MIKROÖKONÓMIA II.

(1)

MIKROÖKONÓMIA II.

(2)

(3)

(4)

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

Mikroökonómia II.

2. hét

ÁLTALÁNOS EGYENSÚLYELMÉLET, 1. rész Készítette:

K®hegyi Gergely Szakmai felel®s:

K®hegyi Gergely

2011. február

(5)

2. hét K®hegyi Gergely

Bevezetés Robinson Crusoe-gazdaság Tiszta cseregazdaság

A tananyagot készítette: K®hegyi Gergely

Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON-könyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el®adásvázlatok.

http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával.

(6)

Vázlat

1 Bevezetés

2 Robinson Crusoe-gazdaság

3 Tiszta cseregazdaság

(7)

Parciális egyensúlyi elemzés

Eddig parciális egyensúlyi elemzést folytattunk.

(8)

Általános egyensúlyi elemzés

(9)

Általános egyensúly

Deníció

Azt az elosztást és a hozzá tartozó árrendszert, amely mellett az egyéni keresleti-, kínálati-, tényez®keresleti- és

tényez®kínálati-függvények egyéni optimalizálásból származnak, valamint minden termék és termelési tényez® piacon az aggregált kereslet megegyezik az aggregált kínálattal általános egyensúlynak nevezzük.

Megjegyzés

Általános egyensúly nem csak tökéletes verseny mellett képzelhet®

el.

(10)

Tökéletes versenyz®i gazdaság

A termékek homogén, folytonosan osztható, magánjavak Nincs id®dimenzió (nincs pénz)

Nincs bizonytalanság

Tökéletes, azonnali informáltság (a piaci szepl®k között az információt CSAK az árak közvetítik)

A piaci szerepl®k között csak piaci cserekapcsolat van (nincsenek küls® gazdasági hatások)

A piaci szerepl®k (fogyasztók és termel®k) árelfogadók A termel® vállalatok protját teljes egészében felosztják a fogyasztók között

A piaci szterepl®k racionálisak (a fogyasztók hasznomaximalizálók, a termel®k protmaximalizálók)

(11)

Lehetséges modellek

Egy szerepl®, egy termék, nincs termelés (érdektelen) Egy szerepl®, több termék, nincs termelés (érdektelen) Egy szerepl®, egy termelési tényez®, egy termék (Robinson Crusoe-gazdaság)

Egy szerepl®, egy termelési tényez®, több termék Egy szerepl®, több termelési tényez®, egy termék Egy szerepl®, több termelési tényez®, több termék Több szerepl®, több termék, nincs termelés (tiszta cseregazdaság)

Több szerepl®, több termék, egy termelési tényez®

Több szerepl®, egy termék, több termelési tényez®

Több szerepl®, több termék, több termelési tényez®

(termeléssel b®vített cseregazdaság)

(12)

Egy szerepl®, két termék, nincs termelés

Készletek: ω₁, ω₂

NINCS PIAC, tehát nincs kivel cserélni

Fogyasztói optimum ('ált.

egyensúly'):

x₁^∗=ω₁,x₂^∗=ω₂

(13)

Robinson Crusoe-gazdaság

1 szerepl® (Robinson), 1 termék (kókuszdió), 1 termelési tényez® (munka)

kókuszdió fogyasztás (db): c

szabadid® 'fogyasztás' (óra) : `(megj.: 0≤`≤`¯, pl. `¯=˙24) munkaid® (óra): h (megj.: h= ¯`−`)

hasznossági függvény: U(c, `)(felt.: ^∂_∂^U_c >0,^∂_∂`^U >0) termelési függvény: c=f(h)(felt.: f⁰>0,f⁰⁰<0)

(14)

Robinson Crusoe-gazdaság (folyt.)

