Roy, J. – Chakravarti, I. M.: Véges, sok elemű alapsokaság középértékének becslése

(1)

430

Roy, J.—Chakravarti, I. M.:

Véges, sok elemű alansokasáá középértékének becslése

(Estimating tbe mean of a flnite population.) :— Annals of Mathematical Statlstics. 1960.

:. az; 312—398. p.

Szerzők azt a kérdést vizsgálják, hogy

N különböző elemből álló alapsokaság valamely y jellemzőjének —-. melynek értékét az alapsokaság i-edik eleménél yl-vel jelöljük ——

1 N

: Egg/i (áml,2,....N)

középértékét bizonyos rögzített mintaát- vételi mód mellett, hogyan lehet ,,jól"

becsülni.

A becsléselméletben a ,,jó" .becsléstől bizonyos kritériumok teljesülését követe- lik meg. Egyik legfontosabb követelmény, hogy a becslés várható értéke megegyez- zék magával a becsült paraméterrel. Az olyan becslést, amely eleget tesz ennek a feltételnek, torzitatlannak nevezik. A má- sik fontos követelmény, hogy a becslés a lehető legkisebb szórású legyen. Ha pél—

dául egy ismeretlen paraméterre két kü—

lönböző torzitatlan becslésünk is van, ak—

kor azt részesítjük előnyben, amelynek szórása kisebb.

Godombe már 1955—ben bebizonyította,

hogy a fent definiált [).—re vonatkozó ösz—

szes lineáris torzitatlan becslések H hal- mazában nem létezik ,,legjobb" becslés, tehát olyan, amelynek szórása kisebb a halmaz bármely elemének szórásánál. Ez úgy is fogalmazható, hogy a pr—re vonatkozó összes lineáris becslésék körében nem lé—

tezik minimális szórású.

Szerzők elég általános mintaátvételi mó—

dot megengedve, megkonstruálják az alábbi T* becslést a ,a. paraméter becslé—

sére:

1 N MMX)

T'! 255821?"th (Xn "]

ahol ,a; (X) : 0, ha az X elemszámú min- tában az alapsokaság i—edik eleme nem fordul elő és 1, ha az legalább egyszer

N

elöfordul, MX) :: 2 W (X) M [MNXH pe—

isi

die/l,- (X) várható értékét jelöli. Szerzők kimutatják, hogy ennek a T* becslésnek _ T* eleme H-nak, hiszen lineáris torzí—

tatlan becslést ad pl.—re, —— a szórása ki-

sebb vagy egyenlő a H halmaz bármely elemének szórásánál.

A továbbiakban szerzők megkísérlik leszűkíteni a H halmazt úgy, hogy eb—

ben a szűkebb halmazban már létezzék bizonyos mintavételi mód mellett legjobb.

STATISZTXKAI IRODALMI FIGYELÖ

azaz, minimális szórású becslés. Ebből a célból definiálják egyrészt a ,,reguláris"

becslés fogalmát, másrészt a ,,kiegyen—

súlyozott" mintavételi módot. Egy pl.-re vonatkozó lineáris, torzitatlan becslést regulárisnak neveznek, ha szórásne'gyzet'e az alapsokaság szórásnégyzetével arányos, ahol ez az arányossági tényező független y—tól. Egy mintavételi módszert pedig ak—

kor neveznek kiegyensúlyozottnak, ha

X 1

M (M )) : __ !?!

MX) N

Bebizonyitják, hogy az N

MAX)

§ IN (X)

becslés kiegyensúlyozott mintavételi mód mellett a ,u-re vonatkozó összes reguláris

becslések közül a legjobb, azaz minimális szórású.

Eredményeiket három ismert mintavételi módra alkalmazzák:

1. Egyszerű véletlen mintavétel vissza—

tevéssel fix mintaelemszámmal. Tételeik—

ből következik, hogy ebben az esetben a pt átlag becslésére a

N

2 '?lz' M' (X)

ír:].

Nt ---(ua—%n"

becslés jobb becslés, mint a mintaelemek közönséges számtani átlaga, és a

Ni

T :: "5" t,. LF__

MX)

" ffi * ! ,J, (X)

típusú

T *

becslés pedig a legjobb reguláris becslése ,u—nek.

tevés nélkül, fix mintaelemszámmal.

Ennél a mintavételi módnál a minta—

elemek átlaga adja a legjobb reguláris becslést.

tevéssel, véletlentől függő mintaelemszám esetén, amikor is a mintavételt addig folytatjuk, mig 1: különböző mintaelemet ki nem választottunk.

Az ilyen típusú mintavételnél is a

N

T. 3 2 ?lí P—ÁX)

% :: 1 ""

jobb becslést ad [Ji—re, mint a mintaelemek számtani átlaga, sőt ez a legjobb regu—

láris becslés.

(Ism.: Schnell Lászlóné)