Algoritmuselmélet Közelít˝o algoritmusok Katona Gyula Y.

(1)

Algoritmuselmélet

Közelít ˝o algoritmusok

Katona Gyula Y.

Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti M ˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

14. el ˝oadás

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 14. el ˝oadás 1 / 27

(2)

Közelít ˝o algoritmusok

Hátha nem szükséges pontos megoldás, elég az optimumtól nem túl messze lev ˝o is, ha az polinom id ˝oben kiszámolható.

Közelítés additív konstanssal: OPT−c≤APPR≤OPT+c Ilyen ritkán van.

(3)

Közelít ˝o algoritmusok

Közelítés additív konstanssal: OPT−c≤APPR≤OPT+c

Ilyen ritkán van.

(4)

Közelít ˝o algoritmusok

Közelítés additív konstanssal: OPT−c≤APPR≤OPT+c Ilyen ritkán van.

(5)

Közelít ˝o algoritmusok

C-KÖZÚT

Bemenet:G

Kérdés: Van-e legalábbv(G)−chosszú útG-ben?

Tétel

C-KÖZÚT∈NP-teljes. Bizonyítás.

C-KÖZÚT∈NP, tanú egy út. √

H-ÚT≺C-KÖZÚT:G=⇒G⁰ =G+cdb izolált pont.

HaG-ben van Hamilton-út, ezG⁰-ben egyv(G⁰)−chosszú út. √ HaG⁰-ben van egyv(G⁰)−chosszú út, akkor azGminden pontját tartalmazza, tehát Hamilton-út. √

(6)

Közelít ˝o algoritmusok

C-KÖZÚT

Bemenet:G

Tétel

C-KÖZÚT∈NP-teljes.

Bizonyítás.

H-ÚT≺C-KÖZÚT:G=⇒G⁰ =G+cdb izolált pont.

(7)

Közelít ˝o algoritmusok

C-KÖZÚT

Bemenet:G

Tétel

Bizonyítás.

H-ÚT≺C-KÖZÚT:G=⇒G⁰=G+cdb izolált pont.

(8)

Közelít ˝o algoritmusok

C-KÖZÚT

Bemenet:G

Tétel

Bizonyítás.

HaG-ben van Hamilton-út, ezG⁰-ben egyv(G⁰)−chosszú út. √

HaG⁰-ben van egyv(G⁰)−chosszú út, akkor azGminden pontját tartalmazza, tehát Hamilton-út. √

(9)

Közelít ˝o algoritmusok

C-KÖZÚT

Bemenet:G

Tétel

Bizonyítás.

(10)

Közelít ˝o algoritmusok

Közelítés multiplikatív konstanssal: ¹_cOPT ≤APPR≤c·OPT

Ilyen sokszor van. Keressünk 1-hez minél közelebbi konstanst.

(11)

Közelít ˝o algoritmusok

Közelítés multiplikatív konstanssal: ¹_cOPT ≤APPR≤c·OPT Ilyen sokszor van. Keressünk 1-hez minél közelebbi konstanst.

(12)

Euklideszi utazó ügynök probléma

AznpontúK_nteljes gráf élein adott a nemnegatív érték ˝ud

súlyfüggvény. Erre teljesül a háromszög-egyenl ˝otlenség: tetsz ˝oleges különböz ˝ou,v,w csúcsokra érvényes ad(u,w)≤d(u,v) +d(v,w) egyenl ˝otlenség(az euklideszi feltétel).

A cél egy minimális összsúlyú Hamilton-kör keresése. Keresünk egy minimális összsúlyú feszít ˝ofát (pl. Kruskal), megkett ˝ozzük az éleit és„körbejárjuk”egy Euler-körsétával.

A minimális feszít ˝ofa összsúlya legyens =⇒Euler-séta hossza 2s.

(13)

Euklideszi utazó ügynök probléma

A cél egy minimális összsúlyú Hamilton-kör keresése.

Keresünk egy minimális összsúlyú feszít ˝ofát (pl. Kruskal), megkett ˝ozzük az éleit és„körbejárjuk”egy Euler-körsétával.

(14)

Euklideszi utazó ügynök probléma

(15)

Euklideszi utazó ügynök probléma

(16)

Euklideszi utazó ügynök probléma

(17)

Euklideszi utazó ügynök probléma

(18)

Euklideszi utazó ügynök probléma

(19)

Euklideszi utazó ügynök probléma

(20)

Euklideszi utazó ügynök probléma

(21)

Euklideszi utazó ügynök probléma

(22)

Euklideszi utazó ügynök probléma

(23)

Euklideszi utazó ügynök probléma

(24)

Euklideszi utazó ügynök probléma

(25)

Euklideszi utazó ügynök probléma

(26)

Euklideszi utazó ügynök probléma

(27)

Ez nem Hamilton-kör =⇒levágjuk a fölösleges részeket, közben rövidítünk is.