Robinson döntési feladata:

célfüggvény: U(c, `)→max_c,`

korlát:

c=f(h) h= ¯`−` Lagrange-függvény:

L=U(c,`¯−h)−λ(c−f(h)) ERF:

∂L

∂c =^∂_∂^U_c −λ=0

∂L

∂h =^∂_∂h^U+λ^df_dh =0

−∂U/∂h

∂U/∂c = df dh

−MUh

MUc =MRSh,c =mph

∂U

∂h <0,∂U

∂c >0,df dh >0

(15)

Robinson Crusoe-gazdaság (folyt.)

−MU_h

MUc =MRSh,c =mph

∂U

∂h <0,∂U

∂c >0,df dh >0

(16)

Robinson Crusoe-gazdaság

Feltevés

'Skizofrén' Robinson: Termel® és fogyasztó énje kettészakad.

Árelfogadóként hozza meg termel®i és fogyasztói döntését külön-külön, majd a két énje a termék- és tényez®piacon találkozik, hogy cseréljen.

Feltevés

Árelfogadó Robinson adottnak tekinti:

kókuszdió árát: p munkabért: w

(17)

Robinson Crusoe-gazdaság (folyt.)

Algoritmus

Megoldjuk a termel®i és fogyasztói optimumfeladatokat (a termel® protját kizetik a tulajdonosnak)

Meghatározzuk a keresleti és kínálati, valamint tényez®keresleti és tényez®kínálati függvényeket.

Felírjuk a piaci és tényez®piaci egyensúlyi feltételeket.

Meghatározzuk az egyensúlyi (termék és tényez®) árakat.

A keresleti és kínálati függvények segítségével meghatározzuk az egyensúlyi mennyiségeket.

(18)

Robinson mint termel®

célfüggvény: π=pcS−whD →maxcS,hD

korlát: c_S =f(h_D)

Lagrange-függvény: L=pc_S−wh_D−λ_T(c_S−f(h_D)) ERF:

∂L

∂cS =p−λ_T =0

∂h∂L_D =−w+λ_T_dh^df

D =0 optimum feltétel:

pmph=w mp_h= w

p megoldás:

kókuszdiókínálati függvény: cS(p,w) munkakeresleti függvény: hD(p,w) protfüggvény: π(p,w)

(19)

Robinson mint termel® (folyt.)

Ismer®s

optimumfeltétel

pmp_h=w mp_h= w

p

(20)

Robinson mint fogyasztó

célfüggvény: U(C_D, `)→max_c_D,`

korlát: pcD+w`=w`¯+π^∗ (π^∗: t®kejövedelem a vállalat tulajdonosaként)

vagy

célfüggvény: U(C_D,h_S)→max_c_D,hS

korlát: pc_D =wh_S+π^∗ (wh_S: munkajövedelem a vállalat munkásaként)

Lagrange-függvény: L=U(CD,hS)−λ_F(pcD−whS−π^∗) ERF:

∂L

∂c_D =_∂^∂_c^U

D −λ_Fp=0

∂h∂L_S =_∂h^∂U

S +λ_Fw=0 optimum feltétel:

−MUc

MU_h =MRS_c,h= p w

(21)

Robinson mint fogyasztó (folyt.)

megoldás:

kókuszdiókeresleti függvény: cD(p,w) munkakínálati függvény: hS(p,w)

szabaid®keresleti függvény: `(p,w) = ¯`−hS(p,w)

(22)

Robinson mint fogyasztó (folyt.)

Ismer®s

optimumfeltétel

−MU_c

MUh =MRSc,h= p w

(23)

Egyensúly a Robinson Crusoe-gazdaságban

Termék (kókuszdió) piac: c_D(p,w) =c_S(p,w) Tényez® (munka) piac: h_D(p,w) =h_S(p,w)

Megoldás (általános egyensúly): p^∗,w^∗,c^∗,h^∗, `^∗, π^∗,U^∗

Megjegyzés

Mivel a (termék- és tényez®)keresleti és kínálat függvények nulladfokon homogének, azaz NINCS PÉNZILLÚZIÓ, az egyik termék, vagy tényez® ármércének választható. Legyen pl. w=˙1.

