Algoritmuselmélet 9. el ˝oadás

(1)

Algoritmuselmélet 9. el ˝ oadás

Katona Gyula Y.

Budapesti M ˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz.

I. B. 137/b

kiskat@cs.bme.hu

2002 Március 18.

(2)

ALGORITMUSELMÉLET 9. EL ˝OADÁS 1

Mélységi feszít ˝ oerd ˝ o

Legyen T a G = (V, E) irányított gráf egy feszít ˝o erdeje. Legyen x ∈ V egy tetsz ˝oleges csúcs, és jelölje T_x a feszít ˝o erd ˝o x-gyöker ˝u részfájának a

csúcshalmazát.

(3)

Mélységi feszít ˝ oerd ˝ o

csúcshalmazát. Legyen

S_x =

y ∈ V

van olyan G-beli x y irányított út, amelyen a csúcsok mélységi száma legalább mszám[x]

.

(4)

Mélységi feszít ˝ oerd ˝ o

csúcshalmazát. Legyen

S_x =

y ∈ V

van olyan G-beli x y irányított út, amelyen a csúcsok mélységi száma legalább mszám[x]

.

Tétel. Tetsz ˝oleges x ∈ V csúcs esetén érvényes a T_x = S_x egyenl ˝oség.

(5)

Bizonyítás: T_x éppen azokból a pontokból áll, amelyek x-b ˝ol faélek mentén elérhet ˝ok. =⇒ faélekre mindig n ˝o a mélységi szám

(6)

Bizonyítás: T_x éppen azokból a pontokból áll, amelyek x-b ˝ol faélek mentén elérhet ˝ok. =⇒ faélekre mindig n ˝o a mélységi szám =⇒ T_x ⊆ S_x

(7)

Fordított irány indirekt:

(8)

tegyük fel indirekt, hogy létezik egy y ∈ S_x \ T_x

(9)

Legyen x y egy az S_x meghatározásában szerepl ˝o irányított út, feltehetjük, hogy az út utolsó el ˝otti v pontja T_x-ben van.

(10)

Az y ∈ S_x feltétel szerint mszám[y] >mszám[x]

(11)

Az y ∈ S_x feltétel szerint mszám[y] >mszám[x] =⇒ y 6∈ T_x miatt azt jelenti, hogy y-t valamikor a T_x pontjai után látogatjuk meg

(12)

Az y ∈ S_x feltétel szerint mszám[y] >mszám[x] =⇒ y 6∈ T_x miatt azt jelenti, hogy y-t valamikor a T_x pontjai után látogatjuk meg =⇒ (v, y) faél vagy el ˝ore él =⇒ y ∈ T_x

(13)

Az y ∈ S_x feltétel szerint mszám[y] >mszám[x] =⇒ y 6∈ T_x miatt azt jelenti, hogy y-t valamikor a T_x pontjai után látogatjuk meg =⇒ (v, y) faél vagy el ˝ore él =⇒ y ∈ T_x =⇒ S_x ⊆ T_x

√

(14)

√

Következmény. Tegyük fel, hogy a G = (V, E) gráf x csúcsából minden

pont elérhet ˝o irányított úton. Tegyük fel továbbá, hogy a G mélységi bejárását x-szel kezdjük. Ekkor a mélységi feszít ˝o erd ˝o egyetlen fából áll.

(15)

√

Bizonyítás: mszám[x] = 1 =⇒ S_x = V

(16)

√

Bizonyítás: mszám[x] = 1 =⇒ S_x = V =⇒ T_x = V

(17)

Irányított körmentes gráfok

Definíció. Egy G irányított gráf DAG, ha nem tartalmaz irányított kört.

(18)

Irányított körmentes gráfok

Directed Acyclic Graph

(19)

Irányított körmentes gráfok

Directed Acyclic Graph Alkalmazásai például:

• Teend ˝ok ütemezése

(20)

Irányított körmentes gráfok

• Teend ˝ok ütemezése =⇒ PERT

(21)

Irányított körmentes gráfok

• Várakozási gráfok

(22)

Irányított körmentes gráfok

• Várakozási gráfok =⇒ adatbázisok

(23)

Irányított körmentes gráfok

• Várakozási gráfok =⇒ adatbázisok

Fontos, hogy egy irányított gráfról el tudjuk dönteni, tartalmaz-e irányított kört.

(24)

DAG

visszaél keresztél faél

el˝oreél

1

2 3

4 5

6

7

8 9

10

Ha a gráf egy mélységi bejárása során találunk visszaélet akkor a gráf nyilván tartalmaz irányított kört, azaz nem DAG.