Ha az optimális Hamilton-körb ˝ol elhagyunk egy élet =⇒egy legalább s súlyú feszít ˝ofát kapunk.

A módszer legfeljebb 2-szer akkora utat ad, mint az optimális.

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

Ha az optimális Hamilton-körb ˝ol elhagyunk egy élet =⇒egy legalább ssúlyú feszít ˝ofát kapunk.

(40)

(41)

(42)

Ládapakolás

Ládapakolás: Adottak azs₁, . . . ,s_m (racionális) súlyok, 0≤s_i ≤1. A cél a súlyok elhelyezése minél kevesebb 1 súlykapacitású ládába.

NP-nehéz,a PARTÍCIÓ probléma visszavezethet ˝o rá.

(43)

Ládapakolás

NP-nehéz,

a PARTÍCIÓ probléma visszavezethet ˝o rá.

(44)

Ládapakolás

NP-nehéz,a PARTÍCIÓ probléma visszavezethet ˝o rá.

(45)

Ládapakolás

FF-módszer(first fit): Vegyünk el ˝oször üres ládákat, és számozzuk meg ˝oket az 1,2, . . . ,megészekkel.

Tegyük fel, hogy azs₁, . . . ,s_i−1súlyokat már elhelyeztük. Ekkors_i kerüljön az els ˝o (legkisebb sorszámú) olyan ládába, amelybe még befér.

1. 2. 3.

4. 6.

5. 7.

8. 1.

2. 3.

4.

5.

6.

7. 8.

(46)

Ládapakolás

1. 2. 3.

4. 6.

5. 7.

8. 1.

2. 3.

4.

5.

6.

7. 8.

(47)

Ládapakolás

1. 2. 3.

4.

6.

5. 7.

8.

1.

2. 3.

4.

5.

6.

7. 8.

(48)

First Fit

Tétel

Jelölje a Ládapakolás probléma egy I inputjára OPT(I)az optimális (minimálisan elegend ˝o), FF(I)pedig az FF -módszer által

eredményezett ládaszámot. A probléma tetsz ˝oleges I inputjára teljesül, hogy FF(I)≤2OPT(I).

Bizonyítás. dPm

i=1s_ie ≤OPT(I) FF(I)≤ d2Pm

i=1s_ie ⇐=nincs két olyan láda, amely nincs félig kitöltve. Felhasználjuk, hogyd2xe ≤2dxe:

FF(I)≤ d2

m

X

i=1

s_ie ≤2d

m

X

i=1

s_ie ≤2OPT(I).

√

(49)

First Fit

Tétel

Bizonyítás.

dPm

i=1s_ie ≤OPT(I)

FF(I)≤ d2Pm

i=1s_ie ⇐=nincs két olyan láda, amely nincs félig kitöltve. Felhasználjuk, hogyd2xe ≤2dxe:

FF(I)≤ d2

m

X

i=1

s_ie ≤2d

m

X

i=1

s_ie ≤2OPT(I).

√

(50)

First Fit

Tétel

Bizonyítás.

dPm

i=1s_ie ⇐=nincs két olyan láda, amely nincs félig kitöltve.

Felhasználjuk, hogyd2xe ≤2dxe:

FF(I)≤ d2

m

X

i=1

s_ie ≤2d

m

X

i=1

s_ie ≤2OPT(I).

√

(51)

First Fit

Tétel

Bizonyítás.

dPm

i=1s_ie ⇐=nincs két olyan láda, amely nincs félig kitöltve.

Felhasználjuk, hogyd2xe ≤2dxe:

FF(I)≤ d2

m

X

i=1

s_ie ≤2d

m

X

i=1

s_ie ≤2OPT(I).

√

(52)

First Fit

Tétel (D. S. Johnson és munkatársai, 1976)

A probléma tetsz ˝oleges I inputjára teljesül, hogy FF(I)≤ d1.7OPT(I)e.

Továbbá vannak tetsz ˝olegesen nagy méret ˝u I inputok, melyekre FF(I)≥1.7(OPT(I)−1).

(53)

First Fit Decreasing

FFD-módszer(first fit decreasing): el ˝oször rendezzük a súlyokat nem növ ˝o sorrendbe, utána alkalmazzuk azFF-módszert.

1. 2. 6.

7. 3.

8.

4. 5.

1. 2. 3. 4.

6. 8. 7.

5.

Tétel (D. S. Johnson, 1973)

Tetsz ˝oleges I inputra teljesül, hogy FFD(I)≤ ¹¹₉OPT(I) +4, és tetsz ˝olegesen nagy méret ˝u I inputok vannak, melyekre

FFD(I)≥ ¹¹₉OPT(I).(¹¹₉ =1.222. . .)