Következmény

Az egyensúlyi feltételek nem alkothatnak független

egyenletrendszert (két egyensúlyi egyenlet, egy ismeretlen ár).

Tehát elég az egyik egyensúlyi egyelettel számolni.

(24)

Egyensúly a Robinson Crusoe-gazdaságban (folyt.)

(25)

Mérethozadéki problémák a Robinson

Crusoe-gazdaságban

(26)

Mérethozadéki problémák a Robinson

Crusoe-gazdaságban (folyt.)

(27)

Konvexitási problémák a Robinson Crusoe-gazdaságban

Konvexitás hiányában az egyensúly nem feltétlenül létezik.

(28)

Robinson Crusoe-gazdaság

Példa:

Robinson hasznossági függvénye: U(c, `) =c²` Robinson termelési függvénye: f(h) =√

h Megoldás:

w^∗=1,p^∗=√

32,h^∗=8, `^∗=8,c^∗=√

8, π^∗=8

(29)

Tiszta cseregazdaság

Felt.: két szerepl® (A és B), két termék (1 és 2), Nincs termelés (nincsenek vállalatok)

A fogyasztók a készleteiket cserélik El®nyös-e a csere?

Mikor el®nyös és mikor nem?

(30)

Edgeworth-Box

(31)

Edgeworth-Box (folyt.)

(32)

Mindkét szerepl® által preferált allokációk halmaza

(33)

Pareto-hatékony elosztás

(34)

Pareto-hatékony elosztások halmaza

A szerz®dési görbe

(35)

Adott indulókészlet mellett a végs® allokációk

halmaza

(36)

Pareto-hatékony elosztások meghatározása

A társadalmi tervez® feladata:

célfüggvény:

UA(x₁^A,x₂^A)→ max

x₁^A,x₂^A,x₁^B,x₂^B

korlát:

UB(x₁^B,x₂^B) = ¯UB

x1Â+x1^B=ω₁Â+ω₁^B x₂Â+x₂^B=ω₂Â+ω₂^B Lagrange-függvény:

L=U_A(x₁^A,x₂^A)−λ U_B(x₁^B,x₂^B)−U¯_B

− µ₁ x₁^A+x₁^B−ω₁^A−ω^B₁

−µ₂ x₂^A+x₂^B−ω^A₂ −ω₂^B

(37)

Pareto-hatékony elosztások meghatározása (folyt.)

ERF:

1 ∂L

∂x₁^A =^∂U^A

∂x₁^A −µ₁=0

2 ∂L

∂x₂Â =^∂ÛÂ

∂x₂^A −µ₂=0

3 ∂L

∂x₁^B =−λ^∂_∂^U_x_B^B

1 −µ₁=0

4 ∂L

∂x₂^B =−λ^∂_∂^U_x_B^B

2 −µ₂=0

MRSA=µ₁ µ₂ MRSB= µ₁ µ₂

A szerz®dési görbe (implicit függvény formájában):

MRSA(x₁Â,x₂Â) =MRSB(x₁Â,x₂Â)

Megjegyzés

Az x₁Â+x₁^B=ω₁Â+ω₁^B és x₂Â+x₂^B =ω₂Â+ω^B₂ korlátozó feltételeket felhasználva a szerz®dési görbe felírható például x₂Â=ϕ(x₁Â)alakban.

(38)

Decentralizált döntések

A fogyasztó

cf.:

UA(x₁^A,x₂^A)→ max

x₁^A,x₂^A

kf.:p1x₁Â+p2x₂Â=p1ω₁Â+p2ωÂ₂ opt. felt.: MRS_A=−^p_p¹

2

keresleti függvények:

x₁^A(p1,p2),x₂^A(p1,p2)

B fogyasztó

cf.:

UB(x₁^B,x₂^B)→ max

x₁^B,x₂^B

kf.:p1x₁^B+p2x₂^B=p1ω^B₁+p2ω₂^B opt. felt.: MRS_B =−^p_p¹

2

keresleti függvények:

x₁^B(p1,p2),x₂^B(p1,p2)

(39)

Decentralizált döntések (folyt.)

