Algoritmuselmélet NP

Algoritmuselmélet

NP-teljes problémák

Katona Gyula Y.

Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti M ˝uszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

13. el ˝oadás

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 1 / 27

Karp-redukció

Mikor nem lényegesen nehezebb egyX probléma egyY problémánál?

HaY felhasználásával meg lehet oldaniX-et is.

=⇒X visszavezethet ˝o aY problémára. Definíció

Legyen X és Y két eldöntési probléma. Az X Karp-redukciója (polinomiális visszavezetése)az Y problémára egy olyan polinom id ˝oben számolható f függvény, amely X minden lehetséges

bemenetéhez hozzárendeli Y egy lehetséges bemenetét úgy, hogy x ∈X ⇔f(x)∈Y.

Jelölés: X ≺Y , ha X -nek van Karp-redukciója Y -re.

Ha tehát van algoritmusunkY eldöntésére =⇒x ∈X-re kiszámítjuk f(x)-et, eldöntjükf(x)∈Y? =⇒tudjuk, hogyx ∈X igaz-e. √ Ha tudnánk, hogyX nehéz, és tudjuk, hogyX ≺Y

=⇒Y is nehéz lenne.

HaY könny ˝u, ésX nem lényegesen nehezebb nála, akkorX is könny ˝u.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 2 / 27

Karp-redukció

Mikor nem lényegesen nehezebb egyX probléma egyY problémánál?

HaY felhasználásával meg lehet oldaniX-et is.

=⇒X visszavezethet ˝o aY problémára. Definíció

Legyen X és Y két eldöntési probléma. Az X Karp-redukciója (polinomiális visszavezetése)az Y problémára egy olyan polinom id ˝oben számolható f függvény, amely X minden lehetséges

bemenetéhez hozzárendeli Y egy lehetséges bemenetét úgy, hogy x ∈X ⇔f(x)∈Y.

Jelölés: X ≺Y , ha X -nek van Karp-redukciója Y -re.

Ha tehát van algoritmusunkY eldöntésére =⇒x ∈X-re kiszámítjuk f(x)-et, eldöntjükf(x)∈Y? =⇒tudjuk, hogyx ∈X igaz-e. √ Ha tudnánk, hogyX nehéz, és tudjuk, hogyX ≺Y

=⇒Y is nehéz lenne.

HaY könny ˝u, ésX nem lényegesen nehezebb nála, akkorX is könny ˝u.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 2 / 27

Karp-redukció

Mikor nem lényegesen nehezebb egyX probléma egyY problémánál?

HaY felhasználásával meg lehet oldaniX-et is.

=⇒X visszavezethet ˝o aY problémára.

Definíció

Legyen X és Y két eldöntési probléma. Az X Karp-redukciója (polinomiális visszavezetése)az Y problémára egy olyan polinom id ˝oben számolható f függvény, amely X minden lehetséges

bemenetéhez hozzárendeli Y egy lehetséges bemenetét úgy, hogy x ∈X ⇔f(x)∈Y.

Jelölés: X ≺Y , ha X -nek van Karp-redukciója Y -re.

Ha tehát van algoritmusunkY eldöntésére =⇒x ∈X-re kiszámítjuk f(x)-et, eldöntjükf(x)∈Y? =⇒tudjuk, hogyx ∈X igaz-e. √ Ha tudnánk, hogyX nehéz, és tudjuk, hogyX ≺Y

=⇒Y is nehéz lenne.

HaY könny ˝u, ésX nem lényegesen nehezebb nála, akkorX is könny ˝u.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 2 / 27

Karp-redukció

Mikor nem lényegesen nehezebb egyX probléma egyY problémánál?

HaY felhasználásával meg lehet oldaniX-et is.

=⇒X visszavezethet ˝o aY problémára.

Definíció

Legyen X és Y két eldöntési probléma. Az X Karp-redukciója (polinomiális visszavezetése)az Y problémára egy olyan polinom id ˝oben számolható f függvény, amely X minden lehetséges

bemenetéhez hozzárendeli Y egy lehetséges bemenetét úgy, hogy x ∈X ⇔f(x)∈Y.

Jelölés: X ≺Y , ha X -nek van Karp-redukciója Y -re.

Ha tehát van algoritmusunkY eldöntésére =⇒x ∈X-re kiszámítjuk f(x)-et, eldöntjükf(x)∈Y? =⇒tudjuk, hogyx ∈X igaz-e. √ Ha tudnánk, hogyX nehéz, és tudjuk, hogyX ≺Y

=⇒Y is nehéz lenne.

HaY könny ˝u, ésX nem lényegesen nehezebb nála, akkorX is könny ˝u.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 2 / 27

Karp-redukció

Mikor nem lényegesen nehezebb egyX probléma egyY problémánál?

HaY felhasználásával meg lehet oldaniX-et is.

=⇒X visszavezethet ˝o aY problémára.

Definíció

Legyen X és Y két eldöntési probléma. Az X Karp-redukciója (polinomiális visszavezetése)az Y problémára egy olyan polinom id ˝oben számolható f függvény, amely X minden lehetséges

bemenetéhez hozzárendeli Y egy lehetséges bemenetét úgy, hogy x ∈X ⇔f(x)∈Y.

Jelölés: X ≺Y , ha X -nek van Karp-redukciója Y -re.

Ha tehát van algoritmusunkY eldöntésére =⇒

x ∈X-re kiszámítjuk f(x)-et, eldöntjükf(x)∈Y? =⇒tudjuk, hogyx ∈X igaz-e. √ Ha tudnánk, hogyX nehéz, és tudjuk, hogyX ≺Y

=⇒Y is nehéz lenne.

HaY könny ˝u, ésX nem lényegesen nehezebb nála, akkorX is könny ˝u.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 2 / 27

Karp-redukció

Mikor nem lényegesen nehezebb egyX probléma egyY problémánál?

HaY felhasználásával meg lehet oldaniX-et is.

=⇒X visszavezethet ˝o aY problémára.

Definíció

Legyen X és Y két eldöntési probléma. Az X Karp-redukciója (polinomiális visszavezetése)az Y problémára egy olyan polinom id ˝oben számolható f függvény, amely X minden lehetséges

bemenetéhez hozzárendeli Y egy lehetséges bemenetét úgy, hogy x ∈X ⇔f(x)∈Y.

Jelölés: X ≺Y , ha X -nek van Karp-redukciója Y -re.

Ha tehát van algoritmusunkY eldöntésére =⇒x ∈X-re kiszámítjuk f(x)-et,

eldöntjükf(x)∈Y? =⇒tudjuk, hogyx ∈X igaz-e. √ Ha tudnánk, hogyX nehéz, és tudjuk, hogyX ≺Y

=⇒Y is nehéz lenne.

HaY könny ˝u, ésX nem lényegesen nehezebb nála, akkorX is könny ˝u.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 2 / 27

Karp-redukció

Mikor nem lényegesen nehezebb egyX probléma egyY problémánál?

HaY felhasználásával meg lehet oldaniX-et is.

=⇒X visszavezethet ˝o aY problémára.

Definíció

Legyen X és Y két eldöntési probléma. Az X Karp-redukciója (polinomiális visszavezetése)az Y problémára egy olyan polinom id ˝oben számolható f függvény, amely X minden lehetséges

bemenetéhez hozzárendeli Y egy lehetséges bemenetét úgy, hogy x ∈X ⇔f(x)∈Y.

