MIKROÖKONÓMIA II.

(1)

MIKROÖKONÓMIA II.

(2)

(3)

(4)

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Mikroökonómia II.

3. hét

ÁLTALÁNOS EGYENSÚLYELMÉLET, 2. rész Készítette:

K®hegyi Gergely Szakmai felel®s:

K®hegyi Gergely

2011. február

(5)

3. hét K®hegyi Gergely

Egyensúly termelés mellett

Egy szerepl®, két termék, egy termelési tényez®

Két szerepl®, két termék, egy termelési tényez®

Két fogyasztó, két termel®, két termék, egy termelési tényez®

N termék, M fogyasztó, R vállalat és K termelési tényez®

F® kérdések Nem tökéletes piacok

A tananyagot készítette: K®hegyi Gergely

Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON-könyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el®adásvázlatok.

http://econ.core.hu/ ∼ kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG)

felhasználásával.

(6)

Vázlat

1 Egyensúly termelés mellett

Egy szerepl®, két termék, egy termelési tényez®

Két szerepl®, két termék, egy termelési tényez®

Két fogyasztó, két termel®, két termék, egy termelési tényez®

N termék, M fogyasztó, R vállalat és K termelési tényez®

2 F® kérdések

3 Nem tökéletes piacok

(7)

Els® példa

Robinson halat és kókuszdiót fogyaszt, amelyeket munkával állít el®.

x K : Robinson kókuszdió fogyasztása

x _H : Robinson halfogyasztása h: termelési tényez®

(munkaóra): felt.: h ¯ = 10 Termelési függvények (állandó mérethozadék):

x

H

= 10h

H

x

K

= 20h

K

Er®forráskorlát:

h H + h K = 10

x _H 10 + x _K

20 = 10

x K = 200 − 2x H

(8)

Els® példa (folyt.)

Termelési lehet®ségek halmaza:

x _K + 2x _H ≤ 200 x _K , x _H ≥ 0 Termelési lehet®ségek határa:

x K + 2x H = 200 Transzformációs határarány:

MRT = dx k

dx _H = − 2

(9)

Második példa

Robinson halat és kókuszdiót fogyaszt, amelyeket munkával állít el®.

x _K : Robinson kókuszdió fogyasztása

x H : Robinson halfogyasztása h: termelési tényez®

(munkaóra): felt.: h ¯ = 25 Termelési függvények (csökken® mérethozadék):

x

H

= √ h

H

x

K

= √ h

K

Er®forráskorlát:

h H + h K = 25

x _H ² + x _K ² = 25

(10)

Második példa (folyt.)

Termelési lehet®ségek halmaza:

x _K ² + x _H ² ≤ 25 x K , x H ≥ 0 Termelési lehet®ségek határa (TL-görbe):

x _K ² + x _H ² = 25

Transzformációs görbe (implicit függvény formában a TL-görbe):

T ( x _H , x _K ) = 0

T ( x H , x K ) = x _K ² + x _H ² − 25

(11)

Transzformációs határarány meghatározása a transzformációs görbéb®l

T ( x H , x K ) = 0

Teljes dierenciál:

dT ( x _H , x _K ) = ∂ T

∂ x _H dx _H + ∂ T

∂ x _K dx _K A görbe mentén dT ( x H , x K ) = 0

MRT = dx K

dx H = − ∂ T /∂ x H

∂ T /∂ x K

Pl.:

MRT = − 2x _H

2x K = − x _H

x K

(12)

Transzformációs határarány meghatározása a

transzformációs görbéb®l (folyt.)

(13)

Transzformációs határarány és a határtermékek kapcsolata

x H = f H ( h H ) x K = f K ( h K )

h _H = f _H ⁻ ¹ ( x _H ) h _K = f _K ⁻ ¹ ( x _K ) h _H + h _K = ¯ h T ( x _H , x _K ) = f _H ⁻ ¹ ( x _H ) + f _K ⁻ ¹ ( x _K ) − ¯ h

MRT = − ∂ T /∂ x H

∂ T /∂ x K = − df _H ⁻ ¹ / dx _H df _K ⁻ ¹ / dx _K

Mivel ^dh _dx = _dh ¹ _/ _dx (matematikailag korrekt módon is igazolható), ezért ^df _dx

⁻¹

= _mp ¹ . Emiatt

MRT = − 1 / mp _H

1 / mp K = − mp _K

mp H

(14)

A társadalmi tervez® feladata

célfüggvény: U ( x ₁ , x ₂ ) → max _x

₁

, x

2

korlát: T ( x 1 , x 2 ) = 0

Lagrange-függvény: L = U ( x ₁ , x ₂ ) − λ T ( x ₁ , x ₂ )