MRS_A=−p1

p₂,MRS_B=−p1

p₂

(40)

Piaci egyensúly

Egyensúlyi árak(p^∗₁,p^∗₂)esetén a kereslet megegyezik a kínálkattal minden piacon.

x₁^A(p₁^∗,p₂^∗) +x₁^B(p^∗₁,p₂^∗)

| {z }

D1(p1^∗,p2^∗)

=ω^A₁ +ω₁^B

| {z }

S1(p^∗1,p2^∗)

x₂^A(p₁^∗,p₂^∗) +x₂^B(p^∗₁,p₂^∗)

| {z }

D2(p1^∗,p2^∗)

=ω^A₂ +ω₂^B

| {z }

S2(p^∗1,p2^∗)

(41)

Piaci egyensúly (folyt.)

(42)

Általános egyensúly meghatározása

Kéttermékes, kétszerepl®s tiszta cseregazdaságban:

ismeretlenek száma: p1,p2,x₁^A,x₂^A,x₁^B,x₂^B (2 db termékár+2*2 db fogyasztott mennyiség=6 db) egyenletek száma (2+2+2=6 db):

optimumfeltételek (MRS-feltételek): 2 db (2 szerepl®, 2 termék)

költségvetési korlátok: 2 db (két szerepl®) egyensúlyi feltételek: 2 db (két piac)

Következmény

Az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik.

Megjegyzés

Mivel a keresleti függvények nulladfokon homogének, azaz NINCS PÉNZILLÚZIÓ, az egyik termék ármércének választható. Legyen pl. p₂=˙1. Így az egyenletrendszer túlhatározottnak t¶nik (több az egyenlet, mint az ismeretlen).

(43)

Általános egyensúly meghatározása (folyt.)

Állítás

Walras-törvény: A piacokon keresett és kínált javak összértéke megegyezik, azaz az aggregált piaci túlkereslet azonosan (minden árrendszer mellett) zérus:

p₁z₁(p₁,p₂) +p₂z₂(p₁,p₂)≡0, ahol z₁(p₁,p₂) =x₁Â(p₁,p₂)−ω₁Â+x₁^B(p₁,p₂)−ω₁^B és z₂(p₁,p₂) =x₂Â(p₁,p₂)−ω₂Â+x₂^B(p₁,p₂)−ω₂^B.

(44)

Általános egyensúly meghatározása (folyt.)

Bizonyítás

Adjuk össze a két fogyasztó költségvetési korlátját és rendezzük át:

p₁x₁Â+p₂x₂Â≡p₁ωÂ₁ +p₂ω₂Â p1x₁^B+p2x₂^B≡p1ω^B₁ +p2ω₂^B

p1x₁^A−p1ω^A₁ +p1x₁^B−p1ω₁^B

| {z }

p1z1(p1,p2)

+p2x₂^A−p2ω^A₂ +p2x₂^B−p2ω^B₂

| {z }

p2z2(p1,p2)

p₁z₁(p₁,p₂) +p₂z₂(p₁,p₂)≡0

(45)

Általános egyensúly meghatározása (folyt.)

Következmény

A Walras-törvény miatt az egyensúlyi feltételek nem alkothatnak független egyenletrendszert (két egyensúlyi egyenlet, egy

ismeretlen ár). Tehát elég az egyik egyensúlyi egyelettel számolni és a rendszer nem lesz túlhatározott.

Következmény

A Walras-törvény miatt, ha n−1 piac kitisztul (egyensúlyban van), akkor az n-edik is kitisztul (egyensúlyban van).

