Algoritmuselmélet Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefügg˝oség, párosítás Katona Gyula Y.

(1)

Algoritmuselmélet

Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefügg ˝oség, párosítás

Katona Gyula Y.

Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti M ˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

2. el ˝oadás

(2)

Gráfalgoritmusok

irányított gráfok: G= (V,E)

irányított él, irányított út, irányított kör élsúlyok: c(e)— lehetnek negatívak is

J H

G E

K D

F

I C

B

A L

3

4

8

4 9 6

9 0

17 8 9

3

6

2

7 3

8 6

11

5

(3)

Gráfalgoritmusok

irányított él, irányított út, irányított kör

élsúlyok: c(e)— lehetnek negatívak is

J H

G E

K D

F

I C

B

A L

3

4

8

4 9 6

9 0

17 8 9

3

6

2

7 3

8 6

11

5

(4)

Gráfalgoritmusok

J H

G E

K D

F

I C

B

A L

3

4

8

4 9 6

9 0

17 8 9

3

6

2

7 3

8 6

11

5

(5)

Gráfalgoritmusok

J H

G D E

F C

B

A L

3

4

8

4 9 6

9 0

17 8 9

3

6

2

7 3

8 6 5

(6)

Adjacencia-mátrix

Definíció

A G= (V,E)gráfadjacencia-mátrixa(vagyszomszédossági mátrixa) a következ ˝o – a V elemeivel indexelt – n-szer n-es mátrix:

A[i,j] =

0 ha(i,j)6∈E, 1 ha(i,j)∈E.

Irányítatlan gráfok esetén a szomszédossági mátrix szimmetrikus lesz (azazA[i,j] =A[j,i]teljesül mindeni,jcsúcspárra).

v4

5

1 1

1

−1 v3 3

v1 v5

5 v2

A=







0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0







(7)

Adjacencia-mátrix

Definíció

A[i,j] =

0 ha(i,j)6∈E, 1 ha(i,j)∈E.

v4

5

1 1

1

−1 v3 3

v1 v5

5 v2

A=







0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0







(8)

Adjacencia-mátrix

Definíció

A[i,j] =

0 ha(i,j)6∈E, 1 ha(i,j)∈E.

5

1 1

1

−1 v3 3

v1 v5

5 v2

A=







0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0







(9)

Súlyozott adjacencia-mátrix

Ha költségek is vannak =⇒

C[i,j] =







0 hai=j,

c(i,j) hai6=j és(i,j)éleG-nek,

∗ különben.

v4

5

1 1

1

−1 v3 3

v1 v5

5 v2

C=







0 5 ∗ 1 ∗

∗ 0 ∗ ∗ −1

∗ 1 0 ∗ ∗

∗ ∗ 1 0 5

∗ ∗ 3 ∗ 0







Hátránya: a mérete (n²tömbelem) teljesen független az élek számától.

(10)

Súlyozott adjacencia-mátrix

C[i,j] =







0 hai=j,

∗ különben.

v4

5

1 1

1

−1 v3 3

v1 v5

5 v2

C=







0 5 ∗ 1 ∗

∗ 0 ∗ ∗ −1

∗ 1 0 ∗ ∗

∗ ∗ 1 0 5

∗ ∗ 3 ∗ 0







Hátránya: a mérete (n²tömbelem) teljesen független az élek számától.

(11)

Súlyozott adjacencia-mátrix

C[i,j] =







0 hai=j,

∗ különben.

v 5

1 1

1

−1 v3 3

v1 v5

5 v2

C=







0 5 ∗ 1 ∗

∗ 0 ∗ ∗ −1

∗ 1 0 ∗ ∗

∗ ∗ 1 0 5

∗ ∗ 3 ∗ 0







(12)

Éllistás megadás

G= (V,E)gráf minden csúcsához egy lista tartozik.

Azi ∈V csúcs listájában tároljuk azi-b ˝ol kimen ˝o éleket, és ha kell, ezek súlyát is.