∂L

∂x1

=

_∂^∂_x^U

1

− λ

_∂^∂_x^T

1

= 0

∂L

∂x2

=

_∂^∂U_x

2

− λ

_∂^∂T_x

2

= 0

MRS = MRT

(15)

Decentralizált döntések

Robinson mint termel® vállalat (két terméket termel, egy termelési tényez®vel):

A termelés x költsége: F , a termelési tényez® (munka) ára célfüggvény: Π = p

1

y

1

+ p

2

y

2

− F → max

y1,y2

korlátozó feltétel: T ( y

1

, y

2

) = 0

Lagrange-függvény: L = p

1

y

1

+ p

2

y

2

− F − λT (y

1

, y

2

) Els®rend¶ feltételek:

∂L

∂y1

= p

1

− λ

_∂y^∂^T

1

= 0

∂L

∂y2

= p

2

− λ

_∂y^∂^T

2

= 0

MRT = − p

1

p

2

(16)

Decentralizált döntések (folyt.)

Robinson mint fogyasztó (jövedelme: munkajövedelem (F )+t®kejövedelem ( Π )):

célfüggvény: U ( x

1

, x

2

) → max

x1,x2

korlátozó feltétel: p

1

x

1

+ p

2

x

2

= F + Π

Lagrange-függvény: L = U ( x

1

, x

2

) − λ( p

1

x

1

+ p

2

x

2

− F − Π) Els®rend¶ feltételek:

∂L

∂x1

=

_∂^∂U_x

1

− λ p

1

= 0

∂L

∂x2

=

_∂x^∂^U

2

− λ p

2

= 0

MRS = − p

1

p

2

MRS = MRT Egyensúlyi feltételek:

y ₁ ( p ₁ , p ₂ ) = x ₁ ( p ₁ , p ₂ ); y ₂ ( p ₁ , p ₂ ) = x ₂ ( p ₁ , p ₂ )

(17)

Vázlat

1 Egyensúly termelés mellett

Egy szerepl®, két termék, egy termelési tényez®

Két szerepl®, két termék, egy termelési tényez®

Két fogyasztó, két termel®, két termék, egy termelési tényez®

N termék, M fogyasztó, R vállalat és K termelési tényez®

2 F® kérdések

3 Nem tökéletes piacok

(18)

Jelölések

x

_K^R

: Robinson kókuszdió fogyasztása

x

_H^R

: Robinson halfogyasztása h

^R

: termelési tényez® (felt.:

¯ h

^R

= 10)

Termelési függvények:

x

_H^R

= 10h

_H^R

x

_K^R

= 20h

_K^R

Er®forráskorlát: h

^R_H

+ h

^R_K

= 10 Termelési lehet®ségek

halmaza:

x

_H^P

+ 2x

_K^P

≤ 200 x

_H^P

, x

_K^P

≥ 0

x

_K^P

: Péntek kókuszdió fogyasztása

x

_H^P

: Péntek halfogyasztása h

^P

: termelési tényez® (felt.:

¯ h

^P

= 10)

Termelési függvények:

x

_H^P

= 20h

^P_H

x

_K^P

= 10h

^P_K

Er®forráskorlát: h

_H^P

+ h

^P_K

= 10 Termelési lehet®ségek

halmaza:

2x

_H^R

+ x

_K^R

≤ 200

x

_H^R

, x

_K^R

≥ 0

(19)

Termelési lehet®ségek határa

x

_H^R

10 + x

_K^R

20 = 10 x

_K^R

= 200 − 2x

_H^R

MRT

^R

= −2

x

_H^P

20 + x

_K^P

10 = 10 x

_K^P

= 200 − 0 , 5x

_H^P

MRT

^P

= −0, 5

Robinsonnak komparatív el®nye van kókusztermelésben, Pénteknek

pedig haltermelésben.

(20)

A csere haszna

A csere haszna a munkamegosztás lehet®ségéb®l fakad.

(21)

A társadalmi tervez® feladata

Pareto-hatékony allokációk keresése:

célfüggvény: U A ( x ₁ ^A , x ₂ ^A ) → max _x

₁^A

, x

₂^A

, x

₁^B

, x

₂^B

korlátozó feltételek:

U

B

( x

1^B

, x

2^B

) = ¯ U

B

T ( x

1

, x

2

) = 0 x

1

= x

₁^A

+ x

₁^B

x

2

= x

₂^A

+ x

₂^B

Lagrange-függvény:

L = U _A ( x ₁ ^A , x ₂ ^A ) − λ U _B ( x ₁ ^B , x ₂ ^B ) − U ¯ _B

−

−µ T x ₁ ^A + x ₁ ^B , x ₂ ^A + x ₂ ^B

(22)

A társadalmi tervez® feladata (folyt.)