(54)

First Fit Decreasing

1. 2. 6.

7.

3.

8.

4. 5.

1. 2. 3. 4.

6.

8. 7.

5.

FFD(I)≥ ¹¹₉OPT(I).(¹¹₉ =1.222. . .)

(55)

First Fit Decreasing

1. 2. 6.

7.

3.

8.

4. 5.

1. 2. 3. 4.

6.

8. 7.

5.

FFD(I)≥ ¹¹₉OPT(I).(¹¹₉ =1.222. . .)

(56)

First Fit Decreasing

1. 2. 6.

7.

3.

8.

4. 5.

1. 2. 3. 4.

6.

8. 7.

5.

FFD(I)≥ ¹¹₉OPT(I).(¹¹₉ =1.222. . .)

(57)

Jobb approximáció

Tétel (W. Fernandez de la Vega, G. S. Lueker)

Tetsz ˝olegesε >0-hoz van olyan P lineáris algoritmus, amire

P(I)≤(1+ε)OPT(I) +1.

Futásideje:

O (n) + 2 ²

^O((1/ε)^log(1/ε))

(58)

Jobb approximáció

Tétel (W. Fernandez de la Vega, G. S. Lueker)

Tetsz ˝olegesε >0-hoz van olyan P lineáris algoritmus, amire

P(I)≤(1+ε)OPT(I) +1.

Futásideje:

O (n) + 2 ²

^O((1/ε)^log(1/ε))

(59)

Véletlent használó módszerek

El ˝ony: Gyorsabb lehet.

Hátrány: Kis valószín ˝oséggel hibás választ kapunk.

(60)

Véletlent használó módszerek

Hátrány:Kis valószín ˝oséggel hibás választ kapunk.

(61)

Véletlent használó módszerek

Hátrány:Kis valószín ˝oséggel hibás választ kapunk.

(62)

Prímtesztelés

Bemen ˝o adatként adott (binárisan) egympáratlan egész; szeretnénk eldönteni, hogymprímszám-e.

Fermat-teszt(m)

1. Válasszunk egy véletlenaegészet az[1,m)intervallumból. 2. Ha lnko(a,m)6=1, akkor a válasz„mösszetett”.

3. Haa^m−1≡1 (modm), akkor a válasz„mvalószín ˝uleg prím”, különben a válasz„mösszetett”.

2. Euklideszi algoritmussal gyorsan végrehajtható. 3. Gyors hatványozással gyorsan végrehajtható. Ha azt kapjuk, hogy„mösszetett” =⇒ez biztos igaz.

Pl.: m=21=7·3 ésa=2 =⇒aazmFermat-tanúja, hiszen 2²⁰ ≡4 (mod 21).

(63)

Prímtesztelés

Fermat-teszt(m)

1. Válasszunk egy véletlenaegészet az[1,m)intervallumból.

2. Ha lnko(a,m)6=1, akkor a válasz„mösszetett”.

(64)

Prímtesztelés

Fermat-teszt(m)

(65)

Prímtesztelés

Fermat-teszt(m)

2. Euklideszi algoritmussal gyorsan végrehajtható.

3. Gyors hatványozással gyorsan végrehajtható. Ha azt kapjuk, hogy„mösszetett” =⇒ez biztos igaz.

(66)

Prímtesztelés

Fermat-teszt(m)

3. Gyors hatványozással gyorsan végrehajtható.

Ha azt kapjuk, hogy„mösszetett” =⇒ez biztos igaz.

(67)

Prímtesztelés

Fermat-teszt(m)

(68)

Prímtesztelés

Fermat-teszt(m)

(69)

Prímtesztelés

Fermat-teszt(m)

(70)

Prímtesztelés

Tétel

Ha m-nek van olyan a Fermat-tanúja (1≤a<m és a^m−16≡1 (modm)), melyre lnko(a,m) =1, akkor az[1,m)intervallum egészeinek legalább a fele Fermat-tanú.

Bizonyítás.

Legyenatanú=⇒a^m−16≡1 (mod m)ésc₁,c₂, . . . ,c_s nem tanúk

=⇒c_i^m−1≡1 (mod m)

Feltehetjük, hogya,c_i relatív prímekm-hez.

=⇒(ac_i)^m−1≡a^m−1c_i^m−1≡a^m−16≡1 (modm) =⇒ac_i tanú. Haac_i ≡ac_j (modm) =⇒m|ac_i−ac_j =a(c_i−c_j) =⇒m|c_i−c_j, hiszen lnko(a,m) =1. =⇒ac₁,ac₂, . . . ,acs mind különböz ˝oek lesznek =⇒legalább annyi tanú, mint nem tanú. √

Vannak olyan számok, amelyeknek nincs tanújuk: Carmichael-számok Pl. 561=3·11·17

Alford, Granville, Pomerance, 1992=⇒végtelen sok ilyen szám van

(71)

Prímtesztelés

Tétel

Bizonyítás.