Azi listáján egy élnek a lista egy eleme (cellája) felel meg.

- -

jc(i,j)

q q q q

- - ? - 1

i

n - q q q

1-b ˝ol kimen ˝o élek cellái

egy tipikus cella -

?

Az (i,j) élnek megfelel ˝o cella tartalmazza a j sorszámot, a c(i,j) súlyt (ha van), egy mu- tatót a következ ˝o cel- lára, és esetleg még egyet az el ˝oz ˝ore is. Tárigény: n +e cella, Irányítatlan gráfoknál: n+2ecella

(13)

Éllistás megadás

Azi∈V csúcs listájában tároljuk azi-b ˝ol kimen ˝o éleket, és ha kell, ezek súlyát is.

Azi listáján egy élnek a lista egy eleme (cellája) felel meg.

- -

jc(i,j)

q q q q

- - ? - 1

i

n - q q q

egy tipikus cella -

?

(14)

Éllistás megadás

Azilistáján egy élnek a lista egy eleme (cellája) felel meg.

- -

jc(i,j)

q q q q

- - ? - 1

i

n - q q q

egy tipikus cella -

?

(15)

Éllistás megadás

- -

jc(i,j)

q q q q

- - ? - 1

i

n ^- ^q ^{q q}

egy tipikus cella -

?

(16)

Éllistás megadás

- -

jc(i,j)

q q q q

- - ? - 1

i

n ^- ^q ^{q q}

egy tipikus cella -

?

Az (i,j) élnek megfelel ˝o cella tartalmazza a j sorszámot, a c(i,j) súlyt (ha van), egy mu- tatót a következ ˝o cel- lára, és esetleg még egyet az el ˝oz ˝ore is.

Tárigény: n +e cella, Irányítatlan gráfoknál: n+2ecella

(17)

Éllistás megadás

- -

jc(i,j)

q q q q

- - ? - 1

i

n ^- ^q ^{q q}

egy tipikus cella -

?

Az (i,j) élnek megfelel ˝o cella tartalmazza a j sorszámot, a c(i,j) súlyt (ha van), egy mu- tatót a következ ˝o cel- lára, és esetleg még egyet az el ˝oz ˝ore is.

Tárigény: n +e cella, Irányítatlan gráfoknál:

(18)

Szélességi bejárás

BFS:Breadth First Search

Meglátogatjuk az els ˝o csúcsot, majd ennek a csúcsnak az összes szomszédját. Aztán ezen szomszédok összes olyan szomszédját, ahol még nem jártunk, és így tovább.

megvalósítás:sor(FIFO-lista)

Berakjuk az épp meglátogatott csúcsot, hogy majd a megfelel ˝o id ˝oben a szomszédaira is sort keríthessünk.

Általános lépés: vesszük a sor elején lev ˝ox csúcsot, töröljük a sorból, meglátogatjuk azokat azy szomszédait, amelyeket eddig még nem láttunk, majd ezeket azy csúcsokat a sor végére tesszük.

(19)

Szélességi bejárás

Meglátogatjuk az els ˝o csúcsot, majd ennek a csúcsnak az összes szomszédját.

Aztán ezen szomszédok összes olyan szomszédját, ahol még nem jártunk, és így tovább.

(20)

Szélességi bejárás

(21)

Szélességi bejárás

(22)

Szélességi bejárás

(23)

Szélességi bejárás

(24)

Szélességi bejárás

procedureszb (v: csúcs)(∗szélességi bejárás egy komponensre∗) var

Q: csúcsokból álló sor;

x,y: csúcsok;

begin

bejárva[v] :=igaz;

sorba(v,Q);

whileQnem üresdo begin

x :=els ˝o(Q);(ez egyben törli isx-et a sorból) formindenx →y ∈E élredo

ifbejárva[y] =hamisthen begin bejárva[y] :=igaz;

(∗) sorba(y,Q)

end end

end

(25)

