MIKROÖKONÓMIA II.

MIKROÖKONÓMIA II.

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadó közrem¶ködésével

Készítette: K®hegyi Gergely Szakmai felel®s: K®hegyi Gergely

2011. február

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

MIKROÖKONÓMIA II.

2. hét

Általános egyensúlyelmélet 1. rész

K®hegyi Gergely

A tananyagot készítette: K®hegyi Gergely

Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON- könyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el®adásvázlatok.

http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával.

Bevezetés

Parciális egyensúlyi elemzés

Eddig parciális egyensúlyi elemzést folytattunk.

Általános egyensúlyi elemzés

Általános egyensúly 1. Deníció

Azt az elosztást és a hozzá tartozó árrendszert, amely mellett az egyéni keresleti-, kínálati-, tényez®keresleti- és tényez®kínálati-függvények egyéni optimalizálásból származnak, valamint minden termék és termelési té- nyez® piacon az aggregált kereslet megegyezik az aggregált kínálattal általános egyensúlynak nevezzük.

1. Megjegyzés

Általános egyensúly nem csak tökéletes verseny mellett képzelhet® el.

Tökéletes versenyz®i gazdaság Tökéletes versenyz®i gazdaság

• A termékek homogén, folytonosan osztható, magánjavak

• Nincs id®dimenzió (nincs pénz)

• Nincs bizonytalanság

• Tökéletes, azonnali informáltság (a piaci szepl®k között az információt CSAK az árak közvetítik)

• A piaci szerepl®k között csak piaci cserekapcsolat van (nincsenek küls® gazdasági hatások)

• A piaci szerepl®k (fogyasztók és termel®k) árelfogadók

• A termel® vállalatok protját teljes egészében felosztják a fogyasztók között

• A piaci szterepl®k racionálisak (a fogyasztók hasznomaximalizálók, a termel®k protmaximalizálók)

Lehetséges modellek

• Egy szerepl®, egy termék, nincs termelés (érdektelen)

• Egy szerepl®, több termék, nincs termelés (érdektelen)

• Egy szerepl®, egy termelési tényez®, egy termék (Robinson Crusoe-gazdaság)

• Egy szerepl®, egy termelési tényez®, több termék

• Egy szerepl®, több termelési tényez®, egy termék

• Egy szerepl®, több termelési tényez®, több termék

• Több szerepl®, több termék, nincs termelés (tiszta cseregazdaság)

• Több szerepl®, több termék, egy termelési tényez®

• Több szerepl®, egy termék, több termelési tényez®

• Több szerepl®, több termék, több termelési tényez® (termeléssel b®vített cseregazdaság) Egy szerepl®, két termék, nincs termelés

Készletek: ω₁, ω₂

NINCS PIAC, tehát nincs kivel cserélni

Fogyasztói optimum ('ált. egyensúly'): x^∗₁=ω1, x^∗₂=ω2

Robinson Crusoe-gazdaság

Robinson Crusoe-gazdaság

• 1 szerepl® (Robinson), 1 termék (kókuszdió), 1 termelési tényez® (munka)

• kókuszdió fogyasztás (db): c

• szabadid® 'fogyasztás' (óra) : `(megj.: 0≤`≤`¯, pl. `¯=24˙ )

• munkaid® (óra): h(megj.: h= ¯`−`)

• hasznossági függvény: U(c, `)(felt.: <sup>∂U</sup><sub>∂c</sub> >0,<sup>∂U</sup><sub>∂`</sub> >0)

• termelési függvény: c=f(h)(felt.: f⁰ >0, f⁰⁰<0) Robinson döntési feladata:

• célfüggvény: U(c, `)→max<sub>c,`</sub>

• korlát:

c=f(h) h= ¯`−`

• Lagrange-függvény:

L=U(c,`¯−h)−λ(c−f(h))

• ERF:

^∂L_∂c = ^∂U_∂c −λ= 0 ^∂L_∂h = ^∂U_∂h +λ_dh^df = 0

−∂U/∂h

∂U/∂c = df dh

−M Uh

M U_c =M RSh,c=mph

∂U

∂h <0,∂U

∂c >0,df dh >0

−M Uh

M Uc

=M RSh,c=mph

∂U

∂h <0,∂U

∂c >0,df dh >0

Robinson Crusoe-gazdaság 1. Feltevés

'Skizofrén' Robinson: Termel® és fogyasztó énje kettészakad. Árelfogadóként hozza meg termel®i és fogyasztói döntését külön-külön, majd a két énje a termék- és tényez®piacon találkozik, hogy cseréljen.

