Maximális párosítás keresése, K ˝onig tétel, Hall feltétel

Maximális párosítás keresése, K ˝ onig tétel, Hall feltétel

Papp László

BME

2021. november 12.

Emlékeztet ˝o: Páros gráfok

Definíció:EgyGgráfpáros gráf, haV(G)felosztható két részre,A-ra ésB-re úgy, hogyA-n ésB-n belül nem vezetnek élek.Ekkor aGgráfot úgy is jelölhetjük, hogyG= (A,B;E).

Példa:Hetero Tinder: Csúcsok az emberek, élek a matchek, A={Férfiak},B={N ˝ok}.

A

B

Emlékeztet ˝o: Párosítás

Definíció:EgyGgráfbanE(G)egyMrészhalmazát párosításnakvagy másnévenfüggetlen élek halmazának nevezzük, haMsemelyik két elemének nincs közös végpontja.

Példa páros gráf estén:

A B

M

Nem páros gráfban is van párosítás!Példa:

M

Emlékeztet ˝o: Maximális vs tovább nem b ˝ovíthet ˝o párosítás A magyar nyelv a maximális szót két különböz ˝o fogalomra is használja:

I EgyAhalmaz maximális ha a mérete nagyobb értéket nem vehet fel. (In English: maximum)

I EgyBhalmaz maximális ha tovább nem b ˝ovíthet ˝o. (In English: maximal)

A kett ˝o nem ugyan az, az alábbi gráfbanMtovább nem b ˝ovíthet ˝o, de van nála több élet tartalmazó párostásN:

M N

Definíció:AGgráfmaximális párosításánegy olyan párosítást értünk aminek a lehet ˝o legtöbb éle van.

Példán azNilyen, viszont azMnem!

Hogyan keressünk maximális párosítást páros gráfban?

Úgynevezett javító utakkal.

Definíció:LegyenMegy párosítás egyGpáros gráfban.

Ekkor egyP utatalternáló útnaknevezzük haP felváltva tartalmazM-beli és nemM-beli éleket. Egy alternáló utatjavító útnak nevezünkha az út párosítatlan csúcsból indul és

párosítatlan csúcsban ér véget.

Miért jók ezek? Mert a javítóút párosításba tartozó éleit a párosításból kidobva és a javítóút többi élét hozzáadva eggyel nagyobb párosítást kapok. Ez m ˝uködik tovább nem b ˝ovíthet ˝o de nem maximális párosítások esetén is.

Max párosítás keresés javítóutas algoritmussal Input: EgyGpáros gráf.

0. LegyenM =∅.

1. Ha van olyan éleG-nek, aminek nincs közös végpontja semelyikM-beli éllel, akkor ezt az élet hozzáadomM-hez és az 1-es lépést újra próbálom. Különben a 2-es lépéssel folytatom.

2. Javító utat keresek. Ha nincs akkor OutputMés STOP, különben a 3-as lépéssel folytatom.

3. LegyenX a javítóút éleinek azon része amelyekM-ben szerepelnek ésY pedig azM-ben nem szerepl ˝o élei.

M := (M\X)∪Y és a 2. lépésre ugrok.

Max párosítás keresés javítóutas algoritmussal Input: EgyGpáros gráf.

0. LegyenM =∅.

1. Ha van olyan éleG-nek, aminek nincs közös végpontja semelyikM-beli éllel, akkor ezt az élet hozzáadomM-hez és az 1-es lépést újra próbálom. Különben a 2-es lépéssel folytatom.

2. Javító utat keresek. Ha nincs akkor OutputMés STOP, különben a 3-as lépéssel folytatom.

3. LegyenX a javítóút éleinek azon része amelyekM-ben szerepelnek ésY pedig azM-ben nem szerepl ˝o élei.

M := (M\X)∪Y és a 2. lépésre ugrok.

Max párosítás keresés javítóutas algoritmussal Input: EgyGpáros gráf.