(46)

Tranzakciós (nettó) kereslet (kínálat)

Deníció

Tranzakciós (nettó)

kereslet: x_i^t(p₁,p₂) ˙=x_i(p₁,p₂)−ω_i>0 kínálat: x_i^t(p1,p2) ˙=xi(p1,p2)−ω_i <0

(47)

Teljes és tranzakciós egyéni kereslet (kínálat)

(48)

Teljes és tranzakciós piaci kereslet (kínálat)

Az aggregált teljes kínálati görbe és az aggregált teljes keresleti görbe metszéspontja adja meg a jószágból elfogyasztott teljes mennyiséget a gazdaságban, amelynek egyenl®nek kell lennie a jószág teljes kínálatával.

Az aggregált tranzakciós kínálati görbe és az aggregált tranzakciós keresleti görbe metszéspontja pedig azt a menynyiséget jelöli ki, amelyet a jószágból az eladók és a vev®k ténylegesen elcserélnek. A két

görbepár metszéspontja ugyanannál az egyensúlyi árnál van.

(49)

Teljes és tranzakciós piaci kereslet (kínálat) (folyt.)

(50)

Egyensúlykeresési algoritmus tiszta cseregazdaságban

Algoritmus

Egyéni (fogyasztói) optimumfeladatok felírása

Egyéni optimumfeladatok megoldása (keresleti függvények meghatározása)

Piaci egyensúlyi feltételek felírása (kereslet=kínálat minden piacon)

Ármérce jószág kiválasztása (keresleti függvények átírása úgy, hogy az áraránytól függjenek)

Egyensúlyi árarány meghatározása (egy egyensúlyi egyenlet elhagyható)

Egyénileg fogyasztott mennyiségek meghatározása

(51)

Egyensúlykeresési algoritmus tiszta cseregazdaságban (folyt.)

Példa:

UA=x₁Âx₂Â, ω₁Â=80, ω₂Â=30 U_B =x₁^Bx₂^B, ω^B₁ =20, ω₂^B=70 Megoldás:

Szerz®dési görbe: x₂^A=x₁^A

Versenyz®i egyensúly: x₁^A=55,x₂^A=55,x₁^B =45,x₂^B =45

(52)

Egyensúlykeresési algoritmus tiszta cseregazdaságban (folyt.)

Megjegyzés

A fenti algoritmus N termékes, M szerepl®s tiszta cseregazdaságban is alkalmazható.

(53)

Általános egyensúly meghatározása M szerepl®

és N termék esetén

Ismeretlenek:

M∗N (N db fogyasztási jószág, M db szerepl®) N db fogyasztási ár

Ismeretlenek száma: M∗N+N Egyenletek:

M∗N db egyéni optimum-feltétel (els®rend¶

feltételek+költségvetési korlátok a Lagrange-változókhoz) N db egyensúlyi feltétel: összkereslet=összkínálat (összkészletek)

Egyenletek száma: M∗N+N

Tehát az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik.

DE mivel csak a relatív árak számítanak (a keresleti függvények nulladfokon homogének), ármérce jószág (numéraire) választható (-1 ismeretlen).

Azaz túlhatározottnak t¶nik a rendszer (több az egyenlet, mint az ismeretlen).

(54)

Általános egyensúly meghatározása M szerepl®

és N termék esetén (folyt.)

DE a Walras-törvény miatt nem függetlenek az egyensúlyi egyenletek!

Tehát az egyenletrendszer mégsem túlhatározott, egy

egyensúlyi egyenlet elhagyásával az egyensúly meghatározható az algoritmus szerint.

Megjegyzés

Az egyenletszámlálás módszere nem feltétlenül vezet eredményre, mert negatív árak is adódhatnak, ugyanis valójában a költségvetési korlátok és az egyensúlyi feltételek egyenl®tlenségek és nem egyenletek!→Az egyensúly egzisztenciájának problémája (lásd kés®bb).