2. Feltevés

Árelfogadó Robinson adottnak tekinti:

• kókuszdió árát: p

• munkabért: w 1. Algoritmus

• Megoldjuk a termel®i és fogyasztói optimumfeladatokat (a termel® protját kizetik a tulajdonosnak)

• Meghatározzuk a keresleti és kínálati, valamint tényez®keresleti és tényez®kínálati függvényeket.

• Felírjuk a piaci és tényez®piaci egyensúlyi feltételeket.

• Meghatározzuk az egyensúlyi (termék és tényez®) árakat.

• A keresleti és kínálati függvények segítségével meghatározzuk az egyensúlyi mennyiségeket.

Robinson mint termel®

• célfüggvény: π=pc_S−wh_D→max_cS,hD

• korlát: c_S =f(h_D)

• Lagrange-függvény: L=pc_S−wh_D−λ_T(c_S−f(h_D))

• ERF:

_∂c^∂L_S =p−λT = 0 _∂h^∂L_D =−w+λT df

dh_D = 0

• optimum feltétel:

pmph=w mph=w

p

• megoldás:

kókuszdiókínálati függvény: cS(p, w) munkakeresleti függvény: h_D(p, w) protfüggvény: π(p, w)

Ismer®s optimumfeltétel

pmp_h=w mph= w

p

Robinson mint fogyasztó

• célfüggvény: U(C_D, `)→max<sub>cD,`</sub>

• korlát: pc_D+w`=w`¯+π^∗ (π^∗: t®kejövedelem a vállalat tulajdonosaként) vagy

• célfüggvény: U(CD, hS)→maxc_D,h_S

• korlát: pcD=whS+π^∗ (whS: munkajövedelem a vállalat munkásaként)

• Lagrange-függvény: L=U(CD, hS)−λF(pcD−whS−π^∗)

• ERF:

_∂c^∂L_D =_∂c^∂U

D −λFp= 0 _∂h^∂L_S =_∂h^∂U

S +λFw= 0

• optimum feltétel:

−M U_c M Uh

=M RSc,h= p w

• megoldás:

kókuszdiókeresleti függvény: cD(p, w) munkakínálati függvény: hS(p, w)

szabaid®keresleti függvény: `(p, w) = ¯`−hS(p, w) Ismer®s optimumfeltétel

−M Uc

M U_h =M RSc,h= p w

Egyensúly a Robinson Crusoe-gazdaságban

• Termék (kókuszdió) piac: c_D(p, w) =c_S(p, w)

• Tényez® (munka) piac: h_D(p, w) =h_S(p, w)

• Megoldás (általános egyensúly): p^∗, w^∗, c^∗, h^∗, `^∗, π^∗, U^∗ 2. Megjegyzés

Mivel a (termék- és tényez®)keresleti és kínálat függvények nulladfokon homogének, azaz NINCS PÉNZIL- LÚZIÓ, az egyik termék, vagy tényez® ármércének választható. Legyen pl. w=1˙ .

1. Következmény

Az egyensúlyi feltételek nem alkothatnak független egyenletrendszert (két egyensúlyi egyenlet, egy ismeretlen ár). Tehát elég az egyik egyensúlyi egyelettel számolni.

Mérethozadéki problémák a Robinson Crusoe-gazdaságban

Konvexitási problémák a Robinson Crusoe-gazdaságban Konvexitás hiányában az egyensúly nem feltétlenül létezik.

Robinson Crusoe-gazdaság Példa:

• Robinson hasznossági függvénye: U(c, `) =c<sup>2</sup>`

• Robinson termelési függvénye: f(h) =√ h

Tiszta cseregazdaság

Tiszta cseregazdaság

• Felt.: két szerepl® (A és B), két termék (1 és 2), Nincs termelés (nincsenek vállalatok)

• A fogyasztók a készleteiket cserélik

• El®nyös-e a csere?

• Mikor el®nyös és mikor nem?

Edgeworth-Box

Edgeworth-Box (folyt.)