0. LegyenM =∅.

1. Ha van olyan éleG-nek, aminek nincs közös végpontja semelyikM-beli éllel, akkor ezt az élet hozzáadomM-hez és az 1-es lépést újra próbálom. Különben a 2-es lépéssel folytatom.

2. Javító utat keresek. Ha nincs akkor OutputMés STOP, különben a 3-as lépéssel folytatom.

3. LegyenX a javítóút éleinek azon része amelyekM-ben szerepelnek ésY pedig azM-ben nem szerepl ˝o élei.

M := (M\X)∪Y és a 2. lépésre ugrok.

Max párosítás keresés javítóutas algoritmussal Input: EgyGpáros gráf.

0. LegyenM =∅.

1. Ha van olyan éleG-nek, aminek nincs közös végpontja semelyikM-beli éllel, akkor ezt az élet hozzáadomM-hez és az 1-es lépést újra próbálom. Különben a 2-es lépéssel folytatom.

2. Javító utat keresek. Ha nincs akkor OutputMés STOP, különben a 3-as lépéssel folytatom.

3. LegyenX a javítóút éleinek azon része amelyekM-ben szerepelnek ésY pedig azM-ben nem szerepl ˝o élei.

M := (M\X)∪Y és a 2. lépésre ugrok.

Max párosítás keresés javítóutas algoritmussal Input: EgyGpáros gráf.

0. LegyenM =∅.

1. Ha van olyan éleG-nek, aminek nincs közös végpontja semelyikM-beli éllel, akkor ezt az élet hozzáadomM-hez és az 1-es lépést újra próbálom. Különben a 2-es lépéssel folytatom.

2. Javító utat keresek. Ha nincs akkor OutputMés STOP, különben a 3-as lépéssel folytatom.

3. LegyenX a javítóút éleinek azon része amelyekM-ben szerepelnek ésY pedig azM-ben nem szerepl ˝o élei.

M := (M\X)∪Y és a 2. lépésre ugrok.

Max párosítás keresés javítóutas algoritmussal Input: EgyGpáros gráf.

0. LegyenM =∅.

1. Ha van olyan éleG-nek, aminek nincs közös végpontja semelyikM-beli éllel, akkor ezt az élet hozzáadomM-hez és az 1-es lépést újra próbálom. Különben a 2-es lépéssel folytatom.

2. Javító utat keresek. Ha nincs akkor OutputMés STOP, különben a 3-as lépéssel folytatom.

3. LegyenX a javítóút éleinek azon része amelyekM-ben szerepelnek ésY pedig azM-ben nem szerepl ˝o élei.

M := (M\X)∪Y és a 2. lépésre ugrok.

Hogyan találjunk javító utat páros gráfban?

Használhatjuk a BFS algoritmus:

Irányítsuk meg azMpárosítás beli éleketAfelé, a többi élet pedigBfelé.

A

B

Az így kapott irányított gráfban indítsuk el a BFS algoritmust mindenA-beliM által le nem fedett csúcsból.

Ha valamelyik bejárási fában van olyanB-beli levél amit nem fed leM, akkor van egy egyértelm ˝u út ezen csúcs és egyA-beli fedetlen csúcs között (ahonnan az adott BFS indult), ráadásul ez az út egy javító út. Ha semelyik bejárási fában nincsB-beli levél amit nem fed leM, akkor javítóút sincs.

Hogyan találjunk javító utat páros gráfban?

Használhatjuk a BFS algoritmus:

Irányítsuk meg azMpárosítás beli éleketAfelé, a többi élet pedigBfelé.

A

B

Az így kapott irányított gráfban indítsuk el a BFS algoritmust mindenA-beliM által le nem fedett csúcsból.

Ha valamelyik bejárási fában van olyanB-beli levél amit nem fed leM, akkor van egy egyértelm ˝u út ezen csúcs és egyA-beli fedetlen csúcs között (ahonnan az adott BFS indult), ráadásul ez az út egy javító út. Ha semelyik bejárási fában nincsB-beli levél amit nem fed leM, akkor javítóút sincs.

