv, amely nem rekurzíve felsorolható.

Bizonyítás: Egy Turing-gép leírható véges jelsorozattal =⇒ az összes gép számossága megszámlálható =⇒ felsorolható: M₀, M₁, M₂, . . .

=⇒ a rekurzíve felsorolható nyelvek is felsorolhatók: L_M0, L_M1, L_M2, . . .

Tétel. Van olyan L⁰ ⊆ I^∗ nyelv, amely nem rekurzíve felsorolható.

Bizonyítás: Egy Turing-gép leírható véges jelsorozattal =⇒ az összes gép számossága megszámlálható =⇒ felsorolható: M₀, M₁, M₂, . . .

=⇒ a rekurzíve felsorolható nyelvek is felsorolhatók: L_M0, L_M1, L_M2, . . .

=⇒ a rekurzíve felsorolható nyelvek halmaza megszámlálható

Tétel. Van olyan L⁰ ⊆ I^∗ nyelv, amely nem rekurzíve felsorolható.

Bizonyítás: Egy Turing-gép leírható véges jelsorozattal =⇒ az összes gép számossága megszámlálható =⇒ felsorolható: M₀, M₁, M₂, . . .

=⇒ a rekurzíve felsorolható nyelvek is felsorolhatók: L_M0, L_M1, L_M2, . . .

=⇒ a rekurzíve felsorolható nyelvek halmaza megszámlálható

Belátjuk, hogy az összes nyelv halmaza nem megszámlálható (egyébként kontinuum).

Tétel. Van olyan L⁰ ⊆ I^∗ nyelv, amely nem rekurzíve felsorolható.

Bizonyítás: Egy Turing-gép leírható véges jelsorozattal =⇒ az összes gép számossága megszámlálható =⇒ felsorolható: M₀, M₁, M₂, . . .

=⇒ a rekurzíve felsorolható nyelvek is felsorolhatók: L_M0, L_M1, L_M2, . . .

=⇒ a rekurzíve felsorolható nyelvek halmaza megszámlálható

Belátjuk, hogy az összes nyelv halmaza nem megszámlálható (egyébként kontinuum).

Az I^∗ elemei, a véges hosszúságú I-beli jelekb ˝ol képzett szavak is megszámlálhatóak =⇒ felsorolhatóak: w₀, w₁, w₂, . . .

Tétel. Van olyan L⁰ ⊆ I^∗ nyelv, amely nem rekurzíve felsorolható.

Bizonyítás: Egy Turing-gép leírható véges jelsorozattal =⇒ az összes gép számossága megszámlálható =⇒ felsorolható: M₀, M₁, M₂, . . .

=⇒ a rekurzíve felsorolható nyelvek is felsorolhatók: L_M0, L_M1, L_M2, . . .

=⇒ a rekurzíve felsorolható nyelvek halmaza megszámlálható

Belátjuk, hogy az összes nyelv halmaza nem megszámlálható (egyébként kontinuum).

Az I^∗ elemei, a véges hosszúságú I-beli jelekb ˝ol képzett szavak is megszámlálhatóak =⇒ felsorolhatóak: w₀, w₁, w₂, . . .

Tegyük fel, hogy az összes nyelvek halmaza megszámlálható, megmutatjuk, hogy van olyan L⁰ ⊆ I^∗ nyelv, amely nem lehet benne az összes nyelvek L_M0, L_M1, L_M2, . . . sorozatában.

Tétel. Van olyan L⁰ ⊆ I^∗ nyelv, amely nem rekurzíve felsorolható.

Bizonyítás: Egy Turing-gép leírható véges jelsorozattal =⇒ az összes gép számossága megszámlálható =⇒ felsorolható: M₀, M₁, M₂, . . .

=⇒ a rekurzíve felsorolható nyelvek is felsorolhatók: L_M0, L_M1, L_M2, . . .

=⇒ a rekurzíve felsorolható nyelvek halmaza megszámlálható

Belátjuk, hogy az összes nyelv halmaza nem megszámlálható (egyébként kontinuum).

Az I^∗ elemei, a véges hosszúságú I-beli jelekb ˝ol képzett szavak is megszámlálhatóak =⇒ felsorolhatóak: w₀, w₁, w₂, . . .