Jelölés: X ≺Y , ha X -nek van Karp-redukciója Y -re.

Ha tehát van algoritmusunkY eldöntésére =⇒x ∈X-re kiszámítjuk f(x)-et, eldöntjükf(x)∈Y?

=⇒tudjuk, hogyx ∈X igaz-e. √ Ha tudnánk, hogyX nehéz, és tudjuk, hogyX ≺Y

=⇒Y is nehéz lenne.

HaY könny ˝u, ésX nem lényegesen nehezebb nála, akkorX is könny ˝u.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 2 / 27

Karp-redukció

Mikor nem lényegesen nehezebb egyX probléma egyY problémánál?

HaY felhasználásával meg lehet oldaniX-et is.

=⇒X visszavezethet ˝o aY problémára.

Definíció

Legyen X és Y két eldöntési probléma. Az X Karp-redukciója (polinomiális visszavezetése)az Y problémára egy olyan polinom id ˝oben számolható f függvény, amely X minden lehetséges

bemenetéhez hozzárendeli Y egy lehetséges bemenetét úgy, hogy x ∈X ⇔f(x)∈Y.

Jelölés: X ≺Y , ha X -nek van Karp-redukciója Y -re.

Ha tehát van algoritmusunkY eldöntésére =⇒x ∈X-re kiszámítjuk f(x)-et, eldöntjükf(x)∈Y? =⇒tudjuk, hogyx ∈X igaz-e. √

Ha tudnánk, hogyX nehéz, és tudjuk, hogyX ≺Y

=⇒Y is nehéz lenne.

HaY könny ˝u, ésX nem lényegesen nehezebb nála, akkorX is könny ˝u.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 2 / 27

Karp-redukció

Mikor nem lényegesen nehezebb egyX probléma egyY problémánál?

HaY felhasználásával meg lehet oldaniX-et is.

=⇒X visszavezethet ˝o aY problémára.

Definíció

Legyen X és Y két eldöntési probléma. Az X Karp-redukciója (polinomiális visszavezetése)az Y problémára egy olyan polinom id ˝oben számolható f függvény, amely X minden lehetséges

bemenetéhez hozzárendeli Y egy lehetséges bemenetét úgy, hogy x ∈X ⇔f(x)∈Y.

Jelölés: X ≺Y , ha X -nek van Karp-redukciója Y -re.

Ha tehát van algoritmusunkY eldöntésére =⇒x ∈X-re kiszámítjuk f(x)-et, eldöntjükf(x)∈Y? =⇒tudjuk, hogyx ∈X igaz-e. √ Ha tudnánk, hogyX nehéz, és tudjuk, hogyX ≺Y

=⇒Y is nehéz lenne.

HaY könny ˝u, ésX nem lényegesen nehezebb nála, akkorX is könny ˝u.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 2 / 27

Karp-redukció

Mikor nem lényegesen nehezebb egyX probléma egyY problémánál?

HaY felhasználásával meg lehet oldaniX-et is.

=⇒X visszavezethet ˝o aY problémára.

Definíció

Legyen X és Y két eldöntési probléma. Az X Karp-redukciója (polinomiális visszavezetése)az Y problémára egy olyan polinom id ˝oben számolható f függvény, amely X minden lehetséges

bemenetéhez hozzárendeli Y egy lehetséges bemenetét úgy, hogy x ∈X ⇔f(x)∈Y.

Jelölés: X ≺Y , ha X -nek van Karp-redukciója Y -re.

Ha tehát van algoritmusunkY eldöntésére =⇒x ∈X-re kiszámítjuk f(x)-et, eldöntjükf(x)∈Y? =⇒tudjuk, hogyx ∈X igaz-e. √ Ha tudnánk, hogyX nehéz, és tudjuk, hogyX ≺Y

=⇒Y is nehéz lenne.

HaY könny ˝u, ésX nem lényegesen nehezebb nála, akkorX is könny ˝u.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 2 / 27

Karp-redukció

Mikor nem lényegesen nehezebb egyX probléma egyY problémánál?

HaY felhasználásával meg lehet oldaniX-et is.

=⇒X visszavezethet ˝o aY problémára.

Definíció

Legyen X és Y két eldöntési probléma. Az X Karp-redukciója (polinomiális visszavezetése)az Y problémára egy olyan polinom id ˝oben számolható f függvény, amely X minden lehetséges

bemenetéhez hozzárendeli Y egy lehetséges bemenetét úgy, hogy x ∈X ⇔f(x)∈Y.

Jelölés: X ≺Y , ha X -nek van Karp-redukciója Y -re.

Ha tehát van algoritmusunkY eldöntésére =⇒x ∈X-re kiszámítjuk f(x)-et, eldöntjükf(x)∈Y? =⇒tudjuk, hogyx ∈X igaz-e. √ Ha tudnánk, hogyX nehéz, és tudjuk, hogyX ≺Y

=⇒Y is nehéz lenne.

HaY könny ˝u, ésX nem lényegesen nehezebb nála, akkorX is könny ˝u.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 2 / 27

Irányított Hamilton-kör probléma (IH)

Tétel IH≺H.

Bizonyítás.

G= (V,E)egy irányított gráf→G⁰ = (V⁰,E⁰)irányítatlan gráf

hogy G⁰ gyorsan megépíthet ˝o és

G-ben∃irányított Hamilton-kör↔G⁰-ben∃irányítatlan Hamilton-kör. V⁰ = {v_be,v∗,v_ki |v ∈V},

E⁰ = {(v_be,v∗),(v∗,v_ki)|v ∈V} ∪ {(u_ki,v_be)|u→v ∈E}.

u v u_be u∗ u_ki v_be v∗ v_ki

v(G) =n,e(G) =e =⇒v(G⁰) =3n,e(G⁰) =2n+e =⇒O(n+e) lépésben megkapható.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 3 / 27

Irányított Hamilton-kör probléma (IH)

Tétel IH≺H.

Bizonyítás.

G= (V,E)egy irányított gráf→G⁰ = (V⁰,E⁰)irányítatlan gráf hogy G⁰ gyorsan megépíthet ˝o és

G-ben∃irányított Hamilton-kör↔G⁰-ben∃irányítatlan Hamilton-kör. V⁰ = {v_be,v∗,v_ki |v ∈V},

E⁰ = {(v_be,v∗),(v∗,v_ki)|v ∈V} ∪ {(u_ki,v_be)|u→v ∈E}.

u v u_be u∗ u_ki v_be v∗ v_ki

v(G) =n,e(G) =e =⇒v(G⁰) =3n,e(G⁰) =2n+e =⇒O(n+e) lépésben megkapható.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 3 / 27

Irányított Hamilton-kör probléma (IH)

Tétel IH≺H.

Bizonyítás.

G= (V,E)egy irányított gráf→G⁰ = (V⁰,E⁰)irányítatlan gráf hogy G⁰ gyorsan megépíthet ˝o és

G-ben∃irányított Hamilton-kör↔G⁰-ben∃irányítatlan Hamilton-kör.