Els®rend¶ feltételek:

∂L

∂x₁^A

=

^∂^U^A

∂x₁^A

− µ

_∂^∂_x^T

1

= 0

∂L

∂x₂^A

=

^∂^U^A

∂x₂^A

− µ

_∂^∂_x^T

2

= 0

∂L

∂x₁^B

= −λ

^∂U_∂x_B^B

1

− µ

_∂^∂_x^T

1

= 0

∂L

∂x₂^B

= −λ

^∂U^B

∂x^B₂

− µ

_∂x^∂T

2

= 0

MRS A = MRT

MRS _B = MRT

MRS A = MRS B = MRT

(23)

A társadalmi tervez® feladata (folyt.)

(24)

Vázlat

1 Egyensúly termelés mellett

Egy szerepl®, két termék, egy termelési tényez®

Két szerepl®, két termék, egy termelési tényez®

Két fogyasztó, két termel®, két termék, egy termelési tényez®

N termék, M fogyasztó, R vállalat és K termelési tényez®

2 F® kérdések

3 Nem tökéletes piacok

(25)

Decentralizált döntések

A két terméket két vállalat (1 és 2) termeli egy termelési tényez®

(munka) felhasználásával. A két fogyasztó (A és B) eldöntik, hogy a készleteiken túl mennyit fogyasztanak az egyes termékekb®l és mennyi munkát kínálnak a jövedelmük, a termékek ára és a termelési tényez® ára függvényében. A fogyasztók jövedelme a vállalatoknál végzett munkából és a vállalatok részvényeseiként a vállalatok protjából származik.

Termékárak: p 1 , p 2 , termelési tényez®ár: w.

A vállalatok által termelt mennyiségek: y ₁ , y ₂ .

A vállalatok által felhasznált termelési tényez® mennyiségek:

L ₁ , L ₂

A fogyasztók készletei: ω ₁ ^A , ω ₂ ^A , ω ₁ ^B , ω ^B ₂

A fogyasztók által fogyasztott mennyiségek: x ₁ ^A , x ₂ ^A , x ₁ ^B , x ₂ ^B A fogyasztók által kínált munka: h _A , h _B

Az A fogyasztó részesedési aránya az 1-es vállalat protjából:

θ _A1

a vállalatok teljes protját felosztják a fogyasztók között:

θ _A1 + θ _B1 = 1 , θ _A2 + θ _B2 = 1

(26)

Decentralizált döntések (folyt.)

Versenyz®i mechanizmus I. (vállalatok optimális döntése):

célfüggvény:

π

₁

= p

1

y

1

− wL

1

→ max

y1,L1

korlát: y

1

= f

1

( L

1

) Els®rend¶ feltétel:

p

1

mp

L1

= w Megoldás:

Munkakeresleti fv.:

L

1

( p

1

, w )

Kínálati fv.: y

1

(p

1

, w ) Prot fv.: π

₁

( p

1

, w )

célfüggvény:

π

₂

= p

2

y

1

− wL

2

→ max

y2,L2

korlát: y

2

= f

2

( L

2

) Els®rend¶ feltétel:

p

2

mp

L2

= w Megoldás:

Munkakeresleti fv.:

L

2

( p

2

, w )

Kínálati fv.: y

2

(p

2

, w )

Prot fv.: π

₂

( p

2

, w )

(27)

Decentralizált döntések (folyt.)

Versenyz®i mechanizmus II. (fogyasztók optimális döntése):

A fogyasztó

célfüggvény: U

A

( x

₁^A

, x

₂^A

, h

A

) → max

_xA 1,x^A₂,hA

korlát: p

1

x

₁^A

+ p

2

x

₂^A

= p

1

ω

^A₁

+ p

2

ω

^A₂

+ wh

A

+ θ

_A1

π

₁

+ θ

_A2

π

₂

Els®rend¶ feltételek:

MRS

₁₂^A

= −

^p_p¹

2

, MRS

_1h^A

= −

^p_w¹

, (MRS

_2h^A

= −

^p_w²

) Megoldás:

Munkakínálati fv.: h

A

(p

1

, p

2

, w )

Keresleti fv.: x

₁^A

( p

1

, p

2

, w ), x

₂^A

( p

1

, p

2

, w )

(28)

Decentralizált döntések (folyt.)

