Algoritmuselmélet 15. el ˝oadás

(1)

Katona Gyula Y.

Budapesti M ˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz.

I. B. 137/b

kiskat@cs.bme.hu

2002 Április 23.

(2)

A tanú tétel segítségével könny ˝u belátni, hogy egy nyelv NP-beli.

(3)

Csak azt kell belátni, hogy létezik tanú, megkeresni nem kell tudni.

(4)

A mi szerepünk a bíró szerepe, nem a nyomozóé.

(5)

3 színnel színezhet ˝o gráfok

G → pl. adjacencia mátrix sorai egymásután f ˝uzve

(6)

3 színnel színezhet ˝o gráfok

x ∈ 3-SZÍN =⇒ ha az x szónak megfelel ˝o gráf 3 színnel színezhet ˝o.

(7)

3 színnel színezhet ˝o gráfok

Tétel. 3-SZÍN ∈ NP.

Bizonyítás: Alkalmas tanú G egy jó színezése

(8)

3 színnel színezhet ˝o gráfok

Ez leírható 2n bittel =⇒ (pl.legyen 01=piros, 10=sárga, 11=zöld)

(9)

3 színnel színezhet ˝o gráfok

Ez leírható 2n bittel =⇒ (pl.legyen 01=piros, 10=sárga, 11=zöld) G, színezés → bíró =⇒ jó színezés-e

(10)

3 színnel színezhet ˝o gráfok

Ez polinom id ˝oben megtehet ˝o TG-vel.

(11)

3 színnel színezhet ˝o gráfok

Ez polinom id ˝oben megtehet ˝o TG-vel.

Ha G nem 3-színezhet ˝o, akkor nem lehet tanúja.

(12)

H =⇒ Azon gráfok szavai, amik tartalmaznak Hamilton-kört.

(13)

Tétel. H ∈ NP.

Bizonyítás: A G ∈ H állításnak rövid tanúja egy Hamilton-kör.

(14)

csúcsok sorrendje =⇒ O(n log n) bit

(15)

a bíró ellen ˝orzi, hogy van-e él a következ ˝o csúcsba G-ben.

(16)

a bíró ellen ˝orzi, hogy van-e él a következ ˝o csúcsba G-ben.

Hasonlóan Hamilton-útra, irányított Hamilton-körre, -útra Legyen N H a Hamilton-kört nem tartalmazó gráfok nyelve.

Tétel. NH ∈ coNP.

(17)

Legyen L a síkba rajzolható gráfok nyelve

(18)

Tétel. L ∈ NP

Bizonyítás: G tanúja egy síkbarajzolása.

(19)

Fáry-Wágner =⇒ van olyan is, ami egyenes szakaszokat használ. S ˝ot olyan is van, hogy a koordináták nem túl nagyok.

(20)

=⇒ Tanú a csúcsok koordinátái.

(21)

A bíró ellen ˝orzi, hogy az élek nem metszik egymást.

(22)

Tétel. L ∈ coNP ( =⇒ L ∈ NP ∩ coNP: jól karakterizált) Bizonyítás: Van tanú a G 6∈ L állításra is.

(23)

Vagy nem gráf vagy Kuratowski =⇒ van benne vagy K₅-tel vagy K_3,3-mal topologikusan izomorf részgráf.

(24)

Tanú egy ilyen leírása, ezt a bíró könnyen ellen ˝orizheti.

(25)

Tétel. L ∈ P

(26)

Tétel. L ∈ P

Sejtés: H 6∈ coNP és 3-SZÍN 6∈ coNP

(27)

Jelölje Π a (binárisan ábrázolt) prímszámok nyelvét.

(28)

Tétel. [V. R. Pratt, 1975]

Π ∈ NP ∩ coNP.

(29)

Π ∈ NP ∩ coNP.

Bizonyítás: Π ∈ coNP: Ha egy szám nem prím, arra tanú egy osztója, pl. 6 nem prím, mert 2|6.

(30)

Π ∈ NP ∩ coNP.