Tegyük fel, hogy az összes nyelvek halmaza megszámlálható, megmutatjuk, hogy van olyan L⁰ ⊆ I^∗ nyelv, amely nem lehet benne az összes nyelvek L_M0, L_M1, L_M2, . . . sorozatában.

Az L⁰ nyelvnek a w_i szó pontosan akkor legyen eleme, ha w_i 6∈ L_Mi, i = 1, 2, . . ..

Tétel. Van olyan L⁰ ⊆ I^∗ nyelv, amely nem rekurzíve felsorolható.

Bizonyítás: Egy Turing-gép leírható véges jelsorozattal =⇒ az összes gép számossága megszámlálható =⇒ felsorolható: M₀, M₁, M₂, . . .

=⇒ a rekurzíve felsorolható nyelvek is felsorolhatók: L_M0, L_M1, L_M2, . . .

=⇒ a rekurzíve felsorolható nyelvek halmaza megszámlálható

Belátjuk, hogy az összes nyelv halmaza nem megszámlálható (egyébként kontinuum).

Az I^∗ elemei, a véges hosszúságú I-beli jelekb ˝ol képzett szavak is megszámlálhatóak =⇒ felsorolhatóak: w₀, w₁, w₂, . . .

Tegyük fel, hogy az összes nyelvek halmaza megszámlálható, megmutatjuk, hogy van olyan L⁰ ⊆ I^∗ nyelv, amely nem lehet benne az összes nyelvek L_M0, L_M1, L_M2, . . . sorozatában.

Az L⁰ nyelvnek a w_i szó pontosan akkor legyen eleme, ha w_i 6∈ L_Mi, i = 1, 2, . . ..

L⁰ 6= L_Mi, hiszen a w_i 6∈ L⁰ és w_i ∈ L_Mi

√

Cantor-féle átlós módszer

w₀ w₁ . . . w_i w_i+1 . . . L_M0 nem nem . . . nem nem . . . L_M1 igen nem . . . nem nem . . .

...

L_Mi nem igen . . . igen nem . . . L_Mi+1 igen nem . . . nem nem . . .

...

L⁰ igen igen . . . nem igen . . .

w₀ w₁ . . . w_i w_i+1 . . . L_M0 nem nem . . . nem nem . . . L_M1 igen nem . . . nem nem . . .

...

L_Mi nem igen . . . igen nem . . . L_Mi+1 igen nem . . . nem nem . . .

...

L⁰ igen igen . . . nem igen . . .

Tétel. Létezik olyan f : I^∗ → I^∗ parciális függvény, amely nem parciálisan rekurzív.

Church–Turing-tézis

A rekurzív nyelveket és a rekurzív függvényeket fogjuk algoritmussal kezelhet ˝o nyelveknek és függvényeknek tekinteni.

Church–Turing-tézis

A rekurzív nyelveket és a rekurzív függvényeket fogjuk algoritmussal kezelhet ˝o nyelveknek és függvényeknek tekinteni.

Church–Turing-tézis: Ami algoritmussal – azaz véges eljárással –

kiszámítható (eldönthet ˝o), az Turing értelmében kiszámítható (eldönthet ˝o).

Nevezetesen:

• Egy f : I^∗ → I^∗ parciális függvény kiszámítható ⇔ f parciálisan rekurzív.

Church–Turing-tézis

A rekurzív nyelveket és a rekurzív függvényeket fogjuk algoritmussal kezelhet ˝o nyelveknek és függvényeknek tekinteni.

Church–Turing-tézis: Ami algoritmussal – azaz véges eljárással –

kiszámítható (eldönthet ˝o), az Turing értelmében kiszámítható (eldönthet ˝o).

Nevezetesen:

• Egy f : I^∗ → I^∗ parciális függvény kiszámítható ⇔ f parciálisan rekurzív.

• Egy f : I^∗ → I^∗ (teljes) függvény kiszámítható ⇔ f rekurzív.

Church–Turing-tézis

A rekurzív nyelveket és a rekurzív függvényeket fogjuk algoritmussal kezelhet ˝o nyelveknek és függvényeknek tekinteni.

