Theil, H.: A legjobb lineáris ár- és volumenindexek

"130

STATISZTIKAI IBODALBJI FIGYELÖ

Theil, H.:

A legjobb lineáris ár- és volumenindexek

_(Best linear numbers of prices and guanid- ties.) -—- Econometrica. 1960. 2, sz. AIM—480.

A tanulmány olyan tetszésszerinti idő—

pontra vagy geográfiai egységekre vo—

natkozó indexszámok kidolgozását tár-

gyalja, melyek eleget tesznek annak a kö—

vetelménynek, hogy a tényleges és az indexből meghatározható értékek eltéré—

sei négyzeteinek összege minimális.

A tárgyalt módszer ,,ex post" jellegű,

azaz alkalmazására csak akkor kerülhet

sor, ha az árakra és a mennyiségekre vo—

natkozó egyedi indexek már az egész

vizsgálódási időszakra vonatkozóan eleve

rendelkezésre állnak. Lineáris abban az értelemben, hogy az árindex vektor az egyedi árak matrixának lineáris függ—

vénye. Végül legjobban abban a vonat—

kozásban, hogy a lineáris függvény meg—

választása oly) módon történik, hogy bizo—

nyos eltérésekre vonatkozó kvadratikus alak minimalizálva van.

A módszer leírását a szerző a geomet—

ria eszközeivel vezeti be. Az egyes idő—

pontokban az árucikkek árát az n dimen—

ziós Descartes—féle koordináta rendszer—

ben egy-egy ponttal, illetve egy—egy vek—

torral lehet ábrázolni. Ez T időszak ese—

tén Pi, P,, . . . , PT ún. ,,árponthoz" vezet,

illetve OPi, OP:,...,OP1— árvektort ered—

ményez. Ha valamennyi ár arányosan

változik, akkor ezek a pontok egy egye-—

nesen helyezkednek el. Paraméteres jelö- lésmóddal: P, : ez,-P (i :l, ..., n). A va—

lóságban ez a helyzet csak közelítőleg szokott előállni. Egy közelítő áregyenest

kell tehát szerkeszteni és erre kell leve—

títeni az árpontokat (nem szükségképpen merőlegesen). Az ily módon nyert OPV'

OPJ ..., OP'T' vetített vektorok lesznek

az egyes időpontokban az árindexek.

A p/t/ egyedi árak és az árindexszám

között fennálló összefüggés matrix jelö—

lésmód bevezetésével: .

! mmm-pw) P(l)

P : ... . . . ; p :

P1(T) ---pn(T) MT)

p : P a

ahol a n elemű oszlopvektor. Ugyanez

felírható más formában is

P:pa'—§—V

ahol a' az áregyenes paraméteres alakjá—

ból származó együtthatók oszlopvektora, o' :: transzponáltja, V :: [vi (t)] pedig az

áreltérések Ta: 71. típusú matrixa. A fenti két képletből

!Va—PU—aa')

ahol 1 az egységmatrix.

Az eljárás lényege az, hogy a—t és a—t úgy kell megválasztani, hogy a következö V elemeiben kvadratikus alak minimali—

zálva legyen!:

.; gif ; 1),— (t) 7)!— (t) :: tr(G V' V) ahol G : [g,-j] egy n—ed rendű szimmet—

rikus, pozitív—definit vagy semidefinit matrix. A minimum:

Min [tr (G V'V)] : " (GP' P) -——(a' P' P)(a' G a)

ahol az a és az a következő megszorítá—

soknak van alávetve:

[P'PG—(a'P'Pa)(a'Ga)I]P'Pa : o

P'P[GP'P————(a'P'Pa)(a'Ga)I]a :!) [op'p—(a'fvpanagaa)Iwa: o

G[P'PG——(a'P'Pa)(a'Ga)I]a: O

Ezen egyenletekből következik, hogy

P*Pa sajátvektora a P'PG matrixnak, és hasonlóképpen Ga sajátvektora a GPF matrixnak, mégpedig mindkettő a leg—

nagyobb:

73 m (a'P'Pa) (a' Ha)

sajátértékhez tartozó sajátvektor.

Hasonlóképpen kimutatható, hogy

[PGP'—-—(a'P'Pa)(a'Ga)IjPa zo,

vagyis a Pa x p árindex vektor ugyan—

ezen )? legnagyobb sajátértékhez tar—

tozó sajátvektora a PGP' matrixnak.

A mennyiségek változására vonatkozó

indexszámoknál a közelítés teljesen ana—

log módon történik.

A szerZő a továbbiakban az árak és mennyiségek változására vonatkozó in—

dexek problémáit kombinálva tárgyalja.