Mindkét szerepl® által preferált allokációk halmaza

Pareto-hatékony elosztás

Pareto-hatékony elosztások halmaza

A szerz®dési görbe

Adott indulókészlet mellett a végs® allokációk halmaza

Pareto-hatékony elosztások meghatározása A társadalmi tervez® feladata:

• célfüggvény:

UA(x^A₁, x^A₂)→ max

x^A₁,x^A₂,x^B₁,x^B₂

• korlát:

UB(x^B₁, x^B₂) = ¯UB

x^A₁ +x^B₁ =ω^A₁ +ω^B₁ x^A₂ +x^B₂ =ω^A₂ +ω^B₂

• Lagrange-függvény:

L=UA(x^A₁, x^A₂)−λ UB(x^B₁, x^B₂)−U¯B

− µ1 x^A₁ +x^B₁ −ω₁^A−ω^B₁

−µ2 x^A₂ +x^B₂ −ω^A₂ −ω^B₂

• ERF:

1. _∂x^∂LA 1

= ^∂U_∂xA^A

1

−µ₁= 0 2. ^∂L = ^∂UA −µ = 0

3. _∂x^∂LB 1

=−λ^∂U_∂xB^B 1

−µ1= 0 4. _∂x^∂LB

2

=−λ^∂U_∂xB^B 2

−µ2= 0

M RSA= µ₁ µ2

M RS_B =µ₁ µ2

• A szerz®dési görbe (implicit függvény formájában):

M RSA(x^A₁, x^A₂) =M RSB(x^A₁, x^A₂) 3. Megjegyzés

Azx^A₁ +x^B₁ =ω^A₁ +ω^B₁ ésx^A₂ +x^B₂ =ω₂^A+ω₂^B korlátozó feltételeket felhasználva a szerz®dési görbe felírható példáulx^A₂ =ϕ(x^A₁)alakban.

Decentralizált döntések A fogyasztó

• cf.:

UA(x^A₁, x^A₂)→ max

x^A₁,x^A₂

• kf.: p1x^A₁ +p2x^A₂ =p1ω₁^A+p2ω^A₂

• opt. felt.: M RS_A=−^p_p¹

2

• keresleti függvények: x^A₁(p1, p2), x^A₂(p1, p2) B fogyasztó

• cf.:

UB(x^B₁, x^B₂)→ max

x^B₁,x^B₂

• kf.: p1x^B₁ +p2x^B₂ =p1ω^B₁ +p2ω₂^B

• opt. felt.: M RSB=−^p_p¹

2

• keresleti függvények: x^B₁(p1, p2), x^B₂(p1, p2)

M RSA=−p1

p2

, M RSB=−p1

p2

Piaci egyensúly

Egyensúlyi árak(p^∗₁, p^∗₂)esetén a kereslet megegyezik a kínálkattal minden piacon.

x^A₁(p^∗₁, p^∗₂) +x^B₁(p^∗₁, p^∗₂)

| {z }

D1(p^∗₁,p^∗₂)

=ω₁^A+ω^B₁

| {z }

S1(p^∗₁,p^∗₂)

x^A₂(p^∗₁, p^∗₂) +x^B₂(p^∗₁, p^∗₂)

| {z }

D₂(p^∗₁,p^∗₂)

=ω₂^A+ω^B₂

| {z }

S₂(p^∗₁,p^∗₂)

Általános egyensúly meghatározása

Kéttermékes, kétszerepl®s tiszta cseregazdaságban:

• ismeretlenek száma: p1, p2, x^A₁, x^A₂, x^B₁, x^B₂ (2 db termékár+2*2 db fogyasztott mennyiség=6 db)

• egyenletek száma (2+2+2=6 db):

optimumfeltételek (M RS-feltételek): 2 db (2 szerepl®, 2 termék) költségvetési korlátok: 2 db (két szerepl®)

egyensúlyi feltételek: 2 db (két piac) 2. Következmény

Az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik.

4. Megjegyzés

Mivel a keresleti függvények nulladfokon homogének, azaz NINCS PÉNZILLÚZIÓ, az egyik termék ármér- cének választható. Legyen pl. p2=1˙ . Így az egyenletrendszer túlhatározottnak t¶nik (több az egyenlet, mint az ismeretlen).