Hogyan találjunk javító utat páros gráfban?

Használhatjuk a BFS algoritmus:

Irányítsuk meg azMpárosítás beli éleketAfelé, a többi élet pedigBfelé.

A

B

Az így kapott irányított gráfban indítsuk el a BFS algoritmust mindenA-beliM által le nem fedett csúcsból.

Ha valamelyik bejárási fában van olyanB-beli levél amit nem fed leM, akkor van egy egyértelm ˝u út ezen csúcs és egyA-beli fedetlen csúcs között (ahonnan az adott BFS indult), ráadásul ez az út egy javító út. Ha semelyik bejárási fában nincsB-beli levél amit nem fed leM, akkor javítóút sincs.

Hogyan találjunk javító utat páros gráfban?

Használhatjuk a BFS algoritmus:

Irányítsuk meg azMpárosítás beli éleketAfelé, a többi élet pedigBfelé.

A

B

Az így kapott irányított gráfban indítsuk el a BFS algoritmust mindenA-beliM által le nem fedett csúcsból.

Ha valamelyik bejárási fában van olyanB-beli levél amit nem fed leM, akkor van egy egyértelm ˝u út ezen csúcs és egyA-beli fedetlen csúcs között (ahonnan az adott BFS indult), ráadásul ez az út egy javító út. Ha semelyik bejárási fában nincsB-beli levél amit nem fed leM, akkor javítóút sincs.

Hogyan találjunk javító utat páros gráfban?

Használhatjuk a BFS algoritmus:

Irányítsuk meg azMpárosítás beli éleketAfelé, a többi élet pedigBfelé.

A

B

Az így kapott irányított gráfban indítsuk el a BFS algoritmust mindenA-beliM által le nem fedett csúcsból.

Ha valamelyik bejárási fában van olyanB-beli levél amit nem fed leM, akkor van egy egyértelm ˝u út ezen csúcs és egyA-beli fedetlen csúcs között (ahonnan az adott BFS indult), ráadásul ez az út egy javító út. Ha semelyik bejárási fában nincsB-beli levél amit nem fed leM, akkor javítóút sincs.

Hogyan találjunk javító utat páros gráfban?

Használhatjuk a BFS algoritmus:

Irányítsuk meg azMpárosítás beli éleketAfelé, a többi élet pedigBfelé.

A

B

Az így kapott irányított gráfban indítsuk el a BFS algoritmust mindenA-beliM által le nem fedett csúcsból.

Ha valamelyik bejárási fában van olyanB-beli levél amit nem fed leM, akkor van egy egyértelm ˝u út ezen csúcs és egyA-beli fedetlen csúcs között (ahonnan az adott BFS indult), ráadásul ez az út egy javító út. Ha semelyik bejárási fában nincsB-beli levél amit nem fed leM, akkor javítóút sincs.

Hogyan találjunk javító utat páros gráfban?

Használhatjuk a BFS algoritmus:

Irányítsuk meg azMpárosítás beli éleketAfelé, a többi élet pedigBfelé.

A

B

Az így kapott irányított gráfban indítsuk el a BFS algoritmust mindenA-beliM által le nem fedett csúcsból.

Ha valamelyik bejárási fában van olyanB-beli levél amit nem fed leM, akkor van egy egyértelm ˝u út ezen csúcs és egyA-beli fedetlen csúcs között (ahonnan az adott BFS indult), ráadásul ez az út egy javító út. Ha semelyik bejárási fában nincsB-beli levél amit nem fed leM, akkor javítóút sincs.

Hogyan találjunk javító utat páros gráfban?

Használhatjuk a BFS algoritmus:

Irányítsuk meg azMpárosítás beli éleketAfelé, a többi élet pedigBfelé.

A

B

Az így kapott irányított gráfban indítsuk el a BFS algoritmust mindenA-beliM által le nem fedett csúcsból.