Bizonyítás: Π ∈ coNP: Ha egy szám nem prím, arra tanú egy osztója, pl. 6 nem prím, mert 2|6.

Π ∈ NP:

Lemma. Legyen p ≥ 2 egy egész szám. A p pontosan akkor prímszám, ha van olyan 1 ≤ g < p egész, melyre teljesülnek az alábbiak:

1. g^p⁻¹ ≡ 1 (mod p),

2. g^p⁻^r¹ 6≡ 1 (mod p) minden r prímszámra, melyre r|p − 1.

(31)

(32)

(33)

m = e₀ + e₁2¹ + e₂2² + · · · + e_k2^k, k ≤ log₂ m és e_j ∈ {0, 1}. Ismételt négyzetre emelésekkel =⇒ a²^j =⇒ ez k szorzás

(34)

Ismételt négyzetre emelésekkel =⇒ a²^j =⇒ ez k szorzás

szorozzuk össze az a²^j hatványokat azokra a j értékekre, melyekre e_j = 1

=⇒ a^m = aê⁰^+e¹²¹^+e²²²⁺^···^+e^k²^k = aê⁰aê¹²¹aê²²² · · · aê^k²^k

=⇒ k szorzás

(35)

=⇒ k szorzás

a^m mérete m + a méretében exponenciális =⇒ exponenciális alg.

(36)

=⇒ k szorzás

a^m (mod n) mérete legfeljebb log₂ n =⇒ ha mindig a maradékot vesszük

=⇒ polinomiális alg.

(37)

=⇒ k szorzás

A p prím állításra tanú: g és p − 1 egész r₁, . . . , r_k prímosztói

(38)

=⇒ k szorzás

a bíró gyors hatványozással ellen ˝orizheti, hogy a Lemma feltételei teljesülnek.

(39)

=⇒ k szorzás

Azt is tanúsítani kell, hogy r₁, . . . , r_k éppen a p − 1 prímosztói (más nincs)

=⇒ prímtényez ˝os felbontás

√

(40)

=⇒ k szorzás

√

és azt is, hogy r₁, . . . , r_k prímek

(41)

=⇒ k szorzás

√

és azt is, hogy r₁, . . . , r_k prímek =⇒ rekurzívan

√

(42)

=⇒ k szorzás

√

Belátható, hogy a tanú össz mérete O(n²).

(43)

=⇒ k szorzás

√

Belátható, hogy a tanú össz mérete O(n²).

Sejtés: Π 6∈ P

(44)

Prím-e ↔ legkisebb prím osztója

(45)

F =

(a, c)

1 < c ≤ a egészek és van olyan 1 < b ≤ c egész, melyre b osztója a-nak

.

Tétel. F ∈ NP ∩ coNP.

(46)

F =

(a, c)

.

Bizonyítás: (a, c) ∈ F =⇒ tanú egy jó b érték

(47)

F =

(a, c)

.

(a, c) 6∈ F =⇒ tanú → az a = p^α₁ ¹p^α₂ ² · · ·p^α_k^k és a p_i számok prím-tulajdonságának tanúi

(48)

F =

(a, c)

.

(a, c) 6∈ F =⇒ tanú → az a = p^α₁ ¹p^α₂ ² · · ·p^α_k^k és a p_i számok prím-tulajdonságának tanúi

Legjobb ismert algoritmus a prím-felbontásra: D. Shanks =⇒ n bites inputon c2^n/4.

(49)

Bizonyítás: Legyen E egy gyors alg. F felismerésére

(50)

Bizonyítás: Legyen E egy gyors alg. F felismerésére (a, a − 1) ∈ F?

(51)

ha nem → a prím

√

(52)

ha nem → a prím

√

ha igen =⇒ bináris kereséssel megkeressük a legkisebb olyan c-t amire (a, c) ∈ F

(53)

ha nem → a prím

√

ha igen =⇒ bináris kereséssel megkeressük a legkisebb olyan c-t amire (a, c) ∈ F =⇒ ≤ log₂ a hívás

(54)

ha nem → a prím

√

Utána a/c-re folytatjuk . . .