Church–Turing-tézis: Ami algoritmussal – azaz véges eljárással –

kiszámítható (eldönthet ˝o), az Turing értelmében kiszámítható (eldönthet ˝o).

Nevezetesen:

• Egy f : I^∗ → I^∗ parciális függvény kiszámítható ⇔ f parciálisan rekurzív.

• Egy f : I^∗ → I^∗ (teljes) függvény kiszámítható ⇔ f rekurzív.

• Egy L ⊆ I^∗ nyelvre a nyelvbe tartozás problémája algoritmussal eldönthet ˝o ⇔ L rekurzív.

Id ˝ o- és tárigény

Az M Turing-gép számolási ideje az s inputon a megállásáig végrehajtott lépések száma

Id ˝ o- és tárigény

Az M Turing-gép számolási ideje az s inputon a megállásáig végrehajtott lépések száma tárigénye pedig a felhasznált (olvasott) szalagcellák száma.

Id ˝ o- és tárigény

Az M Turing-gép számolási ideje az s inputon a megállásáig végrehajtott lépések száma tárigénye pedig a felhasznált (olvasott) szalagcellák száma.

A tárigénybe nem feltétlenül számítjuk bele az inputot és outputot.

Id ˝ o- és tárigény

Az M Turing-gép számolási ideje az s inputon a megállásáig végrehajtott lépések száma tárigénye pedig a felhasznált (olvasott) szalagcellák száma.

A tárigénybe nem feltétlenül számítjuk bele az inputot és outputot.

Definíció. Jelölje T_M(n) az M gép maximális számolási idejét az n jelb ˝ol álló bemeneteken. Az n hosszú szavakon a maximális tárigényt S_M(n)-nel jelöljük.

Id ˝ o- és tárigény

Az M Turing-gép számolási ideje az s inputon a megállásáig végrehajtott lépések száma tárigénye pedig a felhasznált (olvasott) szalagcellák száma.

A tárigénybe nem feltétlenül számítjuk bele az inputot és outputot.

Definíció. Jelölje T_M(n) az M gép maximális számolási idejét az n jelb ˝ol álló bemeneteken. Az n hosszú szavakon a maximális tárigényt S_M(n)-nel jelöljük.

Ha van olyan n jelb ˝ol álló s ∈ I^∗ szó, amellyel elindítva M nem áll meg véges sok lépés után =⇒ T_M(n) = ∞

Id ˝ o- és tárigény

Az M Turing-gép számolási ideje az s inputon a megállásáig végrehajtott lépések száma tárigénye pedig a felhasznált (olvasott) szalagcellák száma.

A tárigénybe nem feltétlenül számítjuk bele az inputot és outputot.

Definíció. Jelölje T_M(n) az M gép maximális számolási idejét az n jelb ˝ol álló bemeneteken. Az n hosszú szavakon a maximális tárigényt S_M(n)-nel jelöljük.

Ha van olyan n jelb ˝ol álló s ∈ I^∗ szó, amellyel elindítva M nem áll meg véges sok lépés után =⇒ T_M(n) = ∞

Pl. a hárommal oszthatóságot vizsgáló M TG-re: T_M(n) = n + 1, S_M(n) = n + 1, ha beleszámítjuk az inputot, S_M(n) = 0, ha nem.

Id ˝ o- és tárigény

Az M Turing-gép számolási ideje az s inputon a megállásáig végrehajtott lépések száma tárigénye pedig a felhasznált (olvasott) szalagcellák száma.

A tárigénybe nem feltétlenül számítjuk bele az inputot és outputot.

Definíció. Jelölje T_M(n) az M gép maximális számolási idejét az n jelb ˝ol álló bemeneteken. Az n hosszú szavakon a maximális tárigényt S_M(n)-nel jelöljük.

Ha van olyan n jelb ˝ol álló s ∈ I^∗ szó, amellyel elindítva M nem áll meg véges sok lépés után =⇒ T_M(n) = ∞

Pl. a hárommal oszthatóságot vizsgáló M TG-re: T_M(n) = n + 1, S_M(n) = n + 1, ha beleszámítjuk az inputot, S_M(n) = 0, ha nem.