(55)

Jóléti tételek tiszta cseregazdaságban

Állítás

A jóléti közgazdaságtan I. tétele: A versenyz®i egyensúly Pareto-hatekony állapot (bizonyos technikai feltételek teljesülése mellett).

Bizonyítás

Kéttermékes, kétszerepl®s tiszta cseregazdaságban láttuk, hogy a piaci egyensúlyban MRSA=−^p_p¹^∗∗

2 és MRSB=−^p_p^∗¹∗

2, mivel ott az egyéni döntések optimálisak. Tehát MRS_A=MRS_B, azaz az egyensúlyban fogyasztott jószágkosarak rajta vannak a szerz®dési görbén, így Pareto-hatékony allokációhoz tartoznak. Ez az eredmény M-szerepl®s, N-termékes gazdaságra is általánosítható.

(56)

Jóléti tételek tiszta cseregazdaságban (folyt.)

Állítás

A jóléti közgazdaságtan II. tétele: Ha a piaci szerepl®k preferenciái konvexek, akkor bármely Pareto-hatékony allokációhoz találunk olyan árrendszert - megfelel®en választott indulókészletek esetén - amely decentralizált döntések által (piaci mechanizmus) a fenti allokációhoz juttatja a piaci szerepl®ket (bizonyos technikai feltételek teljesülése mellett).

(57)

Jóléti tételek tiszta cseregazdaságban (folyt.)

(58)

Jóléti tételek tiszta cseregazdaságban (folyt.)

Bizonyítás

Egy kéttermékes, kétszerepl®s tiszta cseregazdaságban, ahol ωÂ₁, ωÂ₂, ω₁^B, ω₂^B tetsz®leges induló készletek, legyen¯x₁Â,x¯₂Â,¯x₁^B,¯x₂^B egy Pareto-hatékony allokáció.

Ekkor MRS_A(¯x₁^A,¯x₂^A) =MRS_B(¯x₁^B,¯x₂^B) ˙=^p_p⁰¹₀

2 alkalmas egyensúlyi áraránynak. Az ármérce legyen például p₂⁰=˙1.

Ha p⁰₁¯x₁Â+ ¯x₂Â=p₁⁰ωÂ₁ +ω₂Â(és ekkor a feltételek miatt p⁰₁¯x₁^B+ ¯x₂^B =p₁⁰ω₁^B+ω^B₂), azaz az allokáció rajta van a (p⁰₁,p₂⁰)árakkal képzett csereegyenesen, akkor a versenyz®i mechanizmus közvetlenül az¯x₁Â,x¯₂Â,¯x₁^B,¯x₂^B allokációt valósítja meg versenyz®i egyensúlyként.

(59)

Jóléti tételek tiszta cseregazdaságban (folyt.)

Bizonyítás

Ha p⁰₁¯x₁Â+ ¯x₂Â6=p₁⁰ωÂ₁ +ω₂Â, azaz az allokáció nincs rajta a (p⁰₁,p₂⁰)árakkal képzett csereegyenesen, akkor osszuk újra az indulókészleteket a

∆ωÂ₁=ω˙ Â₁ −ω¯₁Â,∆ωÂ₂=ω˙ ₂Â−ω¯₂Â,

∆ω₁^B=ω˙ ^B₁ −ω¯₁^B,∆ω^B₂=ω˙ ₂^B−ω¯^B₂,

(¯ω₁Â+ ¯ω^B₁ =ωÂ₁ +ω₁^B,ω¯₂Â+ ¯ω^B₂ =ωÂ₂ +ω₂^B) újraelosztásokkal úgy, hogy p₁⁰¯x₁Â+ ¯x₂Â=p₁⁰ω¯Â₁ + ¯ω₂Âlegyen.

Ekkor a készletek újraosztása után a versenyz®i mechanizmus az¯x₁^A,x¯₂^A,¯x₁^B,¯x₂^B allokációt valósítja meg versenyz®i

egyensúlyként.