2011. január Szakmai felelős: Köllő János Készítette: Köllő János MUNKAGAZDASÁGTAN

Teljes szövegt

(1)MUNKAGAZDASÁGTAN Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Szociálpolitika Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék, az MTA Közgazdaságtudományi Intézet és a Balassi Kiadó közreműködésével. Készítette: Köllő János Szakmai felelős: Köllő János 2011. január.

(2) MUNKAGAZDASÁGTAN 9. hét Munkakereslet – Kiegészítések Köllő János. A keresleti összefüggések pontosabban • •. Két tényező: tőke és munka Több tényező. 1. 2.. Függelék: Munkakereslet rövid távon Függelék: Skálahatás homogén termelési függvény esetén. •. A prezentáció P. Cahuc –A. Zylberberg „Labor Economics” (MIT Press 2004) haladó tankönyvének 171–193. oldalát követi. •. Csak homogén termelési függvényekkel foglalkozunk, az általános esetre vonatkozó eredményeket bizonyítás nélkül közöljük Csak a kéttényezős esetet vizsgáljuk részletesen*. •. * Az egytényezős esetről lásd az 1. Függeléket ! A többtényezős esetről röviden esik szó. 2.

(3) Két tényező: munka és tőke. Segédeszközök: termelési függvény Kéttényezős,. fokú homogén, azaz:. F ( K , L). F ( K , L). 0,. A skálahozadék csökkenő, ha <1. Konstans, ha. ( K , L). =1. Növekvő, ha. >1.. Mindkét argumentumában csökkenő hozadékú, azaz: FL>0, FK>0, FLL<0, FKK<0. Segédeszközök: költségfüggvény A termelés minimális költsége adott Y kibocsátás mellett A minimálköltséget w, r és Y függvényében leíró összefüggés a költségfüggvény:. wL rK a). A tényezőárakban növekvő, elsőfokú homogén. C. C ( w, r , Y ). b). Konkáv: Cww<0, Crr<0. c). Kielégíti a Shepard-lemmát: az optimális tényezőkeresleteket a költségfüggvény megfelelő árak szerinti parciális deriváltjai adják:. L. C w ( w, r , Y ) és. K. C r ( w, r , Y ) 3.

(4) Segédeszközök: piaci erő A tökéletes verseny szélső eset. A piaci erőt az izoelasztikusnak feltételezett inverz termékkeresleti függvényből (P = P(Y)) származtatott alábbi rugalmasság méri:. P (Y ) Y P (Y ). p Y. Tökéletes verseny esetén a vállalat árelfogadó Ha a verseny nem tökéletes, a vállalat árbefolyásoló Tökéletes verseny esetén a vállalatnak nincs piaci ereje 1 Ha a verseny nem tökéletes, a vállalat árbefolyásoló 1. 1. p Y p Y. 0 0. p Y. 1 1. Segédeszközök: profitfüggvény Amikor a tényezőárak változnak, a vállalat optimális mérete is változik A profitfüggvény. ( w, r , Y ). P(Y )Y C ( w, r , Y ). Az elsőrendű feltétel Y szerinti deriválásból:. P(Y ) Y. ( w, r , Y ). CY ( w, r , Y ) P (Y )Y. ahol ahol. 1 /(1. P(Y ) CY ( w, r , Y ). p Y ). 0. P(Y) - t kiemelve és emlékezve, hogy az inverz keresleti függvény kibocsátás - rugalmassága ηYp. P'(Y)Y/P(Y), azonnal adódik a fenti összefüggés. Megjegyzés: az optimumban: ár = határköltség*felár. 4.

(5) A fenti összefüggéseket és feltevéseket szem előtt tartva az alábbi kérdéseket fogjuk megvizsgálni Feltételes keresletváltozások (Hogyan változik az optimális választás adott kibocsátás mellett, ha változnak a tényezőárak?) • •. Feltételes munka- és tőkekereslet Kereszthatások. Skálahatás (Hogyan változik az optimális kibocsátás, ha változnak a tényezőárak?) Feltétel nélküli keresletváltozások • A helyettesítési és skálahatás együtt. A feltételes (konstans kibocsátás melletti, kompenzált) munkakereslet csökken a bérrel és nő a tőkehasználati díjjal A Shepard-lemmából: Mivel a feltételes kereslet csak a relatív tényezőáraktól függ, a tőkehasználati díj emelkedése esetén a munkakereslet nő: L. L. C w ( w, r , Y ). L r. C wr. w. C ww. 0. 0. Hasonlóképp, a feltételes tőkekereslet csökken a tőkehasználati díjjal és nő a bérrel. 5.