V⁰ = {v_be,v∗,v_ki |v ∈V},

E⁰ = {(v_be,v∗),(v∗,v_ki)|v ∈V} ∪ {(u_ki,v_be)|u→v ∈E}.

u v u_be u∗ u_ki v_be v∗ v_ki

v(G) =n,e(G) =e =⇒v(G⁰) =3n,e(G⁰) =2n+e =⇒O(n+e) lépésben megkapható.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 3 / 27

Irányított Hamilton-kör probléma (IH)

Tétel IH≺H.

Bizonyítás.

G= (V,E)egy irányított gráf→G⁰ = (V⁰,E⁰)irányítatlan gráf hogy G⁰ gyorsan megépíthet ˝o és

G-ben∃irányított Hamilton-kör↔G⁰-ben∃irányítatlan Hamilton-kör.

V⁰ = {v_be,v∗,v_ki |v ∈V},

E⁰ = {(v_be,v∗),(v∗,v_ki)|v ∈V} ∪ {(u_ki,v_be)|u→v ∈E}.

u v u_be u∗ u_ki v_be v∗ v_ki

v(G) =n,e(G) =e =⇒v(G⁰) =3n,e(G⁰) =2n+e =⇒O(n+e) lépésben megkapható.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 3 / 27

Irányított Hamilton-kör probléma (IH)

Tétel IH≺H.

Bizonyítás.

G= (V,E)egy irányított gráf→G⁰ = (V⁰,E⁰)irányítatlan gráf hogy G⁰ gyorsan megépíthet ˝o és

G-ben∃irányított Hamilton-kör↔G⁰-ben∃irányítatlan Hamilton-kör.

V⁰ = {v_be,v∗,v_ki |v ∈V},

E⁰ = {(v_be,v∗),(v∗,v_ki)|v ∈V} ∪ {(u_ki,v_be)|u→v ∈E}.

u v u_be u∗ u_ki v_be v∗ v_ki

v(G) =n,e(G) =e =⇒v(G⁰) =3n,e(G⁰) =2n+e =⇒O(n+e) lépésben megkapható.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 3 / 27

Irányított Hamilton-kör probléma (IH)

Tétel IH≺H.

Bizonyítás.

G= (V,E)egy irányított gráf→G⁰ = (V⁰,E⁰)irányítatlan gráf hogy G⁰ gyorsan megépíthet ˝o és

G-ben∃irányított Hamilton-kör↔G⁰-ben∃irányítatlan Hamilton-kör.

V⁰ = {v_be,v∗,v_ki |v ∈V},

E⁰ = {(v_be,v∗),(v∗,v_ki)|v ∈V} ∪ {(u_ki,v_be)|u→v ∈E}.

u v u_be u∗ u_ki v_be v∗ v_ki

v(G) =n,e(G) =e =⇒v(G⁰) =3n,e(G⁰) =2n+e =⇒O(n+e) lépésben megkapható.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 3 / 27

Bizonyítás.

G-beliF irányított Hamilton-körének megfelelG⁰ egyF⁰ Hamilton-köre.

u v u_be u∗ u_ki v_be v∗ v_ki

AzF egyu →v éle−→azF⁰-ben azu∗−u_ki−v_be−v∗ út.

EzértG∈IH =⇒G⁰ ∈H

HaG⁰-ben van egyF⁰ ⊆E⁰ Hamilton-kör =⇒egyu∗-ból indulva egy u_ki felé lépjünk el ˝oször

=⇒csaku∗−u_ki−v_be−v∗ alakú lehet utána =⇒ez az út megfelel G-ben egy u -> v élnek. Ezt tovább folytatva Hamilton-kört kapunk G-ben.

EzértG⁰ ∈H =⇒G∈IH.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 4 / 27

Bizonyítás.

G-beliF irányított Hamilton-körének megfelelG⁰ egyF⁰ Hamilton-köre.

u v u_be u∗ u_ki v_be v∗ v_ki

AzF egyu →v éle−→azF⁰-ben azu∗−u_ki−v_be−v∗ út.

EzértG∈IH =⇒G⁰ ∈H

HaG⁰-ben van egyF⁰ ⊆E⁰ Hamilton-kör =⇒egyu∗-ból indulva egy u_ki felé lépjünk el ˝oször

=⇒csaku∗−u_ki−v_be−v∗ alakú lehet utána =⇒ez az út megfelel G-ben egy u -> v élnek. Ezt tovább folytatva Hamilton-kört kapunk G-ben.

EzértG⁰ ∈H =⇒G∈IH.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 4 / 27

Bizonyítás.

G-beliF irányított Hamilton-körének megfelelG⁰ egyF⁰ Hamilton-köre.

u v u_be u∗ u_ki v_be v∗ v_ki

AzF egyu →v éle−→azF⁰-ben azu∗−u_ki−v_be−v∗ út.

EzértG∈IH =⇒G⁰ ∈H

HaG⁰-ben van egyF⁰ ⊆E⁰ Hamilton-kör =⇒egyu∗-ból indulva egy u_ki felé lépjünk el ˝oször

=⇒csaku∗−u_ki−v_be−v∗ alakú lehet utána =⇒ez az út megfelel G-ben egy u -> v élnek. Ezt tovább folytatva Hamilton-kört kapunk G-ben.

EzértG⁰ ∈H =⇒G∈IH.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 4 / 27

Bizonyítás.

G-beliF irányított Hamilton-körének megfelelG⁰ egyF⁰ Hamilton-köre.

u v u_be u∗ u_ki v_be v∗ v_ki

AzF egyu →v éle−→azF⁰-ben azu∗−u_ki−v_be−v∗ út.

EzértG∈IH =⇒G⁰ ∈H

HaG⁰-ben van egyF⁰ ⊆E⁰ Hamilton-kör =⇒egyu∗-ból indulva egy u_ki felé lépjünk el ˝oször

=⇒csaku∗−u_ki−v_be−v∗ alakú lehet utána =⇒ez az út megfelel G-ben egy u -> v élnek.

Ezt tovább folytatva Hamilton-kört kapunk G-ben.

EzértG⁰ ∈H =⇒G∈IH.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 4 / 27

Bizonyítás.

G-beliF irányított Hamilton-körének megfelelG⁰ egyF⁰ Hamilton-köre.

u v u_be u∗ u_ki v_be v∗ v_ki

AzF egyu →v éle−→azF⁰-ben azu∗−u_ki−v_be−v∗ út.

EzértG∈IH =⇒G⁰ ∈H

HaG⁰-ben van egyF⁰ ⊆E⁰ Hamilton-kör =⇒egyu∗-ból indulva egy u_ki felé lépjünk el ˝oször

=⇒csaku∗−u_ki−v_be−v∗ alakú lehet utána =⇒ez az út megfelel G-ben egy u -> v élnek. Ezt tovább folytatva Hamilton-kört kapunk G-ben.

EzértG⁰ ∈H =⇒G∈IH.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 4 / 27

Bizonyítás.

G-beliF irányított Hamilton-körének megfelelG⁰ egyF⁰ Hamilton-köre.

u v u_be u∗ u_ki v_be v∗ v_ki

AzF egyu →v éle−→azF⁰-ben azu∗−u_ki−v_be−v∗ út.

EzértG∈IH =⇒G⁰ ∈H

HaG⁰-ben van egyF⁰ ⊆E⁰ Hamilton-kör =⇒egyu∗-ból indulva egy u_ki felé lépjünk el ˝oször

=⇒csaku∗−u_ki−v_be−v∗ alakú lehet utána =⇒ez az út megfelel G-ben egy u -> v élnek. Ezt tovább folytatva Hamilton-kört kapunk G-ben.