(55)

ha nem → a prím

√

=⇒ egy prím-osztó megtalálása: O( log a)^d

(56)

ha nem → a prím

√

prím-osztók száma ≤ log a =⇒ összköltség O (log a)^d+1

(57)

ha nem → a prím

√

prím-osztók száma ≤ log a =⇒ összköltség O (log a)^d+1

P

coNP NP

v

F

(58)

Mikor nem lényegesen nehezebb egy L₁ probléma egy L₂ problémánál?

(59)

=⇒ Ha L₂ felhasználásával meg lehet oldani L₁-et is.

(60)

=⇒ L₁ visszavezethet ˝o a L₂ problémára.

(61)

Definíció. Az f : I^∗ → I^∗ leképezés az L₁ ⊆ I^∗ nyelv Karp-redukciója az L₂ ⊆ I^∗ nyelvre, ha

1. Tetsz ˝oleges x ∈ I^∗ szóra x ∈ L₁ pontosan akkor teljesül, ha f(x) ∈ L₂; 2. f ∈ F P, azaz f polinom id ˝oben számítható.

(62)

Jelölés: L₁ ≺ L₂ ha L₁-nek van Karp-redukciója L₂-re.

Ha tehát van algoritmusunk L₂ eldöntésére =⇒

(63)

Ha tehát van algoritmusunk L₂ eldöntésére =⇒ x ∈ L₁-re kiszámítjuk f(x)-et

(64)

Ha tehát van algoritmusunk L₂ eldöntésére =⇒ x ∈ L₁-re kiszámítjuk f(x)-et eldöntjük f(x) ∈ L₂?

(65)

Ha tehát van algoritmusunk L₂ eldöntésére =⇒ x ∈ L₁-re kiszámítjuk f(x)-et eldöntjük f(x) ∈ L₂? =⇒ tudjuk, hogy x ∈ L₁ igaz-e

√

(66)

√

Ha tudnánk, hogy L nehéz és tudjuk, hogy L ≺ L⁰

(67)

√

Ha tudnánk, hogy L nehéz és tudjuk, hogy L ≺ L⁰ =⇒ L⁰ is nehéz lenne

(68)

√

Ha tudnánk, hogy L nehéz és tudjuk, hogy L ≺ L⁰ =⇒ L⁰ is nehéz lenne Ha L⁰ könny ˝u lenne, és L nem lényegesen nehezebb nála, akkor L is könny ˝u.

(69)

Tétel. IH ≺ H.

Bizonyítás: G = (V, E) egy irányított gráf → G⁰ = (V ⁰, E⁰) irányítatlan gráf

(70)

Bizonyítás: G = (V, E) egy irányított gráf → G⁰ = (V ⁰, E⁰) irányítatlan gráf hogy G⁰ gyorsan megépíthet ˝o és

(71)

G-ben ∃ irányított Hamilton-kör ↔ G⁰-ben ∃ irányítatlan Hamilton-kör.

(72)

V ⁰ = {v_be, v_∗, v_ki | v ∈ V },

E⁰ = {(v_be, v_∗), (v_∗, v_ki) | v ∈ V } ∪ {(u_ki, v_be) | u → v ∈ E}.

u v

(73)

V ⁰ = {v_be, v_∗, v_ki | v ∈ V },

u v u_beu_∗u_ki v_bev_∗ v_ki

v(G) = n, e(G) = e =⇒ v(G⁰) = 3n, e(G⁰) = 2n + e =⇒ (n + e)^c lépésben megkapható.

(74)

V ⁰ = {v_be, v_∗, v_ki | v ∈ V },

v(G) = n, e(G) = e =⇒ v(G⁰) = 3n, e(G⁰) = 2n + e =⇒ (n + e)^c lépésben megkapható.