Ha M és N két Turing-gép, melyekre T_M(n) < T_N(n) teljesül minden elég nagy n-re, akkor az M algoritmust gyorsabbnak mondhatjuk az N

algoritmusnál.

Id ˝ o- és tárigény

Az M Turing-gép számolási ideje az s inputon a megállásáig végrehajtott lépések száma tárigénye pedig a felhasznált (olvasott) szalagcellák száma.

A tárigénybe nem feltétlenül számítjuk bele az inputot és outputot.

Definíció. Jelölje T_M(n) az M gép maximális számolási idejét az n jelb ˝ol álló bemeneteken. Az n hosszú szavakon a maximális tárigényt S_M(n)-nel jelöljük.

Ha van olyan n jelb ˝ol álló s ∈ I^∗ szó, amellyel elindítva M nem áll meg véges sok lépés után =⇒ T_M(n) = ∞

Pl. a hárommal oszthatóságot vizsgáló M TG-re: T_M(n) = n + 1, S_M(n) = n + 1, ha beleszámítjuk az inputot, S_M(n) = 0, ha nem.

Ha M és N két Turing-gép, melyekre T_M(n) < T_N(n) teljesül minden elég nagy n-re, akkor az M algoritmust gyorsabbnak mondhatjuk az N

algoritmusnál.

Van-e legjobb TG minden L nyelvhez?

Tétel. [gyorsítási tétel] Van olyan L nyelv, amelyre igazak az alábbiak:

1. Az L felismerhet ˝o egy olyan M Turing-géppel, melyre T_M(n) véges minden n-re.

2. Tetsz ˝oleges, az L-et felismer ˝o N Turing-géphez van olyan N⁰ Turing-gép, amelyre L = L_N⁰ szintén teljesül, továbbá T_N⁰(n) = O(log T_N(n)).

k-szalagos TG szimulációja 1-szalagossal

Tétel. Legyen M egy k-szalagos Turing-gép. Van olyan egyszalagos M⁰ Turing-gép, melyre

L_M = L_M0 (vagy f_M = f_M0),

k-szalagos TG szimulációja 1-szalagossal

Tétel. Legyen M egy k-szalagos Turing-gép. Van olyan egyszalagos M⁰ Turing-gép, melyre

L_M = L_M0 (vagy f_M = f_M0), továbbá T_M0(n) ≤ 2T_M² (n),

k-szalagos TG szimulációja 1-szalagossal

Tétel. Legyen M egy k-szalagos Turing-gép. Van olyan egyszalagos M⁰ Turing-gép, melyre

L_M = L_M0 (vagy f_M = f_M0), továbbá T_M0(n) ≤ 2T_M² (n),

S_M0(n) ≤ S_M(n) + n.

k-szalagos TG szimulációja 1-szalagossal

Tétel. Legyen M egy k-szalagos Turing-gép. Van olyan egyszalagos M⁰ Turing-gép, melyre

L_M = L_M0 (vagy f_M = f_M0), továbbá T_M0(n) ≤ 2T_M² (n),

S_M0(n) ≤ S_M(n) + n.

Bizonyítás: M⁰ építésekor az M-hez képest alaposan felfújjuk a szalag abc-t, és megnöveljük a bels ˝o állapotok számát is. Az M⁰ egyetlen szalagján 2k

csík lesz. Egy cellája egy oszlop.

k-szalagos TG szimulációja 1-szalagossal

Tétel. Legyen M egy k-szalagos Turing-gép. Van olyan egyszalagos M⁰ Turing-gép, melyre

L_M = L_M0 (vagy f_M = f_M0), továbbá T_M0(n) ≤ 2T_M² (n),

S_M0(n) ≤ S_M(n) + n.

Bizonyítás: M⁰ építésekor az M-hez képest alaposan felfújjuk a szalag abc-t, és megnöveljük a bels ˝o állapotok számát is. Az M⁰ egyetlen szalagján 2k

csík lesz. Egy cellája egy oszlop.

1. szalag D · · · A · · · B · · ·

1. fej ü · · · x · · · ü · · ·

. . .

k. szalag D · · · D · · · B · · ·

k. fej ü · · · ü · · · x · · ·

k-szalagos TG szimulációja 1-szalagossal

Tétel. Legyen M egy k-szalagos Turing-gép. Van olyan egyszalagos M⁰ Turing-gép, melyre

L_M = L_M0 (vagy f_M = f_M0), továbbá T_M0(n) ≤ 2T_M² (n),

S_M0(n) ≤ S_M(n) + n.