Versenyz®i mechanizmus II. (fogyasztók optimális döntése):

B fogyasztó

célfüggvény: U

B

( x

₁^B

, x

₂^B

, h

B

) → max

_xB 1,x₂^B,hB

korlát: p

1

x

₁^B

+ p

2

x

₂^B

= p

1

ω

₁^B

+ p

2

ω

^B₂

+ wh

B

+ θ

_B1

π

₁

+ θ

_B2

π

₂

Els®rend¶ feltételek:

MRS

₁₂^B

= −

^p_p¹

2

, MRS

_1h^B

= −

^p_w¹

, (MRS

_2h^B

= −

^p_w²

) Megoldás:

Munkakínálati fv.: h

B

(p

1

, p

2

, w )

Keresleti fv.: x

₁^B

( p

1

, p

2

, w ), x

₂^B

( p

1

, p

2

, w )

(29)

Decentralizált döntések (folyt.)

Versenyz®i mechanizmus III. (piaci egyensúlyi feltételek):

Termékpiacok:

x ₁ Â ( p ₁ , p ₂ , w ) + x ₁ ^B ( p ₁ , p ₂ , w ) = y ₁ ( p ₁ , w ) + ω Â ₁ + ω ₁ ^B x ₂ Â ( p ₁ , p ₂ , w ) + x ₂ ^B ( p ₁ , p ₂ , w ) = y ₂ ( p ₂ , w ) + ω Â ₂ + ω ₂ ^B Tényez®piac (munkapiac):

L 1 ( p 1 , w ) + L 2 ( p 2 , w ) = h A ( p 1 , p 2 , w ) + h B ( p 1 , p 2 , w )

Ismeretlenek: p ₁ ^∗ , p ^∗ ₂ , w ^∗

(30)

Decentralizált döntések (folyt.)

Következmény

Az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik.

Megjegyzés

Mivel a (termék- és tényez®)keresleti és kínálat függvények nulladfokon homogének, azaz NINCS PÉNZILLÚZIÓ, az egyik termék, vagy tényez® ármércének választható. Legyen pl. w = ˙ 1.

Így az egyenletrendszer túlhatározottnak t¶nik (több az egyenlet,

mint az ismeretlen).

(31)

Decentralizált döntések (folyt.)

Állítás

Walras-törvény (termeléssel b®vített cseregazdaságban) : A piacokon keresett és kínált javak összértéke megegyezik, azaz az aggregált piaci túlkereslet azonosan (minden árrendszer mellett) zérus:

p 1 z 1 ( p 1 , p 2 , w ) + p 2 z 2 ( p 1 , p 2 , w ) + wz h ( p 1 , p 2 , w ) ≡ 0 , ahol

z

1

(p

1

, p

2

, w ) = x

₁^A

(p

1

, p

2

, w ) − ω

^A₁

+ x

₁^B

(p

1

, p

2

, w ) − ω

^B₁

− y

1

(p

1

, p

2

, w ), z

2

(p

1

, p

2

, w ) = x

₂^A

(p

1

, p

2

, w ) − ω

^A₂

+ x

₂^B

(p

1

, p

2

, w ) − ω

^B₂

− y

2

(p

1

, p

2

, w ) és z

h

(p

1

, p

2

, w ) =

L

1

( p

1

, p

2

, w ) + L

2

( p

1

, p

2

, w ) − h

A

( p

1

, p

2

, w ) − h

B

( p

1

, p

2

, w ) .

(32)

Decentralizált döntések (folyt.)

Bizonyítás

Mivel az egyensúly optimális döntéseken alapul, a mennyiségek és árak biztos, hogy kielégítik a fogyasztók költségvetési korlátját. Adjuk össze a két fogyasztó költségvetési korlátját és rendezzük át:

p

1

x

₁^A

+ p

2

x

₂^A

≡ p

1

ω

₁^A

+ p

2

ω

₂^A

+ wh

A

+ θ

_A1

π

₁

+ θ

_A2

π

₂

p

1

x

1^B

+ p

2

x

2^B

≡ p

1

ω

₁^B

+ p

2

ω

^B₂

+ wh

B

+ θ

_B1

π

₁

+ θ

_B2

π

₂

p

1

( x

1^A

+ x

1^B

− ω

^A₁

− ω

^B₁

) + p

2

( x

2^A

+ x

2^B

− ω

₂^A

− ω

^B₂

) ≡

≡ w ( h

A

+ h

B

) + π

₁

(θ

_A1

+ θ

_B1

) + π

₂

(θ

_A2

+ θ

_B2

) Mivel a vállalatok protját teljes egészében felosztják a fogyasztók között:

p

1

( x

₁^A

+ x

₁^B

−ω

^A₁

− ω

₁^B

) + p

2

( x

₂^A

+ x

₂^B

−ω

^A₂

−ω

^B₂

) ≡ w ( h

A

+ h

B

) +π

₁

+π

₂

(33)

Decentralizált döntések (folyt.)