(25)

DAG

el˝oreél

1

2 3

4 5

6

7

8 9

10

Tétel. Legyen G = (V, E) egy irányított gráf. Ha G egy DAG, akkor egyetlen mélységi bejárása során sincs visszaél. Fordítva: ha G-nek van olyan mélységi bejárása, amelyre nézve nincs visszaél, akkor G egy DAG.

(26)

DAG

el˝oreél

1

2 3

4 5

6

7

8 9

10

Bizonyítás: =⇒

√

(27)

DAG

el˝oreél

1

2 3

4 5

6

7

8 9

10

Bizonyítás: =⇒

√

⇐= tegyük fel, hogy G nem DAG

(28)

DAG

el˝oreél

1

2 3

4 5

6

7

8 9

10

Bizonyítás: =⇒

√

⇐= tegyük fel, hogy G nem DAG =⇒ van benne irányított kör

(29)

DAG

el˝oreél

1

2 3

4 5

6

7

8 9

10

Bizonyítás: =⇒

√

⇐= tegyük fel, hogy G nem DAG =⇒ van benne irányított kör =⇒ vegyük ennek a legkisebb mélységi számú v csúcsát, a kör el ˝oz ˝o pontja legyen u

(30)

DAG

el˝oreél

1

2 3

4 5

6

7

8 9

10

Bizonyítás: =⇒

√

=⇒ mszám[v] < mszám[u] =⇒ vissza- vagy keresztél

(31)

DAG

el˝oreél

1

2 3

4 5

6

7

8 9

10

Bizonyítás: =⇒

√

=⇒ mszám[v] < mszám[u] =⇒ vissza- vagy keresztél de u elérhet ˝o v-b ˝ol irányított úton

(32)

DAG

el˝oreél

1

2 3

4 5

6

7

8 9

10

Bizonyítás: =⇒

√

=⇒ mszám[v] < mszám[u] =⇒ vissza- vagy keresztél

de u elérhet ˝o v-b ˝ol irányított úton ; (részfa lemma) =⇒ u a v leszármazottja

=⇒ visszaél

√

(33)

DAG topologikus rendezése

Definíció. Legyen G = (V, E) (|V | = n) egy irányított gráf. G egy topologikus rendezése a csúcsoknak egy olyan v₁, . . . , v_n sorrendje,

melyben x → y ∈ E esetén x el ˝obb van, mint y (azaz ha x = v_i, y = v_j, akkor i < j).

(34)

DAG topologikus rendezése

Tétel. Egy irányított gráfnak akkor és csak akkor van topologikus rendezése, ha DAG.

(35)

DAG topologikus rendezése

Bizonyítás: ⇒: Ha G nem DAG, akkor nem lehet topologikus rendezése, mert egy irányított kör csúcsainak nyilván nincs megfelel ˝o sorrendje.

(36)

DAG topologikus rendezése

⇐: G-ben van olyan csúcs, amibe nem fut be él (forrás)

(37)

DAG topologikus rendezése

⇐: G-ben van olyan csúcs, amibe nem fut be él (forrás) Indukció pontszámra

(38)

DAG topologikus rendezése

Indukció pontszámra =⇒ hagyjunk el egy forrást, ez legyen az els ˝o pont

(39)

DAG topologikus rendezése

=⇒ a többit az indukció miatt rendezhet ˝o w₁, . . . , w_n₋₁

(40)

DAG topologikus rendezése

=⇒ a többit az indukció miatt rendezhet ˝o w₁, . . . , w_n₋₁

=⇒ x, w₁, . . . , w_n₋₁

√

(41)

Topologikus rendezés mélységi kereséssel

Tétel. Végezzük el a G DAG egy mélységi bejárását és írjuk ki G csúcsait a befejezési számaik szerint növekv ˝o w₁, . . . , w_n sorrendben. A

w_n, w_n₋₁, . . . , w₁ sorrend a G DAG egy topologikus rendezése.

(42)

Topologikus rendezés mélységi kereséssel

Bizonyítás: Azt kell belátnunk, hogy ha w_i → w_j éle G-nek, akkor i > j.

(43)

Topologikus rendezés mélységi kereséssel

Bizonyítás: Azt kell belátnunk, hogy ha w_i → w_j éle G-nek, akkor i > j. Ha volna olyan w_i → w_j, amire j = bszám[wj] > bszám[wi] = i, akkor az csak visszaél lehetne.

(44)

Topologikus rendezés mélységi kereséssel

Bizonyítás: Azt kell belátnunk, hogy ha w_i → w_j éle G-nek, akkor i > j. Ha volna olyan w_i → w_j, amire j = bszám[wj] > bszám[wi] = i, akkor az csak visszaél lehetne.