Bizonyítás: M⁰ építésekor az M-hez képest alaposan felfújjuk a szalag abc-t, és megnöveljük a bels ˝o állapotok számát is. Az M⁰ egyetlen szalagján 2k

csík lesz. Egy cellája egy oszlop.

1. szalag D · · · A · · · B · · ·

1. fej ü · · · x · · · ü · · ·

. . .

k. szalag D · · · D · · · B · · ·

k. fej ü · · · ü · · · x · · ·

=⇒ szalagjelek száma: (2t)^k

1. szalag D · · · A · · · B · · ·

1. fej ü · · · x · · · ü · · ·

. . .

k. szalag D · · · D · · · B · · ·

k. fej ü · · · ü · · · x · · ·

M⁰ az M gép egy lépését egy legfeljebb 2T_M(n) lépésb ˝ol álló menetben utánozza.

1. szalag D · · · A · · · B · · ·

1. fej ü · · · x · · · ü · · ·

. . .

k. szalag D · · · D · · · B · · ·

k. fej ü · · · ü · · · x · · ·

M⁰ az M gép egy lépését egy legfeljebb 2T_M(n) lépésb ˝ol álló menetben utánozza.

Jobbra elmegy a legmesszebb lev ˝o x jelig, és közben leolvassa az x-ek felett található eredeti szalagjeleket. Ezeket a bels ˝o állapotaiban tárolja.

1. szalag D · · · A · · · B · · ·

1. fej ü · · · x · · · ü · · ·

. . .

k. szalag D · · · D · · · B · · ·

k. fej ü · · · ü · · · x · · ·

M⁰ az M gép egy lépését egy legfeljebb 2T_M(n) lépésb ˝ol álló menetben utánozza.

Jobbra elmegy a legmesszebb lev ˝o x jelig, és közben leolvassa az x-ek felett található eredeti szalagjeleket. Ezeket a bels ˝o állapotaiban tárolja.

Közben egy hellyel jobbra mozdítja az x-eket, kivéve az utolsó oszlopban lev ˝o(ke)t.

1. szalag D · · · A · · · B · · ·

1. fej ü · · · x · · · ü · · ·

. . .

k. szalag D · · · D · · · B · · ·

k. fej ü · · · ü · · · x · · ·

M⁰ az M gép egy lépését egy legfeljebb 2T_M(n) lépésb ˝ol álló menetben utánozza.

Jobbra elmegy a legmesszebb lev ˝o x jelig, és közben leolvassa az x-ek felett található eredeti szalagjeleket. Ezeket a bels ˝o állapotaiban tárolja.

Közben egy hellyel jobbra mozdítja az x-eket, kivéve az utolsó oszlopban lev ˝o(ke)t.

Most a gép ismeri M állapotát és a fejei alatti jeleket, így meghatározhatja a M következ ˝o állapotát és a kiírandó jeleket.

1. szalag D · · · A · · · B · · ·

1. fej ü · · · x · · · ü · · ·

. . .

k. szalag D · · · D · · · B · · ·

k. fej ü · · · ü · · · x · · ·

M⁰ az M gép egy lépését egy legfeljebb 2T_M(n) lépésb ˝ol álló menetben utánozza.

Jobbra elmegy a legmesszebb lev ˝o x jelig, és közben leolvassa az x-ek felett található eredeti szalagjeleket. Ezeket a bels ˝o állapotaiban tárolja.

Közben egy hellyel jobbra mozdítja az x-eket, kivéve az utolsó oszlopban lev ˝o(ke)t.

Most a gép ismeri M állapotát és a fejei alatti jeleket, így meghatározhatja a M következ ˝o állapotát és a kiírandó jeleket.

M⁰ visszamegy a szalag elejére, közben kiírja az M fejeinek régi helyére a k darab jelet, amiket M írt volna,

1. szalag D · · · A · · · B · · ·

1. fej ü · · · x · · · ü · · ·

. . .

k. szalag D · · · D · · · B · · ·

k. fej ü · · · ü · · · x · · ·

M⁰ az M gép egy lépését egy legfeljebb 2T_M(n) lépésb ˝ol álló menetben utánozza.