EzértG⁰∈H =⇒G∈IH.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 4 / 27

A Karp-redukció tulajdonságai

Tétel

1. Ha X ≺Y és Y ∈P, akkor X ∈P.

2. Ha X ≺Y és Y ∈NPakkor X ∈NP. 3. Ha X ≺Y,akkor X ≺Y

4. Ha X ≺Y és Y ∈coNP, akkor X ∈coNP.

5. Ha X ≺Y és Y ∈NP∩coNP, akkor X ∈NP∩coNP. 6. Ha X ≺Y és Y ≺Z , akkor X ≺Z .

Bizonyítás.

Legyen f az X Karp-redukciója Y -re, ahol f c₁n^k id ˝oben számolható. x egy bemenet, melyr ˝ol szeretnénk eldönteni, hogy x ∈X teljesül-e, n az x hossza.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 5 / 27

A Karp-redukció tulajdonságai

Tétel

1. Ha X ≺Y és Y ∈P, akkor X ∈P.

2. Ha X ≺Y és Y ∈NPakkor X ∈NP.

3. Ha X ≺Y,akkor X ≺Y

4. Ha X ≺Y és Y ∈coNP, akkor X ∈coNP.

5. Ha X ≺Y és Y ∈NP∩coNP, akkor X ∈NP∩coNP. 6. Ha X ≺Y és Y ≺Z , akkor X ≺Z .

Bizonyítás.

Legyen f az X Karp-redukciója Y -re, ahol f c₁n^k id ˝oben számolható. x egy bemenet, melyr ˝ol szeretnénk eldönteni, hogy x ∈X teljesül-e, n az x hossza.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 5 / 27

A Karp-redukció tulajdonságai

Tétel

1. Ha X ≺Y és Y ∈P, akkor X ∈P.

2. Ha X ≺Y és Y ∈NPakkor X ∈NP.

3. Ha X ≺Y,akkor X ≺Y

4. Ha X ≺Y és Y ∈coNP, akkor X ∈coNP.

5. Ha X ≺Y és Y ∈NP∩coNP, akkor X ∈NP∩coNP. 6. Ha X ≺Y és Y ≺Z , akkor X ≺Z .

Bizonyítás.

Legyen f az X Karp-redukciója Y -re, ahol f c₁n^k id ˝oben számolható. x egy bemenet, melyr ˝ol szeretnénk eldönteni, hogy x ∈X teljesül-e, n az x hossza.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 5 / 27

A Karp-redukció tulajdonságai

Tétel

1. Ha X ≺Y és Y ∈P, akkor X ∈P.

2. Ha X ≺Y és Y ∈NPakkor X ∈NP.

3. Ha X ≺Y,akkor X ≺Y

4. Ha X ≺Y és Y ∈coNP, akkor X ∈coNP.

5. Ha X ≺Y és Y ∈NP∩coNP, akkor X ∈NP∩coNP. 6. Ha X ≺Y és Y ≺Z , akkor X ≺Z .

Bizonyítás.

Legyen f az X Karp-redukciója Y -re, ahol f c₁n^k id ˝oben számolható. x egy bemenet, melyr ˝ol szeretnénk eldönteni, hogy x ∈X teljesül-e, n az x hossza.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 5 / 27

A Karp-redukció tulajdonságai

Tétel

1. Ha X ≺Y és Y ∈P, akkor X ∈P.

2. Ha X ≺Y és Y ∈NPakkor X ∈NP.

3. Ha X ≺Y,akkor X ≺Y

4. Ha X ≺Y és Y ∈coNP, akkor X ∈coNP.

5. Ha X ≺Y és Y ∈NP∩coNP, akkor X ∈NP∩coNP.

6. Ha X ≺Y és Y ≺Z , akkor X ≺Z .

Bizonyítás.

Legyen f az X Karp-redukciója Y -re, ahol f c₁n^k id ˝oben számolható. x egy bemenet, melyr ˝ol szeretnénk eldönteni, hogy x ∈X teljesül-e, n az x hossza.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 5 / 27

A Karp-redukció tulajdonságai

Tétel

1. Ha X ≺Y és Y ∈P, akkor X ∈P.

2. Ha X ≺Y és Y ∈NPakkor X ∈NP.

3. Ha X ≺Y,akkor X ≺Y

4. Ha X ≺Y és Y ∈coNP, akkor X ∈coNP.

5. Ha X ≺Y és Y ∈NP∩coNP, akkor X ∈NP∩coNP.

6. Ha X ≺Y és Y ≺Z , akkor X ≺Z .

Bizonyítás.

Legyen f az X Karp-redukciója Y -re, ahol f c₁n^k id ˝oben számolható. x egy bemenet, melyr ˝ol szeretnénk eldönteni, hogy x ∈X teljesül-e, n az x hossza.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 5 / 27

A Karp-redukció tulajdonságai

Tétel

1. Ha X ≺Y és Y ∈P, akkor X ∈P.

2. Ha X ≺Y és Y ∈NPakkor X ∈NP.

3. Ha X ≺Y,akkor X ≺Y

4. Ha X ≺Y és Y ∈coNP, akkor X ∈coNP.

5. Ha X ≺Y és Y ∈NP∩coNP, akkor X ∈NP∩coNP.

6. Ha X ≺Y és Y ≺Z , akkor X ≺Z .

Bizonyítás.

Legyen f az X Karp-redukciója Y -re, ahol f c₁n^k id ˝oben számolható.

x egy bemenet, melyr ˝ol szeretnénk eldönteni, hogy x ∈X teljesül-e, n az x hossza.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 5 / 27

A Karp-redukció tulajdonságai

Tétel

1. Ha X ≺Y és Y ∈P, akkor X ∈P.

2. Ha X ≺Y és Y ∈NPakkor X ∈NP.

3. Ha X ≺Y,akkor X ≺Y

4. Ha X ≺Y és Y ∈coNP, akkor X ∈coNP.

5. Ha X ≺Y és Y ∈NP∩coNP, akkor X ∈NP∩coNP.

6. Ha X ≺Y és Y ≺Z , akkor X ≺Z .

Bizonyítás.

Legyen f az X Karp-redukciója Y -re, ahol f c₁n^k id ˝oben számolható.

x egy bemenet, melyr ˝ol szeretnénk eldönteni, hogy x ∈X teljesül-e, n az x hossza.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 5 / 27

A Karp-redukció tulajdonságai

Tétel

1. Ha X ≺Y és Y ∈P, akkor X ∈P.

2. Ha X ≺Y és Y ∈NPakkor X ∈NP.

3. Ha X ≺Y,akkor X ≺Y

4. Ha X ≺Y és Y ∈coNP, akkor X ∈coNP.

5. Ha X ≺Y és Y ∈NP∩coNP, akkor X ∈NP∩coNP.

6. Ha X ≺Y és Y ≺Z , akkor X ≺Z .

Bizonyítás.

Legyen f az X Karp-redukciója Y -re, ahol f c₁n^k id ˝oben számolható.

x egy bemenet, melyr ˝ol szeretnénk eldönteni, hogy x ∈X teljesül-e, n az x hossza.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 5 / 27

Bizonyítás.