Bizonyítás

A vállalatok protjának denícióját felhasználva:

p

1

(x

₁^A

+ x

₁^B

− ω

^A₁

− ω

^B₁

) + p

2

(x

₂^A

+ x

₂^B

− ω

₂^A

− ω

^B₂

) ≡

≡ w ( h

A

+ h

B

) + p

1

y

1

− wL

1

+ p

2

y

2

− wL

2

Átrendezés után:

p

1

( x

1^A

+ x

1^B

− ω

₁^A

− ω

₁^B

− y

1

) + p

2

( x

2^A

+ x

2^B

− ω

₂^A

− ω

^B₂

− y

2

)+

+ w ( L

1

+ L

2

− h

A

− h

B

) ≡ 0 , azaz

p

1

z

1

(p

1

, p

2

, w ) + p

2

z

2

(p

1

, p

2

, w ) + wz

h

(p

1

, p

2

, w ) ≡ 0.

(34)

Decentralizált döntések (folyt.)

Következmény

A Walras-törvény miatt az egyensúlyi feltételek nem alkothatnak

független egyenletrendszert (három egyensúlyi egyenlet, két

ismeretlen ár). Tehát az egyik egyensúlyi egyelet elhagyható és a

rendszer nem lesz túlhatározott.

(35)

Egyensúlykeresési algoritmus termelés mellett

Algoritmus

Egyéni (termel®i és fogyasztói) optimumfeladatok felírása Termel®i optimumfeladatok megoldása (kínálati-,

tényez®keresleti- és protfüggvények meghatározása) Fogyasztói optimumfeladatok megoldása (keresleti- és tényez®kínálati függvények meghatározása)

Piaci egyensúlyi feltételek felírása (kereslet=kínálat minden piacon)

Ármérce jószág kiválasztása (keresleti és kínálati függvények átírása úgy, hogy az áraránytól függjenek)

Egyensúlyi árak meghatározása (egy egyensúlyi egyenlet elhagyható)

Egyénileg fogyasztott és termelt és felhasznált mennyiségek

meghatározása

(36)

Egyensúlykeresési algoritmus termelés mellett (folyt.)

Megjegyzés

A fenti algoritmus N termék, M fogyasztó, R vállalat és K termelési tényez® esetén is alkalmazható.

Példa:

Két vállalat technológiája: y ₁ = √

L ₁ , y ₂ = √ L ₂ Két fogyasztó hasznossági függvénye:

U _A = x ₁ ^A x ₂ ^A

h _A , U _B = x ₁ ^B x ₂ ^B h _B Két fogyasztó készletei:

ω ₁ ^A = 100 , ω ^A ₂ = 200 , ω ₁ ^B = 300 , ω ₂ ^B = 400 , h _A = 16 , h _B = 16

(mindkét fogyasztó egy nap alatt maximum 16 órát dolgozik)

θ _A1 = 0 , 2 ; θ _A2 = 0 , 8 ; θ _A1 = 0 , 6 ; θ _A2 = 0 , 4(Az A fogyasztó

az 1-es vállalat protjából 20%-ban részesedik stb.)

(37)

Vázlat

1 Egyensúly termelés mellett

Egy szerepl®, két termék, egy termelési tényez®

Két szerepl®, két termék, egy termelési tényez®

Két fogyasztó, két termel®, két termék, egy termelési tényez®

N termék, M fogyasztó, R vállalat és K termelési tényez®

2 F® kérdések

3 Nem tökéletes piacok

(38)

N termék, M fogyasztó, R vállalat és K termelési tényez®b®l álló gazdaság általános egyensúlya

Ismeretlenek:

M ∗ N (N db fogyasztási jószág, M db fogyasztó) R ∗ K (K db termelési tényez®, R db vállalat) N db fogyasztási ár

K db termelési tényez® ár

Ismeretlenek száma: M ∗ N + N + R ∗ K + K Egyenletek:

M ∗ N db egyéni fogyasztói optimum-feltétel (els®rend¶

feltételek+költségvetési korlátok a Lagrange-változókhoz) R ∗ K db egyéni termel®i optimum-feltétel (els®rend¶

feltételek+termelési függvények a kínálathoz+újabb els®rend¶

feltételek a Lagrange-változókhoz) N db egyensúlyi feltétel a termékpiacokon:

összkereslet=összkínálat

K db egyensúlyi feltétel a tényez®piacokon:

összkereslet=összkínálat

Egyenletek száma: M ∗ N + N + R ∗ K + K

Tehát az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik.

(39)

N termék, M fogyasztó, R vállalat és K termelési tényez®b®l álló gazdaság általános egyensúlya (folyt.)