Ha speciálisan a G—t (JO—nak választjuk, ahol 62 az egyedi volumenindexek mat- rixa és a volumenindexek meghatározá- sánál szereplő, G—hez hasonlóan pozitív definit vagy pozitív semidefinit mat-

riXot pedig PiP-nek, akkor az előzők sze—

rint meghatározottk s ily módon szim—

metrizált ár— és volumenindexekre a kö- vekezők mutathatók ki:

1 A képletben szereplő tr—a trace szó két kezdőbetűje a matrix nyomát, diagonális ele- meinek összegét jelenti.

STATISZTIKAI IRODALMI FIGYELÖ

av

1. a mennyiségi index súlyai azonosak

az áregyenes, paraméteres alakjából szár- mazó együtthatókal és megfordítva;

2. az árindex súlyai megszorozva az egyedi árak momentum matrixával bal—

ról a mennyiségi változások indexe súlyai

vektorának Á—szorosát adják és megfor—

dítva. (A a két momentum matrix szor-

zata legnagyobb latens gyökének pozitiv

négyzetgyöke) ;

3. A egyenlő mind az ár, mind a meny—

nyiségi indexek vektorai hosszának négy—

zetével',

4. az ár és a mennyiségi index súlyai- nak belső szorzata egységnyi.

A szimmetricitás tárgyalásával kapcso- latban bevezeti a szerző a ,,kereszt—ér—

ték matrix" fogalmát: C : Pg'.

A tanulmány foglalkozik a szimmet—

rikus legjobb lineáris index optimális tu—

lajdonságaival is. Rámutat, hogy ezek az indexszámok az ún. kereszt—érték eltéré- sek (E : VC?) négyzeteinek összegét mi—

nimalizálják. Az indexszámok meghatá—

rozása nem okoz különösebb nehézséget.

Amint az egyedi árakra és mennyisé-

gekre vonatkozó adatok rendelkezésre áll—

nak az ún. ,,kereszt-értékek" C : PO' matrixa összeállítható. Ezt követően mind az árak mind a mennyiségek indexeinek vektorai a CC' és a 00 legnagyobb gyö-

kének megfelelő saját vektorok alapján

meghatározhatók. Ezeknek az ár illetve mennyiségi index vektoroknak az illesz—

rkedése a tényleges adatokhoz egy index-

szel jellemezhető:

?? 7.2 __ A*

zr(0'0P'P) — ma el) maa)

2:

131 *

Ennek az indexnek értéke 1, ha sikerül . valamennyi ún. ,,kereszt-érték" eltérést zérusra redukálni. Az I-' minimális értéke 1/1', ahol 7 vagy n—el vagy T-vel egyenlő.

aszerint, hogy melyik kisebb.

A tanulmány ezt követően a parciális

indexszámokkal és az agregálás kérdé-

seivel foglalkozik. A probléma lényege

az, hogy ha a termékek valamilyen al—

csoportjaira képzett indexszámokon épül— '

nek fel az egész körre kiterjedő index—

számok, az eredmény más lesz, mintha az

egyedi indexszámokból kiindulva alcso—

portok képzése nélkül történik a számí—

tás. Az alcsoportok agregátumain kidol—

gozott szimmetrikus legjobb lineáris indexszámoknál fellép egy proporcionális

és egy additív hiba. A proporcionális hiba bilineáris a parciális és az egész körre

kiterjedő index vektorok eltéréseiben PZ additív: az agregált árindex vektornál a parciális mennyiségi indexek vektorai és az egész körre kiterjedő mennyiségi vek-

tor között mutatkozó eltérések lineáris kombinációja; az agregált mennyiségekre

vonatkozó index vektornál az áreltéré-

sek hasonló jellegű lineáris kombinációja.

A tanulmányt a szerzőnek néhány záró megjegyzése fejezi be, melyek közül gya—

korlati szempontból különös érdeklődésre tarthat számot az a gondolatmenet, mely bemutatja, hogy T : 2 esetén a közeli—

tés az indexszámitás konvencionális mód—

szereire redukálható. A szimmetrikus legjobb lineáris indexszámok a Laspey- res— és a Paasche—féle formulákkal köz- vetlen kapcsolatba hozhatók.

(Ism.: Csepinszky Andor)

IPARSTATISZTIKA. BERUHÁZÁSI STATISZTIKA

Bock, Werner—Hartmann, Karl:

A termelés szakositásának gazdasági hatékonysága. és mérése a szocialista

iparban

(Der ökonomische Nutzeffekt der Spezialiste—

rung der Produktion in der soziallstischen Industrle und seine Ermittlung.) —— Wirtschafts Wtssenschaft, 1960. 1. sz. 21—40. p.

A Német Demokratikus Köztársaság

hétéves tervének sikeres végrehajtásá—

ban, a szocialista rekonstrukció megva-

lósításában fontos szerepet játszik a ter-

melés specializálása. Ez a termelékeny-

ség emelésének és az önköltség csökken—

tésének egyik legjelentősebb tartaléka.

Egyik elsődleges feltétele az új technika

alkalmazásának, a magasszínvonalú gé—

9!

pesítésnek és automatizálásnak, a vi—

szonylag alacsony átvitt— és élőmunka—

felhasználást igénylő tömeg— és nagy- szériagyártásnak. A termelés speciali—

zálása teszi lehetővé továbbá például a

bonyolult és drága univerzális gépek

helyett egycélú, modern berendezések alkalmazását.

A specializálás előkészítése során, an- nak eldöntésénél, hogy melyik vállalatot,

melyik termék előállítására kell kije-

lölni, a következő adatok alapján végez- nek részletes, elemző vizsgálatot: Tech- nikai feltételek és termelőkap'acitás, a

munkások begyakorlottsága és gyártási tapasztalatai, az azonos termékek önkölt—

ségének szinvonala az egyes vállalatok—