1.: Kiszámítjuk f(x)-et

→id ˝oigénye≤c₁n^k =⇒ |f(x)| ≤c₁n^k. Y felismer ˝o algoritmusával c₂|f(x)|^l id ˝oben eldöntjük, hogy f(x)∈Y igaz-e.

→id ˝oigénye≤c₂(c₁n^k)^l

x ∈X ⇔f(x)∈Y =⇒összid ˝o O(n^kl) √

2.: Az f(x)∈Y tény egy t tanúja jó x ∈X tanújának is, és az Y -hoz tartozóT tanúsító algoritmus egykis módosítássaljó lesz az X tanúsító algoritmusának is.

T⁰ az(x,t)bemenetre el ˝oször kiszámítja f(x)-et, majd az(f(x),t) párra alkalmazzaT-t.

Ha az eredményIGEN, akkor legyenT⁰eredménye isIGEN, különben pedigNEM.

|t|=O(|f(x)|^c) =⇒ |t|=O(n^kc)

T⁰ lépésszáma, haT lépésszáma O((|y|+|t|)^l):

O(n^k) +O((|f(x)|+|t|)^l) =O(n^k) +O(|f(x)|^cl) =O(n^kcl).

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 6 / 27

Bizonyítás.

1.: Kiszámítjuk f(x)-et→id ˝oigénye≤c₁n^k =⇒ |f(x)| ≤c₁n^k.

Y felismer ˝o algoritmusával c₂|f(x)|^l id ˝oben eldöntjük, hogy f(x)∈Y igaz-e.

→id ˝oigénye≤c₂(c₁n^k)^l

x ∈X ⇔f(x)∈Y =⇒összid ˝o O(n^kl) √

2.: Az f(x)∈Y tény egy t tanúja jó x ∈X tanújának is, és az Y -hoz tartozóT tanúsító algoritmus egykis módosítássaljó lesz az X tanúsító algoritmusának is.

T⁰ az(x,t)bemenetre el ˝oször kiszámítja f(x)-et, majd az(f(x),t) párra alkalmazzaT-t.

Ha az eredményIGEN, akkor legyenT⁰eredménye isIGEN, különben pedigNEM.

|t|=O(|f(x)|^c) =⇒ |t|=O(n^kc)

T⁰ lépésszáma, haT lépésszáma O((|y|+|t|)^l):

O(n^k) +O((|f(x)|+|t|)^l) =O(n^k) +O(|f(x)|^cl) =O(n^kcl).

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 6 / 27

Bizonyítás.

1.: Kiszámítjuk f(x)-et→id ˝oigénye≤c₁n^k =⇒ |f(x)| ≤c₁n^k. Y felismer ˝o algoritmusával c₂|f(x)|^l id ˝oben eldöntjük, hogy f(x)∈Y igaz-e.

→id ˝oigénye≤c₂(c₁n^k)^l

x ∈X ⇔f(x)∈Y =⇒összid ˝o O(n^kl) √

2.: Az f(x)∈Y tény egy t tanúja jó x ∈X tanújának is, és az Y -hoz tartozóT tanúsító algoritmus egykis módosítássaljó lesz az X tanúsító algoritmusának is.

T⁰ az(x,t)bemenetre el ˝oször kiszámítja f(x)-et, majd az(f(x),t) párra alkalmazzaT-t.

Ha az eredményIGEN, akkor legyenT⁰eredménye isIGEN, különben pedigNEM.

|t|=O(|f(x)|^c) =⇒ |t|=O(n^kc)

T⁰ lépésszáma, haT lépésszáma O((|y|+|t|)^l):

O(n^k) +O((|f(x)|+|t|)^l) =O(n^k) +O(|f(x)|^cl) =O(n^kcl).

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 6 / 27

Bizonyítás.

1.: Kiszámítjuk f(x)-et→id ˝oigénye≤c₁n^k =⇒ |f(x)| ≤c₁n^k. Y felismer ˝o algoritmusával c₂|f(x)|^l id ˝oben eldöntjük, hogy f(x)∈Y igaz-e.

→id ˝oigénye≤c₂(c₁n^k)^l

x ∈X ⇔f(x)∈Y =⇒összid ˝o O(n^kl) √

2.: Az f(x)∈Y tény egy t tanúja jó x ∈X tanújának is, és az Y -hoz tartozóT tanúsító algoritmus egykis módosítássaljó lesz az X tanúsító algoritmusának is.

T⁰ az(x,t)bemenetre el ˝oször kiszámítja f(x)-et, majd az(f(x),t) párra alkalmazzaT-t.

Ha az eredményIGEN, akkor legyenT⁰eredménye isIGEN, különben pedigNEM.

|t|=O(|f(x)|^c) =⇒ |t|=O(n^kc)

T⁰ lépésszáma, haT lépésszáma O((|y|+|t|)^l):

O(n^k) +O((|f(x)|+|t|)^l) =O(n^k) +O(|f(x)|^cl) =O(n^kcl).

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 6 / 27

Bizonyítás.

1.: Kiszámítjuk f(x)-et→id ˝oigénye≤c₁n^k =⇒ |f(x)| ≤c₁n^k. Y felismer ˝o algoritmusával c₂|f(x)|^l id ˝oben eldöntjük, hogy f(x)∈Y igaz-e.

→id ˝oigénye≤c₂(c₁n^k)^l

x ∈X ⇔f(x)∈Y =⇒összid ˝o O(n^kl) √

2.: Az f(x)∈Y tény egy t tanúja jó x ∈X tanújának is, és az Y -hoz tartozóT tanúsító algoritmus egykis módosítássaljó lesz az X tanúsító algoritmusának is.

T⁰ az(x,t)bemenetre el ˝oször kiszámítja f(x)-et, majd az(f(x),t) párra alkalmazzaT-t.

Ha az eredményIGEN, akkor legyenT⁰eredménye isIGEN, különben pedigNEM.

|t|=O(|f(x)|^c) =⇒ |t|=O(n^kc)

T⁰ lépésszáma, haT lépésszáma O((|y|+|t|)^l):

O(n^k) +O((|f(x)|+|t|)^l) =O(n^k) +O(|f(x)|^cl) =O(n^kcl).

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 6 / 27

Bizonyítás.

1.: Kiszámítjuk f(x)-et→id ˝oigénye≤c₁n^k =⇒ |f(x)| ≤c₁n^k. Y felismer ˝o algoritmusával c₂|f(x)|^l id ˝oben eldöntjük, hogy f(x)∈Y igaz-e.

→id ˝oigénye≤c₂(c₁n^k)^l

x ∈X ⇔f(x)∈Y =⇒összid ˝o O(n^kl) √

2.: Az f(x)∈Y tény egy t tanúja jó x ∈X tanújának is, és az Y -hoz tartozóT tanúsító algoritmus egykis módosítássaljó lesz az X tanúsító algoritmusának is.

T⁰ az(x,t)bemenetre el ˝oször kiszámítja f(x)-et, majd az(f(x),t) párra alkalmazzaT-t.

Ha az eredményIGEN, akkor legyenT⁰eredménye isIGEN, különben pedigNEM.

|t|=O(|f(x)|^c) =⇒ |t|=O(n^kc)

T⁰ lépésszáma, haT lépésszáma O((|y|+|t|)^l):

O(n^k) +O((|f(x)|+|t|)^l) =O(n^k) +O(|f(x)|^cl) =O(n^kcl).

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 6 / 27

Bizonyítás.

