Dixon, W.J.: A normális eloszlású alapsokaság várható értékének és szórásának becslése

(1)

A STATISZTIKA ÁLTALÁNOS ELMÉLETE ÉS MÓDSZERTANA.

MATEMATIKAI

Dixon, W. J.:

A normális eloszlású alapsokaság várható értékének és szórásának

becslése

(Estimaies of the mean and standard deviartion of a normal population.) The Annals of Mathematical statistics. 1957. No. 3. Süti—809. 1).

Ha egy alapsokaság valamely a para—

méterét reprezentativ adatfelvétel segít—

ségével kívánjuk megbecsülni, a becslést annál jobbnak tekintjük, minél kisebb a minta adatai alapján nyert a közelítő érték szórásnégyzete. Ha ennek az a—nak

a szórásnégyZetét a'f, —va1 jelöljük, az a-ra

adható összes lehetséges becslési módok

szórásnégyzetének alsó határát meg O'Z—tel,

akkor a

a_z

aa

hányadost az a becslés efficienciájának nevezzük.

A szerző rövid cikkében azzal a gya- korlati szempontból fontos esettel foglal—

kozik, amikor az alapsokaság normális

eloszlású és a minta elemeinek száma legfeljebb 20. (A vizsgálat tehát a kis minták elméletéhez tartozik). A várható értékre vonatkozó becslések közül két kevésbé ismertet kell kiemelni. Az egyik az a becslés, amelyet a minta azon két elemének számtani átlagából nyerünk,

melyek a 27—ik és a 73—ik percentilisnek

azí %x]

felelnek meg. (Ezt _—__ -vel jelöl—

jük). A másik becslést pedig a minta leg—

kisebb és legnagyobb elemének elhagyása után nyert elemek számtani átlaga szol—

STATISZTIKA

gáltatja. (Ezt u —vel

N — 2

jelöljük.) A következő táblázat a két

becslés adatait mutatja. Az egyes becslé—

sekne'l az első oszlop a szórásnégyzetet, a második pedig a megfelelő efficienciát tartalmazza. Az efficiencia kiszámításánál a legjobb lineáris becslés szolgáltatja az

összehasonlítási alapot.

wi-l-zj xZ-l-H-anN_1 N

(a minta 2 N 2

elem-

száma) Szórás— Effi- Szórás— Effi- négyzet ciencia négyzet ciencia

2 o,5oo 1,00 : _ —

3 0362 O,920 (),449 O,?43

4 0,298 (),838 0298 O,838

5 0231 O,867 (),227 O,881

6 O,193 O,865 (),184 0906

7 0,168 O,849 0,155 o,922

8 O,149 O,837 0,134 0934

9 0,132 (),843 0,118 0,942

10 0,119 (),840 0,105 0349

11 O,109 (),832 0,0952 0,955

12 0,10() O,831 (),0869 0359

13 00924 0,833 0,0799 0,963

14 _ (),0860 0,830 (),0739 0,966

15 (),0808 ossza (),0688 0,969

16 (),0756 O,827 O,i)644 0,971

17 (),0711 (),827 (),0605 0,973

18 0,0673 03325 o,0570 0.975

19 0,0MO 03423 0,0539 O,976

20 (),0607 03324 op.-311 O,978

m 0,810 mm;

A táblázatból kitűnik, hogy az elsö becslés efficienciája állandóan csökken

és a 0,810-hez tart. Ezzel szemben az má—

sodik becslés efficienciája a minta nagy- ságának *növekedésével aszimptotikusan az 1-hez konvergál. Az utóbbi becslésnek

(2)

998

különösen akkor lehet nagy hasznát ven—

ni, amikor a minta szélső elemei bizony-

talanok.

Hasonló szellemben foglalkozik a szerző

a szórásra adható becslésekkel is.

(Ism.: Krekó Béla)

Gautschi, Werner:

Néhány megjegyzés a szisztematikus mintavételről

(So—me remarks on Annals of Mathematical Wie—394. p.

systematic sampling.) The Statislics. 1957. No_ 2.