Szélességi bejárás

procedurebejár(∗szélességi bejárás minden komponensre∗) begin

forv :=1tondo bejárva[v] :=hamis;

forv :=1tondo

ifbejárva[v] =hamisthen szb(v)

end

Összköltség:O(n+e)

(26)

Szélességi bejárás

forv :=1tondo

end

(27)

Szélességi bejárás

forv :=1tondo

end

(28)

Faél: megvizsgálásuk- kor még be nem járt pontba mutatnak

2

1

4

7 3

6 9 10

8 5

faél ilyen nincs visszaél keresztél keresztél

Irányítatlan esetben csak faél és keresztél lehet.

fa´el 1

4 3

7 6

9 10 8

5

2 ilyen nincs

ilyen nincs kereszt´el kereszt´el

(29)

2

1

4

7 3

6 9 10

8 5

fa´el

ilyen nincs visszaél keresztél keresztél

fa´el 1

4 3

7 6

9 10 8

5

2 ilyen nincs

(30)

2

1

4

7 3

6 9 10

8 5

fa´el ilyen nincs

visszaél keresztél keresztél

fa´el 1

4 3

7 6

9 10 8

5

2 ilyen nincs

(31)

2

1

4

7 3

6 9 10

8 5

fa´el ilyen nincs vissza´el

kereszt´el kereszt´el

fa´el 1

4 3

7 6

9 10 8

5

2 ilyen nincs

(32)

2

1

4

7 3

6 9 10

8 5

faél ilyen nincs visszaél keresztél

kereszt´el

fa´el 1

4 3

7 6

9 10 8

5

2 ilyen nincs

(33)

2

1

4

7 3

6 9 10

8 5

fa´el 1

4 3

7 6

9 10 8

5

2 ilyen nincs

(34)

2

1

4

7 3

6 9 10

8 5

fa´el 1

4 3

7 6

9 10 8

5

2 ilyen nincs

(35)

2

1

4

7 3

6 9 10

8 5

fa´el 1

4 3

7 6

5 2

ilyen nincs ilyen nincs kereszt´el kereszt´el

(36)

2

1

4

7 3

6 9 10

8 5

fa´el 1

4 3

7 6

5

2 ilyen nincs

(37)

2

1

4

7 3

6 9 10

8 5

fa´el 1

4 3

7 6

5

2 ilyen nincs

ilyen nincs

kereszt´el kereszt´el

(38)

2

1

4

7 3

6 9 10

8 5

fa´el 1

4 3

7 6

5

2 ilyen nincs

ilyen nincs kereszt´el

kereszt´el

(39)

2

1

4

7 3

6 9 10

8 5

fa´el 1

4 3

7 6

5

2 ilyen nincs

(40)

Összefügg ˝oség eldöntése

Kérdés

Adott G gráf összefügg ˝o-e?

procedureÖsszefügg ˝o begin

öf:=igaz;

tetsz ˝olegesv-reszb(v); foru:=1tondo

ifbejárva[u] =hamisthenöf:=hamis; return(öf);

end

Összköltség: O(n+e)

(41)

Összefügg ˝oség eldöntése

Kérdés

öf:=igaz;

tetsz ˝olegesv-reszb(v);

foru:=1tondo

ifbejárva[u] =hamisthenöf:=hamis;

return(öf);

end

(42)

Összefügg ˝oség eldöntése

Kérdés

öf:=igaz;

tetsz ˝olegesv-reszb(v);

foru:=1tondo

ifbejárva[u] =hamisthenöf:=hamis;

return(öf);

end

(43)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

BSZ-b ˝ol tudjuk, hogy javító utakat kell keresnünk.

Tétel

Egy párosítás akkor és csak akkor maximális, ha nincs hozzá tartozó javítóút.

Kérdés

Hogyan döntjük el, hogy van-e javítóút? Hogyan keresünk javítóutat?

Módosítjuk a szélességi keresést:

Egy párosítatlan pontból indulunk

Minden páratlan szinten a BFS lépéseit használjuk. Minden páros szinten a párosítás éleit használjuk.