1.: Kiszámítjuk f(x)-et→id ˝oigénye≤c₁n^k =⇒ |f(x)| ≤c₁n^k. Y felismer ˝o algoritmusával c₂|f(x)|^l id ˝oben eldöntjük, hogy f(x)∈Y igaz-e.

→id ˝oigénye≤c₂(c₁n^k)^l

x ∈X ⇔f(x)∈Y =⇒összid ˝o O(n^kl) √

2.: Az f(x)∈Y tény egy t tanúja jó x ∈X tanújának is, és az Y -hoz tartozóT tanúsító algoritmus egykis módosítássaljó lesz az X tanúsító algoritmusának is.

T⁰ az(x,t)bemenetre el ˝oször kiszámítja f(x)-et, majd az(f(x),t) párra alkalmazzaT-t.

Ha az eredményIGEN, akkor legyenT⁰eredménye isIGEN, különben pedigNEM.

|t|=O(|f(x)|^c) =⇒ |t|=O(n^kc)

T⁰ lépésszáma, haT lépésszáma O((|y|+|t|)^l):

O(n^k) +O((|f(x)|+|t|)^l) =O(n^k) +O(|f(x)|^cl) =O(n^kcl).

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 6 / 27

Bizonyítás.

1.: Kiszámítjuk f(x)-et→id ˝oigénye≤c₁n^k =⇒ |f(x)| ≤c₁n^k. Y felismer ˝o algoritmusával c₂|f(x)|^l id ˝oben eldöntjük, hogy f(x)∈Y igaz-e.

→id ˝oigénye≤c₂(c₁n^k)^l

x ∈X ⇔f(x)∈Y =⇒összid ˝o O(n^kl) √

2.: Az f(x)∈Y tény egy t tanúja jó x ∈X tanújának is, és az Y -hoz tartozóT tanúsító algoritmus egykis módosítássaljó lesz az X tanúsító algoritmusának is.

T⁰ az(x,t)bemenetre el ˝oször kiszámítja f(x)-et, majd az(f(x),t) párra alkalmazzaT-t.

Ha az eredményIGEN, akkor legyenT⁰eredménye isIGEN, különben pedigNEM.

|t|=O(|f(x)|^c) =⇒ |t|=O(n^kc)

T⁰ lépésszáma, haT lépésszáma O((|y|+|t|)^l):

O(n^k) +O((|f(x)|+|t|)^l) =O(n^k) +O(|f(x)|^cl) =O(n^kcl).

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 6 / 27

Bizonyítás.

1.: Kiszámítjuk f(x)-et→id ˝oigénye≤c₁n^k =⇒ |f(x)| ≤c₁n^k. Y felismer ˝o algoritmusával c₂|f(x)|^l id ˝oben eldöntjük, hogy f(x)∈Y igaz-e.

→id ˝oigénye≤c₂(c₁n^k)^l

x ∈X ⇔f(x)∈Y =⇒összid ˝o O(n^kl) √

2.: Az f(x)∈Y tény egy t tanúja jó x ∈X tanújának is, és az Y -hoz tartozóT tanúsító algoritmus egykis módosítássaljó lesz az X tanúsító algoritmusának is.

T⁰ az(x,t)bemenetre el ˝oször kiszámítja f(x)-et, majd az(f(x),t) párra alkalmazzaT-t.

Ha az eredményIGEN, akkor legyenT⁰eredménye isIGEN, különben pedigNEM.

|t|=O(|f(x)|^c) =⇒ |t|=O(n^kc)

T⁰ lépésszáma, haT lépésszáma O((|y|+|t|)^l):

O(n^k) +O((|f(x)|+|t|)^l) =O(n^k) +O(|f(x)|^cl) =O(n^kcl).

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 6 / 27

Bizonyítás.

3.: X-nek egy Karp-redukciójaY-ra egyben egy Karp-redukcióX-r ˝ol Y-re, hiszenx ∈X ⇐⇒ f(x)∈Y ugyanaz, mintx ∈/ X ⇐⇒ f(x)∈/ Y

4.: ⇐=2.,3. 5.: ⇐=2.,4.

6.: Legyenf azX ≺Y függvénye, amiO(n^k)id ˝oben számolható ésg azY ≺Z függvénye, amiO(n^l)id ˝oben számolható.

AzX ≺Z függvényeg(f(x))lesz, amiO((n^k)^l) =O(n^kl)id ˝oben számolható.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 7 / 27

Bizonyítás.

3.: X-nek egy Karp-redukciójaY-ra egyben egy Karp-redukcióX-r ˝ol Y-re, hiszenx ∈X ⇐⇒ f(x)∈Y ugyanaz, mintx ∈/ X ⇐⇒ f(x)∈/ Y 4.: ⇐=2.,3.

5.: ⇐=2.,4.

6.: Legyenf azX ≺Y függvénye, amiO(n^k)id ˝oben számolható ésg azY ≺Z függvénye, amiO(n^l)id ˝oben számolható.

AzX ≺Z függvényeg(f(x))lesz, amiO((n^k)^l) =O(n^kl)id ˝oben számolható.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 7 / 27

Bizonyítás.

3.: X-nek egy Karp-redukciójaY-ra egyben egy Karp-redukcióX-r ˝ol Y-re, hiszenx ∈X ⇐⇒ f(x)∈Y ugyanaz, mintx ∈/ X ⇐⇒ f(x)∈/ Y 4.: ⇐=2.,3.

5.: ⇐=2.,4.

6.: Legyenf azX ≺Y függvénye, amiO(n^k)id ˝oben számolható ésg azY ≺Z függvénye, amiO(n^l)id ˝oben számolható.

AzX ≺Z függvényeg(f(x))lesz, amiO((n^k)^l) =O(n^kl)id ˝oben számolható.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 7 / 27

Bizonyítás.

3.: X-nek egy Karp-redukciójaY-ra egyben egy Karp-redukcióX-r ˝ol Y-re, hiszenx ∈X ⇐⇒ f(x)∈Y ugyanaz, mintx ∈/ X ⇐⇒ f(x)∈/ Y 4.: ⇐=2.,3.

5.: ⇐=2.,4.

6.: Legyenf azX ≺Y függvénye, amiO(n^k)id ˝oben számolható ésg azY ≺Z függvénye, amiO(n^l)id ˝oben számolható.

AzX ≺Z függvényeg(f(x))lesz, amiO((n^k)^l) =O(n^kl)id ˝oben számolható.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 7 / 27

Bizonyítás.

3.: X-nek egy Karp-redukciójaY-ra egyben egy Karp-redukcióX-r ˝ol Y-re, hiszenx ∈X ⇐⇒ f(x)∈Y ugyanaz, mintx ∈/ X ⇐⇒ f(x)∈/ Y 4.: ⇐=2.,3.

5.: ⇐=2.,4.

6.: Legyenf azX ≺Y függvénye, amiO(n^k)id ˝oben számolható ésg azY ≺Z függvénye, amiO(n^l)id ˝oben számolható.

AzX ≺Z függvényeg(f(x))lesz, amiO((n^k)^l) =O(n^kl)id ˝oben számolható.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 7 / 27

NP-teljes problémák

Definíció

Az X eldöntési problémaNP-nehéz, ha tetsz ˝oleges(azaz minden) X⁰ ∈NPprobléma esetén létezik X⁰ ≺X Karp-redukció.