A szisztematikus (vagy más elnevezés—

sel mechanikus) reprezentatív minta—

vétel lényege a következő: tegyük fel,

hogy az alapsokaság, amelyet vizsgálunk,

N elemből áll, a mintába pedig n számú

elemet kivánunk válogatni, továbbá

N : k

n

Ez esetben az alapsokaság egyedeit va—

lamilyen módon sorba rendezzük és az első k elem közül véletlenszerűen válasz—

tunk egyet, majd ezt követően minden

k-adikat. így nyerjük az n elemű mintát.

amelyből számított átlag az alapsokaság megfelelő értékének torzítatlan becslése.

A fenti eljárás J. Tukey által beveze—

tett általánosítása a több véletlen kezdő—

pontból kiinduló szisztematikus minta—

vétel (systematic sampling With multiple random starts). A kiválasztás lebonyolítása eszerint úgy történik, hogy az első k elemből ismétlés nélküli egyszerű vélet—

len kiválasztással egy s nagyságú min—

tát veszünk, majd 9 minta elemeiből ki—

indulva, a sorba rendezett elemekből min—

den k—adikat választjuk ki. Az így kapott minta terjedelme 71 - s és ugyancsak torzitatlan becslést tesz lehetővé.

A szisztematikus mintavétel pontossá.—

gát eddig elsősorban az egyszerű vélet-

len kiválasztással és a rétegzett kiválasz—

tással összehasonlítva vizsgálták. Ezzel kapcsolatban a cikk W. G. Cochran ered—

ményeit ismerteti.

Szerző Viszont a közönséges szisztema—

tikus kiválasztás és az imént vázolt, több kezdőpontot felhasználó eljárás eredmé—

nyességének viszonylagos mértékét vizs- gálja. Azonos nagyságú, éspedig ns elem—

ből álló mintát véve alapul, kiszámítja a

STATISZTIKAI IRODALMI FIGYEIÚ ;

mintaátlag

értékét. _

A kétféle mintavétel pontosságának

aránya az alapsokaság elemei sorrend—

jének jellegétől függ. Ettől függően a

következő eseteket különböztethetjük

meg:

a) Az elemek sorrendje véletlenszerű.

Ebben az esetben a szisztematikus minta—

vétel és a több kezdőponttól, kiinduló

mintavétel standard hibája egyenlő.

b) A, sorrendben lineáris trend érvé- nyesül. Ilyenkor a közönséges szisztema-

tikus mintavétel jobb eredményt ad.

6) A sorrendben ,,szériális korreláció"

érvényesül, vagyis bizonyos távolságra

álló elemek —— a vizsgált ismérv szem—

pontjából —— nem függetlenek egymástól.

A kétféle mintavétel viszonylagos haté—

konysága ez esetben a sorozatok között fennálló korreláció tipusán és szorossá—

gán múlik. Exponenciális tipus esetén a

szisztematikus mintavétel standard hibá—

ja kisebb, mint a több kezdőpontból kiin—

duló mintavételé. Ugyanakkor csak az utóbbi módszer használata révén lehet a

sokaság sorrendjének jellegére való tekin—

tet nélkül a mintából torzitatlan becslést adni a mintaátlag szórásnégyzetére.

Ennélfogva szisztematikus mintavétel

alkalmazásánál a kétféle lehetőség közötti

döntés előtt helves az elemek sorrendjé—

nek jellegét tanulmányozni.

(Ism.: Párm'czky Gábor)

szórásne'gyzetének várhatór

.

Jugenbnrg, Sz.:

A területi indexek kiszámításának néhány kérdése

(Nekotorüe vopmszü iszcsiszlenija lcrrítoriaY nüh indekszov.) —— Veszlnik Sziatíszlikz'. 1958. No. 4.

59435. p.

Az egyes rajonok (kerületek) gazdasági

eredményeinek egybevetése gyakran szükségessé teszi az ún. statikus, vagyis egy meghatározott időpontbeli állapotot kifejező indexek alkalmazását. Az ilyen indexek kiszámításának módszertanával

ugyanakkor eddig alig foglalkoztak: el—

terjedt az a nézet, hogy az indexek alkal—

mazásának területe csak a társadalmi ie—

lenségek dinamikája lehet.

Igen fontos statikus indexek a területi indexek, melyekben valamely rajon ada—

tait egy másik, bázisul vett rajon adatai- val való összehasonlítás alapján fejezzük