DE mivel csak a relatív árak számítanak (a keresleti és kínálati függvények nulladfokon homogének), ármérce jószág (numéraire) választható (-1 ismeretlen).

Azaz túlhatározottnak t¶nik a rendszer (több az egyenlet, mint az ismeretlen).

DE a Walras-törvény miatt nem függetlenek az egyensúlyi egyenletek!

Tehát az egyenletrendszer mégsem túlhatározott, egy

egyensúlyi egyenlet elhagyásával az egyensúly meghatározható

az algoritmus szerint.

(40)

N termék, M fogyasztó, R vállalat és K termelési tényez®b®l álló gazdaság általános egyensúlya (folyt.)

Megjegyzés

Az egyenletszámlálás módszere itt sem feltétlenül vezet

eredményre, mert negatív árak is adódhatnak, ugyanis valójában a

költségvetési korlátok és az egyensúlyi feltételek egyenl®tlenségek

és nem egyenletek! → Az egyensúly egzisztenciájának problémája

(lásd kés®bb).

(41)

Jóléti tételek termelés mellett

Állítás

A jóléti közgazdaságtan I. és II. tétele termelés mellett is érvényes.

(42)

Jóléti tételek termelés mellett (folyt.)

Bizonyítás

Az egyéni fogyasztói optimumok esetén: MRS

₁₂^A

= −

^p_p¹

2

, MRS

_1h^A

= −

^p_w¹

és MRS

₁₂^B

= −

^p_p¹

2

, MRS

_1h^B

= −

^p_w¹

. Tehát

MRS

₁₂^A

= MRS

₁₂^B

MRS

_1h^A

= MRS

_1h^B

. A termelési függvényekb®l:

y

1

= f

1

(L

1

) y

2

= f

2

(L

2

) L

1

+ L

2

= h

A

+ h

B

L

1

= f

₁⁻¹

(y

1

) L

2

= f

₂⁻¹

(y

2

) F ( y

1

, y

2

) ˙ = f

₁⁻¹

( y

1

) + f

₂⁻¹

( y

2

) − h

A

− h

B

A transzformációs görbe:

T (y

1

, y

2

) ˙ =F(y

1

+ ω

₁^A

+ ω

₁^B

, y

2

+ ω

₂^A

+ ω

^B₂

)

(43)

Jóléti tételek termelés mellett (folyt.)

Bizonyítás

A termel®i optimumokban mp

1

=

_p^w

1

és mp

2

=

_p^w

2

. Emiatt pedig MRT = − ∂T /∂y

1

∂ T /∂ y

2

= mp

2

mp

1

= − w /p

2

w / p

1

= − p

1

p

2

, tehát MRS

12^A

= MRS

12^B

= MRT , azaz az I. jóléti tétel teljesül.

Legyen x

1^A

, x

2^A

, h

A

, x

1^B

, x

2^B

, h

B

, L

1

, L

2

, y

1

, y

2

egy tetsz®leges Pareto-hatékony állapot. Ekkor MRS

12^A

= MRS

12^B

= MRT és

MRS

_1h^A

= MRS

_1h^B

. Válasszunk ármércét: w = ˙ 1. Ekkor válasszuk meg a p

1

, p

2

árakat úgy, hogy teljesülön: MRS

_1h^A

= MRS

_1h^B

= ˙

^p_w¹

és

MRS

₁₂^A

= MRS

₁₂^B

= MRT = ˙ −

^p_p¹

2

. Ezután osszuk újra az

indulókészleteket, hogy a fogyasztók költségvetési korlátjai a választott

árakkal teljesüljenek. Így a II. jóléti tétel teljesül.

(44)

Az általános egyensúlyelmélet négy f® kérdése

Egzisztencia: létezik-e egyensúly?

Hatékonyság: Pareto-hatékony-e az egyensúly?

Unicitás: Egyértelm¶-e az egyensúly, vagy több egyensúlyi árrendszer is elképzelhet®?

Stabilitás: Ha (pl. keresleti, vagy technológiai sokk hatására)

kimozdul a gazdaság az egyensúlyból, akkor visszatér-e oda?