Ha olyan pontba érünk, aminek nincs párja, találtunk javítóutat

(44)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Tétel

Kérdés

Hogyan döntjük el, hogy van-e javítóút? Hogyan keresünk javítóutat?

(45)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Tétel

Kérdés

Hogyan döntjük el, hogy van-e javítóút?

Hogyan keresünk javítóutat? Módosítjuk a szélességi keresést:

(46)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Tétel

Kérdés

Hogyan keresünk javítóutat?

(47)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Tétel

Kérdés

(48)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Tétel

Kérdés

(49)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Tétel

Kérdés

Minden páratlan szinten a BFS lépéseit használjuk.

Minden páros szinten a párosítás éleit használjuk.

(50)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Tétel

Kérdés

(51)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Tétel

Kérdés

(52)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Költség:

Ha minden párosítatlan pontból építünk egy ilyen fát

=⇒alternáló erd ˝o=⇒O(e)

Ezután eggyel növelhetjük a párok számát =⇒O(n)-szer kell ismételni

Összköltség: O(ne)

(53)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Költség:

(54)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Költség:

(55)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Költség:

(56)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Költség:

(57)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Költség:

(58)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Költség:

=⇒alternáló erd ˝o

=⇒O(e)

(59)

Maximális párosítás keresése páros gráfban

Költség:

Ezután eggyel növelhetjük a párok számát =⇒O(n)-szer kell

(60)

Legrövidebb utak súlyozatlan gráfokban

Ha minden él hossza egy =⇒út hossza = élek száma

Szélességi kereséssel: JelentseD[v]av csúcsnak azs-t ˝ol való távolságát azs-gyöker ˝u szélességi fában.

Legyen kezdetbenD[s] :=0

azszbeljárásba tegyük be aD[y] :=D[x] +1;utasítást, miután elértük y-t.

Lépésszám: O(n+e) Tétel

Az el ˝oz ˝oek szerint módosított szélességi bejárás végeztével teljesülnek a következ ˝ok:

1. Legyen s =x₁,x₂, . . . ,xna csúcsoknak a szélességi bejárás szerinti sorrendje. Ekkor D[x₁]≤D[x₂]≤. . .≤D[x_n].

2. Ha x →y éle G-nek, akkor D[y]≤D[x] +1. 3. D[v] =d(s,v)teljesül minden v ∈V csúcsra.

(61)

Legrövidebb utak súlyozatlan gráfokban

(62)

Legrövidebb utak súlyozatlan gráfokban

(63)

Legrövidebb utak súlyozatlan gráfokban

(64)

Legrövidebb utak súlyozatlan gráfokban

(65)

Legrövidebb utak súlyozatlan gráfokban

2. Ha x →y éle G-nek, akkor D[y]≤D[x] +1.

3. D[v] =d(s,v)teljesül minden v ∈V csúcsra.

(66)

Legrövidebb utak súlyozatlan gráfokban

2. Ha x →y éle G-nek, akkor D[y]≤D[x] +1.

(67)

Tétel

1. D[x₁]≤D[x₂]≤. . .≤D[xn].

Bizonyítás.

A csúcsok azs=x₁,x₂, . . . ,x_nsorrendben kerülnek bele aQsorba

=⇒ebben a sorrendben is kerülnek ki a sorból.

Hax 6=s csúcs el ˝obb van, minty =⇒apa(x)nem lehet kés ˝obb, mint apa(y), hiszen ha el ˝obb lenne,y-hoz el ˝obb eljutottunk volna.

Indukció =⇒GyökérreD[s] =0, fiaira mind nagyobb. √ D[x_i] =D[apa(x_i)] +1 ésD[x_i+1] =D[apa(x_i+1)] +1 =⇒ Ha a két apa különböz ˝o

=⇒D[apa(x_i)]≤D[apa(x_i+1)] =⇒D[x_i]≤D[x_i+1]. Ha pedig az apák megegyeznek =⇒D[x_i] =D[x_i+1].