=⇒c_i^m−1≡1 (mod m)

Feltehetjük, hogya,c_i relatív prímekm-hez.

(72)

Prímtesztelés

Tétel

Bizonyítás.

=⇒c_i^m−1≡1 (mod m)

Feltehetjük, hogya,c_irelatív prímekm-hez.

(73)

Prímtesztelés

Tétel

Bizonyítás.

=⇒c_i^m−1≡1 (mod m)

=⇒(ac_i)^m−1≡a^m−1c_i^m−1≡a^m−16≡1 (modm) =⇒ac_i tanú.

Haac_i ≡ac_j (modm) =⇒m|ac_i−ac_j =a(c_i−c_j) =⇒m|c_i−c_j, hiszen lnko(a,m) =1. =⇒ac₁,ac₂, . . . ,acs mind különböz ˝oek lesznek =⇒legalább annyi tanú, mint nem tanú. √

(74)

Prímtesztelés

Tétel

Bizonyítás.

=⇒c_i^m−1≡1 (mod m)

Haac_i ≡ac_j (modm) =⇒

m|ac_i−ac_j =a(c_i−c_j) =⇒m|c_i−c_j, hiszen lnko(a,m) =1. =⇒ac₁,ac₂, . . . ,acs mind különböz ˝oek lesznek =⇒legalább annyi tanú, mint nem tanú. √

(75)

Prímtesztelés

Tétel

Bizonyítás.

=⇒c_i^m−1≡1 (mod m)

Haac_i ≡ac_j (modm) =⇒m|ac_i−ac_j =a(c_i−c_j) =⇒m|c_i−c_j, hiszen lnko(a,m) =1.

=⇒ac₁,ac₂, . . . ,acs mind különböz ˝oek lesznek =⇒legalább annyi tanú, mint nem tanú. √

(76)

Prímtesztelés

Tétel

Bizonyítás.

=⇒c_i^m−1≡1 (mod m)

(77)

Prímtesztelés

Tétel

Bizonyítás.

=⇒c_i^m−1≡1 (mod m)

Vannak olyan számok, amelyeknek nincs tanújuk: Carmichael-számok

Pl. 561=3·11·17

(78)

Prímtesztelés

Tétel

Bizonyítás.

=⇒c_i^m−1≡1 (mod m)

(79)

Prímtesztelés

Tétel

Bizonyítás.

=⇒c_i^m−1≡1 (mod m)

(80)

Rabin-Miller teszt

Definíció

Legyen m egy páratlan természetes szám. Írjuk fel m−1-et m−1=2^kn alakban, ahol n páratlan. Az1≤a<m egész Rabin–Miller-tanú(m összetettségére), ha az

aⁿ−1, aⁿ+1, a²ⁿ+1, . . . , a²^k⁻¹ⁿ+1 számok egyike sem osztható m-mel.

(81)

Rabin-Miller teszt

Tétel

Ha m prím, akkor m-hez nincs Rabin–Miller-tanú.

Bizonyítás.

a^m−1−1= (aⁿ−1)(aⁿ+1)(a²ⁿ+1)· · ·(a²^k−1ⁿ+1) mprím =⇒a kis Fermat-tétel szerintmosztja a bal oldalt.

=⇒mosztja a jobb oldal valamelyik tényez ˝ojét =⇒anem Rabin–Miller-tanú.

Tétel

Ha m összetett, akkor az1≤a<m feltételt teljesít ˝o a egészeknek legalább a fele Rabin–Miller-tanú.

(82)

Rabin-Miller teszt

Tétel

Bizonyítás.

a^m−1−1= (aⁿ−1)(aⁿ+1)(a²ⁿ+1)· · ·(a²^k−1ⁿ+1)

mprím =⇒a kis Fermat-tétel szerintmosztja a bal oldalt.

Tétel

(83)

Rabin-Miller teszt

Tétel

Bizonyítás.

Tétel

(84)

Rabin-Miller teszt

Tétel

Bizonyítás.

Tétel

(85)

Rabin-Miller teszt

Tétel

Bizonyítás.

Tétel

(86)

Rabin-Miller teszt

RM(m)

1. Írjuk felm−1-etm−1=2^knalakban, aholnpáratlan.

3. Ha azaⁿ−1, aⁿ+1, a²ⁿ+1, . . . , a²^k⁻¹ⁿ+1 számok egyike sem oszthatóm-mel, akkor megállunk azzal a válasszal, hogy„m

összetett”, különben megállunk azzal a válasszal, hogy„m valószín ˝uleg prím”.

Algoritmuselmélet Közelít˝o algoritmusok Katona Gyula Y.