G-beli F irányított Hamilton-körének =⇒ G⁰ egy F ⁰ Hamilton-köre

(75)

Az F egy u → v éle =⇒ az F⁰-ben az u_∗ − u_ki − v_be − v_∗ út

(76)

=⇒ G ∈ IH =⇒ G⁰ ∈ H

(77)

=⇒ G ∈ IH =⇒ G⁰ ∈ H

Ha G⁰-ben van egy F ⁰ ⊆ E⁰ Hamilton-kör =⇒ egy u_∗-ból indulva egy u_ki felé lépjünk el ˝oször

(78)

=⇒ G ∈ IH =⇒ G⁰ ∈ H

Ha G⁰-ben van egy F ⁰ ⊆ E⁰ Hamilton-kör =⇒ egy u_∗-ból indulva egy u_ki felé lépjünk el ˝oször

=⇒ csak u_∗ − u_ki − v_be − v_∗ alakú lehet utána =⇒ stb. =⇒ Ha G⁰ ∈ H akkor G ∈ IH.

(79)

Tétel.

1. Ha L₁ ≺ L₂ és L₂ ∈ P, akkor L₁ ∈ P.

2. Ha L₁ ≺ L₂ és L₂ ∈ NP akkor L₁ ∈ NP.

3. Ha L₁ ≺ L₂, akkor L₁ ≺ L₂, ahol L_i = I^∗ \ L_i. 4. Ha L₁ ≺ L₂ és L₂ ∈ coNP, akkor L₁ ∈ coNP.

5. Ha L₁ ≺ L₂ és L₂ ∈ NP ∩ coNP, akkor L₁ ∈ NP ∩ coNP.

6. Ha L₁ ≺ L₂ és L₂ ≺ L₃, akkor L₁ ≺ L₃. Bizonyítás:

Legyen f : I^∗ → I^∗ az L₁ Karp-redukciója L₂-re, f ∈ F T IM E(n^k).

(80)

x ∈ I^∗ egy input szót, melyre szeretnénk eldönteni, hogy x ∈ L₁ teljesül-e, n az x hossza.

(81)

Tétel.

1. Kiszámítjuk f(x)-et

(82)

1. Kiszámítjuk f(x)-et =⇒ id ˝oigénye ≤ c₁n^k =⇒ |f(x)| ≤ c₁n^k

(83)

Tétel.

1. Kiszámítjuk f(x)-et =⇒ id ˝oigénye ≤ c₁n^k =⇒ |f(x)| ≤ c₁n^k L₂ felismer ˝o algoritmusával eldöntjük, hogy f(x) ∈ L₂ igaz-e

(84)

=⇒ id ˝oigénye ≤ c₂(c₁n^k)^l

(85)

Tétel.

x ∈ L₁ ↔ f(x) ∈ L₂ =⇒ összid ˝o O(n^kl)

√

(86)

x ∈ L₁ ↔ f(x) ∈ L₂ =⇒ összid ˝o O(n^kl)

√

(87)

az L₁ bírójának is

(88)

|y| ≤ |f(x)|^c =⇒ |y| ≤ c^c₁|x|^kc

(89)

|y| ≤ |f(x)|^c =⇒ |y| ≤ c^c₁|x|^kc

Az L₁ bírója az (x, y) → f(x) =⇒ (f(x), y) → L₂ bírájának

(90)

|y| ≤ |f(x)|^c =⇒ |y| ≤ c^c₁|x|^kc

L₁ bírója pontosan akkor fogadja el az (x, y) párt ↔ L₂ bírója elfogadja az (f(x), y) párt

(91)

|y| ≤ |f(x)|^c =⇒ |y| ≤ c^c₁|x|^kc

L₁ bírója pontosan akkor fogadja el az (x, y) párt ↔ L₂ bírója elfogadja az (f(x), y) párt

3.: Ha L₁ ≺ L₂, akkor L₁ ≺ L₂: Mint 1. hiszen x ∈ I^∗ szóra x 6∈ L₁ ↔ f(x) 6∈ L₂.