Ha valamelyik bejárási fában van olyanB-beli levél amit nem fed leM, akkor van egy egyértelm ˝u út ezen csúcs és egyA-beli fedetlen csúcs között (ahonnan az adott BFS indult), ráadásul ez az út egy javító út. Ha semelyik bejárási fában nincsB-beli levél amit nem fed leM, akkor javítóút sincs.

Miért m ˝uködik a javítóutas algoritmus?

Állítás:Ha aG(nem feltétlenül páros) gráfban lév ˝oM párosítás nem maximális, akkor van hozzá javítóút.

Bizonyítás:LegyenN egy maximális párosítás.|N|>|M|.

Nézzük a G azon részgráfját aminek az élhalmazaM∪N.

M

N javito

egy ut

Ebben minden csúcs foka legfeljebb 2, emiatt minden összefügg ˝o komponense kör vagy út. Mivel|N|>|M|, ezért van olyan komponens ami több élet tartalmazN-b ˝ol mintM-b ˝ol. Ez a komponens mindenképpen út, aminek kezd ˝o és

végpontját nem fogja leMés az élei felváltva találhatóakN-ben ésM-ben. Tehát ez egy javítóútM-hez.

Miért m ˝uködik a javítóutas algoritmus?

Állítás:Ha aG(nem feltétlenül páros) gráfban lév ˝oM párosítás nem maximális, akkor van hozzá javítóút.

Bizonyítás:LegyenN egy maximális párosítás.|N|>|M|.

Nézzük a G azon részgráfját aminek az élhalmazaM∪N.

M N

egy javito

ut

Ebben minden csúcs foka legfeljebb 2, emiatt minden összefügg ˝o komponense kör vagy út.

Mivel|N|>|M|, ezért van olyan komponens ami több élet tartalmazN-b ˝ol mintM-b ˝ol. Ez a komponens mindenképpen út, aminek kezd ˝o és

végpontját nem fogja leMés az élei felváltva találhatóakN-ben ésM-ben. Tehát ez egy javítóútM-hez.

Miért m ˝uködik a javítóutas algoritmus?

Állítás:Ha aG(nem feltétlenül páros) gráfban lév ˝oM párosítás nem maximális, akkor van hozzá javítóút.

Bizonyítás:LegyenN egy maximális párosítás.|N|>|M|.

Nézzük a G azon részgráfját aminek az élhalmazaM∪N.

M N

egy ut javito

Ebben minden csúcs foka legfeljebb 2, emiatt minden összefügg ˝o komponense kör vagy út. Mivel|N|>|M|, ezért van olyan komponens ami több élet tartalmazN-b ˝ol mintM-b ˝ol.

Ez a komponens mindenképpen út, aminek kezd ˝o és

végpontját nem fogja leMés az élei felváltva találhatóakN-ben ésM-ben. Tehát ez egy javítóútM-hez.

Miért m ˝uködik a javítóutas algoritmus?

Állítás:Ha aG(nem feltétlenül páros) gráfban lév ˝oM párosítás nem maximális, akkor van hozzá javítóút.

Bizonyítás:LegyenN egy maximális párosítás.|N|>|M|.

Nézzük a G azon részgráfját aminek az élhalmazaM∪N.

M N

ut javito egy

Ebben minden csúcs foka legfeljebb 2, emiatt minden összefügg ˝o komponense kör vagy út. Mivel|N|>|M|, ezért van olyan komponens ami több élet tartalmazN-b ˝ol mintM-b ˝ol.

Ez a komponens mindenképpen út, aminek kezd ˝o és

végpontját nem fogja leMés az élei felváltva találhatóakN-ben ésM-ben. Tehát ez egy javítóútM-hez.

Gráfparaméterek páros gráfok esetén K ˝onig tétel

HaGgráf páros gráf, akkorν(G) =τ(G).