1. Állítás

Walras-törvény: A piacokon keresett és kínált javak összértéke megegyezik, azaz az aggregált piaci túlkereslet azonosan (minden árrendszer mellett) zérus:

p1z1(p1, p2) +p2z2(p1, p2)≡0,

aholz1(p1, p2) =x^A₁(p1, p2)−ω₁^A+x^B₁(p1, p2)−ω₁^B ész2(p1, p2) =x^A₂(p1, p2)−ω₂^A+x^B₂(p1, p2)−ω^B₂. 1. Bizonyítás

Adjuk össze a két fogyasztó költségvetési korlátját és rendezzük át:

p₁x^A₁ +p₂x^A₂ ≡p₁ω₁^A+p₂ω₂^A p x^B+p x^B ≡p ω^B+p ω^B

p1x^A₁ −p1ω^A₁ +p1x^B₁ −p1ω^B₁

| {z }

p₁z₁(p₁,p₂)

+p2x^A₂ −p2ω^A₂ +p2x^B₂ −p2ω^B₂

| {z }

p₂z₂(p₁,p₂)

p₁z₁(p₁, p₂) +p₂z₂(p₁, p₂)≡0 3. Következmény

A Walras-törvény miatt az egyensúlyi feltételek nem alkothatnak független egyenletrendszert (két egyensú- lyi egyenlet, egy ismeretlen ár). Tehát elég az egyik egyensúlyi egyelettel számolni és a rendszer nem lesz túlhatározott.

4. Következmény

A Walras-törvény miatt, han−1 piac kitisztul (egyensúlyban van), akkor azn-edik is kitisztul (egyensúlyban van).

Tranzakciós (nettó) kereslet (kínálat) 2. Deníció

Tranzakciós (nettó)

• kereslet: x^t_i(p₁, p₂) ˙=x_i(p₁, p₂)−ω_i>0

• kínálat: x^t_i(p₁, p₂) ˙=x_i(p₁, p₂)−ω_i<0

Teljes és tranzakciós egyéni kereslet (kínálat)

Teljes és tranzakciós piaci kereslet (kínálat)

Az aggregált teljes kínálati görbe és az aggregált teljes keresleti görbe metszéspontja adja meg a jószágból elfo- gyasztott teljes mennyiséget a gazdaságban, amelynek egyenl®nek kell lennie a jószág teljes kínálatával. Az aggregált tranzakciós kínálati görbe és az aggregált tranzakciós keresleti görbe metszéspontja pedig azt a menynyiséget jelöli ki, amelyet a jószágból az eladók és a vev®k ténylegesen elcserélnek. A két görbepár metszéspontja ugyanannál az egyensúlyi árnál van.

Egyensúlykeresési algoritmus tiszta cseregazdaságban 2. Algoritmus

• Egyéni (fogyasztói) optimumfeladatok felírása

• Egyéni optimumfeladatok megoldása (keresleti függvények meghatározása)

• Piaci egyensúlyi feltételek felírása (kereslet=kínálat minden piacon)

• Ármérce jószág kiválasztása (keresleti függvények átírása úgy, hogy az áraránytól függjenek)

• Egyensúlyi árarány meghatározása (egy egyensúlyi egyenlet elhagyható)

• Egyénileg fogyasztott mennyiségek meghatározása Példa:

• UA=x^A₁x^A₂, ω^A₁ = 80, ω^A₂ = 30

• U_B=x^B₁x^B₂, ω₁^B= 20, ω₂^B= 70 Megoldás:

• Szerz®dési görbe: x^A₂ =x^A₁

• Versenyz®i egyensúly: x^A₁ = 55, x^A₂ = 55, x^B₁ = 45, x^B₂ = 45 5. Megjegyzés

A fenti algoritmus N termékes,M szerepl®s tiszta cseregazdaságban is alkalmazható.

Általános egyensúly meghatározása M szerepl®

ésN termék esetén

• Ismeretlenek:

M ∗N (N db fogyasztási jószág,M db szerepl®) N db fogyasztási ár

Ismeretlenek száma: M ∗N+N

• Egyenletek:

M∗Ndb egyéni optimum-feltétel (els®rend¶ feltételek+költségvetési korlátok a Lagrange-változókhoz) N db egyensúlyi feltétel: összkereslet=összkínálat (összkészletek)

Egyenletek száma: M ∗N+N

• Tehát az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik.

• DE mivel csak a relatív árak számítanak (a keresleti függvények nulladfokon homogének), ármérce jószág (numéraire) választható (-1 ismeretlen).