(68)

Tétel

1. D[x₁]≤D[x₂]≤. . .≤D[xn].

Bizonyítás.

Hax 6=s csúcs el ˝obb van, minty =⇒apa(x)nem lehet kés ˝obb, mint apa(y), hiszen ha el ˝obb lenne,y-hoz el ˝obb eljutottunk volna.

(69)

Tétel

1. D[x₁]≤D[x₂]≤. . .≤D[xn].

Bizonyítás.

Hax 6=scsúcs el ˝obb van, minty =⇒apa(x)nem lehet kés ˝obb, mint apa(y), hiszen ha el ˝obb lenne,y-hoz el ˝obb eljutottunk volna.

(70)

Tétel

1. D[x₁]≤D[x₂]≤. . .≤D[xn].

Bizonyítás.

Indukció =⇒GyökérreD[s] =0, fiaira mind nagyobb. √

D[x_i] =D[apa(x_i)] +1 ésD[x_i+1] =D[apa(x_i+1)] +1 =⇒ Ha a két apa különböz ˝o

(71)

Tétel

1. D[x₁]≤D[x₂]≤. . .≤D[xn].

Bizonyítás.

Indukció =⇒GyökérreD[s] =0, fiaira mind nagyobb. √ D[x_i] =D[apa(x_i)] +1 ésD[x_i+1] =D[apa(x_i+1)] +1 =⇒

Ha a két apa különböz ˝o

(72)

Tétel

1. D[x₁]≤D[x₂]≤. . .≤D[xn].

Bizonyítás.

=⇒D[apa(x_i)]≤D[apa(x_i+1)] =⇒D[x_i]≤D[x_i+1].

Ha pedig az apák megegyeznek =⇒D[x_i] =D[x_i+1].

(73)

Tétel

1. D[x₁]≤D[x₂]≤. . .≤D[xn].

Bizonyítás.

(74)

Tétel

1. D[x₁]≤D[x₂]≤. . .≤D[xn].

Bizonyítás.

(75)

Tétel

2. Ha x →y éle G-nek, akkor D[y]≤D[x] +1

Bizonyítás.

Nézzük, hogy mi történik, amikorx kikerül aQsorból, és éppen az (x,y)élet vizsgáljuk.

Ha bejárva[y] =hamis =⇒y apjax, vagyisD[y] =D[x] +1. Különbeny-t már korábban láttuk =⇒y apja el ˝obb van, mintx

=⇒D[apa(y)]≤D[x] =⇒D[y] =D[apa(y)] +1≤D[x] +1.

(76)

Tétel

Bizonyítás.

Ha bejárva[y] =hamis =⇒y apjax, vagyisD[y] =D[x] +1.

Különbeny-t már korábban láttuk =⇒y apja el ˝obb van, mintx

(77)

Tétel

Bizonyítás.

(78)

Tétel

Bizonyítás.

=⇒D[apa(y)]≤D[x]

=⇒D[y] =D[apa(y)] +1≤D[x] +1.

(79)

Tétel

Bizonyítás.

(80)

Tétel

Bizonyítás.

d(s,v)≤D[v] √

Legyens=y₀,y₁, . . .y_k =v egy minimális hosszúságúG-beli irányított úts-b ˝olv-be.

=⇒az út éleire:D[y₁]≤D[s] +1=1, majdD[y₂]≤D[y₁] +1≤2. . . D[v] =D[y_k]≤k =d(s,v) =⇒ √

(81)

Tétel

Bizonyítás.

d(s,v)≤D[v] √

(82)

Tétel

Bizonyítás.

d(s,v)≤D[v] √

=⇒az út éleire:D[y₁]≤D[s] +1=1, majdD[y₂]≤D[y₁] +1≤2

. . . D[v] =D[y_k]≤k =d(s,v) =⇒ √

(83)

Tétel

Bizonyítás.

d(s,v)≤D[v] √

(84)

Tétel

Bizonyítás.

d(s,v)≤D[v] √