Állítás

HaGgráf páros gráf és nincs izolált pontja, akkorα(G) =ρ(G). Bizonyítás:K ˝onig szerintν(G) =τ(G). Mivel a gráf páros ezért nem lehet benne hurokél, és feltevésünk szerint nincs izolált pontja sem. Úgyhogy alkalmazhatjuk Gallai tételeit:

n−ρ(G) =ν(G) =τ(G) =n−α(G) ρ(G) =α(G)

Gráfparaméterek páros gráfok esetén K ˝onig tétel

HaGgráf páros gráf, akkorν(G) =τ(G).

Állítás

HaGgráf páros gráf és nincs izolált pontja, akkorα(G) =ρ(G).

Bizonyítás:K ˝onig szerintν(G) =τ(G). Mivel a gráf páros ezért nem lehet benne hurokél, és feltevésünk szerint nincs izolált pontja sem. Úgyhogy alkalmazhatjuk Gallai tételeit:

n−ρ(G) =ν(G) =τ(G) =n−α(G) ρ(G) =α(G)

K ˝onig tétel bizonyítása:

LegyenM egy maximális párosítás aGpáros gráfban és legyenF_AazAszínosztályban azM által fedetlen csúcsok halmaza. AzM F_A-ból alternáló úton elérhet ˝o éleinek válasszuk ki aB-be es ˝o végpontjait. AzM többi élének válasszuk ki az A-ba tartozó végpontjait. Jelölje a kiválasztott pontokatT.

A

B

M F

T

EkkorT lefog minden élet, hiszen ha lenne egyT által le nem fogott él, akkor annak azAbeli végpontja elérhet ˝o alternáló útonF_A-ból. Ekkor viszont aBbeli végpontja is elérhet ˝oF_A-ból alternáló úton, amitMnem fedT választása miatt. Viszont ez az alternáló út javítóút lenne, ami nincs mertMmaximális. EmiattT lefogó ponthalmaz és ígyτ(G)≤ |T|=|M|=ν(G). Aτ(G)≥ν(G)egyenl ˝otlenség pedig minden gráfra igaz.

K ˝onig tétel bizonyítása:

LegyenM egy maximális párosítás aGpáros gráfban és legyenF_AazAszínosztályban azM által fedetlen csúcsok halmaza. AzM F_A-ból alternáló úton elérhet ˝o éleinek válasszuk ki aB-be es ˝o végpontjait. AzM többi élének válasszuk ki az A-ba tartozó végpontjait. Jelölje a kiválasztott pontokatT.

A

B

M F

T

EkkorT lefog minden élet, hiszen ha lenne egyT által le nem fogott él, akkor annak azAbeli végpontja elérhet ˝o alternáló útonF_A-ból. Ekkor viszont aBbeli végpontja is elérhet ˝oF_A-ból alternáló úton, amitMnem fedT választása miatt. Viszont ez az alternáló út javítóút lenne, ami nincs mertMmaximális.

EmiattT lefogó ponthalmaz és ígyτ(G)≤ |T|=|M|=ν(G).

Aτ(G)≥ν(G)egyenl ˝otlenség pedig minden gráfra igaz.

Teljes párosítás, A-t fed ˝o párosítás

Definíció:AGgráfnakMegyteljes párosítása, haM párosítás ésGminden csúcsára illeszkedik egyMbeli él.

M

DefinícióEgyGgráfban legyenAa csúcsok egy részhalmaza.

EkkorNegyA-t fed ˝o párosításhaAminden elemére illeszkedik egyN beli él.

N

A

Párosítás páros gráfban

Definíció:LegyenX aGgráf csúcsainak egy részhalmaza.

EkkorN(X)-szel jelöljük azX szomszédainak halmazát.

X

N(X)

Hall feltétel

Legyen aGpáros gráf két színosztályaAésB, azaz

G= (A,B;E). Ekkor aGgráfnak pontosan akkor vanA-t fed ˝o párosítása, amikor azAmindenX részhalmazára igaz, hogy

|N(X)| ≥ |X|.