Lépésszám: O(n + e)

(45)

Legrövidebb utak DAG-ban

Legrövidebb utak egy forrásból:

Bellman-Ford =⇒ O(n³)

(46)

Legrövidebb utak DAG-ban

Bellman-Ford =⇒ O(n³) Ha nincs negatív élsúly:

Dijkstra: =⇒ O(n²)

(47)

Legrövidebb utak DAG-ban

Vegyünk egy topologikus rendezést: x₁, x₂, . . . , x_n

(48)

Legrövidebb utak DAG-ban

Vegyünk egy topologikus rendezést: x₁, x₂, . . . , x_n Feltehetjük, hogy s = x₁

(49)

Legrövidebb utak DAG-ban

Vegyünk egy topologikus rendezést: x₁, x₂, . . . , x_n Feltehetjük, hogy s = x₁ =⇒

d(s, x_i) = min

(x_j,x_i)∈E{d(s, x_j) + c(x_j, x_i)},

(50)

Legrövidebb utak DAG-ban

d(s, x_i) = min

(x_j,x_i)∈E{d(s, x_j) + c(x_j, x_i)},

. . . x_i

s

(51)

Legrövidebb utak DAG-ban

d(s, x_i) = min

(x_j,x_i)∈E{d(s, x_j) + c(x_j, x_i)},

. . . x_i

s

Ezt sorban elvégezzük minden i-re.

(52)

Legrövidebb utak DAG-ban

d(s, x_i) = min

(x_j,x_i)∈E{d(s, x_j) + c(x_j, x_i)},

. . . x_i

s

Ezt sorban elvégezzük minden i-re.

Lépésszám: O(n + e)

(53)

Leghosszabb utak DAG-ban

Leghosszabb út =⇒ egyszer ˝u út

(54)

Leghosszabb utak DAG-ban

Általában nehéz, nem ismert rá gyors algoritmus.

(55)

Leghosszabb utak DAG-ban

DAG-ban van:

Tétel. Ha G egy éllistával adott súlyozott él ˝u DAG, akkor az egy forrásból induló legrövidebb és leghosszabb utak meghatározásának feladatai

O(n + e) lépésben megoldhatók.

(56)

Leghosszabb utak DAG-ban

DAG-ban van:

Bizonyítás: DAG-ban minden út csak el ˝ore megy

(57)

Leghosszabb utak DAG-ban

DAG-ban van:

Bizonyítás: DAG-ban minden út csak el ˝ore megy =⇒

l(s, x_i) = max

(x_j,x_i)∈E{l(s, x_j) + c(x_j, x_i)}.

ahol l(s, x_i) a leghosszabb s x_i út hossza

(58)

Leghosszabb utak DAG-ban

DAG-ban van:

Bizonyítás: DAG-ban minden út csak el ˝ore megy =⇒

l(s, x_i) = max

(x_j,x_i)∈E{l(s, x_j) + c(x_j, x_i)}.

ahol l(s, x_i) a leghosszabb s x_i út hossza Alkalmazás: PERT

(59)

Er ˝ osen összefügg ˝ o (er ˝ os) komponensek

Definíció. Egy G = (V, E) irányított gráf er ˝osen összefügg ˝o, ha bármely u, v ∈ V pontpárra létezik u v irányított út.

(60)

Er ˝ osen összefügg ˝ o (er ˝ os) komponensek

s

(61)

Er ˝ osen összefügg ˝ o (er ˝ os) komponensek

s

Definíció. Legyen G = (V, E) egy irányított gráf. Bevezetünk egy relációt V -n: u, v ∈ V -re legyen u ≈ v, ha G-ben léteznek u v és v u

irányított utak.

(62)

Er ˝ osen összefügg ˝ o (er ˝ os) komponensek

s

Ez ekvivalenciareláció =⇒

(63)

Er ˝ osen összefügg ˝ o (er ˝ os) komponensek

s

Definíció. A ≈ reláció ekvivalenciaosztályait a G er ˝osen összefügg ˝o (er ˝os) komponenseinek nevezzük.

(64)

Er ˝ osen összefügg ˝ o (er ˝ os) komponensek

s

Definíció. A ≈ reláció ekvivalenciaosztályait a G er ˝osen összefügg ˝o (er ˝os) komponenseinek nevezzük.

(65)

Tétel. Egy irányított gráf két er ˝os komponense között az élek csak egy irányba mehetnek.

C₁

C₂

C₃

(66)

Bizonyítás: Ha menne él a C₁ → C₂ és C₂ → C₁-be is, akkor C₁ és C₂ ugyanabban az er ˝os komponensben volna.