(6) Kereszthatások Keresztrugalmasság: pozitív, nem szimmetrikus Helyettesítési rugalmasság: pozitív*, szimmetrikus* L r. r L , L r. w K K w. K w. ,. L r. K w. * Ezek nem feltétlenül teljesülnek n>2 termelési tényező esetén!. w r (K / L ) K L (w / r ). 0. A helyettesítési rugalmasság kifejezhető a költségfüggvényből (Uzawa 1962, Cahuc–Zylberberg 2004, 237–238). w r K L. (K / L ) (w / r ). Ha ez igaz, akkor belátható, hogy. L r. sK. C wr C C wC r (1 s L ). log L L r r C 0 0 wr log r Y Y r Y Y L L felhasználva helyettesítési rugalmasságról belátható,hogy hogy: Ezt felhasznál va aa helyettesí tési rugalmassá gról belátható, : C wr C C wr C r C L 1 C r wr sK L rK L K C wC r L r. 6.

(7) A fentiekből adódnak a kompenzált árhatások közötti alábbi összefüggések*: wL. rL L r. (1 s L ). 0. L w. L r. (1 s L ). 0. * Vegyük észre, hogy a kompenzált sajátbér-rugalmasság csökken a munka részarányával!. Exogén kibocsátásváltozás hatása homogén termelési fv esetén Ha a termelési függvény homogén, Y növekedése (az árarányok változása nélkül) mindkét tényező keresletét növeli. A termelési függvény -ed fokú homogenitásából és a Shepard-lemmából adódóan ugyanis:. L (w / r, Y ). L ( w r ,1)Y 1/ és K ( w r , Y ). K ( w r ,1)Y 1/. Az általános esetben csak annyi biztos, hogy valamelyik termelési tényező kereslete nő 7.

(8) Feltétel nélküli kereslet Amikor a tényezőárak változnak, a vállalat optimális kibocsátása (Y*) is változik A feladat Hogyan változik Y*, C és ezeken keresztül L*, ha változik a bér?. ( w, r ). max. ( w, r , Y ). Y. Ha a választás optimális, a zárójelben lévő kifejezés nulla (v.ö. Profitfüggvény). Másfelől, a Shepard-lemma értelmében Cw(w,r,Y*) = L*. Így jutunk az alábbi összefüggésekhez (Hotelling-lemma): A feltétel nélküli keresletek (is) csökkennek a sajátárakkal*: w ( w, r ). L. és. w ( w, r ) [ P(Y )(1. p Y ). r ( w, r ). K. CY ( w, r , Y )]. Y w. Cw ( w, r , Y ). * A költségfüggvény konkavitásából adódóan a profitfüggvény konvex, a második deriváltak pozitívak. L w. ww. 0 és. K r. rr. 0. Feltétel nélküli kereslet – A bérváltozás hatásának komponensei A bérváltozás teljes, közvetlen és közvetett hatása: Szorozzuk ezt végig w/L*–gal, a második tagot pedig Y*/Y*-gal !. L w. L w w L. Cww CwY. w L. C ww. Y w. w L. C wY. Y Y w Y. L w. w L. C ww. Y C wY L. Y w. 8.

(9) Mi ez? Az első tag nem más, mint a feltételes keresletrugalmasság Y = Y* kibocsátás mellett.. w L. w. C ww. L. L w. L /L w/ w. L w. A bérváltozás teljes, közvetlen és közvetett hatása: Szorozzuk ezt végig w/L*–gal, a második tagot pedig Y*/Y*-gal !. L w L w w L. w L. C ww. w. Y Y w Y. C wY. L. Y w. C ww C wY. w. L w. L. Y C wY. C ww. Y w. L. Mi ez? A második tag első szorzótényezője nem más, mint a munkakereslet Y = Y* pontban vett kibocsátásrugalmassága, a tényezőárakat adottnak véve:. Y C wY. Y. L. L. L Y. L /L Y /Y. L Y. A bérváltozás teljes, közvetlen és közvetett hatása: Szorozzuk ezt végig w/L*–gal, a második tagot pedig Y*/Y*-gal !. L w. C ww C wY. Y w. Az előzőekből adódóan tehát:. L w w L. w L. C ww. w L. C wY. Y Y w Y. L w. w L. C ww. Y C wY L. Y w. 9.

(10) A bérváltozás hatása tehát. Sajátbér-rugalmasság. Skálahatás (–). Kompenzált helyettesítési rugalmasság (–). A skálahatás negativitása homogén függvény esetén könnyen belátható: lásd két diával hátrébb! Az általános esetben (sokkal nehezebben) belátható, hogy a jobb oldalon szereplő szorzat két tényezőjének előjele eltérő. (Cahuc–Zylberberg 184. és 5. lábjegyzet). A tőke árváltozásának hatása Az előzőhöz hasonló lépések után:. Keresztárrugalmasság (?). Kompenzált helyettesítési rugalmasság (+). Skálahatás (–). 10.