Az X eldöntési problémaNP-teljes, ha X ∈NPés X NP-nehéz.

EgyNP-teljes probléma tehát legalább olyan nehéz, mint bármely más NP-beli probléma.

Ha egy ilyen problémáról kiderülne, hogyP-beli (coNP-beli), akkor ugyanez igaz lenne mindenNP-beli problémára.

Van-e NP-teljes probléma?

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 8 / 27

NP-teljes problémák

Definíció

Az X eldöntési problémaNP-nehéz, ha tetsz ˝oleges(azaz minden) X⁰ ∈NPprobléma esetén létezik X⁰ ≺X Karp-redukció.

Az X eldöntési problémaNP-teljes, ha X ∈NPés X NP-nehéz.

EgyNP-teljes probléma tehát legalább olyan nehéz, mint bármely más NP-beli probléma.

Ha egy ilyen problémáról kiderülne, hogyP-beli (coNP-beli), akkor ugyanez igaz lenne mindenNP-beli problémára.

Van-e NP-teljes probléma?

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 8 / 27

NP-teljes problémák

Definíció

Az X eldöntési problémaNP-nehéz, ha tetsz ˝oleges(azaz minden) X⁰ ∈NPprobléma esetén létezik X⁰ ≺X Karp-redukció.

Az X eldöntési problémaNP-teljes, ha X ∈NPés X NP-nehéz.

EgyNP-teljes probléma tehát legalább olyan nehéz, mint bármely más NP-beli probléma.

Ha egy ilyen problémáról kiderülne, hogyP-beli (coNP-beli), akkor ugyanez igaz lenne mindenNP-beli problémára.

Van-e NP-teljes probléma?

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 8 / 27

Boole-formulák

Definíció

Az f :{0,1}ⁿ→ {0,1}függvényeket n-változósBoole-függvényeknek vagyBoole-formuláknakhívjuk.

Tétel

Minden Boole-függvény felírható az x₁, . . . ,x_nBoole-változók, az

∧,∨,¬logikai m ˝uveletek és zárójelek segítségével.

Pl. Boole-formula:

Φ = (x₁∨ ¬x₂∨x₅)∧((¬x₃∨x₂∨(x₆∧x₁))∧ ¬(x₅∨x₆))

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 9 / 27

Boole-formulák

Definíció

Az f :{0,1}ⁿ→ {0,1}függvényeket n-változósBoole-függvényeknek vagyBoole-formuláknakhívjuk.

Tétel

Minden Boole-függvény felírható az x₁, . . . ,x_nBoole-változók, az

∧,∨,¬logikai m ˝uveletek és zárójelek segítségével.

Pl. Boole-formula:

Φ = (x₁∨ ¬x₂∨x₅)∧((¬x₃∨x₂∨(x₆∧x₁))∧ ¬(x₅∨x₆))

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 9 / 27

Boole-formulák

Definíció

Az f :{0,1}ⁿ→ {0,1}függvényeket n-változósBoole-függvényeknek vagyBoole-formuláknakhívjuk.

Tétel

Minden Boole-függvény felírható az x₁, . . . ,x_nBoole-változók, az

∧,∨,¬logikai m ˝uveletek és zárójelek segítségével.

Pl. Boole-formula:

Φ = (x₁∨ ¬x₂∨x₅)∧((¬x₃∨x₂∨(x₆∧x₁))∧ ¬(x₅∨x₆))

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 9 / 27

Boole-formulák

Definíció

Az f :{0,1}ⁿ→ {0,1}függvényeket n-változósBoole-függvényeknek vagyBoole-formuláknakhívjuk.

Tétel

Minden Boole-függvény felírható az x₁, . . . ,x_nBoole-változók, az

∧,∨,¬logikai m ˝uveletek és zárójelek segítségével.

Pl. Boole-formula:

Φ = (x₁∨ ¬x₂∨x₅)∧((¬x₃∨x₂∨(x₆∧x₁))∧ ¬(x₅∨x₆))

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 9 / 27

Boole-formulák

Definíció

Egy Boole-formula kielégíthet ˝o, ha lehet úgy értékeket adni a változóinak, hogy a függvény értéke 1 legyen.

Pl. Φ(x₁,x₂) = (x₁∨x₂)∧(¬x₁∨ ¬x₂)kielégíthet ˝o, mert hax₁=1 és x₂=0, akkorΦ(x₁,x₂) =1

De pl. (x₁∧ ¬x₁)nyilván nem kielégíthet ˝o.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 10 / 27

Boole-formulák

Definíció

Egy Boole-formula kielégíthet ˝o, ha lehet úgy értékeket adni a változóinak, hogy a függvény értéke 1 legyen.

Pl. Φ(x₁,x₂) = (x₁∨x₂)∧(¬x₁∨ ¬x₂)kielégíthet ˝o, mert hax₁=1 és x₂=0, akkorΦ(x₁,x₂) =1

De pl. (x₁∧ ¬x₁)nyilván nem kielégíthet ˝o.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 10 / 27

Boole-formulák

Definíció

Egy Boole-formula kielégíthet ˝o, ha lehet úgy értékeket adni a változóinak, hogy a függvény értéke 1 legyen.

Pl. Φ(x₁,x₂) = (x₁∨x₂)∧(¬x₁∨ ¬x₂)kielégíthet ˝o, mert hax₁=1 és x₂=0, akkorΦ(x₁,x₂) =1

De pl. (x₁∧ ¬x₁)nyilván nem kielégíthet ˝o.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 10 / 27

Cook–Levin-tétel

Van-e NP-teljes probléma?

Definíció

SATprobléma:

Bemenet: ΦBoole-fomula Kérdés: Kielégíthet ˝o-eΦ?

Tétel (S. A. Cook, L. Levin, 1971) ASAT problémaNP-teljes.

Bizonyítás elég bonyolult.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 11 / 27

Cook–Levin-tétel

Van-e NP-teljes probléma?

Definíció

SATprobléma:

Bemenet:ΦBoole-fomula Kérdés: Kielégíthet ˝o-eΦ?

Tétel (S. A. Cook, L. Levin, 1971) ASAT problémaNP-teljes.

Bizonyítás elég bonyolult.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 11 / 27

Cook–Levin-tétel

Van-e NP-teljes probléma?

Definíció

SATprobléma:

Bemenet:ΦBoole-fomula Kérdés: Kielégíthet ˝o-eΦ?

Tétel (S. A. Cook, L. Levin, 1971) ASAT problémaNP-teljes.

Bizonyítás elég bonyolult.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 11 / 27

Cook–Levin-tétel

Van-e NP-teljes probléma?

Definíció

SATprobléma:

Bemenet:ΦBoole-fomula Kérdés: Kielégíthet ˝o-eΦ?

Tétel (S. A. Cook, L. Levin, 1971) ASAT problémaNP-teljes.

Bizonyítás elég bonyolult.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 11 / 27

További NP-teljes feladatok

Tétel

Ha az X problémaNP-teljes, Y ∈NPés X ≺Y , akkor Y isNP-teljes.

Bizonyítás.

Láttuk, hogy a Karp-redukció tranzitív.

=⇒HaX ≺Y ésZ ≺X teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Z ≺Y teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Y ∈NP-nehéz.

MivelY ∈NPis =⇒Y ∈NP-teljes.