C₁

C₂

C₃

(67)

C₁

C₂

C₃

C₂

C₃ C₁

Definíció. Legyen G = (V, E) irányított gráf. G redukált gráfja egy irányított gráf, melynek pontjai a G er ˝os komponensei; a C₁, C₂ komponensek között akkor van C₁ → C₂ él, ha G-ben a C₁ komponens valamely pontjából vezet él a C₂ komponensbe.

(68)

C₁

C₂

C₃

C₂

C₃ C₁

A redukált gráf mindig DAG lesz.

(69)

C₁

C₂

C₃

C₂

C₃ C₁

A redukált gráf mindig DAG lesz. ⇐= C₁ → C₂ → · · · → C_k → C₁

irányított kör a redukált gráfban azt jelentené, hogy C₁ ∪ C₂ ∪ · · · ∪ C_k a G ugyanazon er ˝os komponensében van.

(70)

Er ˝ osen összefügg ˝ o komponensek meghatározása

(1) Mélységi bejárással végigmegyünk G-n, közben minden pontnak sorszámot adunk: a befejezési számát

(71)

Er ˝ osen összefügg ˝ o komponensek meghatározása

(2) Elkészítjük a Gford gráfot, melyet úgy kapunk G-b ˝ol, hogy minden él irányítását megfordítjuk. Pontosabban: Gford := (V, E⁰), ahol

u → v ∈ E⁰ akkor és csak akkor, ha v → u ∈ E.

(72)

Er ˝ osen összefügg ˝ o komponensek meghatározása

(2) Elkészítjük a Gford gráfot, melyet úgy kapunk G-b ˝ol, hogy minden él irányítását megfordítjuk. Pontosabban: Gford := (V, E⁰), ahol

u → v ∈ E⁰ akkor és csak akkor, ha v → u ∈ E.

(3) Bejárjuk a Gford gráfot mélységi bejárással, a legnagyobb sorszámú csúccsal kezdve (az (1)-beli befejezési számozás szerint). Új gyökérpont választásakor mindig a legnagyobb sorszámú csúcsot vesszük a

maradékból.

(73)

Tétel. A (3) pontban kapott fák lesznek G er ˝os komponensei, azaz G-ben x ≈ y pontosan akkor igaz, ha x és y egy fában vannak.

(74)

Bizonyítás: ⇒: Azt kell belátni, hogy egy er ˝os komponens pontjai egy fába kerülnek

(75)

Legyen K egy er ˝os komponens, és legyen x a K legkisebb mélységi számú pontja.

(76)

=⇒ K ⊆ S_x ⇐= részfa-lemma

√

(77)

√

v

x

y Gford

⇐: Tegyük fel, hogy x és y egy fában vannak a (3) pont szerinti mélységi bejárás után. Azt kell belátnunk, hogy ekkor x ≈ y a G gráfban, azaz x és y egymásból irányított úton elérhet ˝ok.

(78)

√

v

x

y Gford

Legyen a v csúcs a gyökere annak a fának, mely x-et és y-t is tartalmazza.

(79)

√

v

x

y Gford

=⇒ Gford gráfban van v x irányított út, =⇒ G gráfban van egy L irányított út x v-be.

(80)

√

v

x

y Gford

Legyen x⁰ az L-nek az a pontja, amelynek az els ˝o bejárás szerinti mélységi száma a legkisebb.

(81)

√

v

x

y Gford

Legyen x⁰ az L-nek az a pontja, amelynek az els ˝o bejárás szerinti mélységi száma a legkisebb.

részfa-lemma =⇒ L-nek az x⁰ v darabjában lev ˝o csúcsok az (1) bejárásnál x⁰ leszármazottjai lesznek.

(82)

Az x⁰ gyöker ˝u részfában x⁰ befejezési száma a legnagyobb =⇒ v nem választhattuk v-t gyökérnek =⇒ x⁰ = v.

(83)

Az L pontjai közül tehát v-t látogattuk meg legel ˝oször, és v-nek a befejezési száma volt a legnagyobb.

(84)

Az L pontjai közül tehát v-t látogattuk meg legel ˝oször, és v-nek a befejezési száma volt a legnagyobb. =⇒ Így G-ben van v x

(85)

=⇒ x ≈ v, hasonlóan y ≈ v =⇒ x ≈ y

√

(86)

=⇒ x ≈ v, hasonlóan y ≈ v =⇒ x ≈ y

√

Lépésszám: O(n + e) + O(e) + O(n + e) = O(n + e)

(87)

Példa

6 1 2

3

4 5