(11) A sajátbér-rugalmasság homogén termelési függvény esetén. L w. (1 s L ). 0. Y w. 1. (a). s (c). (b). (a) Láttuk, hogy sL. L r. r L L r. r C wr és L. wL / C. Shepard - lemma : C w. (b) L (w, r , Y ) L (w, r ,1)Y 1. C C wr C wC r. L és C r. L r. (rC wC r / L C ) . L r. K . Behelyette sítésekkel:. ln L (w,r,Y) ln L (w,r,1 ) 1 θ ln Y. d ln L d ln Y. (1 s L ). 1 θ. (c) Levezetését lásd: 2. Függelék Ezekben a formulákban könnyen észrevehető, hogy*: L w. (1 s L ). s L avagy avagy. L w. sL. a). A munka kereslete csökken a bérrel. b). A helyettesítési és a skálahatás additív. c). A kereslet rugalmasabb, ha a munka és a tőke „könnyen helyettesíthető” ( nagy). d). Minél nagyobb a piaci erő, annál gyengébb a skálahatás. Tökéleteshez közeli verseny ( ) esetén erős skálahatás, rugalmas kereslet. e). A munkakereslet annál rugalmasabb, minél nagyobb a munka részaránya az összköltségben, feltéve hogy < /( - ). Hogy érvényes-e HM-4, azt a tőke-munka helyettesíthetőség és a termékpiaci keresletrugalmasság viszonya dönti el. 11.

(12) * „The formulas in large measure confirm the laws of demand put forward by Marshall (1920) and Hicks (1932)” (C–Z 186).. Több tényező A probléma: Az elsőrendű feltétel lényegében azonos a kéttényezős esetben megismerttel: n. wi X i. min 1 n. X ... X. k . f . F ( X 1 ,..., X n ) Y. i 1. A költségfüggvény elsőfokú homogén w-ben. 1/ fokú homogén Y-ban, ha F(.) fokú homogén. Konkáv. Kielégíti a Shepard-lemmát:. 1. n. F ( X ,..., X ) Y. és. Fi ( X 1 ,..., X n ) 1. n. F j ( X ,..., X ). wi wj. i, j 1,..., n. C ( w 1 ,..., w n , Y ) Xi. X. i. Ci ( w 1 ,..., w n , Y ) 1. n. Ci ( w ,..., w , Y ). Xi. Cii 0 i 1,..., n i w Az egyes tényezők kereslete csökken az adott tényező árával De: az egyes tényezők konstans output melletti kereslete nem feltétlenül nő, ha valamely más tényező ára emelkedik. Ha j drágul és a foglalkoztatása csökken, valamely más tényező foglalkoztatásának nőnie kell, de egy-egy konkrét i j esetében a változás irányát (a technológia ismerete nélkül) nem tudjuk előre jelezni. Xi. X. wj. wi. Xi w. j. Xi wj. j. Cij. i, j 1,..., n. 0.  i és j ár-helyettesítők (p-subsitutes, Hicks–Allen substitutes). 0.  i és j ár-kiegészítők (p-complements, Hicks–Allen complements). 12.

(13) Kereszthatások Keresztrugalmasság. Bizonytalan előjelű, nem szimmetrikus Direkt helyettesítési rugalmasság. A kéttényezős helyettesítési rugalmasság mintájára:. Xi wj. i j. wj Xi. wj Xi. Cij. j. i j. i. Nehezen értelmezhető: ha j drágul, az helyettesítések sorozatát indítja el, és ezek hatására is változik i kereslete. Ezért helyette: Allen-féle parciális helyettesítési rugalmasság, ami a korábbiakhoz hasonlóan levezethető a költségfüggvényből is:. ( X i / X j ) ( w j / wi ). d ij. ( w j / wi ) ( X i / X j ) i j. i j. Cij C. C wjX. j. Ci C j. i j. i js j. Továbbra is igaz: De – szemben a kéttényezős i iesettel – itt előjele bizonytalan. j js j A tőke, az anyag, a föld árának változásai eltérő módon befolyásolhatják a különböző munkafajták keresletét rögzített output mellett is. A képzetlen munka és a tőke például jellemzően helyettesítő viszonyban állnak, míg a képzett munka és a tőke számos kutatás szerint kiegészítők („tudás-tőke komplementaritás”) Továbbra is igaz : A kompenzálatlan helyettesítési rugalmasság előjele (továbbra is) empirikus kérdés:. i j. i j. i Y Y i. i, j 1,..., n. Homogén termelési függvény és nem tökéletes piac esetén a kéttényezőshöz hasonló kalkulus szerint: 13.