(45)

Egzisztencia

Arrow és Debreu (1954) egzisztenciatétele szerint a fogyasztói és a termel®i oldal bizonyos adottságaira nézve kell megszorításokkal élni ahhoz, hogy létezzen versenyz®i egyensúly. Az

egyenletmegoldó módszerb®l ez nem következik. A probléma matematikai alapjai igen bonyolultak, de az egszitenciafeltételek a következ®k (csak felsorolás):

az egyes termelési egységek (vállalatok) lehetséges termelési terveinek halmazai konvex, zárt halmazok és tartalmazzák az origót, azaz nem növekv® a volumenhozadék és a

termel®egységek beszüntethetik a termelést

az aggregált termelési halmaz nem tartalmazza a pozitív ortánst, azaz minden termelés igényel valamilyen felhasználást az aggregált termelési tevékenységek irreverzibilisek

(visszafordíthatatlanok)

a lehetséges egyéni fogyasztási halmazok konvex, zárt és korlátos halmazok

az egyéni preferenciákat reprezentáló hasznossági

függvényekt®l folytonos, monoton függvények

(46)

Egzisztencia (folyt.)

a közömbösségi felületek konvexek

a fogyasztók rendelkeznek indulókészletekkel

a vállalatok minden protját felosztják a fogyasztók között

rögzített arányban

(47)

Hatékonyság

Milyen megszorítások szükségesek ahhoz, hogy a jóléti tételek teljesüljenek?

Pl.: Konvexitás hiányában a II. jóléti tétel nem teljesül

(48)

Unicitás

Milyen feltételek mellett lesz az egyensúly egyértelm¶? (Nem

mindegy, hogy egy, vagy több egyensúlyi árrendszer van!)

Kitér®:

(49)

Unicitás (folyt.)

Kinyilvánított preferencia

p 1 x ₁ ^∗ + p 2 x ₂ ^∗ = p 1 ω ₁ + p 2 ω ₂ p ₁ ⁰ x ₁ ⁰ + p ₂ ⁰ x ₂ ⁰ = p ⁰ ₁ ω ₁ + p ₂ ⁰ ω ₂ p 1 x ₁ ⁰ + p 2 x ₂ ⁰ > p 1 ω ₁ + p 2 ω ₂ p ⁰ ₁ x ₁ ^∗ + p ₂ ⁰ x ₂ ^∗ > p ⁰ ₁ ω ₁ + p ₂ ⁰ ω ₂ p ₁ z ₁ ⁰ + p ₂ z ₂ ⁰ > 0 p ₁ ⁰ z ₁ + p ⁰ ₂ z ₂ > 0

Deníció

Egy z ( p ) túlkeresleti függvényre teljesül a kinyilvánított preferencia gyenge axiómája (WARP), ha bármely p ⁰ 6= κ p árrendszer mellett p ⁰ z ( p ) ≥ 0

Milyen feltételek mellett lesz az egyensúly egyértelm¶? (Nem

mindegy, hogy egy, vagy több egyensúlyi árrendszer van!)

(50)

Unicitás (folyt.)

Állítás

Ha egy gazdaságban a z ( p ) túlkeresleti függvényre teljesül a

kinyilvánított preferencia gyenge axiómája, akkor a versenyz®i

egyensúly egyértelm¶.

(51)

Stabilitás

Hogyan viselkedik a gazdasági rendszer, ha nincs egyensúlyban (Dinamikus viselkedés)?

Áralkalmazkodási szabály:

Ha D ( p ) − S ( p ) > 0 (túlkereslet), akkor p n®

Ha D ( p ) − S ( p ) > 0 (túlkínálat), akkor p csökken

Deníció

A versenyz®i gazdaság folytonos dinamikus (Samuelson-féle) áralkalmazkodási szabálya:

p ˙ ( t ) = dp ( t )

dt = µ [ D ( p ( t ) − S ( p ( t )))] = (µ Z ( p ( t )))

A p 0 egyensúlyi ár mellett: p ˙ ( t ) = 0, tehát D ( p 0 ) = S ( p 0 ) .

(52)

Stabilitás (folyt.)

Lineáris kereslet és kínálat, folytonos áralkalmazkodás

D ( p ) ˙ = A − Bp , S ( p ) = C + Dp ( A , B , C , D > 0 ) p ˙ ( t ) = A − C

| {z }

α

+ (− B − D )

| {z }

β

p

p ˙ ( t ) = α + β p ( t ) (β < 0 )

Lineáris dierenciálegyenlet megoldásának alakja: p ( t ) = e ^β ^t + c ₀

Az egyensúly stabil, ha β < 0.

(53)

Stabilitás (folyt.)

Deníció

A versenyz®i gazdaság diszkrét dinamikus (Ezekiel-féle) áralkalmazkodási szabálya:

D ( p t )

A kínálat egy id®szakkal kés®bbi ár alapján alkalmazkodik a kereslethez:

S ( p _t − 1 )

Egyensúlyban: D ( p _t ) = S ( p _t − 1 ) .

(54)

Stabilitás (folyt.)