Nem kell mármindenNP-beli problémát azY-ra redukálni; elég ezt megtenniegyetlenNP-teljesX problémával.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 12 / 27

További NP-teljes feladatok

Tétel

Ha az X problémaNP-teljes, Y ∈NPés X ≺Y , akkor Y isNP-teljes.

Bizonyítás.

Láttuk, hogy a Karp-redukció tranzitív.

=⇒HaX ≺Y ésZ ≺X teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Z ≺Y teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Y ∈NP-nehéz.

MivelY ∈NPis =⇒Y ∈NP-teljes.

Nem kell mármindenNP-beli problémát azY-ra redukálni; elég ezt megtenniegyetlenNP-teljesX problémával.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 12 / 27

További NP-teljes feladatok

Tétel

Ha az X problémaNP-teljes, Y ∈NPés X ≺Y , akkor Y isNP-teljes.

Bizonyítás.

Láttuk, hogy a Karp-redukció tranzitív.

=⇒HaX ≺Y ésZ ≺X teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Z ≺Y teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Y ∈NP-nehéz.

MivelY ∈NPis =⇒Y ∈NP-teljes.

Nem kell mármindenNP-beli problémát azY-ra redukálni; elég ezt megtenniegyetlenNP-teljesX problémával.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 12 / 27

További NP-teljes feladatok

Tétel

Ha az X problémaNP-teljes, Y ∈NPés X ≺Y , akkor Y isNP-teljes.

Bizonyítás.

Láttuk, hogy a Karp-redukció tranzitív.

=⇒HaX ≺Y ésZ ≺X teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Z ≺Y teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Y ∈NP-nehéz.

MivelY ∈NPis =⇒Y ∈NP-teljes.

Nem kell mármindenNP-beli problémát azY-ra redukálni; elég ezt megtenniegyetlenNP-teljesX problémával.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 12 / 27

További NP-teljes feladatok

Tétel

Ha az X problémaNP-teljes, Y ∈NPés X ≺Y , akkor Y isNP-teljes.

Bizonyítás.

Láttuk, hogy a Karp-redukció tranzitív.

=⇒HaX ≺Y ésZ ≺X teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Z ≺Y teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Y ∈NP-nehéz.

MivelY ∈NPis =⇒Y ∈NP-teljes.

Nem kell mármindenNP-beli problémát azY-ra redukálni; elég ezt megtenniegyetlenNP-teljesX problémával.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 12 / 27

További NP-teljes feladatok

Tétel

Ha az X problémaNP-teljes, Y ∈NPés X ≺Y , akkor Y isNP-teljes.

Bizonyítás.

Láttuk, hogy a Karp-redukció tranzitív.

=⇒HaX ≺Y ésZ ≺X teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Z ≺Y teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Y ∈NP-nehéz.

MivelY ∈NPis =⇒Y ∈NP-teljes.

Nem kell mármindenNP-beli problémát azY-ra redukálni; elég ezt megtenniegyetlenNP-teljesX problémával.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 12 / 27

További NP-teljes feladatok

Tétel

Ha az X problémaNP-teljes, Y ∈NPés X ≺Y , akkor Y isNP-teljes.

Bizonyítás.

Láttuk, hogy a Karp-redukció tranzitív.

=⇒HaX ≺Y ésZ ≺X teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Z ≺Y teljesül∀Z ∈NPproblémára.

=⇒Y ∈NP-nehéz.

MivelY ∈NPis =⇒Y ∈NP-teljes.

Nem kell mármindenNP-beli problémát azY-ra redukálni; elég ezt megtenniegyetlenNP-teljesX problémával.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 12 / 27

A 3-SZÍN probléma

Tétel

A3SZÍNproblémaNP-teljes.

Bizonyítás.

Már láttuk, hogy∈NP, belátható, hogySAT≺3SZÍN.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 13 / 27

A 3-SZÍN probléma

Tétel

A3SZÍNproblémaNP-teljes.

Bizonyítás.

Már láttuk, hogy∈NP, belátható, hogySAT≺3SZÍN.

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 13 / 27

Maximális méret ˝u független pontrendszer gráfokban

MAXFTLEN

Bemenet:Ggráf,k ∈Z⁺.

Kérdés: Van-eG-nekk elem ˝u független csúcshalmaza?

Tétel

AMAXFTLNnyelvNP-teljes.

Bizonyítás.

MAXFTLEN∈NP: tanú egy k -elem ˝u S ⊆V(G)független csúcshalmaz. √

Megadunk egy 3SZÍN ≺MAXFTLEN Karp-redukciót: G→(G⁰,k⁰) G∈3SZÍN⇔(G⁰,k⁰)∈MAXFTLEN

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 14 / 27

Maximális méret ˝u független pontrendszer gráfokban

MAXFTLEN

Bemenet:Ggráf,k ∈Z⁺.

Kérdés: Van-eG-nekk elem ˝u független csúcshalmaza?

Tétel

AMAXFTLNnyelvNP-teljes.

Bizonyítás.

MAXFTLEN∈NP: tanú egy k -elem ˝u S ⊆V(G)független csúcshalmaz. √

Megadunk egy 3SZÍN ≺MAXFTLEN Karp-redukciót: G→(G⁰,k⁰) G∈3SZÍN⇔(G⁰,k⁰)∈MAXFTLEN

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 14 / 27

Bizonyítás.

G⁰ megadása: VegyükGhárom másolatát (G⁽¹⁾,G⁽²⁾,G⁽³⁾), minden csúcs három példányát összekötjük.

G⁽¹⁾ G⁽²⁾ G⁽³⁾

|V(G⁰)|=3|V(G)|és

|E(G⁰)|=3|V(G)|+3|E(G)|, legyenk⁰=|V(G)|.

HaGszínezhet ˝o 3 színnel =⇒G⁰is =⇒

a piros pontok halmazaG⁰-ben független és|V(G)|van bel ˝olük. √ HaG⁰-ben van|V(G)|független, akkor legyenS egy ilyen ponthalmaz G’-ben.

=⇒MindenG-belix pontnak pontosan 1 példányát tartalmazzaS.

=⇒Azx pont legyensárga/piros/zöld, ha ez a példányG⁽¹⁾-ben / G⁽²⁾-ben /G⁽³⁾-ban van. =⇒ez jó színezésG-ben. √

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 15 / 27

Bizonyítás.

G⁰ megadása: VegyükGhárom másolatát (G⁽¹⁾,G⁽²⁾,G⁽³⁾), minden csúcs három példányát összekötjük.

G⁽¹⁾ G⁽²⁾ G⁽³⁾

|V(G⁰)|=3|V(G)|és

|E(G⁰)|=3|V(G)|+3|E(G)|, legyenk⁰=|V(G)|.

HaGszínezhet ˝o 3 színnel =⇒G⁰is =⇒

a piros pontok halmazaG⁰-ben független és|V(G)|van bel ˝olük. √ HaG⁰-ben van|V(G)|független, akkor legyenS egy ilyen ponthalmaz G’-ben.

=⇒MindenG-belix pontnak pontosan 1 példányát tartalmazzaS.

=⇒Azx pont legyensárga/piros/zöld, ha ez a példányG⁽¹⁾-ben / G⁽²⁾-ben /G⁽³⁾-ban van. =⇒ez jó színezésG-ben. √

Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 13. el ˝oadás 15 / 27