(14) i j. sj. i j. i, j. A különböző munkafajtákat érő árhatások eltérhetnek. Ha a zárójeles kifejezés pozitív, j árának emelkedése növeli i keresletét. Ha negatív, mindkét munkafajta kereslete csökken.. 1. Függelék Munkakereslet rövid távon Kereslet rövid távon Az egyetlen termelési tényező a munka. A termelési függvény: Y=F(L), Y’>0, Y’’<0 A vállalatnak lehet piaci ereje, a tökéletes verseny szélső eset. A piaci erőt az izoelasztikusnak feltételezett inverz termékkeresleti függvényből (P=P(Y)) származtatott alábbi rugalmasság méri:. p Y. P (Y ) Y P (Y ). * P’(Y) és ennél fogva a rugalmasság természetesen negatív. Tökéletes verseny esetén a vállalat árelfogadó Ha a verseny nem tökéletes, a vállalat árbefolyásoló. p Y. 0 p Y. 0. 14.

(15) Árak A költségfüggvény: A határköltség*:. C (Y ) C (Y ). wF 1 (Y ). wL. w / F (L). Emlékezve arra, hogy F’(L) = w/P, azaz P = w/F’(L), adódik: A termékár tiszta verseny ( = 1) esetén egyenlő a határköltséggel. Az árbefolyásoló vállalat ezt egy felárral (markup) fejeli meg. A termékár tehát magasabb, a kibocsátás és a foglalkoztatás alacsonyabb, mint a versengő vállalatnál. * Az F-1(L) inverz függvény deriváltja 1/F’(L). P. w F ( L). C (Y ). A munkaköltség hatása a munkakeresletre Az optimumkritérium a következő volt: Alakítsuk át ezt az alábbi formába, figyelembe véve, hogy L függ a bértől, és vizsgáljuk meg, hogyan változik az optimális létszám, ha nő w!. F ( L). w P. w szerinti deriválás (szorzatfüggvény + belső függvény!) és átrendezés után: A munkakereslet a munkaköltség F L(w) P{F L(w) } w 0 csökkenő függvénye. Mértékének meghatározásában a technológia (F), L a termékkereslet rugalmassága (P’) 0 2 w F P PF és a piaci erő ( ) egyaránt szerepet játszik. (+)(–). (+)(–). 15.

(16) 2. Függelék Skálahatás homogén termelési függvény esetén A skálahatás homogén termelési függvény esetén Bizonyítandó, hogy ha a termelési függvény Y w. (CZ 21). fokú homogén, akkor igaz:. s. A levezetés a Cahuc-Zylberberg (CZ) könyv 185-186. oldalán található, azonban a (21) egyenlet feletti, számozatlan képlet – közbenső lépés – hibás. Ezt kijavítva közöljük a bizoyítást. A kiindulópont a (CZ 15) optimumfeltétel, ami homogén fv. esetén (CZ 15a) formájú: (CZ 15). P(Y ). CY ( w, r , Y ) C ( w, r , Y ) Y. (CZ 15a ) P(Y ). Figyelembe veendők az alábbi összefüggések: A piaci erő indikátora ( > , v.ö. 814. old, 4. lj.), amit a P=P(Y) inverz keresleti függvényből származtattunk: (a). 1 1. ahol. p Y. p Y. P (Y ) Y P(Y ). 0. Shepard-lemma: (b) Cw L A munkaköltség aránya (c) s. wL C. A munkakereslet kibocsátás-rugalmassága (d ) L (w, r , Y ). L (w, r ,1)Y 1. logL(w,r, Y). logL(w,r,1) 1 logY. d log L d log Y. 1. 16.

(17) Ezek után lássuk a levezetést! A kiindulópontunk: P(Y) = vCY(W, R, Y), ahol v = 1/(1 +. ) és. =Y. Fontos: R független w-től, v független w-től, Y függ w-től! Bal oldal: P(Y) w szerinti logaritmikus deriváltja:. Jobb oldal:. A többváltozós összetett függvény deriválási szabálya alapján: (vektoriális szorzat) Azaz: Azaz:. A fenti egyenletnek kellene a C-Z könyvben a 185. oldalon szerepelnie a 21-es kifejezés felett, de ott hiányzik a zárójeles kifejezés végén szereplő utolsó, “+ 1” tag). Felhasználva az (a), (b) és (c) egyenletekben leírt összefüggéseket, a javított verzióból egyszerűen megkapható a 21-es kifejezés:. 17.

(18) 1 P (Y )Y Y P(Y ). CY C. 1 Yw. Cw C. dY / dw Y. P Y. 1. 1. L C. Szorozzuk meg mindkét oldalt w-vel! dY / dw Y /w. P Y. 1. 1. wL C. Y w. P Y. 1. 1. s. Rendezzük át és szorozzuk meg a jobb oldali kifejezés számlálóját és nevezőjét is -val, Y w. (. P Y. 1) 1. s. majd -vel (figyelembe véve a piaci erőre vonatkozó (a) összefüggést) : Y w. s. . 18.

(19)