Jobbra elmegy a legmesszebb lev ˝o x jelig, és közben leolvassa az x-ek felett található eredeti szalagjeleket. Ezeket a bels ˝o állapotaiban tárolja.

Közben egy hellyel jobbra mozdítja az x-eket, kivéve az utolsó oszlopban lev ˝o(ke)t.

Most a gép ismeri M állapotát és a fejei alatti jeleket, így meghatározhatja a M következ ˝o állapotát és a kiírandó jeleket.

M⁰ visszamegy a szalag elejére, közben kiírja az M fejeinek régi helyére a k darab jelet, amiket M írt volna,

és az M fejmozgásainak megfelel ˝oen áthelyezi az x-eket.

Ha n jelb ˝ol álló bemenettel kezdjük a munkát, akkor egy meneteben az M⁰ feje legfeljebb T_M(n) lépést tesz jobbra =⇒ legfeljebb ugyanennyit mehet balra.

Ha n jelb ˝ol álló bemenettel kezdjük a munkát, akkor egy meneteben az M⁰ feje legfeljebb T_M(n) lépést tesz jobbra =⇒ legfeljebb ugyanennyit mehet balra.

Az M⁰ pontosan akkor álljon meg (fogadja el a bemenetet), ha M ezt teszi.

Ha n jelb ˝ol álló bemenettel kezdjük a munkát, akkor egy meneteben az M⁰ feje legfeljebb T_M(n) lépést tesz jobbra =⇒ legfeljebb ugyanennyit mehet balra.

Az M⁰ pontosan akkor álljon meg (fogadja el a bemenetet), ha M ezt teszi.

=⇒ T_M0(n) ≤ 2T_M(n)T_M(n) = 2T_M² (n)

Ha n jelb ˝ol álló bemenettel kezdjük a munkát, akkor egy meneteben az M⁰ feje legfeljebb T_M(n) lépést tesz jobbra =⇒ legfeljebb ugyanennyit mehet balra.

Az M⁰ pontosan akkor álljon meg (fogadja el a bemenetet), ha M ezt teszi.

=⇒ T_M0(n) ≤ 2T_M(n)T_M(n) = 2T_M² (n)

Ha függvényt számítunk, a végén a felesleget letöröljük.

Ha n jelb ˝ol álló bemenettel kezdjük a munkát, akkor egy meneteben az M⁰ feje legfeljebb T_M(n) lépést tesz jobbra =⇒ legfeljebb ugyanennyit mehet balra.

Az M⁰ pontosan akkor álljon meg (fogadja el a bemenetet), ha M ezt teszi.

=⇒ T_M0(n) ≤ 2T_M(n)T_M(n) = 2T_M² (n)

Ha függvényt számítunk, a végén a felesleget letöröljük.

Ha M-nek kitüntetett input szalagja volt, akkor a bemenet hosszát, ami n, nem számítottuk bele S_M(n)-be =⇒ S_M0(n) ≤ S_M(n) + n.

Ha n jelb ˝ol álló bemenettel kezdjük a munkát, akkor egy meneteben az M⁰ feje legfeljebb T_M(n) lépést tesz jobbra =⇒ legfeljebb ugyanennyit mehet balra.

Az M⁰ pontosan akkor álljon meg (fogadja el a bemenetet), ha M ezt teszi.

=⇒ T_M0(n) ≤ 2T_M(n)T_M(n) = 2T_M² (n)

Ha függvényt számítunk, a végén a felesleget letöröljük.

Ha M-nek kitüntetett input szalagja volt, akkor a bemenet hosszát, ami n, nem számítottuk bele S_M(n)-be =⇒ S_M0(n) ≤ S_M(n) + n.

Tétel. Az M k-szalagos Turing-géphez megadható olyan 2-szalagos M⁰ Turing-gép, amely az el ˝obbi értelemben szimulálja M-et,

T_M0(n) ≤ O(T_M(n) log T_M(n)), és S_M0(n) ≤ S_M(n) + n.