• Azaz túlhatározottnak t¶nik a rendszer (több az egyenlet, mint az ismeretlen).

• DE a Walras-törvény miatt nem függetlenek az egyensúlyi egyenletek!

• Tehát az egyenletrendszer mégsem túlhatározott, egy egyensúlyi egyenlet elhagyásával az egyensúly meghatározható az algoritmus szerint.

6. Megjegyzés

Az egyenletszámlálás módszere nem feltétlenül vezet eredményre, mert negatív árak is adódhatnak, ugyanis va- lójában a költségvetési korlátok és az egyensúlyi feltételek egyenl®tlenségek és nem egyenletek!→Az egyensúly egzisztenciájának problémája (lásd kés®bb).

Jóléti tételek tiszta cseregazdaságban 2. Állítás

A jóléti közgazdaságtan I. tétele: A versenyz®i egyensúly Pareto-hatekony állapot (bizonyos technikai felté- telek teljesülése mellett).

2. Bizonyítás

Kéttermékes, kétszerepl®s tiszta cseregazdaságban láttuk, hogy a piaci egyensúlybanM RSA=−^p_p^∗1∗

2 ésM RSB=

−^p_p^∗1∗

2, mivel ott az egyéni döntések optimálisak. Tehát M RSA = M RSB, azaz az egyensúlyban fogyasztott jószágkosarak rajta vannak a szerz®dési görbén, így Pareto-hatékony allokációhoz tartoznak. Ez az eredmény M-szerepl®s,N-termékes gazdaságra is általánosítható.

3. Állítás

A jóléti közgazdaságtan II. tétele: Ha a piaci szerepl®k preferenciái konvexek, akkor bármely Pareto-hatékony allokációhoz találunk olyan árrendszert - megfelel®en választott indulókészletek esetén - amely decentralizált döntések által (piaci mechanizmus) a fenti allokációhoz juttatja a piaci szerepl®ket (bizonyos technikai felté- telek teljesülése mellett).

3. Bizonyítás

Egy kéttermékes, kétszerepl®s tiszta cseregazdaságban, aholω^A₁, ω₂^A, ω₁^B, ω₂^Btetsz®leges induló készletek, legyen

¯

x^A₁,x¯^A₂,x¯^B₁,x¯^B₂ egy Pareto-hatékony allokáció.

• Ekkor M RS_A(¯x^A₁,x¯^A₂) =M RS_B(¯x^B₁,x¯^B₂) ˙=^p_p⁰¹₀

2 alkalmas egyensúlyi áraránynak. Az ármérce legyen pél- dául p⁰₂=1˙ .

• Ha p⁰₁x¯^A₁ + ¯x^A₂ =p⁰₁ω^A₁ +ω₂^A (és ekkor a feltételek miatt p⁰₁x¯^B₁ + ¯x^B₂ =p⁰₁ω₁^B+ω^B₂), azaz az allokáció rajta van a (p⁰₁, p⁰₂) árakkal képzett csereegyenesen, akkor a versenyz®i mechanizmus közvetlenül az

¯

x^A₁,x¯^A₂,x¯^B₁,x¯^B₂ allokációt valósítja meg versenyz®i egyensúlyként.

• Ha p⁰₁x¯^A₁ + ¯x^A₂ 6=p⁰₁ω^A₁ +ω^A₂, azaz az allokáció nincs rajta a (p⁰₁, p⁰₂) árakkal képzett csereegyenesen, akkor osszuk újra az indulókészleteket a

∆ω₁^A=ω˙ ₁^A−ω¯₁^A,∆ω^A₂=ω˙ ^A₂ −ω¯^A₂,

∆ω₁^B=ω˙ ₁^B−ω¯₁^B,∆ω^B₂=ω˙ ₂^B−ω¯^B₂, (¯ω^A₁ + ¯ω^B₁ =ω^A₁ +ω^B₁,ω¯₂^A+ ¯ω₂^B=ω₂^A+ω₂^B)

újraelosztásokkal úgy, hogy p⁰₁x¯^A₁ + ¯x^A₂ = p⁰₁ω¯^A₁ + ¯ω^A₂ legyen. Ekkor a készletek újraosztása után a versenyz®i mechanizmus az x¯^A₁,x¯^A₂,x¯^B₁,x¯^B₂ allokációt valósítja meg versenyz®i egyensúlyként.