A szükségesség triviális (3 férfi nem tud feleségül venni összesen 2 n ˝ot), az elégségesség bizonyítása pedig most jön.

Hall feltétel bizonyítása:

Az elégségességet bizonyítjuk csak, a szükségessék triviális.

Tegyük fel tehát, hogy|N(X)| ≥ |X|mindenX ⊆A-ra! Azt fogjuk megmutatni, hogyν(G)≥ |A|ami igazolja, hogy vanA-t fed ˝o párosítás.

A B

T T

T

LegyenT egy minimális lefogó ponthalmazG-ben. Legyen T_A:=T ∩AésT_B :=T ∩B. MivelT lefogja azA\T_A-ból kiinduló éleket ezért,N(A\T_A)⊆T_B. Így:

|A|=|T_A|+|A\T_A| ≤ |T_A|+|N(A\T_A)| ≤ |T_A|+|T_B|=τ(G) =ν(G) Az utolsó egyenl ˝oségnél a K ˝onig tételt használtuk fel. .

Hall feltétel bizonyítása:

Az elégségességet bizonyítjuk csak, a szükségessék triviális.

Tegyük fel tehát, hogy|N(X)| ≥ |X|mindenX ⊆A-ra! Azt fogjuk megmutatni, hogyν(G)≥ |A|ami igazolja, hogy vanA-t fed ˝o párosítás.

A B

T T

T

LegyenT egy minimális lefogó ponthalmazG-ben. Legyen T_A:=T ∩AésT_B :=T ∩B. MivelT lefogja azA\T_A-ból kiinduló éleket ezért,N(A\T_A)⊆T_B.

Így:

|A|=|T_A|+|A\T_A| ≤ |T_A|+|N(A\T_A)| ≤ |T_A|+|T_B|=τ(G) =ν(G) Az utolsó egyenl ˝oségnél a K ˝onig tételt használtuk fel. .

Hall feltétel bizonyítása:

Az elégségességet bizonyítjuk csak, a szükségessék triviális.

Tegyük fel tehát, hogy|N(X)| ≥ |X|mindenX ⊆A-ra! Azt fogjuk megmutatni, hogyν(G)≥ |A|ami igazolja, hogy vanA-t fed ˝o párosítás.

A B

T T

T

LegyenT egy minimális lefogó ponthalmazG-ben. Legyen T_A:=T ∩AésT_B :=T ∩B. MivelT lefogja azA\T_A-ból kiinduló éleket ezért,N(A\T_A)⊆T_B. Így:

|A|=|T_A|+|A\T_A| ≤ |T_A|+|N(A\T_A)| ≤ |T_A|+|T_B|=τ(G) =ν(G) Az utolsó egyenl ˝oségnél a K ˝onig tételt használtuk fel. .

Teljes párosítás létezése páros gráfban Frobenius tétel

LegyenG= (A,B;E)páros gráf. EkkorG-ben pontosan akkor van teljes párosítás ha|A|=|B|és ha azAmindenX

részhalmazára igaz, hogy|N(X)| ≥ |X|.

Bizonyítás:Vegyük észre, hogy a Frobénius tétel feltétele a Hall-feltétel plusz az, hogy azAésBmérete megegyezik.

Van TP =⇒ feltételek:

Ha a gráfban van teljes párosítás, akkor annak minden éle pontosan egyAés egyBbeli csúcsra illeszkedik és minden csúcsra illeszkedik pontosan egy él. Emiatt|A|=|B|. Illetve a teljes párosítás egyben egyA-t fed ˝o párosítás is amire a Hall-feltételnek teljesülnie kell.

Feltételek =⇒ van TP:

Ha a Hall-feltétel teljesül, akkor a gráfban vanA-t fed ˝o

párosítás. Mivel|A|=|B|ezért ez a párosítás egybenB-t fed ˝o párosítás is, ami miatt teljes párosítás.