Lineáris kereslet és kínálat, diszkrét áralkalmazkodás (Pókháló-modell)

D ( p t ) ˙ = A − Bp t , S ( p t − 1 ) ˙ = C + Dp t − 1 ( A , B , C , D > 0 ) Egyensúlyban a keresett és kínált mennyiségek megegyeznek:

D ( p t ) = A − Bp t = C + Dp t − 1 = S ( p t − 1 )

p t = A − C B

| {z }

α

+

− D B

| {z }

β

p t − 1

Lineáris dierencia egyenlet:

p _t = α + β p _t − 1

(55)

Stabilitás (folyt.)

Lineáris kereslet és kínálat, diszkrét áralkalmazkodás (Pókháló-modell)

Lineáris dierencia egyenlet:

p t = α + β p t − 1

A p t = p t − 1 egyensúly stabil, ha |β| < 1, azaz ha D < B (a

kínálat kevésbé árérzékeny, mint a kereslet), akkor az árak a piaci

egyensúly felé konvergálnak.

(56)

Stabilitás (folyt.)

(57)

Stabilitás (folyt.)

Samuelson-féle folytonos dinamikus áralkalmazkodás az általános egyensúlyi modellben:

p ˙ _i ( t ) = dp i ( t )

dt = µ _i [ D _i ( p ₁ ( t ), . . . , p _n ( t )) − S _i ( p ₁ ( t ), . . . , p _n ( t ))]

( i = 1 , . . . , n )

Állítás

Ha teljesül a kinyilvánított preferencia gyenge axiómája, akkor az

általános egyensúly stabil a Samuelson-féle folytonos dinamikus

áralkalmazkodási szabállyal.

(58)

Piaci kísérletek

A versenyz®i gazdaság modelljének tesztelése Eladókat és vev®ket sorsolják Tájékoztatás: 100 zsetont kap kölcsön, amib®l legfeljebb 3 egységet vásárolhat egy áruból, amelynek az ára 6 zseton. Az els®

megvásárolt egységet 16 zsetonért továbbadhatja a kísérlet

vezet®jének, a másodikat 11 zsetonért, a harmadikat pedig 3 zsetonért. A kölcsönkapott 100 zseton visszazetése után fennmaradó összeg az Ön protja.

A kísérlet végén ezt a protot

dollárra válthatja, és hazaviheti.

(59)

Nem tökéletes piacok

Tranzakciós költségek: a szerz®déskötés, azaz most a csere költségei

Oka lehet:

Információs aszimmetria Tulajdonjogi problémák

Földrajzi távolság az eladók és vev®k közt

Stb.

(60)

Nem tökéletes piacok

Arányos tranzakciós költségek: Az X jószág minden egyes egysége

után G díjat kell zetni.

(61)

Nem tökéletes piacok (folyt.)

Az arányos tranzakciós költségek hatására elválik egymástól a

vételi és az eladási ár. Minél nagyobb az árkülönbözet, annál

nagyobb valószín¶séggel választják az egyének az önellátást, és

annál kisebb a piaci kereskedelem teljes volumene.

(62)

Nem tökéletes piacok (folyt.)

Egyösszeg¶ tranzakciós költségek: Az egyösszeg¶ tranzakciós költségek nem hoznak létre árrést a vételi és az eladási ár között. Másfel®l viszont a fogyasztókat arra késztetik, hogy csak diszkrét id®közönként

kereskedjenek. Emiatt a vev®k és az eladók is arra kényszerülnek, hogy készleteket tartsanak. Magasabb tranzakciós díjak és a velük járó magasabb készlettartási költségek növelik az egyéni önellátás valószín¶ségét, és csökkentik a piaci kereskedelem teljes volumenét.

Széls®séges esetben a piac m¶ködése ellehetetlenül.

(63)

A pénz szerepe

A pénz mint csereeszköz

A pénz mint átmeneti értékörz®

(64)

A pénz szerepe (folyt.)

A pénz csökkenti a piaci kereskedelem költségeit. (A javak zikai átruházásának költségeit azonban nem. Ezek minden gazdasági rendszerben felmerülnek, amelyben létezik munkamegosztás.) Ha egyetlen áru tölti be a csereeszköz szerepét, kevesebb kétirányú tranzakciós csatornára van szükség. Továbbá, az ilyen csereeszköz a három- s®t többoldalú kereskedést is lehet®vé teszi, ami barter esetén kivitelezhetetlen. A kereskedéshez árukészletekre is szükség lehet. A csere költségei akkor a legalacsonyabbak, ha konszenzus alakul ki egyetlen pénzként funkcionáló áru körül, amely ennek folytán mindenki számára betöltheti az átmeneti érték®rz®

szerepét.

Megjegyzés

A pénz szerepének átfogó elemzéséhez szükség van az id®dimenzió

bevonására.

MIKROÖKONÓMIA II.